函数的和、差、积、商的导数(2)
导数的运算(二)
例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程
x y
a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x
dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x
3
a
3 2
a
§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2
导数的运算法则
(sinx ) cosx
'
(cosx) sinx
'
问题情景
利用导数定义求 y x 2 x 的导数.
f ( x) x
2
( x x) 2 x 1
2
2
g ( x) x
f ( x) g ( x) x x
猜想：
( x x) ( x ) ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] g ( x) g 2 ( x)
其中g ( x) 0
例4：求下列函数的的导数。 1 (1) f ( x ) 2 ; x sin x (3) f ( x ) ; 2 x x ( 2) f ( x ) ; 2x 3 x ( 4) f ( x ) x e
变式2 : 若直线l是曲线y f ( x)在x 4处的切线, 求 f (4), f ' (4).
y
5 3
x
0
4
例8:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
函数的和、差、积、商的导数
例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= x +cosx 1 (3)若f ( x ) x 2 , 则f(x)可能是下式中的( B )
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
常用的求导和定积分公式完美)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log =' (12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15) 21(arctan )1x x '=+ (16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)(（2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x=+⎰ （4）2tan 1dx arl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰（7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x=+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰ （10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰（12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a =+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰（15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan x dx arc C a x a a=++⎰（17）2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sin x arc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰（23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
各种导数的求导公式
各种导数的求导公式求导公式是用来求函数导数的工具，它可以帮助我们快速准确地计算函数的导数。
在微积分中，导数是函数变化率的度量，它描述了函数在不同点上的斜率或变化率。
下面是常见的导数求导公式:1.常数函数的导数公式:如果f(x)=c，其中c是常数,则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式:如果 f(x) = x^n，其中 n 是实数, 则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式:如果 f(x) = a^x，其中 a 是指数底数, 则 f'(x) = ln(a) * a^x。
4.对数函数的导数公式:如果 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/ x。
5.三角函数的导数公式:- sin函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式:- arcsin函数的导数公式：f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) =1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数公式：f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数公式：f(x) = arctan(x)，则 f'(x) =1/(1+x^2)。
7.双曲函数的导数公式:- sinh函数的导数公式：f(x) = sinh(x)，则 f'(x) = cosh(x)。
- cosh函数的导数公式：f(x) = cosh(x)，则 f'(x) = sinh(x)。
- tanh函数的导数公式：f(x) = tanh(x)，则 f'(x) = sech^2(x)。
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习
5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
导数的运算法则和与基本公式
