级数是研究函数和进行数值计算的一个重要工具解读

第七章 级数级数是研究函数和进行数值计算的一个重要工具，在本章中，主要介绍幂级数和Fourier 级数。

第一节 级数的概念和性质一、级数的概念给定一个无穷级数{}n u ：12n u u u ，，，，，称其和式：12n u u u ++++为数项级数或无穷级数，记作1nn u∞=∑，即：121nn n uu u u ∞==++++∑，其中n u 为级数的通项，而级数的前n 项和：12n u u u +++，称为级数的前n 项部分和，简称部分和，记作n S 。

这样，级数1nn u∞=∑的部分和可以组成数列{}n S ：11S u =，212S u u =+，，123n n S u u u u =++++，称为级数的部分和数列，那么，由{}n S 的收敛和发散，我们可以引入级数1nn u∞=∑的收敛和发散的概念。

定义 若级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S ，即li m n n S S →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，记作1nn uS ∞==∑（也称S 为级数的和）；反之，如果部分和数列发散，则称级数发散。

另，当级数1nn u∞=∑收敛时，称12n n n n r S S u u ++=-=++为级数的余项。

例1、讨论等比级数2n a aq aq aq +++++的敛散性。

解：级数的前n 项部分和21(1)1n n n a q S a aq aq aqq--=++++=- 1）当1q <时，lim 0na q →∞=，于是1n aS q=-，即级数收敛。

2）当1q >时，nq →∞，于是lim n n S →∞=∞，这是级数发散。

3）当1q =时，101n n q S na n q S a a a a a n ==→∞⎧⎪⎧⎨=-=-+-+=⎨⎪⎩⎩为偶数为奇数，所以级数发散。

例2、判别级数11111(1)1223(1)n n n n n ∞==+++++⋅⋅+∑的敛散性。

解：二、级数的基本性质性质1 若级数1nn u∞=∑收敛，a 为一任意常数，则1nn au∞=∑亦收敛，且有11nn n n aua u ∞∞===∑∑。

证明：设级数1nn u∞=∑的部分和为n S ，由假设lim n n S S →∞=，又设级数1nn au∞=∑的部分和为n S '，显然n n S aS '=。

根据数列极限的性质可知：lim lim n n n n S aS aS→∞→∞'==。

所以11nn n n auaS a u ∞∞====∑∑。

性质2 若两个级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都收敛，则1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且有：111()nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑。

利用数列极限的运算法则即可证明此性质。

性质3（夹逼定理)如果n n n u v w ≤≤，且1nn u∞=∑和1nn w∞=∑都收敛，则1nn v∞=∑也收敛。

性质4 在级数前增加或减去有限项，或者改变级数的有限项，不改变级数的敛散性。

性质5（收敛的必要条件）若级数1nn u∞=∑收敛，则0n u →()n →∞。

证明：设级数1nn u∞=∑的部分和数列为{}n S ，且lim n n S S →∞=，由于1n n n u S S -=-，可得：1lim lim()0n n n n n u S S S S -→∞→∞=-=-=。

注：0n u →()n →∞是级数收敛的必要条件，不是充分条件，即若n u →0，级数发散。

例如：级数231111111111223331nn nnn ++++++++++++++，它的一般项0n u →()n →∞，但此级数是发散的。

例3、判别级数112(1)23(1)n n nn n ∞==++++++∑的敛散性。

第二节 数项级数收敛性的判定一、正项级数收敛性的判定如果0n u ≥(123)n =，，，则称级数1nn u∞=∑为正项级数。

首先，我们讨论一下正项级数收敛性的判定方法。

定理 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

证明：因为正项级数有0n u ≥，所以它的部分和数列为单调数列，即：1231n n S S S S S +≤≤≤≤≤≤，根据数列极限的存在定理，单调数列的极限存在的充要条件为数列有界。

所以，级数收敛的充要条件为部分和数列{}n S 有界。

比较判别法 若1nn u∞=∑和1nn v∞=∑均为正项级数：1、若n n u v ≤(12)n =，，，而1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；2、若n n u v ≥(12)n =，，，而1nn v∞=∑发散，则1nn u∞=∑发散。

例1、讨论级数1112nn ∞=+∑的收敛性。

例2、讨论级数11p n n ∞=∑的收敛性(0)p >，这个级数通常称为p -级数。

在讨论正项级数的收敛性时，可用等比级数和p -级数作为比较级数。

例3、讨论级数2112n n ∞=+∑的收敛性。

例4、讨论级数n ∞=比值判别法（达朗贝尔判别法）如果正项级数1n n u ∞=∑满足条件：1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛，1ρ>时级数发散。

