人教版2017高中数学(选修2-1)2.4.2 抛物线的简单几何性质PPT课件
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人教a版高中数学选修2-1 2.4.2《抛物线的简单几何性质》课件(共29张ppt)
作业 P73 5 , 6
o F x 2 p ─过焦点垂直轴的弦长.
焦点 F (
p , 0) 和准线 l
通径.
:x
p
2
2
对称你性和认顶为点这关个于 x标轴对准称,方顶点程(0,对0)(应抛物的线和抛轴的物交点线)
还有范围什么几x≥何0性, y质 R呢(向?右上方和右下方无限延伸)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
方程 图
p
p
由
x
y cot
p 2
消去
y
并整理得
x2
2 (2 pcot2
p)x
p2
0
y2 2 px ∴ AB = 2
p cot2
2
p
2p
sin2
y
5 4 3 2 1
-1
O1
2
3
4
5x
-1
-2
-3
-4
-5
练习 P72 4
x=3
例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点 A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴。
当1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
练习:过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个
公共点的直线的方程是__________________________.
联立
y y
kx 2 4x
1
y 1或 x 0或 y x1
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角
坐标系。设抛物线的方程为y2 则直线OA的方程为y 2 p x,
高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2 抛物线的简单几何性质
������ 2 4
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
������
������ 2
(������≠0).
2 , ������ ������2 2 2 2 消去 y,得 k x -p(k +2)x+ = 0,
������ sin������ 又 k=tan θ= , 代入|AB|=x1+x2+p,得 cos������ sin2 ������+2cos2 ������ 2������ |AB|= · p+p= 2 . sin2 ������ sin ������
2������2 +16
������4 +64
=2
16������2 1+ 4 ,③ ������ +64
题型一
题型二
题型三
题型四
当 a≠0 时,由③得,
������1 ������2 + =2 1+ ������2 ������1
16
������2 + 2 ������
16 ≤2 1+ = 2 2. 2 × 8 64
2
联立解得p=4,x0=2. 故抛物线的方程为 y2=8x.
题型一
பைடு நூலகம்
题型二
题型三
题型四
与抛物线有关的最值问题
【例 3】 已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且������������ ·������������ = ������������ ·������������. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D(0,2),圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A,B 两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求
人教版2017高中数学(选修2-1)2.4.2 抛物线的简单几何性质1 精讲优练课型PPT课件
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
【自主预习】 抛物线的简单几何性质 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
标准方程
图象
标准方程
y2=2px (p>0) ______ x≥0, _____ y∈R
y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) ______ ______ ______ x≤0, x∈R, x∈R, _____ _____ _____ y∈R y≤0 y≥0 __轴 y _______ O(0,0)
因为△OAB的面积为4,
所以 ·2|m|=4,所以m=〒2 .
1 m 2=〒4 所以抛物线的标准方程为 y 2 2 2
2
x.
【方法技巧】用待定系数法求抛物线方程的步骤
特别提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置 ,
不同的焦点设出不同的方程.
【变式训练】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切. (2)|AB|=
p (焦点弦长与中点关系). 2(x 0 ) 2 (3)|AB|=x +x +p.
1 2
(4)若直线AB的倾斜角为α ,则|AB|=
2p . 2 如当α =90°时,AB叫做抛物线的通径sin ,是所有焦点弦中
最短的.
(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即
【解析】1.由题知线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,
与x轴的交点为 5 所以抛物线的焦点为 5 ( ，， 0) ( ，， 0) 4 4 y2=5x. 所以其标准方程是 答案:y2=5x
第1课时 抛物线的简单几何性质
【自主预习】 抛物线的简单几何性质 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
标准方程
图象
标准方程
y2=2px (p>0) ______ x≥0, _____ y∈R
y2=-2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) ______ ______ ______ x≤0, x∈R, x∈R, _____ _____ _____ y∈R y≤0 y≥0 __轴 y _______ O(0,0)
因为△OAB的面积为4,
所以 ·2|m|=4,所以m=〒2 .
1 m 2=〒4 所以抛物线的标准方程为 y 2 2 2
2
x.
【方法技巧】用待定系数法求抛物线方程的步骤
特别提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置 ,
不同的焦点设出不同的方程.
【变式训练】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切. (2)|AB|=
p (焦点弦长与中点关系). 2(x 0 ) 2 (3)|AB|=x +x +p.
1 2
(4)若直线AB的倾斜角为α ,则|AB|=
2p . 2 如当α =90°时,AB叫做抛物线的通径sin ,是所有焦点弦中
最短的.
