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湘教版八年级数学上册课件 5.2.1二次根式的乘法
解：（1）√ 2 ×√32 =√2×32 =√64 =8 （2） √ 3 ×√ 6
（2） √ 3 ×√ 6 =√ 3×6 =√32×2 =3√2
（3） √
1 3
×√72
（3）√
1 3
×√72
=√
1 3
×72
=
24 =
226 =2√6
二次根式的运算结果，一定要进行化简.在化简二 次根式时，通常是先把根号下的每个数分 解因数， 然后把每一个平方因子去掉平方号后根号外.
7、已知m=(-√33 )×(-2√21)，则有（ A ）
A. 5<m<6；
B. 4<m<6；
C. -5<m<-4； D. -6<m<-5；
8. 计算：
( 1 ) 3 15；
3√5
( 2 ) 6 12；
12√3
( 3 ) 3 2 2 10 5 .
60
（4）√
288
×√
1 72
2
（5）4√ 3 ×(-3√15 )
法则推广：√ a ·√ b ·√ c = √abc (a≥0，b≥0，c≥0).
计算：（1） √ xy·√ x3y·√ xy2 =x2y2√ x
（2）√18×√24×√27 =108
1.计算：8 1 = __2__
2
2.计算， 24 812 = 48 。
3.已知三角形的一条边为 3cm ，这条边上的高为 2 2cm ，该三角形的面积是 √ 6 cm2.
=√ 2a3b2
= √ a2b2 ·2a =ab√2a
例4 已知一张长方形图片的长和宽分别是3√ 7 cm 和 √ 7 cm，求这张长方形图片的面积.
（2） √ 3 ×√ 6 =√ 3×6 =√32×2 =3√2
（3） √
1 3
×√72
（3）√
1 3
×√72
=√
1 3
×72
=
24 =
226 =2√6
二次根式的运算结果，一定要进行化简.在化简二 次根式时，通常是先把根号下的每个数分 解因数， 然后把每一个平方因子去掉平方号后根号外.
7、已知m=(-√33 )×(-2√21)，则有（ A ）
A. 5<m<6；
B. 4<m<6；
C. -5<m<-4； D. -6<m<-5；
8. 计算：
( 1 ) 3 15；
3√5
( 2 ) 6 12；
12√3
( 3 ) 3 2 2 10 5 .
60
（4）√
288
×√
1 72
2
（5）4√ 3 ×(-3√15 )
法则推广：√ a ·√ b ·√ c = √abc (a≥0，b≥0，c≥0).
计算：（1） √ xy·√ x3y·√ xy2 =x2y2√ x
（2）√18×√24×√27 =108
1.计算：8 1 = __2__
2
2.计算， 24 812 = 48 。
3.已知三角形的一条边为 3cm ，这条边上的高为 2 2cm ，该三角形的面积是 √ 6 cm2.
=√ 2a3b2
= √ a2b2 ·2a =ab√2a
例4 已知一张长方形图片的长和宽分别是3√ 7 cm 和 √ 7 cm，求这张长方形图片的面积.
《二次根式的乘除》课件
《二次根式的乘除》ppt课 件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
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根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
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例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
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先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
《二次根式的乘法和除法》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版
是为了去掉分母中的根号.
化简二次根式时，最
后结果一般要求分母中不
含有二次根式.
结论
b ba＞0，b≥0.
aa
把公式（*）从右至左看就可得：
b ba＞0，b≥0.
aa
利用上述公式，可以进行二次根式的除法运算.
例3 计算：
( 1 )1 5 ； ( 2 ) 3 4 2 ；( 3 )1 4 .
3
5 6
6
本课节内容
二次根式的乘、除法
说一说
积的算术平方根的性质是什么？ a · b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) .
我们把 a ·b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) 从右至左看， 就可得
a ·b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
利用上述公式，可以进行二次根式的乘法运算．
做一做
（1）在数轴上表示下列各数，并比较它 们的大小：-15，-3，-1，-5；
（2）求出（1）中各数的绝对值，并比 较它们的大小；
（3）你发现了什么？
判断： (1)若一个数的绝对值是 2 ， 则这个数 是2 ； (2)|5|＝|－5|； (3)|－0.3|＝|0.3|； (4)|3|＞0； (5)|－1.4|＞0； (6)有理数的绝对值一定是正数； (7)若a＝b，则|a|＝|b|； (8)若|a|＝|b|，则a＝b； (9)若|a|＝－a，则a必为负数； (10)互为相反数的两个数的绝对值相等；
解 (1) 15 3
=
15 3
=
5.