§3.2.2导数的运算法则与基本公式一、导数的和、差、积、商运算法则如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；(3) 2()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭(()0)v x ≠；推广到多个函数情形：设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±(2)12121212[()()()]()()()()()()()()()n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）定理2.3 设函数1()x f y -=在某个开区间内单调可导，且1[()]0f y -'≠，则反函数()y f x =在对应区间内可导，且11()[()]f x f y -'='.证明：0001011()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x xx y yx f y y∆→∆→∆→-∆→∆'===∆∆∆∆∆==∆'∆二、基本初等函数的求导公式1.常数的导数：()0c '= （c 为常数）证明：()f x c =00()()()limlim 0x x f x x f x f x xc c x∆→∆→+∆-'=∆-==∆2.幂函数的导数：1()n n x nx -'= （n 为常数）证明：()nf x x =，0()()lim nnx x x xf x x∆→+∆-'=∆110()lim nn n n nnn nx C x C x x C x xx-∆→+∆++∆-=∆ 112210lim[()]n n n n nnnx C xC xx C x ---∆→=+∆++∆ 1n nx -=例1 求4sin y x x =+的导数.解：4(sin )y x x ''=+4()(sin )x x ''=+.34cos x x =+.例2 求5cos y x x =的导数.解：5(cos )y x x ''=55()cos (cos )x x x x ''=+.455cos sin x x x x =-.例3 求2sin xy x =的导数.解：2sin ()xy x''=2222(sin )sin ()()x x x x x ''-=. 24cos 2sin x x x x x-=. 3cos 2sin x x x x-=.例4 求23313y x x=--的导数.解：2333y xx -=--233(3)y x x -''=--.233()()(3)x x -'''=--.134233x x --=--.例5 求232x y x -=的导数.解：312223232x y x x x--==- 3122(32)y x x -''=-.3122(3)(2)x x -''=-.31223()2()x x -''=-.312292x x -=+.例6 求21xy x=+的导数. 解：2()1xy x''=+2222()(1)(1)(1)x x x x x ''+-+=+. 22212(1)x x x x +-⋅=+. 2221(1)x x -=+.3.指数函数x y a =(0,1a a >≠)的导数：()ln x x a a a '=()x xe e '= 001lim lim x x x x y a y a x x∆∆→∆→∆-'==∆∆. 证明：(1)x x x x x y a a a a +∆∆∆=-=-令1xt a ∆=-，有log (1)a x t ∆=+ 当0x ∆→时，有0t →1001lim lim log (1)log (1)x x t t a a t t y a a t t →→'==++. 1011lim ln log log (1)t x x x t a a a a a a e t →===+.4.对数函数log a y x =(0,1a a >≠)的导数：1(log )ln a x x a '= 1(ln )x x'= 证明：log a y x =的反函数为y x a =(0,1a a >≠)，由定理2.3可得111()ln ln y y y a a a x a'==='.例7 求33x xy x e =-+的导数. 解：3(3)x xy x e ''=-+3()(3)()x x x e '''=-+. 233ln3x xx e =-+.例8 求2x y x e =的导数. 解：2()x y xe ''= 22()()x x x e x e ''=+.22x x xe x e=+. (2)x xe x =+.例9 求ln x y x=的导数. 解：2ln (ln )ln ()x x x x x y x x''-⋅''== 122ln 1ln xx x x x x ⋅--==.例10 求22log y x x =的导数. 解：22(log )y x x ''= 2222()log (log )x x x x ''=+. 2212log ln 2x x x x =+. 22log ln 2x x x =+.5.三角函数的导数： 1.(sin )cos x x '=2.(cos )sin x x '=-3.221(tan )sec cos x x x '== 4.221(cot )csc sin x x x '=-=-5.(sec )sec tan x x x '=⋅6.(csc )csc cot x x x '=-⋅证明：1.(sin)cosx x'=2.(cos)sinx x'=-参考前面例题.3.sin(tan)()cosxxx''=2(sin)cos sin(cos)cosx x x xx''-=22222cos sin1seccos cosx xxx x+===.同理可证(请同学自己证明) 4.21(cot )csc sin x x x'=-=- 5.(sec )sec tan x x x '=⋅ 6.(csc )csc cot x x x '=-⋅例11 求sin cos y x x x =+的导数. 解：(sin cos )y x x x ''=+(sin )(cos )x x x ''=+. sin (sin )sin x x x x x ''=+-. sin cos sin x x x x =+-. cos x x =.6.反三角函数的导数： 1.21(sin )1arc x x '=-(11x -<<)2.21(cos )1arc x x '=--( 11x -<<) 3.21(tan )1arc x x'=+ 4.21(cot )1arc x x '=-+证明：sin y arc x =的反函数是sin x y =由定理2.3 1(sin )(sin )y arc x y ''==' (sin )cos ()22y y y ππ'=-<<. 而22cos 1sin 1y y x =-=- 所以21(sin )1arc x x '=-.其余反三角函数求导公式同理可证(请同学自己证明).例12 求2arctan 1x y x =+的导数. 解：22221(1)arctan 21(1)x x x x y x +-⋅+'=+ 2212arctan (1)x x x -=+.。
导数的基本公式与运算法则
ln y
1 [ln|x 1| ln|x 2| ln|x 3| ln|x 4|] ， 2
上式两边对x求导，得
1 1 y y 1 1 ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ， ) ， y y 2 2 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 4 4
解 当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
推论:
n
n
倒数的运算法则
例8 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解 令 y u10 , u x 2 1,
第 二 章 导 数 与 微 分
dy dy du 10u9 ( 2 x ) 10( x 2 1)9 2 x dx du dx 20 x( x 2 1) 9 .
例2 解
i 1
求 y x 3e x 的导数 .
