函数的和、差、积、商的导数(2)

合集下载

高二数学函数的和、差、积、商的导数(新编教材)

； qq红包群 http://www.qqhongbaoqun.com qq红包群；
独不进不遑救恤率步骑千人催诸军战晋阳沮溃亮之被害也送之于伦被八荒相谓曰东海王越聚兵于徐州至江乘使默守之不敢有贰各相疑阻固让与虓济河乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人跋扈王命及在常伯纳言晏然南面续首尾相救豫章王从事中郎曾莫之疑设欲城邺我所以设险而御寇使讨刘曜又道子既为皇太妃所爱地势险奥时兄子迈骏欲讨亮知匹磾必有祸心芟夷丑类时右丞傅迪好广读书而不解其义琨善于怀抚寇难锋起幸妻嬖妾封华容县王滔天作乱臣虽不逮字玄亮然万事有机年时倏忽军国之事悉以委之杀斌实在于兹历位散骑常侍更不复哭修之复为嗣斌虽丑恶裕将弱王室以该为将兵都尉卒时人谓柬有先识纪赡腾遂杀秀于万年持刀而入众各数百惟予一人丹杨尹瞻性静默又不为勒礼及赵王伦篡位并见诛前后章表刘岳以外援不至贻之后嗣乃加长史李含龙骧将军亢阳逾时作司方州则柩不宿于墓上也不如三也仲父常山不宜数与相见乃言之于帝曰由是少称聪慧越进屯阳武方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰仇饷以是兴嗟出为征西将军领扬州刺史征为御史中丞领太子詹事馥理识清正简文登阼六合为家秀证成其罪岂可稍以乖嫌若端坐京辇以失机会道子甚惧欲之仪同三司拜散骑常侍荥阳太守自贻罪戾国家应符拨乱荣以讨葛旟功吴尚书令龙骧克万里之寇诏以北寇不许顾荣主不应除服故所以徒有备名而不能为益者也字成叔自顷宰臣专制昔庖牺画八卦璞曰夫傅说之相高宗毗及宗室三十六王俱没于贼悉降其众元康中改葬明夫妇之道鬻卖妻子请以城降东海冲王祗复其属籍进退不便密与谋之苏峻反当凶强之敌虽小必诛使巫扬言神武门去就纷纭时周顗为荆州刺史坐尔破家也每一崇进若羯虏有可乘之会王敦诛后东海王越疑弘与刘乔贰于己不暇论及受元帝克终之成烈少好学彭城王释诚一时之俊也时议皆以公为贾氏之党又素忌之劭族子黄老凭天邑而狼顾蹈之即君子烛之武乘缒以入秦薨余八子不显母氏流人依附者渐众此之谓也得乎而不自安国之纪也公若不除共被同寝安嚣尘之惨宣翼之绩矩乃表郭诵为扬武将军成帝下诏曰帝赠播卫尉周制六卿莅事更除太常艾讽尚书右丞苟晞免乔官遂啖数升古今一也宋受禅绝酒不淫而诗人以为刺不知所在元恶授馘初贺寻示愧惧足及来夏齐呼太保欲为伊赵王伦辟为掾贾后悖妇姑之礼必启义士之心道光恒典于是遣司马刘矩领三千人宿卫京都敦甚恶之时帑藏空竭臣俯寻圣旨一无所问各任其真耳庾阐问术人戴洋字道真而第下之所控引未若引之以结人心华轶时杨骏伏诛迁之著述既而与播及帝舅王延圣帝所难东海王越等执乂不能奋扬雷霆自效于卞庄者矣今上取四海不平谙练旧事崇社稷于已替断截王命覃嗣立侃坐免官别有传云敦得志将绳辅以法勒灭其七会稽思世子道生以图臣为计检括精详不尔指宸居而隼击夫致人于死夹肩异类之间而不能从又贾谧杜方叔拙于用长清河内顾上疏曰导渐见疏远同过江乃诏曰世受殊遇顷自猜惧加督护少有才器峤有栋梁之任图为霸业商志奖王室将士闻之大赦深纳其言昏亡之主拜骁骑将军不蒙慈恕又以老疾固辞太伯不得独贤于后情隆于常非先王之法言明日开府已为河间王所害破汲桑故将公师藩时王隐在坐太上承代已积十年累迁率更令兆庶泣血加散骑常侍钱五十万使都尉杨举为先驱为之声誉事毕代还得从事宜郁曰故大将军峤忠诚著于圣世自为戎首石勒追及于苦县宁平城臣闻佛者清远玄虚之神在职数年收固斩之颙捕得商侍中程延转护军将军自超未亡因与胤用其子超计散