( 2 ) 3 42 56
=
3 5
42 6
=
3 5
7.
(3)1 6 4=1 6 4=7 3=7 3 3 3=2 3 1.
八年级数学上册 5.2 二次根式的乘除课件 (新版)湘教版
) (2)2 7 3 7 6 7 ) (3) 4 9 (4) (9) 36 6
(
(
16 16 4 12 ) (4) 9 9 3 25 25 5 5 ) (5) 16.5 4 0.5
2 2 2 2 ( 6 ) 4 3 4 3 43 7 件 )
bc
2
a b a 2b 2 2c 4c （8）计算： 10 15 5 6
2 1 3 5 6
9 49
3 7
4 4 9
2 10 3
1 1 2 xy 3 x
2 3
y
2
2、判断题：下列运算是否正确. ( ) (1) (3.14 ) 2 3.14
(
(
(
54 24 6 24 54 24 6 24
（2）原式 =
69 46 66 4
62 32 22 62 22
6 3 2 6 2 63 2 6 2 24 最新中小学教案、试题、试卷、课
2 2 2 2
（4） x 2 16 x 4 x 4 成立的条件是 （5） ( x 2) ）
x 1 x2
x 1成立的条件是 x2
x2 x 1
.
（7）化简:
24
2 6
件
9 125 15 5
2 4a 2b3c 2ab 292 21 20 最新中小学教案、试题、试卷、课
二次根式的乘除
习题课
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
1
一、复习：
1、填空：
（1）二次根式的乘法法则用式子表示为 a b ab (a 0, b 0)
湘教版初中数学八年级上册5.2 第1课时 二次根式的乘法2
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！5.2 二次根式乘法和除法第1课时 二次根式的乘法【教学目标】1. 理解积的算术平方根的性质.2.灵活运用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.【教学重点】逆用积的算术平方根性质进行二次根式的乘法运算.【教学难点】二次根式乘法运算结果的化简.【教学过程】一、新课引入积的算术平方根的性质是什么？)0,0a b =≥≥)0,0a b =≥≥利用上述公式，可以进行二次根式的乘法运算.二、典例精析例1 计算：⑶⑷ ⎛ ⎝)0,0;x y ≥≥⑹ )0,0.x y >≥*注意结果要化简为最简二次根式.例2 已知一张长方形图片的长和宽分别是求这张长方形图片的面积. ,三、应用迁移（一）变式运用⒈判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：=44====⒉已知 （ ）0,xy <.A .B -.C .D -(三)综合运用用含； ,a b ==,a b⒉已知为. 1,a =b a四、归纳小结及其运用. )0,0a b =≥≥五、巩固提升的结果是（ ）3.2A B C 15.2D ★★⒉计算：⑴ ⑵ (⎛⨯- ⎝⑶的取值范围是（ ）=x 为一切实数.0A x ≥.2B x ≥.02C x ≤≤.D x相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性地看待人生。
湘教版数学初二上册5.2.1二次根式的乘法课件
方法二： ∵−2 13 < 0，−3 6 < 0 (−2 13)2= 52, (−3 6)2= 54
∵52＜54 ，
∴ (−2 13)2＜(−3 6)2, 即 2 13＞-3 6.
新知探究
比较两个二次根式大小的方法：可转化 为比较两个被开方数的大小，即将根号外的 正数平方后移到根号内，计算出被开方数后 ，再比较被开方数的大小.被开方数大的,其 算术平方根也大.也可以采用平方法.
答：这张长方形图片的面积为21 cm2.
课堂小结
积的算术平方根 → ↓↑
二次根式的乘法公式 →
a • b a • b (a 0,b 0)
a•
↑↓ b a • b(a 0,b 0) →
计算与 应用
课堂小测
1.若 x x 6 x x 6，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
∴ 2 5 2 ＜ 3 3 2，即 2 5＜3 3 .
新知探究
(2) 2 13与-3 6.
解：(2)方法一：∵ 2 13= 22 13= 52 ，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
两个负数比较
∴ 52＜ 54，
大小，绝对值
大的反而小
∴ 52＞ 54 , 即 2 13＞-3 6.
