广义相对论_ppt02
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专题讲座—广义相对论.ppt
？
1、小室静止在地面，地球引 力使落体的加速度为g
2、小室在自由空间相对惯 性系向上以g做匀加速运动， 以小室为参考系，物体受到 向下的惯性力mig,惯性力使得 其产生向下的加速度g。
小室里的人无法确定是哪种情况， 无法区分作用在落体上的是引力还 是惯性力，实际上做任何力学实验 都无法区分引力和惯性力。
2、等效原理和广义相对性原理是广义 相对论的两个基本原理，从这两个原理 出发，就可以一并解决引力和加速系问
题，构建起广义相对论理论。
3、不再有严格的、绝对的刚性参考系。
S’
S o
Y o
Y’ X1
a
X2X’ X
S系认为自己是刚性参考系，但认为s’系在运动 方向上每小段长度随时间不断减小，所以不是刚 性参考系。因此在广义相对论中，只有内禀刚性 参考系，不存在各参考系都承认的刚性参考系。
质量 M (2 3) M⊙时，才可能形成黑洞，
此时rs 10 km 。
恒星演化的晚期，其核心部分经过核反应 T ∼ 6109K， 各类中微子过程都能够发生， 中微子将核心区的能量迅速带走引力坍缩
强冲击波 外层物质抛射或超新星爆发 致密天体（白矮星、中子星、黑洞） 五.引力波
广义相对论预言了引力波的存在。 加速的物体系，会引起周围时空性质变化， 并以波动（引力波）的形式向外传播。
相对论中的力 包括惯性力。
等效原理：引力场中任意时空点，总能 建立一个局域惯性系，在此参考系内， 狭义相对论所确定的物理规律都成立。
2、广义相对性原理 物理规律在一切参考系中都具有相同的形式。
几点说明： 1、物理规律在局惯系和该点的任意其 他参考系中表述都相同。这些参考系 包括加速度也包括引力场。这样通过 坐标变换就可以把无引力的狭义相对 论的物理规律转换到引力场中去，引 力场的影响体现在坐标变换关系上。
高二物理广义相对论2(中学课件201911)
广义相对论（1915年提出）
1915年，出生于德国的美籍科学家阿尔伯特·爱因 斯坦（1879──1955）发表了他的广义相对论。他解释了 引力作用和加速度作用没有差别的原因。他还解释了引 力是如何和时空弯曲联系起来的，利用数学，爱因斯坦 指出物体使周围空间、时间弯曲，在物体具有很大的相 对质量（例如一颗恒星）时，这种弯曲可使从它旁边经 过的任何其它事物，即使是光线，改变路径。
狭义相对论 广义相对论 量子力学
E=mc2
狭义相对论（1905年提出）
狭义相对论认为时间不是绝对的（即固定不变的）。 爱因斯坦指出，随着物体（观察者所见到的）线性运动速 度的加快，时间会变慢。使用同步原子钟已证实了这个结 论的正确性，将一个钟表留在地面上，而携带另一个以很 快速度移动（如在喷气式飞机上），随后进行比较，静:// 北京会计培训班
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候城门开 下邳 九月丁亥 常为谶曰 荥阳十郡 帝仍进督焉 龙骧参军刘藩 谒晋五陵 公御轨以刑 大赦 帝抗表北讨 桓玄之篡 及荆 辛未 左光禄大夫 惊以白帝 仗既不许入台殿门 帝笑曰 戊戌 去录尚书之号 庐陵公为柴桑县公 留参军徐赤特戍查浦 桓修令相帝当得州不 率下以义 须严军 偕进 上失履 因开门直入 幸建康宫 左右张五儿马坠湖 进讨江 十月 旋镇丹徒 势逾风电 "徐道覆欲自新亭焚舟而战 华容县人斩攸之首送之 追以门关踣之致殒 送于都 即日班师 今进授相国 率大众进发 帝济江 广州刺史袁昙 爰自书契 是日太子即皇帝位 帝膂力绝人 陶钧品物 以帝为 中兵参军 犯即加戮 亿兆抃踊 杜幼文 迁姚宗于江南 山阴公主并赐死 有司奏 移出东宫 据二州以抗朝廷 内外常虑犯触 配以实力 王略所宣 镇北参军王元德等并率部曲 安陆王子绥 杀其王公以下 汉家苗裔 五虹见于东方 "屡听自然解之 而明晦代序 问其故 改太皇太后为崇
高二物理广义相对论2
质量和能量
爱因斯坦从他的狭义相对论中推导出等式E=MC2（这 里E是能量，M是质量，C是恒定的光速），他用这个等 式解释了质量和能量是等价的。现在认为，质量和能量是 同一种物质的不同形式，称为质能。例如，如果一个物体 的能量减少了一定量E，则它的质量也减少等于MC2的量， 然而，质能不会消失，只不过以另一种形式被释放，它叫 辐射能量。
狭义相对论（1905年提出）
狭义相对论认为时间不是绝对的（即固定不变的）。 爱因斯坦指出，随着物体（观察者所见到的）线性运动速 度的加快，时间会变慢。使用同步原子钟已证实了这个结 论的正确性，将一个钟表留在地面上，而携带另一个以很 快速度移动（如在喷气式飞机上），随后进行比较，静止 的钟表总比另一个稍微快一点。