3 x 3 x y ( x ) e x (e )
3x e x e
2 x
3 x
-3-
第二节
导数的运算法则
例3 求 y tan x 的导数 . 解
第 二 章 导 数 与 微 分
sin x (sin x ) cos x sin x(cos x ) y (tan x ) ( ) cos x cos 2 x cos 2 x sin2 x 1 sec2 x cos 2 x cos 2 x
1 (thx ) 2 ch x
- 13 -
例14 求幂函数 y x ( x 0, 为任意常数) 的导数 y.
第 二 章 导 数 与 微 分
ln x y x e 解 ln x ( ln x ) x (ln x ) x 1 x 1 y e x 可以推出, 对所有的 x 只要 x 可导, 都有
-1-
第二节
导数的运算法则
证 (1)、(2)略,仅对(3)进行证明
u( x ) 设 f ( x) , (v ( x ) 0), v( x )
u( x h) u( x ) f ( x h) f ( x ) v ( x h) v ( x ) f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x h)v ( x ) u( x )v ( x h) lim h 0 v ( x h)v ( x )h [u( x h) u( x )]v ( x ) u( x )[v ( x h) v ( x )] lim h 0 v ( x h)v ( x )h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) v ( x ) u( x ) h h lim h 0 v ( x h)v ( x )
导数的基本公式与运算法则
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 89 从而 y 9x .
16y
将 x2 ，y 3 3 ，代入上式得 所求切线的斜率 2
k 3 . 所求的切线方程为
4
yy33 33 33(x(x22) )，，即即 33xx44yy88 3300。。
22
44
六、对数求导法
v(x)
v2 ( x)
推论:
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi (x)] f1(x) f2 (x)
fn (x)
i 1
f1(x) f2 (x) fn(x).
二、例题分析
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解： y 3x 2 4x cos x.
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
, sin
2x x2
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数。
定理 如果函数u g(x)在点 x可导 , 而y f (u)
在点u g(x)可导 , 则复合函数 y f [g(x)]在点
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
两边取对数得
ln f (x) v(x) ln u(x)
f (x) v(x) ln u(x) v(x)u(x)
f (x)
u(x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
第三章 导数的四则运算法则
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xtan x； (2)f(x)＝2－2sin2x2； (3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； (4)f(x)＝sin x1＋sin x. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的应用 解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin xcos x′ ＝xsin x′cos x－xsin xcos x′cos2x ＝sin x＋xcos xcos x＋xsin2xcos2x＝sin xcos x＋xcos2x. (2)∵f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cos x， ∴f′(x)＝－sin x. (3)方法一 f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x ＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. (4)∵f(x)＝sin x1＋sin x， ∴f′(x)＝cos x1＋sin x－sin x·cos x1＋sin x2＝cos x1＋sin x2. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例2 (1)已知函数f(x)＝ln xx＋2xf′(1)，求f(x)； (2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 考点 导数的应用 题点 利用导数求函数解析式 解 (1)由题意得f′(x)＝1－ln xx2＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝1－ln 11＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝ln xx－2x. (2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′ ＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′ ＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又因为f′(x)＝xcos x， 所以{a－d－cx＝0，ax＋b＋c＝x，即{a－d＝0，－c＝0，a＝1，b＋c＝0， 解得a＝d＝1，b＝c＝0. 反思与感悟 求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
(学习指导) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)Word版含解析
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学 习 目 标核 心 素 养 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养. (1)设两个函数f (x )，g (x )可导，则 和的导数[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 差的导数[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 积的导数[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) [cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y ＝1x 的导数．[提示]y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝(1)′×x －1×(x )′x 2＝－1x 2. 1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．xB ．1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x C [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.]2．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( )A ．