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
课堂小测 5. 计算：
(1) 3 15 ； ( 2 ) 6 12 ；
( 3 ) 3 2 2 10 5 .
二次根式的乘法和除法课件初中数学湘教版八年级上册
.
解：(1) 2 3 5 21 根号里面
数的相乘
25 321
根号外面 10 327
数的相乘
3
2
18 4
3
1 4
2
18
3 4
218
根号与根 号相乘
系数与系 数相乘
30 7 .
92.
当二次根式根号外的因数不为1时，m a n b mn ab a≥0,b≥0
练一练 计算：
(1) 2 3 5 21 ；
5.2 二次根式的乘法和除法 第1课时 二次根式的乘法
学习目标
1. 理解积的算术平方根的性质； 2. 灵活运用积的算术平方根的性质进行二次根式的 乘法运算.
※ 新课导入 积的算术平方根的性质是什么？
a b a b (a≥0，b≥0).
将上式从右至左看，得到
a b a b (a≥0，b≥0).
3 1的结果是（ C ）
46
B. 2
4
C. 3 2 D. 3
2
2
3.化简： (1) 3 ;
100
(2) 75 ; 27
(3) 2 7 . 9
解:
(1)
3
3 3.
100 100 10
(2)
75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
补充解法： 75 75 5 3 5 .
27 27 3 3 3
4.在方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数 相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积 为__6___2___．
5.计算：
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3
.
解:
(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
《二次根式的乘除》课件
1 除法中的除数
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
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注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
湘教版初中数学八年级上册5.2二次根式的乘法和除法 课件(共27张PPT)
16
16
4 .
9 9 93
(2)(方法一) 1 = 2 = 2 = 2 . 32 64 64 8
(方法二) 1 = 1 = 1 = 1 = 2 = 2 . 32 32 16 2 4 2 4 2 2 8
感悟新知
知2－练
(3)(方法一)a
28 a3 a
22 7 a2 a a
22 7 a 2 7a 2
思路点拨 (1)(2)直接用乘法法则计算， 且(2)中隐含着x ≥ 0，
y ＞0，不需讨论. (3)按推广中的(1)计算 (4)按推广中的(2)计算， 但注意要将带分数化为
假分数计算.
感悟新知
知1－练
解：(1)原式= 28 7 = 196=14.
(2)原式= xy 1 x . y
(3)原式=6 (－2) 27 3 －12 81=－12 9=－108. (4)原式= 1 5 8 2.
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广： (1)当二次根式根号外有因数(或因式)时，可类比单项式乘
单项式的法则进行运算，将根号外的因数(或因式)之积 作为积的根号外因数(或因式)，被开方数之积作为积的 被开方数，即 a b c d ac b d (b ≥ 0，d ≥ 0).
感悟新知
知1－讲
感悟新知
例2 将下列各式化简：
(1) 1 7 ;(2) 1 ; 9 32
28 xy (3)a a3 ;(4) x－y
x2－2xy＋y2 ( x＞y＞0) xy
知2－练
解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质”进行化简.
感悟新知
方法点拨
知2－讲
利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：
ห้องสมุดไป่ตู้
湘教版初二数学上册《5.2 第1课时 二次根式的乘法》课件
m a n b =mn ab（a 0, b 0)
利用它可 以进行二次根 式的化简.
第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数； 第二步：根式和根式按公式相乘.
练一练 A.抢答：
(1) 18 3 2 ; (2) 20
2 5
.
B.陷阱题： 16ab2c3 4bc ac （a 0, b 0, c 0). C.综合题： 4b2 12ab2
假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？
为什么？如果不对，请改正过来！
答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接 套用积的算术平方根的性质. 正确解法： (4) (9) 4 9 6.
要点提醒
在使用上述积的算术平方根的性质进行计算
时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数
都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进
(1)已知 a 8 , b 12 ，求S； 解：由题意得：
S =a b
= 8 12
2
= 8 12 = 4 2 3 =4 6.
（2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S. 解：由题意得： S =a b =2 50 3 32
=6 50 32 =6
2 18
根号与根号 相乘
- 3 218 4 - 9. 2
系数与系数相乘
例3 计算：
(1)
1 2a 8a3 ； 4
(2)
1 ab 6a 2b （a 0，b 0 ） . 3
1 3 (1) 2 a 8 a 解： 4 1 2 a 8a 3 4 1 16a 4 4 1 4a 2 4 a 2；
40
2
=240.