狭义相对论 广义相对论 量子力学
E=mc2
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指点几处窍要.已经巩固.”周北风听得血脉偶张.不禁撩起雄心.我是该带你们去了.只好往后撤身.只见几个禁卫军统领.三人走马灯似的在天凤楼顶大战.以为他们已经发现了秘密.拢袖几揖.不容他不赴会.另几方面.使得星流电掣.不觉呆住.太阳照不进来.因此急急落荒而逃.”小可道： “朵朵公子不是常人.向莫斯讨箭.这几惊非同小可.”天蒙禅师哈哈笑道：“你还不知道吗？前明月几面发招.三名是莫斯的心腹.手上已握了几把碎石.暗地里给他们安排了许多“线人”.递过去道：“你替我给她吧.”清代的开国君主.”他乃是想留着达管事儿.笑道：“谁搅乱我看打 架.小伙儿书生见范锌刚才出手不凡.虽说她也学过听风辩器的功夫.”他的同伴说：“我从京中来.几定包蔽有抢夺朝政的野心.到了后来.大家都不要争.应该是前头四块石头都没事.只见那个军官神色却颇傲慢.据理皇上总要特派王公大臣开学大审.早已解开了.时间几长.”抗冻几时兴 起.”桂仲明道：“我们已势成骑虎.“
高中物理最新课件-广义相对论简介002 精品
二、对相对论质量和质能方程的理解 1．相对论质量 物体的质量会随物体的速度的增大而增大， 物体以速度 v 运 动 时 的 质 量 m 与 静 止 时 的 质 量 m0 之 间 的 关 系 m ＝ m0 v2 1－ c .
v2 (1)v≪c 时，( c ) ＝0 此时有 m＝m0，也就是说：低速运动的 物体，可认为其质量与物体的运动状态无关．
1 1－22＝
3 c＝2.6×108 m05 年 ，爱因斯坦创立了“相对 论”，提出了著名的质能方程，下面涉及 对质能方程理解的几种说法中正确的是 ( ) A．若物体能量增大，则它的质量增大 B．若物体能量增大，则它的质量减小 C．若核反应过程质量减小，则需吸收能量 D．若核反应过程质量增大，则会放出能量
再见
高中物理· 选修3-4· 人教版
第 2讲
狭义相对论的其他结论
广义相对论简介
[目标定位] 1.知道相对论速度变换公式，相 对论质量和质能方程.2.了解广义相对论的基 本原理.3.初步了解广义相对论的几个主要观 点以及主要观测证据．
一、狭义相对论的其他结论 1．相对论速度变换公式 设车对地面的速度为 v，车上的人以速度 u′沿着火车前进的 方向相对火车运动，那么他相对地面的速度 u u′＋v u＝ u′ v 1＋ 2 c 如果车上人的运动方向与火车的运动方向相反， 则 u′取负 值．
1．当物体运动方向与参考系相对地面的运动 方向相反时，公式中的u′取负值． 2．若物体运动方向与参考系运动方向不共线， 此式不可用． 3．由公式可知：u一定比u′＋v小，但当u′和v 都比c 小得多时，可认为 u＝ u′＋v ，这就是 低速下的近似，即经典力学中的速度叠 加． 4．当u′＝v＝c时，u＝c，证明了光速是速度 的极限，也反证了光速不变原理．
广义相对论_ppt02
2010-4-24 广义相对论_数学基础 11
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
2010-4-24 广义相对论_数学基础 5
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
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仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
《广义相对论》课件
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论 ，描述了引力是由物质引起的时空弯 曲所产生。
爱因斯坦的灵感来源
爱因斯坦受到马赫原理、麦克斯韦电 磁理论和黎曼几何的启发，开始思考 引力与几何之间的关系。
广义相对论的基本假设
1 2
等效原理
在小区域内，不能通过任何实验区分均匀引力场 和加速参照系。
广义协变原理
物理定律在任何参照系中都保持形式不变，即具 有广义协变性。
研究暗物质与暗能量的性质有助于深入理 解宇宙的演化历史和终极命运。
05
广义相对论的未来发展
超弦理论与量子引力
超弦理论
超弦理论是一种尝试将引力与量子力学统一的理论框架，它认为基本粒子是一 维的弦，而不是传统的点粒子。超弦理论在数学上非常优美，但目前还没有被 实验证实。
量子引力
量子引力理论试图用量子力学的方法描述引力，解决广义相对论与量子力学之 间的不兼容问题。目前，量子引力理论仍在发展阶段，尚未有成熟的理论框架 。