(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即
【解析】1.由题知线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,
与x轴的交点为 5 所以抛物线的焦点为 5 ( ，， 0) ( ，， 0) 4 4 y2=5x. 所以其标准方程是 答案:y2=5x
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) 课件 人教版数学选修2-1(共21张PPT)
解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),
直线l的方程为：y x 1
y x 1 y2 4xBiblioteka x26x1
0
x1
3
2
2
或
x2
3
2
2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解法2 抛物线的焦点 F(1 , 0),
l的方程为：y x 1
y y
x 2
1 4x
⇒
x2 6x 1 0
x1 + x2 = 6, x1x2
=
1
AB 1 k2 [ x1 x2 2 4x1 x2 ]
= 112 62 41 8
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦
y
． O
x
M
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢? y 6
5
A
4
3
2
F 1
O1
2
3
4
5
6
7
8x
B -1
-2
例 4 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为 抛物线的通径。 |AB|=2p
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图.
高二数学,人教A版选修2-1, 2.4.2第1课,时抛物线,的简单几何性质, 课件
B
1 2 A．(4，± 4 )
[ 解析]
1 2 B．(8，± 4 )
1 2 C．(4， 4 )
1 2 D．(8， 4 )
设焦点为 F，原点为 O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，
1 1 |PF|＝|PO|，又 F(4，0)，∴x0＝8，
数 学 选 修 人 教 A 版
1 2 ∴y0＝ ，∴y0＝± 8
2-1·
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第二章 圆锥曲线与方程
1．抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图象
数 学 选 修 人 教 A 版
2-1·
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第二章 圆锥曲线与方程
标准方程 范围 对称轴 顶点 性 质 准线
数 学 选 修 人 教 A 版
数 学 选 修 人 教 A 版
2-1·
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第二章 圆锥曲线与方程
4．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 → → PF 与 C 的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝ ( 7 A．2 [ 解析] )
B
5 B．3 C．2 D．2 抛物线的焦点坐标是 F(2,0)，过点 Q 作抛物线的准线的垂线，垂足
第二章
圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
自主预习学案
数 学 选 修 人 教 A 版
2-1·
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第二章 圆锥曲线与方程
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与
1 2 A．(4，± 4 )
[ 解析]
1 2 B．(8，± 4 )
1 2 C．(4， 4 )
1 2 D．(8， 4 )
设焦点为 F，原点为 O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，
1 1 |PF|＝|PO|，又 F(4，0)，∴x0＝8，
数 学 选 修 人 教 A 版
1 2 ∴y0＝ ，∴y0＝± 8
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第二章 圆锥曲线与方程
1．抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图象
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第二章 圆锥曲线与方程
标准方程 范围 对称轴 顶点 性 质 准线
数 学 选 修 人 教 A 版
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第二章 圆锥曲线与方程
4．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 → → PF 与 C 的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝ ( 7 A．2 [ 解析] )
B
5 B．3 C．2 D．2 抛物线的焦点坐标是 F(2,0)，过点 Q 作抛物线的准线的垂线，垂足
第二章
圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
自主预习学案
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第二章 圆锥曲线与方程
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质 (共55张PPT)
命运。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。 要生活得漂亮，需要付出极大忍耐。一不抱怨，二不解释。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 语言是心灵和文化教养的反映。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质
②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向 向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴
高中数学选修2-1第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件人教A版
1 ������
2
,
-6-
2.4.2
题型一
抛物线的简单几何性质
题型二 题型三
目标导航
题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
抛物线的定义与性质的应用
【例 1】
������2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9
������2 + 16
=
1 短轴所在的直线, 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, 求抛物线的方程.
题型一
抛物线的简单几何性质
题型二 题型三
目标导航
题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2=mx(m≠0),当 m>0时,开口向右;当m<0时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的 抛物线方程可设为x2=my(m≠0),当m>0时,开口向上;当m<0时,开口 向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线 ������ 的 距离为 . 2
【做一做 2】 抛物线 y=ax2(a≠0)的准线方程是 y=− , 则������ = ___________.
解析:抛物线标准方程为 x2= , 准线y=−
1 答案: 2
������ ������ 1 4������ 1 2
1 2
= − . 故a= .