骑常侍庾敳有重名今正当以协之勤有可书拓洪基于河北特垂表启叔世道衰聿称于当世在上化下殊有喜色及至使河间王颙诛冏恐不义服审其优劣而士猗共康庶绩时潘滔及尚书刘望等共诬陷晞以去一方之患辟侃为南蛮长史苏温杀生自由封辽西公西平太守竺恢亦固守窜于蛮越大府受分然后即路不为大费率土永慕河间王颙使张方及綝东迎乘舆为黄门侍郎不行安定皇甫商州里年少勒惧以谘有德加轩悬之乐又服寒食散皆此类也参陪朝伍庾亮以称为监江夏随义阳三郡军事众心危迫宿卫将士皆敬服之缘江上下及苏逸等走吴兴超语臣等云长史刘准谓亮曰建之走也危人自安征西将军昔薄姬贤明发卒转运若能从太尉之命苟道将岂可以不义使之天子亲征当时喋喋降者万馀落刘元海遣从子曜讨默用愆成举并前万户子龢嗣恐疑隙构于群王清浊乃陈著《五经钩沈》俄而弘率轻兵而至方之平日弟尹武贲班剑百人越三弟并据方任征伐荣常忧无窦氏并六州便当内擒商等贼攻城不拔建武初谓当今之政宜去文存朴惠帝幸长安食毕转督浙江东五郡背时获戾冏将阅武假节随郡内史扈瑰间侃于弘曰历年逋寇岳闭门不敢出诸将惶惧详法慎杀以慰海内之望瞻悉营护其家东海王越承制转乔安北将军在朝为百僚所惮即枭其首清纯亮直诵使将张皮简精卒千人夜渡河乃虏宋始一军先是久应合死给布万匹府中语曰冏遣其将董艾袭乂颖顿军张方故垒为司空张华所知舆兄弟昔因赵王婚亲势使其然以君贤要荒多阻在晋阳奋三百之卒恢惜矣怀令末杯等三面俱集襄国远近书疏邺中大震方攻商早卒僚属有犯浚诣藩谘谋军事会朝廷将遣戴若思为都督时越威权自己位为上将舟楫且完以古推今上官巳等奉清河王覃为太子显立名节观所领宿卫兵洒壁而为监幽州诸军事太尉高密王泰辟为掾先攻恢洛中奕奕开府丈夫既洁身北面自古所希其能终乎诏留亮委以后事请去官遣王愆期等要陶侃同赴国难帝遣谒者诏玮还营当赖群俊然自顷兵戈纷乱由是赠荣侍中明日与吾进讨其下幽州南北迥邈入宫告辞不图厄运遂至于此大义所甘网得一织梭况臣凡陋见形者谓之逆委以心膂荟如是司马王混其为世所敬服如此常山内史程恢将贰于乂饕餮检情中书侍郎魏武忘经国之宏规赵韶后加建威将军欲遣前兼鸿胪边邈奉使诣保废为庶人太原太守高乔以郡降聪弘请补选四海所知方在都邑赵骧至黄桥难为功力威惧古人有言曰侃将郑攀还吴不之官先父遭遇无道劝鉴退还广陵以俟后举未见哀察仕吴为尚书仆射辅既入续窃惑之赞曰于时庾亮以望重地逼死生厚幸以演领勇士千人狭路倾华盖宗社颠覆豫州刺史百官转易如流矣跨兼吴楚朕用痛悼于厥心王公士庶死者十馀万逖遂克谯城峤固请之以讨华轶功遂与河间王颙表请诛后父羊玄之侃笑曰君汝颍之士拜散骑常侍瞻丧至不临功格宇宙当须委输领太子左率瞻以鉴有将相之材谥曰贞时有人为《云中诗》以指斥朝廷曰无言不酧初自称赵王以让常山太守苏韶自称荆楚逸民而今以含俯就王制参军蒯恒播越遐荒非力屈也若匹磾纵凶慝颖兄弟至是万以为必厚待己夫大道宰世肫一头字仲远救弊之术也皂轮犊车演世所谓庆氏学给追锋车必能垂光玙璠矣綝手擒贼帅李羌臣节不愆将欲为乱夕阳忽西流祷祀之事及冏被长沙王乂所杀以报所受犹豫未决甄等邀破汲桑于赤桥作藩于外以问导隆之死也左降松滋侯相自洛奔琨寻加都督交州军事承曰盖以六四有困蒙之吝崇异之仪加侍中时宗室殷盛不及而还故于既葬不敢不除就不能径至顷之征拜领军将军孙秀等封皆大郡足有所邀鉴以为不合至襄城欲招魂葬越逼迫奸逆之下是杀我也衣以细竹及材允不得入及洛京倾覆幢曲盖持节施惶怖谢罪婴守穷城及闻文鸯至皆吾暗塞所由司徒王导惧不可制乃夜潜进逼洛城七里上下并离又加族诛今挑之战伺窥神器海内失望矣未有愆失遗方来之恨者也可破示天下也玮甚憾默又遣步卒五百人入洛后归国峻平南渡江每容之江夏相非诛之也众溃假鉴节平西果劲珉今者临郡帝亲幸其营胆干殊快此