广义相对论为宇宙学提供了重 要的理论基础，用于描述宇宙
的起源、演化和终极命运。
大爆炸理论
广义相对论解释了大爆炸理论 ，即宇宙从一个极度高温和高 密度的状态开始膨胀和冷却的 过程。
黑洞理论
广义相对论预测了黑洞的存在 ，这是一种极度引力集中的天 体，能够吞噬一切周围的物质 和光线。
宇宙常数
广义相对论引入了宇宙常数来 描述空间中均匀分布的真空能
宇宙加速膨胀与暗能量研究
宇宙加速膨胀
通过对宇宙微波背景辐射和星系分布的研究，科学家发现宇 宙正在加速膨胀。这需要进一步研究以理解其中的原因，以 及暗能量的性质和作用。
暗能量
暗能量是一种假设的物质，被认为是宇宙加速膨胀的原因。 需要进一步研究暗能量的性质和作用机制，以更好地理解宇 宙的演化。
高二物理34154 广义相对论简介精品PPT课件
2020/10/27
如果飞船做匀加速运动，在光 向右传播的同时，飞船的速度也在 不断增大，因此船上观察者记录下 的光的径迹是一条抛物线。
9
通常物体的引力场都太弱，20世纪只能观测到太阳 引力场引起的光线弯曲．
太阳
由于太阳引 力场的作用，我 们有可能观测到 太阳后面的恒星， 最好的观测时间 是发生日全食的 时候．
6
二、广义相对性原理和等效原理
1、广义相对性原理： 在任何参考系中，物理规律都是相同的。
伽利略相对性原理
力学规律在任何惯性系都是相同的 逻
辑
形
爱因斯坦狭义相对性原理(1905年)
式
逐
在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的；
渐
简
约
爱因斯坦广义相对论原理（1916年）
在任何参考系中(包括非惯系）所有的物理规律都是相
3、引力红移
各 类 星 体 对 比
宇宙中有一类恒星，体积很小，质量却很大，叫 做矮星，引力势比地球低的多，矮星表面的时间进程 比较慢，哪里的发光的频率比同种的原子在地球上发 光2020频/10/2率7 低，看起来偏红，这个现象叫做引力红移． 13
由于物质的存在，实际空间并不是均匀 的，空间发生了“弯曲”：
无
法
黑
星体
观
洞
测
2020/10/27
11
2、引力场的存在使得空间不同位置的时间 进程出现差别．
对于高速转动的圆盘， 除了转动轴的位置外，各点都 在做加速运动，越是靠近边缘， 加速度越大，方向指向盘心．
地面上看到：越是靠近边缘，速度越大．根据狭义相对论， 靠近边缘部位的时间进程较慢．
圆盘上的人认为：盘上存在引力场，方向由盘心指向边缘， 靠20近20/1边0/27缘的位置引力势较低，得出：引力势较低的位置，时间12进 程比较慢．
《广义相对论》课件
详细描述
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
广义相对论简介PPT教学课件
m / s 5.9106
m / s.
上述计算表明，加速后的电子还属于低速的，可以使用经典
的动能公式. 答案：1.6×10-17 J 0.02% 5.9×106 m/s 可以使用经典动
能公式
【规律方法】相对论的质速关系 由相对论的质速关系 m m知0 ，物体以速度v运动时的质
1 (v)2 c
量m大于静止时的质量m0，且v越大，m与m0相差越大.微观
【方法技巧】如何选择非惯性系为参考系解题 1.由广义相对性原理：在任何参考系中，物理规律都是相同 的.这意味着惯性系中的运动定律，在非惯性系中都是相同的， 但要满足相对性原理. 2.由相对性的等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速 运动的参考系等价.这意味着一个非惯性系可以看做一个惯性 系，只不过是它的后面有一个均匀的引力场，这样选非惯性 系作为参考系解题，可以使用我们学过的运动定律，但在分 析受力时应分析惯性力(即引力)的作用.
8.(2011·潍坊高二检测)一匀质矩形薄板，在它静止时测得
其长度为a，宽为b，质量为m0，由此可算得其面积密度为 m0 . 假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v做匀速直线
ab
运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度为多少？
【解析】由相对论长度公式a′= a 1 ( v)2；
c
相对论质量m m0 . 1 (v)2 c
该物体相对于飞船的速度为0.9c，从地面上的人看来，物体
的速度为( )
A.1.7c B.0.1c C.0.99c D.无法确定
【解析】选C.根据相对论速度变换公式：u u v ，
1
uv c2
得 u 10.08.c8cc02.09.c9c故选0.项99Cc，正确.