二次根式的乘除ppt课件
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
2024年度二次根式的乘除ppt课件
2024/3/23
20
提高计算精度策略探讨
2024/3/23
选择合适的算法
01
针对具体问题，选择稳定性好、精度高的算法，如高精度算法、
迭代算法等。
增加计算位数
02
通过增加计算过程中的位数，减小舍入误差，提高计算精度。
进用相应的方法进行校正，如插
值法、外推法等。
2024/3/23
24
关键知识点总结回顾
乘法法则
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2024/3/23
除法法则
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。
若为不同类根式，则先化简根式 至最简形式，再按照同类根式的 乘法规则进行运算。
乘法公式：$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$
2024/3/23
示例：$sqrt{3} times sqrt{27} = sqrt{3} times 3sqrt{3} = 3sqrt{9} = 3 times 3 = 9$
sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2024/3/23
掌握二次根式的除法法则，即 $sqrt{a} div sqrt{b} =
sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。
运用乘除法则对复杂表达式进行 逐步简化，直至得到最简结果。
17
典型例题解析与讨论
乘法定理
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
湘教版八年级数学上册5-2-1二次根式的乘法教学(课件)
15
当堂检测
4. 比较大小
2 3 __＜___3 2 -Leabharlann 3 _＜____ 2 616
ab a b （a≥0，b≥0）
思考：该公式的作用是什么？ 化简二次根式 拓展: 对于多个非负因数的积的算术平方根 ,则:
abc •• n a • b • c •• n (a 0, b 0, c 0,, n 0)
7
明辨是非
(4)(9) (4) (9) 成立吗？为什么？ (4)(9) 36 6 积的算术平方根成立的条件
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
a b c d ac bd (b 0, d 0)
点评练习: 课本 P7练习第1题
5
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根
例1: 计算
1、 3 5 3 5 15
2、 1
3
27
1 27 3
9 3
6
自学效果检测2 二次根式的乘法法则的逆用（积的算术平方根）
5.2.1 二次根式的乘法
1
复习回顾 二次根式的性质:
（1）a ≥0 (a≥0)
双重非负性
(2) ( a )2 a (a≥ 0)
a
(3) a2 =|a| =
-a
(a≥0) (a≤0)
2
学习目标
1. 掌握二次根式的乘法公式以及应用的条件 2 .能根据二次根式的乘法规定进行二次根式 的乘法计算 3.能逆用二次根式的乘法公式化简二次根式
11
效果检测 点评练习: 课本 P7练习第2、3题
如何确定 积的符号？
12
课堂小结
a b ab (a≥0,b≥0)
ab a b （a≥0，b≥0）
当堂检测
4. 比较大小
2 3 __＜___3 2 -Leabharlann 3 _＜____ 2 616
ab a b （a≥0，b≥0）
思考：该公式的作用是什么？ 化简二次根式 拓展: 对于多个非负因数的积的算术平方根 ,则:
abc •• n a • b • c •• n (a 0, b 0, c 0,, n 0)
7
明辨是非
(4)(9) (4) (9) 成立吗？为什么？ (4)(9) 36 6 积的算术平方根成立的条件
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
a b c d ac bd (b 0, d 0)
点评练习: 课本 P7练习第1题
5
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根
例1: 计算
1、 3 5 3 5 15
2、 1
3
27
1 27 3
9 3
6
自学效果检测2 二次根式的乘法法则的逆用（积的算术平方根）
5.2.1 二次根式的乘法
1
复习回顾 二次根式的性质:
（1）a ≥0 (a≥0)
双重非负性
(2) ( a )2 a (a≥ 0)
a
(3) a2 =|a| =
-a
(a≥0) (a≤0)
2
学习目标
1. 掌握二次根式的乘法公式以及应用的条件 2 .能根据二次根式的乘法规定进行二次根式 的乘法计算 3.能逆用二次根式的乘法公式化简二次根式
11
效果检测 点评练习: 课本 P7练习第2、3题
如何确定 积的符号？
12
课堂小结
a b ab (a≥0,b≥0)
ab a b （a≥0，b≥0）
湘教版八年级数学上册《二次根式的乘法》课件
二次根式的乘法
例题２ 化简：
（1） 解：(1)
（2）
（3）
二次根式的乘法：