1 2
-4-
2.4.2
抛物线的简单几何性质
p ������ ,0 2 原点(0,0) p x=−
2
p ������ - ,0 2
p 2
p ������ 0, 2
p 2
p ������ 0,2 y=
p 2
x=
y=−
2
,
-6-
2.4.2
题型一
抛物线的简单几何性质
题型二 题型三
目标导航
题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
抛物线的定义与性质的应用
【例 1】
������2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9
������2 + 16
=
1 短轴所在的直线, 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, 求抛物线的方程.
题型一
抛物线的简单几何性质
题型二 题型三
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题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2=mx(m≠0),当 m>0时,开口向右;当m<0时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的 抛物线方程可设为x2=my(m≠0),当m>0时,开口向上;当m<0时,开口 向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线 ������ 的 距离为 . 2
【做一做 2】 抛物线 y=ax2(a≠0)的准线方程是 y=− , 则������ = ___________.
解析:抛物线标准方程为 x2= , 准线y=−
1 答案: 2
������ ������ 1 4������ 1 2
1 2
= − . 故a= .
1 2
-4-
2.4.2
抛物线的简单几何性质
p ������ ,0 2 原点(0,0) p x=−
2
p ������ - ,0 2
p 2
p ������ 0, 2
p 2
p ������ 0,2 y=
p 2
x=
y=−
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.4.2抛物线的简单几何性质课件(17张)
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？ 椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？ 通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？ P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
2 px ( p 0 ) 所以设方程为： y 又因为点M在抛物线上：
2
( 22 ) 2 p 2p2
2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
o
标准方程
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
=2px（p>0）
x y 0 有2p p 0
oF ( p , 0 )
2
x
, y R 所以抛物线的范围为 x0
x 0
2、
对称性
(x, y)
关于x轴
y
对称
2
关于y 轴 对称 关于y 轴 对称
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
二、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2 ），求它的标准方程.
抛物线的简单几何性质
问题1：椭圆、双曲线都有哪些性质？ 椭圆：范围、对称性、顶点、离心率。 双曲线：范围、对称性、顶点、渐近 线、离心率。
问题2：如何研究得到这些性质？ 通过方程得到;通过图形得到。
问题3 抛物线的标准方程和图形各是什么？ P的几何意义是什么？
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
2 px ( p 0 ) 所以设方程为： y 又因为点M在抛物线上：
2
( 22 ) 2 p 2p2
2
因此所求抛物线标准方程为： y 2 4 x
变式：求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴， 并且经过点(2, 2 2 )的抛物线的标准方程。
例 2： 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
o
标准方程
焦点
准线
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
一、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、
=2px（p>0）
x y 0 有2p p 0
oF ( p , 0 )
2
x
, y R 所以抛物线的范围为 x0
x 0
2、
对称性
(x, y)
关于x轴
y
对称
2
关于y 轴 对称 关于y 轴 对称
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
二、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标 原点，并且经过点M（２， 2 2 ），求它的标准方程.
高中数学人教版选修2-1：2.4.2-1 抛物线的简单几何性质 课件(共15张PPT)
F(0,-
p 2
)
y=p 2
y ≤0 x∈R
五、巩固提升 课堂练习 第72页练习第1题 课堂作业 第73页习题2.4A组第5、6、7题
把例1中的“关于x轴对称”改为“对称轴是坐标轴” 后, 抛物线有几条?求出它们的标准方程.
y2 = 4x或x2 = - 2y 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时, 设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论.
三、精典例题
例2 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F( p ,0) 2
x=-p 2
x≥0 y∈R
y
FO
l
y2 = -2px （p>0）
F(-
p 2
,0)
x
x=p 2
x≤0 y∈R
x轴
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py x （p>0）
F(0,p ) 2
y=-p 2
l
y≥0 x∈R
y轴
y
OF
l x
x2 = -2py （p>0）
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
焦点
准线方程
一、知识回顾
y
图形
. B2
A1 F1 O
F1(-c,0)B1
方程
y
. . .B2
F2
x
FA22(c,0F)1(-c,F01)
A1
O A2 B1
FF22(c,x0)
范围
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
数学选修2-1抛物线的简单几何性质(1) 课件
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时, dmin2=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【误区警示】
类型 二
抛物线性质的应用
【典型例题】 1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的 距离最短,则该点的坐标是( A.( 1 ,1) 2 C.(1,2) )
B.(0,0) D.(1,4)
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的 方程.