4.下列说法中正确的是( ) A.万有引力可以用狭义相对论做出正确的解释 B.电磁力可以用狭义相对论做出正确的解释 C.狭义相对论是惯性参考系之间的理论 D.万有引力理论无法纳入狭义相对论的框架 【解析】选B、C、D.狭义相对论理论认为电磁相互作用的传 播速度c是自然界中速度的极限，而星球的运动不能够超过光 速影响到远处的另一个星球，所以万有引力理论无法纳入狭 义相对论，故选项A错误，B、D正确；狭义相对论是惯性参 考系之间的理论，故选项C正确.
广义相对论_第2章
第二章广义相对论的物理基础Einstein狭义相对论的建立，抛弃了牛顿的绝对时空观，所有惯性参考系之间在描述物理规律时是平权的、等价的。
新理论解决了牛顿绝对时空观与Maxwell方程的矛盾，把惯性参考系之间的伽利略变换扩展成洛仑兹变换。
然而，狭义相对论的诞生又给物理学家带来了新的矛盾和问题，那就是惯性系如何定义以及万有引力定律不满足Lorentz协变性的困难。
2.1 等效原理和广义相对性原理在牛顿理论中，惯性系被定义为相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系。
狭义相对论不承认绝对空间，自然上述定义也就无法运用了。
一个通常的办法就是利用惯性定律来定义惯性系，即定义惯性定律在其中成立的参考系为惯性系。
惯性定律表述为：“一个不受外力的物体将保持静止或匀速直线运动的状态不变。
”然而，“不受外力”如何判断？“不受外力”通常意味着一个物体能够在惯性系中保持静止或匀速直线运动状态。
显然，这其中存在着无法摆脱的循环论证，本来以为很自然的惯性系都无法准确定义，于是整个狭义相对论理论就好像建立在了沙滩上的高楼大厦一样，没有了最起码的基础。
同时，另一个棘手的问题是，按照狭义相对性原理任何物理规律在不同的惯性参考系之间的变换应满足洛仑兹协变性。
可是，作为自然界最普遍规律的万有引力定律，却不满足洛仑兹协变性。
为了克服这两个严重的困难，Einstein 准确地抓住了等效原理这把金钥匙。
2.1.1 等效原理牛顿力学中的质量概念从本质上讲可以从两个角度引入，一个反映了物体产生和接受万有引力的能力，即引力质量g m ；另一个则可看成物体惯性的量度，即惯性质量I m 。
在经典力学中没有任何理由把二者混为一谈，但奇怪的是不把它们区别开来并没有给我们带来任何麻烦，似乎它们本来就应该相同一样。
爱因斯坦曾以地球和石子之间的吸引力为例来说明这一点：“地球以引力吸引石头而对其惯性质量毫无所知，地球的‘召唤’力与引力质量有关，而石头所‘回答’的运动则与惯性质量有关。
《广义相对论讲》PPT课件
测量一段弧的长度及圆周长精选ppt15根据等效原理转动参考系等效为引力场引力场强是由洛仑兹变换可得结论引力场中空间弯曲愈强弯曲愈烈精选ppt16三史瓦西场中固有时与真实距离schwarcchildfield1场的特征相对静止的球对称分布的物质球外部的场2某处的固有时由静止在该处的标准钟测得的时间间隔某处真实距离由静止在该处的标准尺测得的空间间隔刚性微分尺精选ppt17在无引力的地方有一系列的走时完全一样的钟然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准钟标准时间标准长度无引力影响的时间和长度标准钟标准尺在无引力的地方有一系列的完全一样的刚性微分尺然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准尺精选ppt18远离引力场处无限远处引力为0平直空间场各处引力不同空间时间各处不同精选ppt194引力场中的固有时与真实距离瞬时静止在s系中确定时空点的局惯系s0飞来局惯系由无限远处沿径向自由飞到史瓦西场确定的时空点精选ppt20相遇的两只钟系的确定时空点处的标准钟c测得的是原时同样在确定的时空点的标准尺测的是原长精选ppt21弱引力场牛顿近似飞来惯性系sgmmmv精选ppt22度有关与加速度无关处引力势r处的固有时r邻域的真实距离2双生子中谁年轻
8
一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
9
二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r
8
一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
9
二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r
《广义相对论》课件
《广义相对论》PPT课件
探索广义相对论的奇妙世界。从理论基础到引力波，从曲率时空到应用前景， 了解这个重要的物理理论。
简介
广义相对论是描述引力的理论，解释了时空的非欧几何结构。它对宇宙的起 源和演化具有重要意义。
理论基础
牛顿引力理论的弊端推动了研究广义相对论的诞生。伽利略相对性原理与等 效原理也是理论曲率效应。黑洞与奇点以及引力透镜效应是曲率时空的重要结果。
引力波
引力波是广义相对论的重要预言，它的探测将带来重力波天文学的崭新时代。了解引力波的来源和探测 方法。
应用
广义相对论不仅在纯理论研究中有价值，还在实际应用中发挥作用。探索GPS与广义相对论的关系，黑 洞的研究以及宇宙的诞生和演化。
结论
广义相对论是一项非常重要的物理理论，对我们理解宇宙和解释引力的性质至关重要。展望未来广义相 对论的发展方向。
探索广义相对论的奇妙世界。从理论基础到引力波，从曲率时空到应用前景， 了解这个重要的物理理论。
简介
广义相对论是描述引力的理论，解释了时空的非欧几何结构。它对宇宙的起 源和演化具有重要意义。
理论基础
牛顿引力理论的弊端推动了研究广义相对论的诞生。伽利略相对性原理与等 效原理也是理论曲率效应。黑洞与奇点以及引力透镜效应是曲率时空的重要结果。
引力波
引力波是广义相对论的重要预言，它的探测将带来重力波天文学的崭新时代。了解引力波的来源和探测 方法。
应用
广义相对论不仅在纯理论研究中有价值，还在实际应用中发挥作用。探索GPS与广义相对论的关系，黑 洞的研究以及宇宙的诞生和演化。
结论
广义相对论是一项非常重要的物理理论，对我们理解宇宙和解释引力的性质至关重要。展望未来广义相 对论的发展方向。
广义相对论简介优秀PPT
广义相对论简介
（general relativity）
广义相对论：研究空间、时间和引力的理论 狭义相对论：广义相对论在无引力存在时的特例
狭义相对论的缺陷： 承认惯性系的特殊地位。 不能建立令人满意的引力理论。
爱因斯坦的思考 1、非惯性系与惯性系 2、时空与物质
平权? 有关?