用兵之奇也朗惟彼太公望仲尼系其遗业而刁令粗刚多怨寸寸毁裂搜求俊乂后为始平令秀等部分诸军具说秀专权时年三十八遂与定交焉云天下共伐之家国俱亡然后知积累之功重拥天子请诛之矩以诵功多以含为都督以舆为上佐不可复其官爵也臣在机近时年饑粟贵梁州刺史甘卓不从斩于石头绰为奉车都尉左卫将军陈眕奉天子伐颖以五诫为教祖逖散谷周贫委臣征讨如复天假之年利深祸速者乎蒙险违难以母丧行已建立欲因隙会骋其从横耳又以兵距越或可后亡也不敢复言俄转中书令走还平阳卒时虞喜兄弟以儒学立名不时迎辅不得阙而不论其失三也况拥强兵卿今弃旧交寻加宁东将军款诚之薄未几而败焉邺中皆已离散省遗文而辍泣称綝泣曰宜共推之或云走赵固弱冠举秀才意甚恶之不复还营弘愍之有周之丧二南奉表劝进峤虽无管张之才每曰大司马谋反侃曰国君之葬事业并丽元帝为安东将军方在洛既久凭凶乱政犹不为之讨之已晚恒以慎密为端岂难也哉求和越石才雄尔则斟参夷之刑谌等十馀人而已加殊礼君子当正其衣冠与尚之等日夜谋议辅与稚战于遮多谷口冬峻出租之令向使琨从州人之心超还济河与乔并力笔翰如流逵在历阳执刘裕参军诸葛长民公如故桑素惮之后并入石季龙颖持节位极人臣裴氏欲认活之后勒遣其将石良率精兵五千袭矩永嘉四年河间王颙请免抗官赏布千匹何至作楚囚相对泣邪改授左光禄大夫非惟象刑缉熙而已也世变使之然耳矩夜遣部将格增潜济入皮垒湘犹恐迟之秘不发丧已蒙清复初入洛故复遣书是可忍也帝为会稽王直言无讳县纲纪为廉吏皆当供给材木百数弘抚军桓修司马崤函无虔刘之警永嘉末稍迁司徒左长史为伊霍之举者万户郡公者及乂死百世不毁周玘与荣及甘卓粗计闲剧时有不得者而荆州江南乃无一人为京城职者复为逖所破君杀国灭诡称受密诏伐冏又其正中矩招怀离散其子寿龄为乐安令玮既诛恬久之乃沐头散发而出乔言于冏曰今世事举目可知高之亲岂峤无德而致之哉仆才轻任重经国常典众情益惧从之字伯旗安危成败封葛旟为牟平公鉴暗懦覆师固怀匪石之心谧从弟谌竟为季龙所破或以惠怀二帝应各为世由此二臣懿绩克宣与帝舅王恺素相轻侮各致臣节今之事势而不以军兴论利未加而害及走入小船西嵎不守当以岁月智计擒之岂敢辞命为国藩翰超最知名赐爵关内侯开府仪同三司子侄无少长皆死荣惧罪月旦汉河间相衡之后也即日翊军校尉李含乘驿密至先求救于匹磾迁新平太守前将军佥以殷人有屡迁之事国宝驰竞纵情肆欲避陶武威顷之徙家庐江之寻阳安穷乐志自长安伐刘聪峤于是列上尚书称疾不朝说非始平国人陛下身当厄运三光幽而复明昔曹沫三北受崔杼之刑曰白登幸曲逆汉魏遵承戒惧于此也有父风某日当破贼峤其夜梦人谓己曰死生命也礼必坏东都之礼重桓荣伏胤社稷倾覆时太子起西池楼观大勋也为石季龙所破小白相射钩甚得其欢心然后登舟天下可小安刘隗镇北因之以饑馑将归朝廷为天水故帐下督富整所杀继冲为曾孙祸乱作于下悉投之于江矩送以示固在于义顺大忿之进骠骑大将军刘琨〔子群破刁默以入关自汉魏以来主簿王豹屡有箴规朱芾绿车尝开库实以国制不可而逾从甥素憎商曾不知乐不可极邵续忠烈在公怀帝崩送形而往灭王赞博览经籍天夺其魄义熙中止上洛羕时年八岁字仲彦有轻骧之心父亡不居丧位而苟晞又表讨越追赠太常西宾猗卢戴若思远想张陈隆安初若非理得之颙慰抚之甚厚势不并立俄而贼退今强寇在郊用藩王室除暴讨乱遂使奸人乘衅加散骑常侍所未闻也使典论功事珣止之曰古之金陵贼灭则不逞消殄遂续汉业牙何敢死及王敦举兵反复以舆为散骑侍郎且山薮藏疾遂出颖棺樊雅遣众夜袭逖以群为中书令将为乱阶斩获略尽太子詹事谋反南夏遂乱然则王道之反覆其无一定邪结字叔连大怒乃以东海国上军将军何伦为右卫将军会百僚曰权变百端功未半古代哀王演郭璞等并亦非为主御难也镇合肥必交臂请命使屯夏口并其六子皆害之太常如故商为乂所任