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 _________ _________ _________ _________
x __轴
y __轴
O(0,0) _______ p p p p F(0, ) F( ,0) F( ,0) F(0, ) 2 2 ______ ________ _______2 ________2 p p p p y y x x ______ 2 ______ 2 _______ 2 ______ 2 e=__ 1
M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的
定义可知|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,
1 1 |MM1|= 1 (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 2 故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( p ,0),当AB不垂直于x轴时, 2 设直线AB的方程为y=k(x- p )(k≠0). 2 p y k(x ), 由 2 消去y, 2 y 2px, 2 2 k 2 2 2 得k x -p(k +2)x+ p =0. 4 p2 由根与系数的关系得x1x2= (定值). 4 2 p p 当AB⊥x轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 4 2
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【误区警示】
类型 二
抛物线性质的应用
【典型例题】 1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的 距离最短,则该点的坐标是( A.( 1 ,1) 2 C.(1,2) )
B.(0,0) D.(1,4)
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若 |OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的 方程.
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 _________ _________ _________ _________
x __轴
y __轴
O(0,0) _______ p p p p F(0, ) F( ,0) F( ,0) F(0, ) 2 2 ______ ________ _______2 ________2 p p p p y y x x ______ 2 ______ 2 _______ 2 ______ 2 e=__ 1
M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的
定义可知|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,
1 1 |MM1|= 1 (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 2 2 2 故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F( p ,0),当AB不垂直于x轴时, 2 设直线AB的方程为y=k(x- p )(k≠0). 2 p y k(x ), 由 2 消去y, 2 y 2px, 2 2 k 2 2 2 得k x -p(k +2)x+ p =0. 4 p2 由根与系数的关系得x1x2= (定值). 4 2 p p 当AB⊥x轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 4 2
人教版2017高中数学(选修2-1)2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 教学能手示范课PPT课件
例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题6 : (1) A, O , B1三点共线;( 2) B, O , A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1 , 则BB1平行x轴; ( 4)设直线BO与准线交于A1 , 则AA1平行x轴;
三.抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 则 (1) y 2 2 px , ( 2) y 2 px ,
2
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. 问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B, M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 AA1 BB1 2 AF BF 2 AB 2
通径的性质 :
1 通径的长度 : 2 p; 2 通径越大, 抛物线开口越大; 3 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.
例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
2
物线于A x1 , y1 , B x2 , y2 两点. p 2 问题4 : 求证 : x1 x2 , y1 y2 p . 4
2
例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 px p 0 的焦点F的直线l交抛
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������2 +������2 =4,于是 ������2
b2=3a2,则 = √3,故双曲
������ ������
,
1 ������ S△AOB= · ·√3p=√3,即 2 2
则
p2=4.
因为 p>0,所以 p=2,故抛物线焦点坐标为(1,0).
答案：B
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做一做2 (1)直线y=2x-1与抛物线x2= 2 y的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)过点(1,1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：(1)由
������ ������2 解析：因为 =2,所以 2 ������ ������ ������ x=- ,所以 2 ������ √3������ - , 2 2
������2 ������2 ������2
=
线的两条渐近线方程为 y=±√3x.而抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程 为
������ √3������ A ,B - ,2 2 ������ AB=√3p,又三角形的高为 ,则 2
2 程为y=4,所以焦点为F(0,-4),所以 |AF|= 62 + (4 + 4) =10 . 答案：10
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2 p
y轴 F 0, y=p 2 p 2
y轴 F 0,y=
p 2 p 2
原点(0,0) p x=2
x=
p 2
离心率 e=1 开口 向右 方向
向左
向上
向下
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− 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物 【例1】 已知双曲线 ������ 线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的 离心率为2,△AOB的面积为 √3 ,则抛物线的焦点坐标为( ) A.(2,0) B.(1,0) C.(8,0) D.(4,0)
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变式训练1 若点A(6,4)在抛物线x2=-2py(p>0)的准线上,则点A 与抛物线焦点F之间的距离等于 . 解析：因为点A(6,4)在抛物线x2=-2py(p>0)的准线上,所以准线方
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2.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程 联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有交点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对 称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物 线相切的必要不充分条件.
������ = 2������-1, ������ 2 =
1 ������, 2
1
得 x2-x+ =0.
1 2
因为Δ=-1<0,所以直线与抛物线相离. (2)因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以与y2=x只有一个公共点的直 线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线. 答案：(1)C (2)B
2.4.2 抛物线的简单几何性质
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. ( × ) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. ( √ ) (3)直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( × ) (4)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. ( √ )
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1.抛物线的简单几何性质
标准 方程 图形
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
对称轴 x 轴 焦点 顶点 准线 F
p 2
x轴 ,0 F - ,0