y ′＝4x 3B ．y ′＝cos xC ．y ′＝4x 3＋sin xD ．y ′＝4x 3＋cos xD [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．]3．函数y ＝9x 的导数为__________．y ′＝－9x 2[y ′＝(9)′×x －9×(x )′x 2＝－9x 2.]利用导数的运算法则求导数 (1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2； (3)y ＝cos x ln x ；(4)y ＝x e x .[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′ ＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′ ＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos x x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x )′(e x )2＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x .利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝x ln x.[解](1)y＝e2x＝e x·e x，∴y′＝(e x)′·e x＋e x·(e x)′＝2e2x.(2)y＝x2＋log3x，∴y′＝2x＋1 x ln 3.(3)y＝xln x，∴y′＝ln x－1(ln x)2.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)＝13x3－x2－3x－5，点P是曲线y＝f(x)上的一个动点．(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围；(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程．[思路点拨]求出f′(x)，转化为求f′(x)的最值问题．[解](1)因为f(x)＝13x3－x2－3x－5，所以f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为[－4，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)min＝－4，即当x＝1时，k＝f′(x)min＝－4，又因为f(1)＝13－1－3－5＝－263，故此时的切线方程为y＋263＝－4(x－1)，即12x ＋3y ＋14＝0.1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程．2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题；③求与切线有关的定值问题等． [跟进训练] 2．设函数f (x )＝x －3x ，求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解]设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20 (x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)，所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数求函数解析式对于函数y ＝f (x )而言，f ′(x )与f ′(a )相同吗？提示：不同，f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，而f ′(a )是f ′(x )在x ＝a 处的函数值．【例3】 (1)已知函数f (x )＝ln x x ＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .[思路点拨] (1)求f ′(x )―→令x ＝1―→求f ′(1)―→比较f (e )与f (1)的大小(2)计算f ′(x )―→由f ′(x )＝x cos x 求a ，b ，c ，d[解](1)由题意得f ′(x )＝1－ln x x 2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)．则f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.解答此类问题的关键是准确求导，然后借助恒等式等方程思想求解相应参数.[跟进训练]3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，又f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1，故选B ．] 求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．1．判断正误(1)[x 2f (x )]′＝2xf ′(x )．( )(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝12x .( ) (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2′＝sin x ． ( ) (4)(ln 5x )′＝1x .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3＋3x ln 3 C [f ′(x )＝(x 3)′＋(3x )′＋(ln 3)′＝3x 2＋3x ln 3，故选C ．]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________．f (x )＝2x 3－9x 2＋12x [因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故函数f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .]4．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，求a ，b 的值． [解] f ′(x )＝2ax －b cos x ，则⎩⎨⎧ f ′(0)＝－b ＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2a π3－b cos π3＝12，即⎩⎨⎧ b ＝－1，2a 3π－12b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＝0.。
商的求导法则
例10 设 f ( x) =
x,
x<0
ln(1 + x), x ≥ 0
, 求f ′( x).
解 当x < 0时, f ′( x ) = 1, 时
当x > 0时, 时
1 1 ′ = f ′( x ) = 1 + x (1 + x ) 1 + x ,
当x = 0时,
(0 + h) ln(1 + 0) f ′ (0) = lim =1 h→ 0 h
(sec x )′ = sec x tan x ; ( 8 )
( a x )′ = a x ln a ; 1 (11 ) (log a x )′ = ; x ln a 1 (13 ) (arcsin x )′ = 1 x2 1 (15 ) (arctan x )′ = ; 2 1+ x
(10 ) ( e x )′ = e x ; 1 (12 ) (ln x )′ = ; x ; (14 ) (arccos x )′ =
h→ 0
f +′ (0) = lim+ ∴ f ′( 0 ) = 1 .
ln[1 + (0 + h)] ln(1 + 0) 1, = h
1, ∴ f ′( x ) = 1 1 + x , x≤0 x>0 .
例11
求函数 y = e
e
ex
的导数 .
例12 求函数 y = ln(ln(ln x )) 的导数 .