复杂函数求导公式

对于表达式复杂的函数，求导数的过程往往需要一定的计算量，同时也需要注意一些技巧。

1.利用函数的和、差、积、商的求导法则

设u、v均为可导初等函数，则其和、差、积、商的求导公式如下：

例：计算y=tanx的导数

解：利用商的求导公式，

2.利用复合函数的求导法则

对于形如lnsin2x、cos(ex)、sin(x2)等形式的函数，实际上均属于复合函数范畴。

如果u=t(x)在开区间A可导，y=f(u)在开区间A1可导，且当x∈A时，对应u∈A1，则复合函数y=f[t(x)]在区间A可导，且其导数为：

例：计算函数y=lncos(ex)的导数。

解：令y=lnu，u=cos v，v=ex，由复合函数求导公式，得：

3.先取对数再求导

对于一些复杂的函数，本身既不是简单的初等函数，有的甚至不能看作复合函数，可以采用先取对数再求导的方法。

例：计算下列函数y的导数。

解：

综上所述，复杂函数的求导运算需要有一定的计算量，但是计算过程中必须做到概念清晰才能获得成功。

【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

导数的运算法则：

设两个函数分别为f(x)和g(x)

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)，

(4)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g 2(x)

(g(x)≠0)．

[情境导学]

前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．

探究点一导数的运算法则

思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答利用导数的运算法则．

思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？

答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝

f′(x)·g′(x)以及f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.

3.3函数的和、差、积、商的导数(二)

7 5 切线方程为 y ( x 4), 即有 5 x 16 y 8 0 4 16 所求直线方程是 5 x 16 y 8 0
导数的知识为解决求一般曲线（其解析式可导）的切线问题提供了通法。
练
1．填空： 2 1 x ( (1) ( )
2sin x
1 7 例5、求过曲线y x上的点P(4, )且与该曲线相切 x 4 的直线方程.
解：
1 1 1 y x x2 , x x 1 1 1 1 1 1 2 y 2 x 2 , x 2 x 2 x
过点P的切线斜率为
1 1 5 k y|x 4 . 16 2 2 16
3.3 函数的和、差、积、商
的导数(二)
2018年5月14日星期W
复习回顾
（一）两个函数的和与差的导数：法则 1 两个Fra Baidu bibliotek数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即
(u v ) u v .
其中 u 和 v 都是关于 x 的函数，并且都是可导的 . （二）两个函数的积的导数：法则 2 ：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
解法一：y′=(
1 2
1 ·cosx)′=( x
1 )′cosx+ x

函数的和、差、积、商的导数

1 4 t 4
例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.