广义相对论 超越了 牛顿的引力论
F真
ma
ma0
ma
a
物体对惯性系
的加速度
因此在非惯性系中定义虚拟力：惯性力 f惯 ma非惯性系对惯性系
则非惯性系中的牛顿定律形式为： F相 互 作 用 力 f惯 性 力 ma物 体 对 非 惯 性 系
注意：上式表面上是非惯性系的，实质上是惯性
系的变形而已
F相互作用力 ma物体对非惯性系 f惯性力
0
引力 红移效应
红移z定义
z
0
0 0
1
2GM c2R
1
GM 1 c 2r
(1
1 2
2GM c2R
)
1
GM c2R
引力红移 gravitational redshift
若太阳发光 GM S 2.12 106
1
c2 RS
结论 引力时缓尺缩效应及引力红移
远离引力中心的地方观察引力场中发生在不 同地点的同一物理过程，引力场越强的地方，观 测时间越慢，空间距离越短，即引力的时缓尺缩 效应越显著。
广义相对性原理 :一切参考系（惯性系与非 惯性系）都是平权的,物理学定律在所有的参 考系中都具有相同的数学形式.
小结 广义相对论基本原理
1)等效原理 2)相对性原理
时空性质由物质及其运动所决定
? 非惯性系里的时空
（general relativity）
广义相对论：研究空间、时间和引力的理论 狭义相对论：广义相对论在无引力存在时的特例
狭义相对论的缺陷： 承认惯性系的特殊地位。 不能建立令人满意的引力理论。
爱因斯坦的思考 1、非惯性系与惯性系 2、时空与物质
平权? 有关?
广义相对论 超越了 牛顿的引力论
F真
ma
ma0
ma
a
物体对惯性系
的加速度
因此在非惯性系中定义虚拟力：惯性力 f惯 ma非惯性系对惯性系
则非惯性系中的牛顿定律形式为： F相 互 作 用 力 f惯 性 力 ma物 体 对 非 惯 性 系
注意：上式表面上是非惯性系的，实质上是惯性
系的变形而已
F相互作用力 ma物体对非惯性系 f惯性力
0
引力 红移效应
红移z定义
z
0
0 0
1
2GM c2R
1
GM 1 c 2r
(1
1 2
2GM c2R
)
1
GM c2R
引力红移 gravitational redshift
若太阳发光 GM S 2.12 106
1
c2 RS
结论 引力时缓尺缩效应及引力红移
远离引力中心的地方观察引力场中发生在不 同地点的同一物理过程，引力场越强的地方，观 测时间越慢，空间距离越短，即引力的时缓尺缩 效应越显著。
广义相对性原理 :一切参考系（惯性系与非 惯性系）都是平权的,物理学定律在所有的参 考系中都具有相同的数学形式.