证明：当1ρ<时，取正数γ，使1ργ<<，当n 大于某个整数m 时，有1n nu u γ+<，所以有：1m m u u γ+<，221m m m u u u γγ++<<， 332m m m u u u γγ++<<，，这样，级数123m m m u u u ++++++的各项就小于等比级数21nm m m n u u u γγγ∞→=++∑的对应项，因为01γ<<，级数1nmn u γ∞→∑收敛，有定理可知1m nn u∞+→∑收敛，再由性质3可知，级数1nn u∞=∑收敛。

当1ρ>时，n 取足够大时，有11n nu u +>，即1n n u u +>，所以lim 0n n u →∞≠，所以级数1nn u∞=∑发散。

注意：当1ρ=时，比值法失效，无法判断级数的收敛性。

例5、讨论下列级数的敛散性。

（1）12!nn n ∞=∑（2）1!n n n n ∞=∑ （3）1nn x n∞=∑(0)x ≥ 解：（1）（2）由于11(1)!1lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n nu n n n u n n n e ++→∞→∞→∞+=⋅==<++，所以级数收敛。

（3）根值判别法（柯西判别法）设正项级数1nn u∞=∑的一般项n u 的n次方根有：n ρ=，则当1ρ<时级数收敛，1ρ>（或n =∞）时级数发散。

同样，当1ρ=时，无法判断级数收敛与否。

此判别法的证明过程与比值判别法的证明类似，只要将原来的不等式1n nu u γ+<改为γ<，就可得到n n u γ<，其余推导过程都是相同的，这里不再赘述。

例6、判别级数1()21nn n n ∞=+∑的收敛性。

二、任意项级数收敛性的判定如果级数是正负相间的，即形如：11234(1)n n u u u u u +-+-+-+的级数，其中0n u >(1,2,)n =，我们称为交错级数。

对于交错级数，有如下定理：交错级数收敛判别法 如果一个交错级数11(1)n n n u ∞+=-∑的项满足以下两个条件：1、单调减少，即1n n u u +≤(1,2,)n =；2、lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞+=-∑收敛且其和1S u ≤，余项n r 的绝对值1n n r u +≤。

证明：因为1n n u u +≤，所以10n n u u +-≥，而21234212()()()n n n S u u u u u u -=-+-++-，故数列{}2n S 为单调递增数列；由212345222121()()()n n n n S u u u u u u u u u --=--------≤可知{}2n S 有界，所以{}2n S 极限存在，有21lim n n S S u →∞=≤；又因为21221n n n S S u ++=+，而lim 0n n u →∞=，所以有21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=，即1lim n n S S u →∞=≤。

级数的余项123()n n n n r u u u +++=±-+-，绝对值为123n n n n r u u u +++=-+-也满足判别法，其和nr 存在且1n n r u +≤。

三、绝对收敛和条件收敛如果将级数1nn u∞=∑的每一项加上绝对值后所组成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑为绝对收敛；若1nn u∞=∑发散，但1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑为条件收敛。

例如，级数11(1)n n n +∞=-∑就是一个条件收敛的级数。

定理 绝对收敛的级数必为收敛级数。

证明：()n n n n u u u u =+-，因为n n u u ≤，所以02n n n u u u ≤+≤，而12nn u∞=∑收敛，由比较判别法可知1()nn n uu ∞=+∑收敛，再由级数的性质2可知，级数11[()]n nn n n n u uu u ∞∞===+-∑∑收敛。

第三节 幂级数一、幂级数的概念定义1 如果级数121()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑的各项都是定义在某个区间上的函数，则称之为函数项级数，其中()n u x 称为函数项级数的一般项。

定义2 当x 在区间I 中取某个特定值0x 时,级数1()n n u x ∞=∑就是一个数项级数，如果这个数项级数收敛，则称0x 为级数的一个收敛点；如果发散，则称0x 为这个级数的发散点。

一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。

对于收敛域内的任意一个数x ,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和S 。

这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ,通常称()S x 为函数项级数的和函数，即：12()()()()n S x u x u x u x =++++。

其中，x 是收敛域内的任意一点。

我们将函数项级数的前n 项和记作()n S x ，则在收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=。

例如公比为x 的等比级数201n n n x x x x ∞==+++++∑是一个在区间(,)-∞+∞上的函数项级数。

当1x <时。