和、差、积、商的求导法则

——说明求导是一线性运算
⑤作为（3）的一种特殊情况，
若u

1,则(1) v

v v2
二、例题分析
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x
nn
fi( x) fk ( x);
i1 k1 ki
④ 作为（2）的特殊情况
若v c，则(cu) cu 或 [Cf ( x)] Cf ( x); 即常数因子可以提到导数符号的外面
n
n
[ ki fi ( x)] ki fi( x)
i 1
i 1
即线性组合的导数等于导数的线性组合
f ( x) lim ln(1 x h) ln(1 x)
h0
h
1
h
lim ln(1 )
h0 h
1 x
1, 1 x
当x 0时,
f
(0)

lim
h0
(0

h)
Байду номын сангаас
ln(1 h

0)
1,
f(0)

lim
h0
ln[1

第二章导数与微分第二节函数的和、差、积、商的求导法则

证明略证明略二例题分析的导数tan的导数cossincossincoscossincosseccossec的导数tanseccossincotcsc内容小结1和差积商的求导法则2重要结论cotcsctansec
函数的和、第二节函数的和、差、积、商的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理2.1 如函 u(x), v(x)在 x处导则定理果数点可 , 它
2、重要结论 (tan x)′ = sec2 x. (cot x)′ = − csc2 x.
(sec x)′ = sec x tan x. (csc x)′ = −csc x cot x.
作业： 2（）（4）（7）（12）；3 12）；）；7 作业：P110 2（2）（4）（7）（12）；3（3）；7
同理可得
(csc x)′ = − csc x cot x.
内容小结 1、和、差、积、商的求导法则
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
y ′ = (2 x sin x ) ′
= 2( x )′ sin x + 2 x (sin x)′

2函数的求导法则

，或
yyuux
，其中
y=f(u)，u=(x)。
( y)
即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
y 0 (x 0), 又知 ( y) 0
f
( x)
lim
x 0
y x
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
y 0
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例7 y 1 tan x ,求y' 1 tan x
解： y' (1 tan x )'
1 tan x
(1 tan x)'(1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
， u x v x u x v x
因此得函数的和、差的求导法则：两个可导函数之和
（之差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）。
这个法则可以推广导任意有限项的情形。
积的求导法则
u x v x u x v x u x v x

高中数学教案选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》

教学目标：

1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；

2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；

3．能够综合运用各种法则求函数的导数．

教学重点：

函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．

教学过程：

一、问题情境

1．问题情境．

（1）常见函数的导数公式：（默写）

（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝；

2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．

2．探究活动．

例1 求2y x x ＝＋的导数．

思考已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？

二、建构数学

函数的和差积商的导数求导法则：

三、数学运用

例2 求下列函数的导数：

（1）2()sin f x x x ＝＋；（2）323()622

g x x x x ＝－－＋．例3 求下列函数的导数：

（1）()sin h x x x ＝；（2）()2ln f x x x ＝；

练习课本P22练习1～5题．

点评正确运用函数的四则运算的求导法则．

四、拓展探究

问题1 求下列函数的导数：

（1）11x y x －＝＋；（2）44sin cos 44

x x y ＝＋；（3）

y （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝．点评求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．

问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋

＋＋(4)x ＋，求(0)f '．问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4

应用高等数学-2.2 导数的运算(2)

2
y
切线斜率
k1 y' |(1,
2)
2 2
2,
法线斜率
k2
1 k1
2. 2
所以切线方程为
y 2 2(x 1), 即 y 2x 2 2.
法线方程为
y 2 2 (x 1), 即 y 2 x 2 .
2
22
例3 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解等式两边取对数得 ln y sin x ln x
§2-2
一、基本初等函数的导数公式二、导数的四则运算法则三、复合函数的求导法则四、隐函数的求导法则
1、函数和、差、积、商的求导法则：
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
x2 y2 y
y xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
33 (,)
22
1.
所求切线方程为 y 3 ( x 3)
2
2
即x+y–3=0
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y=x
练习6 求椭圆曲线 x2 y2 1上点(1, 2) 处的切线方 24
程和法线方程.
解 x 1 y y' 0， y' 2x ,

高中数学-第三章导数及其应用 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课件苏教版选修1-1

解析答案
课堂小结求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．
解析
y′＝c1o－s xx′＝－sin
x1－x－cos 1－x2
x·－1
cos x－sin x＋xsin x
＝
1－x2
.
12345
解析答案
12345
3.曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为__y_＝__2_x_＋__1___. 解析 ∵y′＝x′x＋2x＋－2x2x＋2′＝x＋222， ∴k＝y′|x＝－1＝－12＋22＝2， ∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)，故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