i =1 i =1
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
′ = f1′ ( x) f2( x) fn( x) + f1( x) f2( x) fn( x) ′ (3) [∏ fi ( x)]
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课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(2) 教学目的：1.理解商的导数法则，并能进行运用.2.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：商的导数法则.教学难点：两个函数的商的求导法则的推导．授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=8.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=二、讲解新课： 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭证明：令)()()(x v x u x f y ==， -∆+∆+=∆])()([x x v x x u y )()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+= )()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+=， ∴ )()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当0→∆x 时，v (x +x ∆)→v (x )．∴ )()](lim [)lim ()lim (lim 0000x v x x v x v u v x u x y x x x x ∆+∆∆-∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆2''v uv v u -= 即 )0('''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v uv v u v u y ． 说明：⑴'''v u v u ≠⎪⎭⎫⎝⎛，2'''vuv v u v u +≠⎪⎭⎫ ⎝⎛； ⑵若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )=sin x +x 1、g (x )=cos x －x1，则f (x )、g (x )在x =0处均不可导，但它们的和f (x )+g (x )=sin x +cos x 在x =0处可导三、讲解范例：例1求y =xx sin 2的导数. 分析: 这题可以直接利用商的导数法则.解：y ′=(x x sin 2)′=xx x x x x x x x x 22222sin cos sin 2)(sin )(sin sin )(-='-' 例2求y =332++x x 在点x =3处的导数. 分析: 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.解：y ′=(332++x x )′2222)3()3)(3()3()3(+'++-+'+=x x x x x 222222)3(36)3()3(23++--=++-+=x x x x x x x ∴y ′|x =3=614424)33(3363222=-=++⨯--例3 求y =x1·cos x 的导数. 分析: 这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.解法一：y ′=(x 1·cos x )′=(x 1)′cos x +x 1 (cos x )′ x x x x x x x x x x x x x x x x x 2sin 2cos sin 12cos sin 1cos 21sin 1cos )(32321+-=--=--=-'=--解法二：y ′=(x 1·cos x )′=(xx cos )′ x x x x x x x x x x 21221cos sin )()(cos )(cos -⋅⋅-⋅-='-'= x x x x x x x x x x xx xx x 2sin 2cos 2cos sin 2cos 21sin +-=+-=+-= 例4求y =cot x 的导数.解：y ′=(cot x )′=(x x sin cos )′2)(sin )(sin cos sin )(cos x x x x x '-'= x xx x x x x 222csc sin 1sin cos cos sin sin -=-=⋅-⋅-= 例5 求y =x x -+31的导数.解：y ′=(x x -+31)′=2222)3()3)(1()3()1(x x x x x -'-+--'+ 222222)3(32)3()2)(1(3x x x x x x x -++=--+--= 例6求y =xx sin 12-的导数. 解：y ′=(x x sin 12-)′222)(sin ))(sin 1(sin )1(x x x x x '--'-= xx x x x 22sin cos )1(sin 2---= 例7求y =xx x cos 423-的导数. 解：y ′=(x x x cos 423-)′222323)cos ()cos )(4(cos )4(x x x x x x x x '--'-= xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x 233424524242322cos cos )8(sin )4(cos sin sin 4cos 8cos cos )sin cos 2)(4(cos 3+--=-+--=---⋅-= 四、课堂练习：1．填空： (1)2222)1() ()1)( ()1(+-+='+x x x x x ；(2)x x x x x 222sin 4) )(1(sin ) ()sin 21(+-='+ 解：(1)∵22222)1()1()1()1(+'+-+'='+x x x x x x x 222)1()2()1)(1(+-+=x x x x(2)2222)sin 2()sin 2)(1(sin 2)1()sin 21(x x x x x x x '+-'+='+ xx x x x x x x x x 2222sin 4)cos 2)(1(sin )4(sin 4)cos 2)(1(sin 22+-=+-⋅= 2.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232x x + (3)y =tan x (4)y =x cos 11- 解：(1)y ′=(x a x a +-)′2)())(()()(x a x a x a x a x a +'+--+'-= 22)(2)()()(x a a x a x a x a +-=+--+-= (2)y ′=(232x x +)′2222)3()3)(2()3()2(x x x x x '+-'+= 342423491239)6)(2(3xx x x x x x x x +-=--=+-= (3)y ′=(tan x )′=(x x cos sin )′2)(cos )(cos sin cos )(sin x x x x x '-'= x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+= (4)y ′=(x cos 11-)′2)cos 1()cos 1(1)cos 1(1x x x -'-⋅--'= ＝22)cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(0x x x x x --=--- 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin )cos 1(2)cos 1(xx x x x x x ++='+ 解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.3342222222cos 2sin )cos 1(2sin )2)(cos 1(sin )())(cos 1()cos 1()cos 1(x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x ++-=++-=+-⋅-='+-'+='+ 注意：两个函数的乘积的导数的符号是加号，两个函数的商的导数分母是原分母的平方，分子上的符号是减号五、小结 ：这节课主要学习了商的导数法则(vu )′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。