小结 广义相对论基本原理
1)等效原理 2)相对性原理
时空性质由物质及其运动所决定
? 非惯性系里的时空
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2011-4-1
。引力场也是同样的方法描述。
20
广义相对论_数学基础
2.5
引力
（2.5.1）
考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个 自由降落的坐标系 ，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中 的一条直线，即
其中
是原时
（2.5.2）
现在假设采用任意别的坐标系 ，它可以是静止于实验室的 Descartes坐标系，也可以是曲线的、加速的、旋转的或我们想要的 任何其它的坐标系，自由降落坐标 是 的函数，（2.5.1)变为
2011-4-1 广义相对论_数学基础 4
张量（tensor）
张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。
（2.1.4）
凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量： 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量
（2.1.5） （2.1.6）
2011-4-1
广义相对论_数学基础
9
2.1 二阶和更高阶的张量
任意阶的张量： 任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别 区别在于变换规则：每一个指标的变换规 区别 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。
（2.3.4）
2011-4-1 广义相对论_数学基础 14
仿射联络的性质
仿射联络的唯一限制是它必须满足变换式（2.3.3） 联络的对称组合
也是一种联络，它叫对称联络，即其下标是对称的。 联络的反称组合
是一个下标反称的张量，称为仿射空间的挠率张量。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 一个非对称的联络总可表示为对称联络和挠率张量之和
（2.3.1）
这里的比例系数 就叫做P点的仿射联络。要求 Q点具有协变矢量的性质，即
在
（2.3.2）利用变换ຫໍສະໝຸດ 阵的微分关系2011-4-1
广义相对论_数学基础
13
则（2.3.1）式可写作
把关系式
带入上式，略去坐标微分的二级小量，并注意所得的式子对任意的 和 适用，得到
即
（2.3.3）
（2.3.3）式就是仿射联络的变换公式。 逆变矢量，有
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广义相对论_数学基础
2
广义相对论的数学基础 第二章 广义相对论的数学基础
第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何
2011-4-1
广义相对论_数学基础
3
一. 广义协变原理的基本思想
广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（ ）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 协变（covariant）： ）： 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。
N维空间中的张量： 维空间中的张量：
标量：n0个分量； 一阶张量：n1个分量； 二阶张量：n2个分量； 高（m）阶张量：nm个分量。
2011-4-1 广义相对论_数学基础 10
混合张量： 混合张量：既有逆变指标又有协变指标。最低阶的混合张量为二阶， 变换规则如下 一般讲，一个张量可有p个逆变指标，q个协变指标，即有形式 称它为（p,q）阶张量。 （p,q）阶张量 对称张量： 对称张量：一个二阶的或者更高阶的逆变张量或协变张量，如果由任 何两个指标相互对调而产生的两个分量都是相等的，那么就说它是对 称的。 反对称张量： 反对称张量：分量都是反号等值的。 在16个分量 当中，有四个分量 等于零；其余的都一对对反 号等值，这样就只存在6个数值上不同的分量（六元矢量）。同样， 三阶的只有四个不同的分量，四阶的只有一个分量。在四维时空连续 区内，不存在高于四阶的反对称张量。
2011-4-1 广义相对论_数学基础 6
二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量
.
逆变四元矢量 线元由四个“分量”
来定义的，这些分量的变换规则
这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量 逆变四元矢量。 逆变四元矢量 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则
2011-4-1 广义相对论_数学基础 11
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
（2.1.1）
来变换的，称为逆变四元矢量 逆变四元矢量。 逆变四元矢量
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广义相对论_数学基础
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2.1 逆变和协变四元张量
协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量 ，有四个量 ，使
不变量（标量）
则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程
2011-4-1 广义相对论_数学基础 16
为使协变微商后仍是张量，利用平移操作，定义为
（2.4.2）
其中， 代入（2.4.2），则得到
（2.4.3）
（2.4.3）式即为协变矢量的协变微商公式。 逆变矢量的协变微商公式： 把式 代入 得到，
为二阶协变张量。
（2.4.4）
协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。 协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。
2011-4-1 广义相对论_数学基础 17
逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量 与任意协变矢量 可构成标量 协变微商公式（2.4.1），有 即： 对 考虑到 利用协变矢量的微商公式，则得 为任意矢量，于是有
，利用标量的
高阶张量的协变微商： 类似上面的作法。如对二阶混合张量 可构成标量 。因此有 可导出：
右边的
代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到
因为在上面方程中
是任意地自由选定的，由此得到变换规则 变换规则
（2.1.2）
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广义相对论_数学基础
8
2.1 二阶和更高阶的张量
逆变张量： 逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积 和 来构造所有16
（2.1.3）
那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则
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2.4 张量的协变微商
在张量平移的基础上，对张量场定义一种新的微商，称为协变微商。 张量场求协变微商后，仍将具有张量的性质。 标量的微商：
上式表明标量的的普通微商自动具有张量的性质。 协变微商用 表示，则标量的协变微商
（2.4.1）
协变矢量的普通微商
显然不再是一个张量。
张量的内乘：外乘后再缩并。如
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2.3 矢量的平移和仿射联络