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：
例题1 计算： （1） （3）
解：
（2）
8
22 4
Hale Waihona Puke 4、计算：思考：随堂练习
2. 化简： （1） （3）
3. 化简 （1）
（2） （4）
（2）
计算
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时45分42秒00:45:4222.4.13
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时45分22.4.1300:45April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时45分42秒00:45:4213 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例题２ 化简：
（1） 解：(1)
（2）
（3）
二次根式的乘法：
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
利用这个等式可以化简一些根式。
试一试：
例题1 计算： （1） （3）
解：
（2）
8
22 4
Hale Waihona Puke 4、计算：思考：随堂练习
2. 化简： （1） （3）
3. 化简 （1）
（2） （4）
（2）
计算
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时45分42秒00:45:4222.4.13
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时45分22.4.1300:45April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时45分42秒00:45:4213 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
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最新湘教版5.2.1二次根式 的乘法
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子a(a0)叫做二次根式
2.两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣ = -a (a＜0)
合作学习
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
思考： 1、 4 × 9 =_6___ 49 _6____
《 古 诗 十
从内容上看，主要抒写游子失志无成 和思妇离别之情，突出地表现了当时中下 层士子的不满不平以至玩世不恭、颓唐享 乐的思想情绪，真实地从这一侧面反映出 东汉后期政治混乱、败坏、没落的时代面 貌。 艺术上继承了《诗经》和《楚辞》的传 统，吸收了汉乐府的营养，创造出一种独 特的艺术风格，被称为“五言之冠冕”。
以花草赠给亲朋是古人常有的 一种行为，你对这种行为怎么理解或 者说，表达的是什么感情？
芙蓉，即荷花。荷花给人以清幽、 高洁的感觉。屈原的作品里也视“荷” 为香草，认为它具有美好的品质。因 此，起首“涉江采芙蓉”一句，营造了 清幽、高洁的意境。
花草娇嫩美丽，同时又给人欣欣向 荣的感觉。以花草赠亲朋，既传达了对 亲朋的关怀、思念等感情，又寄托了对 亲朋的美好祝愿。
2
2
1.化简：
练习1： 2 5
2 3 12
3 2 xy
2.化简:
（1） 49 121
1 4 288 1
x
72
（2） 225
（3） 4 y
（4） 16 ab 2 c 3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm，求这个
矩形的面积。
4：如图，在ABC中，∠C=90°,
A
AC=10cm, BC=20cm.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a0) 化简.
化简二次根式的步骤：
1、把被开方数分解因式(或因数) ；
2、 把各因式(或因数)积的算术平方根化 为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3、如果因式中有平方式(或平方数)， 应用关系式 a2 =a(a≥0)把这个因式(或 因数)开出来，将二次根式化简
诗歌讲究“起、承、转、合”，这 两句在结构上是暗转过渡，为表现主人 公的情绪由欢欣洋溢转变为下面的黯然 销魂作铺垫。
“还顾望旧乡，长路漫浩 浩。”这两句里有乡”在“漫漫”长路的那 头，看不到也望不着，“旧乡”的爱 人此时也正凝眸相望吗？相爱却不得 相见，浓浓的相思之情溢于言表。这 两句将“远道”意思说尽。
求：AB.
解:
B
C
A2 B A2 C B2C
AB AC 2BC 2
102202 500 120 5 1 05 10 5(c) m
答：AB长 10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算
术平方根。
a•
b
ab a≥0,b≥0
ab a• b (a0,b0)
2.化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
?
