18.1.2_三角形中位线定理

平行线间的距离处处相等
∟
∟
∟
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
（1）如图，S BC AE CD AF （2）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。
F
A E D F
A
D
B
C
E
B
C
练习： 1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有 （ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A E
C
5
10 O C
D
D B F
1、已知，如图AD是△ABC的中线，EF是 中位线，求证：AD与EF互相平分
A
E
F
B
D
C
练习： 6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的 一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、 BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结 OF . A D 求证：AB＝2OF.
D
C
E
B
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M A D F
B N
E
C
练习： 3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点， 过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点. 求证：四边形AECF是平行四边形.
㎝.
C
D
E
F
B
7、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm，AC=8cm，则 △DEF的周长= 12 cm。 B D A F C
E
3、如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外 选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两 点的实际距离？根据是什么？ A D
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3. 在三角形中给出一边的中点时，通常要转化 为中位线来解题.
4.线段的倍分要转化为相等问题来解决.
定理应用
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P 是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是 AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能 在图中画出多少个平行四边形？
A D B
三条中位线把原三角形 分成了几个小三角形？ 这些三角形有什么关系？
F E C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
B
2、填空题 （1）△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， 5cm BC=10cm，则DE=______.
O G B F C
E
例2、求证：
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
已知：E、F、G、H分别是四 边形ABCD中AB、 BC、 CD、DA的中点。 A 求证：EFGH是平行四边形。
E G F C
H
D
B
挑战自我
A E
H
D
G
F
已知：如图，在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
B
平行四边形的判定方法 回顾与联想：
(1) AB∥CD, BC∥AD (2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D (5) AO=OC, BO=OD
A O B C D
□ ABCD
如图，l1 // l2 ， 线段 AB//CD//EF, 且 点 A 、 C 、 E 在 l1 上， B 、 D 、 F 在 l2 上，则 AB 、 CD、EF的长短相等吗？为什么？
数学思想：转化思想
1.把四边形的问题转化为三角形问题解决
2.线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
数学方法：在三角形的中位线定理的发现过程用到 画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法
现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼 成一个平行四边形吗？ 问题1：需要把三角形剪成几块？ 问题2：如何将剪开的部分拼成一个平行四边形？
D F C
O A E B
练习： 4、如图， AC是□ABCD的一条对角线， BM⊥AC， ND⊥AC，垂足分别是M、N . 求证：四边形BMDN是平行四边形.
A M
D
B
N
C
练习： 5、如图，在□ABCD中，延长AD到F，使 DF＝AD，连结BF交CD于点E . 求证：点E平分CD与BF.
F
D
E
C
E C A
l1
F
D
B
l2
夹在两平行线间的平行线段相等。
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
E C A
l1
它与点与点的距离、 点到直线的距离的 联系与区别
F
D
B
l2
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD 、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为 B、D 、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F 分别为AC，BC的中点，CE是斜 C 边的中线，如果DF=3cm， D F 则CE=_______cm。
直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。 A E B
图1
2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外 角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂 足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与 直线BC相交,求证: A
B
F
D
C
例1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC 1 的中点，求证DE∥BC且DE= BC 2DE=BC
证明：如 图，延 长DE 到 F，使 位置关系 数量关系 EF=DE ，连 结CF. ∵ DE=EF 、 ∠ AED=∠CEF 、 D AE=EC∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC B 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形 ∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 1 1 又∵
A D B E F C
练习： 6、如图，已知E为□ABCD中DC延长线上的 一 点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、 BD于点F、G，连结AC交BD于点O，连结 OF . A D 求证：AB＝2OF.
O G B F C
E
A D B E
巩固新知
平行于 第三边,并 １.三角形的中位线_______ 等于 第三边的____________ 一半 且______
∟
D F
FG=1/2（AB+BC+AC）
H H
E G B C
K
思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、 CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证： ∠EDG＝ ∠EFG。 分析：EF是△ABC的中位线 1 EF AC A 2 DG是Rt△ADC斜边上的中线 1 DG AC 2 E G ∴EF＝DG 你还想到了什么？
2．如图：在△ABC中，DE是中 位线。 C （1）若∠ADE=60°，则∠B= 60° ; （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC=8cm —— 3．若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE ６cm ＝———
D
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN = , 61° 若MN =12 ,则BC = 24 .
（2） △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____. 60°
A D
B
A 50° 60°E D
5 10
(1)
E
C
B
70°
(2)
60° C
练1 在△ABC中,D、E分别是AB,AC 的中点,已知DE=3cm,则BC= 6 cm.
A D B E C B E A F C D
∵AE=EB AD=DC
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
E
D
B
C
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半
A
几何语言：
E
D
B
C
用 途
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
巩固练习：
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、
A
E C
B
位置关系： 平行
DE和边BC关系
数量关系：DE是BC的一半
命题的证明
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 1 点，求证DE∥BC且DE= BC A
2
证明：延长DE到F，使EF=DE， 连接FC、DC、AF。 ∵AE=EC，又EF=DE
D
E
F
C
∴四边形ADCF 是平行四边形
∴CF DA， ∴ CF BD ∴四边形DBCF是平行四边形。 ∴DE 1 ∴DF BC 又DE= DF， 12 ∴DE∥BC，且DE= BC 2
B
1 BC 2
定义：
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A
三角形中位线定理
D E
三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半