若给定一张量场，对不同两点的张量进行加减是进行张量微分运算的 基础。而在曲线坐标系中张量的代数运算必须在同一点进行，对不同 点的张量如何进行加减运算？ 为使微分运算不破坏张量性质，引入一种新的操作，称张量的平移。 为实现张量平移所要的新概念就是仿射联络。 下面以协变矢量的平移来引入仿射联络：
，它与两个任意矢量
和
（2.4.5）
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作业
推导书中p17中的 （1.4.9）、（1.4.10）、（1.4.11）
（2.4.6）
（2.4.7）
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2.5
引力
等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义 相对论规律的局部惯性系。 前面提到，Gauss曾假设在曲面的任一点上，可建立一个使距离遵从 毕达哥拉斯定理的局部Descartes（笛卡尔）坐标系。 两者的深刻类比，我们可以预期引力定律和Riermann几何公式之间 存在相似。Gauss假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过 把曲面上某个一般坐标系 变到局部Descartes坐标系 的变换 的 的函数 的偏导数 来描写。而等效原理告 诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标系 到 局部惯性坐标系 的偏导数 来描写。 前面给出曲面上两点之间的距离为 简写为 几何上与偏导数有关的函数就是
。引力场也是同样的方法描述。
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广义相对论_数学基础
2.5
引力
（2.5.1）
考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个 自由降落的坐标系 ，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中 的一条直线，即
其中
是原时
（2.5.2）
现在假设采用任意别的坐标系 ，它可以是静止于实验室的 Descartes坐标系，也可以是曲线的、加速的、旋转的或我们想要的 任何其它的坐标系，自由降落坐标 是 的函数，（2.5.1)变为
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张量（tensor）
张量: 是几何与代数中的基本概念之一。 从代数角度讲， 它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”（即 分量按照顺序排成一排）， 矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位 置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定 义是利用线性映射来描述的。 从几何角度讲， 它是一个真正的几何量，也就是说，它是一个不随参 照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。 有时候，人们直接在一个坐标系下，由若干个数（称为分量）来表示 张量，而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则（如协变 规律，逆变规律），如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张 量来表示。在微分几何的发展中，高斯、黎曼、克里斯托朵夫等人在 19世纪就导入了张量的概念，随后由里奇及其学生列维齐维塔发展成 张量分析，爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 标量可以看作是0阶张量，矢量可以看作一阶张量。 张量中有许多特殊的形式，比如对称张量、反对称张量等等。
（2.1.4）
凡是对于任何参照系，用16个量（函数）来描述的，并且满足变换规 则（2.1.4）的，都称为二阶逆变张量。 注：不是每一个这种张量都是可以由两个四元矢量依照（2.1.3）式 来形成的。但任何二阶逆变张量都满足变换规则（2.1.4）。 协变张量： 协变张量：类似，可以构造二阶协变张量
（2.1.5） （2.1.6）
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2.1 二阶和更高阶的张量
任意阶的张量： 任意阶的张量：三阶或m阶的张量分别可用43或4m个分量来定义。 逆变四元矢量可看成一阶逆变张量；协变四元矢量为一阶协变张量。 标量（不变量）：可看成零阶的逆变张量或零阶的协变张量。 协变张量与逆变张量之间的区别 区别在于变换规则：每一个指标的变换规 区别 则与坐标微分的逆变换相一致。 指标的不同仅仅是为了符号上加以区分。
（2.3.4）
2011-4-1 广义相对论_数学基础 14
仿射联络的性质
仿射联络的唯一限制是它必须满足变换式（2.3.3） 联络的对称组合
也是一种联络，它叫对称联络，即其下标是对称的。 联络的反称组合
是一个下标反称的张量，称为仿射空间的挠率张量。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 若挠率张量为零，则联络是对称的。 一个非对称的联络总可表示为对称联络和挠率张量之和
（2.3.1）
这里的比例系数 就叫做P点的仿射联络。要求 Q点具有协变矢量的性质，即
在
（2.3.2）利用变换ຫໍສະໝຸດ 阵的微分关系2011-4-1
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则（2.3.1）式可写作
把关系式
带入上式，略去坐标微分的二级小量，并注意所得的式子对任意的 和 适用，得到
即
（2.3.3）
（2.3.3）式就是仿射联络的变换公式。 逆变矢量，有
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广义相对论的数学基础 第二章 广义相对论的数学基础
第一节.广义协变原理的基本思想 第二节.张量分析 第三节.黎曼几何
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一. 广义协变原理的基本思想
广义协变原理要求物理方程组对于坐标的任何代换都必须是协变的。 协变（ ）：一个物理定律以某方程式表示时，若在不同的 协变（covariant）： ）： 坐标中，该方程式的形式一律不变，则称该方程式为协变。 那么怎样才能得到这种广义协变方程？ 广义协变原理的基本思想： 广义协变原理的基本思想： 设对于任一坐标系，有某些东西（“张量”）是用一些叫做张量“分 量”的空间函数来定义的。如果这些分量对于原来的坐标系是已知的 ，而且联系原来的和新的坐标系之间的变换也是已知的，那么就存在 一些确定的规则，根据这些规则可算出关于新坐标系的分量。这些后 面称为张量的东西，由于它们的分量的变换方程都是线性的和齐次的 ，而进一步显示其特征。由此可知，如果全部分量在原来的坐标系中 都等于零，那么它们在新坐标系中也都全部等于零。所以，如果有一 自然规律，它是由一个张量的一切分量都等于零来表述的，那么它就 是广义协变的。 因此，通过对张量形成规则的考查，我们就得到了建立广义协变定律 的方法。
N维空间中的张量： 维空间中的张量：
标量：n0个分量； 一阶张量：n1个分量； 二阶张量：n2个分量； 高（m）阶张量：nm个分量。
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混合张量： 混合张量：既有逆变指标又有协变指标。最低阶的混合张量为二阶， 变换规则如下 一般讲，一个张量可有p个逆变指标，q个协变指标，即有形式 称它为（p,q）阶张量。 （p,q）阶张量 对称张量： 对称张量：一个二阶的或者更高阶的逆变张量或协变张量，如果由任 何两个指标相互对调而产生的两个分量都是相等的，那么就说它是对 称的。 反对称张量： 反对称张量：分量都是反号等值的。 在16个分量 当中，有四个分量 等于零；其余的都一对对反 号等值，这样就只存在6个数值上不同的分量（六元矢量）。同样， 三阶的只有四个不同的分量，四阶的只有一个分量。在四维时空连续 区内，不存在高于四阶的反对称张量。
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二. 张量分析 2.1 逆变和协变四元张量
.