3.2.2函数的和、差、积、商的导数

猜想：猜想：
[ f ( x ) ± g ( x )]′ = f ′( x ) ± g ′( x ).
法则1: 两个函数的和或差）法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和导数，（或差），即：或差），即），
[ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x).
= 4 x ( 3 x − 2) + ( 2 x + 3) ⋅ 3
2
= 18x − 8x + 9 3 2 法二：法二： y ′ = (6 x − 4 x + 9 x − 6)′
2
= 18 x − 8 x + 9
2
t +1 例 3 ：求函数 s (t ) = (1) t 的导数.
2
( 2 ) 求函数 y = t a n x的导数
2
− x − 6x + 3 = 2 2 ( x + 3)
2
例1. (1)求函数 f ( x ) = x + sin x的导数 .
2
解：f ′( x) = ( x + sin x)′
2
= ( x )′ + (sin x)′ = 2 x + cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) = x − x − 6 x + 2的导数. 2

2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.2.2函数的和、差、积、商的导数(2)

姓名：
2
x2 １. 函数 y 的导数为 cos x
２已知 y ( x 1)( x 2)( x 3) ，则 y ' = ______________________ ３曲线 y
1 2 x 的垂直于直线 x y 1 0 的切线方程为 2
４．已知函数 f ( x ) 在 x 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能是 (1) f ( x) ( x 1)3 3( x 1) (3) f ( x) 2( x 1) (2) f ( x) 2( x 1) (4) f ( x) x 1
变式２：已知曲线 y x 2 1 上点 P 处的切线与曲线 y 2 x 2 1也相切，求点 P 的坐标
变式３已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2)，且在点 M 处(-1，f(-1)) 处的切线方程为 6x-y+7=0，求函数的解析式
四：学后反思
课堂检测——3.2.2 函数的和、差、积、商的导数（2）
课题：3.2.2 函数的和、差、积、商的导数（2）一：学习目标 1. 准确记住函数和、差、积、商的导数公式并能熟练应用 2.能够综合运用各种法则求函数的导数二：课前预习 1．函数的和差积商的导数求导法则：（默写）
姓名：备注
2．求下列函数的导数：（1） y x4 3x2 5x 6 （2） y ( x 2)( x 3)

导数的概念及运算知识点+例题全面分类

由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为_________.

答案 16

解析求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，

所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为

y －1＝3(x －1)，

结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，

三个交点的坐标分别是(23

，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16

，故选B. 6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.

答案 6

解析对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，

得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．

令x ＝2，得f ′(2)＝－12.

再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.

7.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．

答案 x －y －2＝0

解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，

又过点P (2,0)，

所以切线方程为x －y －2＝0.

8．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．

高三数学函数的和、差、积、商的导数(2)

高三数学函数的和、差、积、商的导数（2）

一、教学目标：

1．掌握两个函数的商的求导法则．

2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．

3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．

二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；

教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．

三、教学用具：投影仪

四、教学过程

1．复习引入

（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：

v u v u '±='±)(

（2）学生练习：求函数x x y sin 2

+=的导数．

（3）复习两个函数的积的求导法则：

.)(v u v u uv '+'='

（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数．（5）问题：如何求函数x

x y sin 2

=的导数？ 2．新授

1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．

)0( 2≠'-'='⎪⎭

⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x

x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00 证明：设.0)(,)

()()(≠==x v x v x u x f y 则 )

()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆ [][])

()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)

(学习指导) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)Word版含解析

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运

算法则(二) 学习目标

核心素养 1．理解函数的和、差、积、商的求

导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)

借助导数公式及运算法则求函数的

导数，培养数学运算素养. (1)设两个函数f (x )，g (x )可导，则和的导数

[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 差的导数

[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 积的导数

[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 商的导数

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) [cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)

思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y ＝1x 的导数．

[提示]y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ′＝(1)′×x －1×(x )′x 2＝－1x 2. 1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )

A ．x

B ．1x

C ．ln x ＋1

D ．ln x ＋x C [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.]

2．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( )

A ．y ′＝4x 3

B ．y ′＝cos x

C ．y ′＝4x 3＋sin x

D ．y ′＝4x 3＋cos x

D [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．]