2、16 25 _ 20_1 _ 6 ,25 2_0 __
用你发现的规律填空,并用计算器验算
1、 2 3_＝__ 6;
2、 2 5 _＝__ 10
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a • b ab (a≥0,b≥0)
我们把 a · b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) 从右至左 看，就可得
诗歌鉴赏品味
1、诗歌中的抒情主人公表达感情的方式是什么？ 其目的是什么？ （提示：方式是试图采摘芙蓉，目的是“遗”远 方的“同心”者）
2、诗歌描写“多芳草”和“兰泽”有什么艺术作 用？
这是环境描写，意在从侧面烘托主人公形象 的雅洁和所表达感情的纯洁和美好。
4.三、四句一问一答,在诗歌中具有怎 样的表达作用？
请诵读全诗——
还道所谁采草兰蓉涉 涉 顾。思？之。泽，江 江 望在欲多采采 旧远遗芳芙芙
蓉
❖译文
踏过江水去采芙蓉，美丽的水 泽中长满香草。
采了荷花要送给谁呢？想要送 给那远方的爱人。
回望那一起生活过的故乡，长 路漫漫而又四野茫茫。
两心相爱却又各在一方，愁苦 忧伤以至终老异乡。
《涉江采芙蓉》首句提到“芙蓉 ”，这对全诗的意境营造有什么作用 ？
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a0) 化简
自我检测
1.下列运算正确的是
[ A]
2.填空
选做题 (A组)
- 4 13
√
8.64 -3- 10
选做题 (B组)
√ √
√
涉 江 采 芙 蓉
梁代萧统收在《昭明文选》中，因共 有十九首，故题为《古诗十九首》。
五言诗成熟期的代表作，刘勰说它是 “五言诗之冠冕”。钟嵘称它“天衣无 缝，一字千金”。 用平浅质朴的文字表现深厚的感情
五、六句的“还顾”、“漫浩浩” 具有怎样的表达作用？
“还顾”一词，动作性和画面感很强， 清晰地表现了主人公孤独、忧愁、怅惘的形 象和心情。“漫浩浩”一词是写主人公环顾 所见“旧乡”的距离，给人以路途绵延无尽 的感觉。这两个词含蓄地传达了主人公极度 痛苦的心情，可是又没有直接点明主人公的 痛苦，这样就给读者留下了很大的想象空 间，具有含蓄不尽的艺术效果。
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别
是 7 cm和3 7 cm，求这张长方
形图片的面积. 解 37 7 3 7 2 1 c m 2.
答：这张长方形图片的面积为21 c m 2 .
练习:计算
(1) 67
(2) 132 2
解:
(1) 6 7 67 42
(2) 1 32 132 164
a ·b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
利用上述公式，可以进行二次根式的 乘法运算．
例1 计算：
(1) 3 × 6 ；
(2)
1× 3
72 .
例2 计算：
( 1 )2 3 5 21 ；
( 2 )3
2 (
18 4
)
.
3 ) 16 81 4 ) 4 a 2 b 3 ;
一般的：
a b ab（a≥0，b≥0）
反过来：
ab a b（a≥0，b≥0）
在本章中，如果没有特别说明， 所有的字母都表示正数．
想一想？
( 4)( 9)( 4)( 9) 成立吗？为什么？
ab a• b (a0,b0)
(4) (9)
36 6
非 负
数
计算：
1. 14 7 2.35210
3. 3x 1 xy
3
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子a(a0)叫做二次根式
2.两个基本性质:
a 2=a (a≥ 0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣ = -a (a＜0)
合作学习
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
思考： 1、 4 × 9 =_6___ 49 _6____
《 古 诗 十
从内容上看，主要抒写游子失志无成 和思妇离别之情，突出地表现了当时中下 层士子的不满不平以至玩世不恭、颓唐享 乐的思想情绪，真实地从这一侧面反映出 东汉后期政治混乱、败坏、没落的时代面 貌。 艺术上继承了《诗经》和《楚辞》的传 统，吸收了汉乐府的营养，创造出一种独 特的艺术风格，被称为“五言之冠冕”。
以花草赠给亲朋是古人常有的 一种行为，你对这种行为怎么理解或 者说，表达的是什么感情？
芙蓉，即荷花。荷花给人以清幽、 高洁的感觉。屈原的作品里也视“荷” 为香草，认为它具有美好的品质。因 此，起首“涉江采芙蓉”一句，营造了 清幽、高洁的意境。
花草娇嫩美丽，同时又给人欣欣向 荣的感觉。以花草赠亲朋，既传达了对 亲朋的关怀、思念等感情，又寄托了对 亲朋的美好祝愿。
2
2
1.化简：
练习1： 2 5
2 3 12
3 2 xy
2.化简:
（1） 49 121
1 4 288 1
x
72
（2） 225
（3） 4 y
（4） 16 ab 2 c 3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm，求这个
矩形的面积。
4：如图，在ABC中，∠C=90°,
A
AC=10cm, BC=20cm.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a0) 化简.