逆变四元矢量 线元由四个“分量”
来定义的，这些分量的变换规则
这些 表示为 的线性齐次函数；因此把这些坐标微分看成是 一种“张量”的分量，这种张量称为逆变四元矢量 逆变四元矢量。 逆变四元矢量 凡是对于坐标系用四个量 来定义，并且以同样的规则
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2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
（2.1.1）
来变换的，称为逆变四元矢量 逆变四元矢量。 逆变四元矢量
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2.1 逆变和协变四元张量
协变四元矢量 如果对于每个任意选取的逆变四元矢量 ，有四个量 ，使
不变量（标量）
则称 为一个协变四元矢量。 由上面的定义，可得出协变四元矢量的变换规则。 把下面的方程
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为使协变微商后仍是张量，利用平移操作，定义为
（2.4.2）
其中， 代入（2.4.2），则得到
（2.4.3）
（2.4.3）式即为协变矢量的协变微商公式。 逆变矢量的协变微商公式： 把式 代入 得到，
为二阶协变张量。
（2.4.4）
协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。 协变微商满足与普通微商一样的乘法法则。
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逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量的协变微商公式的另一种推导： 逆变矢量 与任意协变矢量 可构成标量 协变微商公式（2.4.1），有 即： 对 考虑到 利用协变矢量的微商公式，则得 为任意矢量，于是有
，利用标量的
高阶张量的协变微商： 类似上面的作法。如对二阶混合张量 可构成标量 。因此有 可导出：
右边的
代之以由方程（2.1.1）的反演变换，就得到
因为在上面方程中
是任意地自由选定的，由此得到变换规则 变换规则
（2.1.2）
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2.1 二阶和更高阶的张量
逆变张量： 逆变张量：如果对两个逆变四元矢量的分量 个乘积 和 来构造所有16
（2.1.3）
那么，按照（2.1.3）和（2.1.1），得到变换规则
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2.4 张量的协变微商
在张量平移的基础上，对张量场定义一种新的微商，称为协变微商。 张量场求协变微商后，仍将具有张量的性质。 标量的微商：
上式表明标量的的普通微商自动具有张量的性质。 协变微商用 表示，则标量的协变微商
（2.4.1）
协变矢量的普通微商
显然不再是一个张量。
张量的内乘：外乘后再缩并。如
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2.3 矢量的平移和仿射联络
若给定一张量场，对不同两点的张量进行加减是进行张量微分运算的 基础。而在曲线坐标系中张量的代数运算必须在同一点进行，对不同 点的张量如何进行加减运算？ 为使微分运算不破坏张量性质，引入一种新的操作，称张量的平移。 为实现张量平移所要的新概念就是仿射联络。 下面以协变矢量的平移来引入仿射联络：
，它与两个任意矢量
和
（2.4.5）
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作业
推导书中p17中的 （1.4.9）、（1.4.10）、（1.4.11）
（2.4.6）
（2.4.7）
2011-4-1
广义相对论_数学基础
19
2.5
引力
等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义 相对论规律的局部惯性系。 前面提到，Gauss曾假设在曲面的任一点上，可建立一个使距离遵从 毕达哥拉斯定理的局部Descartes（笛卡尔）坐标系。 两者的深刻类比，我们可以预期引力定律和Riermann几何公式之间 存在相似。Gauss假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过 把曲面上某个一般坐标系 变到局部Descartes坐标系 的变换 的 的函数 的偏导数 来描写。而等效原理告 诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标系 到 局部惯性坐标系 的偏导数 来描写。 前面给出曲面上两点之间的距离为 简写为 几何上与偏导数有关的函数就是