化简二次根式的步骤：
1、把被开方数分解因式(或因数) ；
2、 把各因式(或因数)积的算术平方根化 为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3、如果因式中有平方式(或平方数)， 应用关系式 a2 =a(a≥0)把这个因式(或 因数)开出来，将二次根式化简
诗歌讲究“起、承、转、合”，这 两句在结构上是暗转过渡，为表现主人 公的情绪由欢欣洋溢转变为下面的黯然 销魂作铺垫。
“还顾望旧乡，长路漫浩 浩。”这两句里有乡”在“漫漫”长路的那 头，看不到也望不着，“旧乡”的爱 人此时也正凝眸相望吗？相爱却不得 相见，浓浓的相思之情溢于言表。这 两句将“远道”意思说尽。
求：AB.
解:
B
C
A2 B A2 C B2C
AB AC 2BC 2
102202 500 120 5 1 05 10 5(c) m
答：AB长 10 5 cm.
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算
术平方根。
a•
b
ab a≥0,b≥0
ab a• b (a0,b0)
2.化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
?
2、16 25 _ 20_1 _ 6 ,25 2_0 __
用你发现的规律填空,并用计算器验算
1、 2 3_＝__ 6;
2、 2 5 _＝__ 10
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a • b ab (a≥0,b≥0)
我们把 a · b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) 从右至左 看，就可得
诗歌鉴赏品味
1、诗歌中的抒情主人公表达感情的方式是什么？ 其目的是什么？ （提示：方式是试图采摘芙蓉，目的是“遗”远 方的“同心”者）
2、诗歌描写“多芳草”和“兰泽”有什么艺术作 用？
这是环境描写，意在从侧面烘托主人公形象 的雅洁和所表达感情的纯洁和美好。
4.三、四句一问一答,在诗歌中具有怎 样的表达作用？
请诵读全诗——
还道所谁采草兰蓉涉 涉 顾。思？之。泽，江 江 望在欲多采采 旧远遗芳芙芙
蓉
❖译文
踏过江水去采芙蓉，美丽的水 泽中长满香草。
采了荷花要送给谁呢？想要送 给那远方的爱人。
回望那一起生活过的故乡，长 路漫漫而又四野茫茫。
两心相爱却又各在一方，愁苦 忧伤以至终老异乡。
《涉江采芙蓉》首句提到“芙蓉 ”，这对全诗的意境营造有什么作用 ？
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a0) 化简
自我检测
1.下列运算正确的是
[ A]
2.填空
选做题 (A组)
- 4 13
√
8.64 -3- 10
选做题 (B组)
√ √
√
涉 江 采 芙 蓉
梁代萧统收在《昭明文选》中，因共 有十九首，故题为《古诗十九首》。
五言诗成熟期的代表作，刘勰说它是 “五言诗之冠冕”。钟嵘称它“天衣无 缝，一字千金”。 用平浅质朴的文字表现深厚的感情
五、六句的“还顾”、“漫浩浩” 具有怎样的表达作用？
“还顾”一词，动作性和画面感很强， 清晰地表现了主人公孤独、忧愁、怅惘的形 象和心情。“漫浩浩”一词是写主人公环顾 所见“旧乡”的距离，给人以路途绵延无尽 的感觉。这两个词含蓄地传达了主人公极度 痛苦的心情，可是又没有直接点明主人公的 痛苦，这样就给读者留下了很大的想象空 间，具有含蓄不尽的艺术效果。
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别
是 7 cm和3 7 cm，求这张长方
形图片的面积. 解 37 7 3 7 2 1 c m 2.
答：这张长方形图片的面积为21 c m 2 .
练习:计算
(1) 67
(2) 132 2
解:
(1) 6 7 67 42
(2) 1 32 132 164
a ·b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
利用上述公式，可以进行二次根式的 乘法运算．
例1 计算：
(1) 3 × 6 ；
(2)
1× 3
72 .
例2 计算：
( 1 )2 3 5 21 ；
( 2 )3
2 (
18 4
)
.
3 ) 16 81 4 ) 4 a 2 b 3 ;
一般的：
a b ab（a≥0，b≥0）
反过来：
ab a b（a≥0，b≥0）
在本章中，如果没有特别说明， 所有的字母都表示正数．
想一想？
( 4)( 9)( 4)( 9) 成立吗？为什么？
ab a• b (a0,b0)
(4) (9)
36 6
非 负
数
计算：
1. 14 7 2.35210
3. 3x 1 xy
3
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.