2汇交力系、力偶系平衡
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理论力学第二章
1 1 1 3
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
二章节平面汇交力系与平面力偶系
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊 时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
第二章 汇交力系
同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。
新版理论力学(第二章)
FR FR2x FR2y 171.3N
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
第二章 平面汇交力系与力偶系
力系的分类:
汇交力系 ——各力的作用线均汇交于一点的力系。
力偶系——作用在物体上的一群力偶称为力偶系
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力 系,否则为空间力系。
一、 汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力系。根据力 的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公共作用点，所以汇交力 系有时也称为共点力系。 如果一个汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则该汇交力系 称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
y
F
y
l
解方程得杆AB，BC所受
的力
B
x
F FBA FBC 11.35 kN 2 sin
FAB
FBC
2. 选压块C为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
FCB
y
F F
x
0, 0,
FCx FCB cos 0 FCB sin FCy 0
B
F2
C
F3
D
F4
F3 FR
FR
E
F4
２. 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充分必要几何条件为：
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和为零。
F 0
F5 A F4 F1 F1
FRy F iy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FRx cos θ 0.7548 FR
FRy cos β 0.6556 FR
θ 40.99 , β 49.01
第二章 平面汇交力系与力偶系
力系的分类:
汇交力系 ——各力的作用线均汇交于一点的力系。
力偶系——作用在物体上的一群力偶称为力偶系
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力 系,否则为空间力系。
一、 汇交力系 若某力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力系。根据力 的可传性，各力作用线的汇交点可以看作各力的公共作用点，所以汇交力 系有时也称为共点力系。 如果一个汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则该汇交力系 称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
y
F
y
l
解方程得杆AB，BC所受
的力
B
x
F FBA FBC 11.35 kN 2 sin
FAB
FBC
2. 选压块C为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
FCB
y
F F
x
0, 0,
FCx FCB cos 0 FCB sin FCy 0
B
F2
C
F3
D
F4
F3 FR
FR
E
F4
２. 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充分必要几何条件为：
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和为零。
F 0
F5 A F4 F1 F1
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系
理论力学第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。
本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。
1．平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 1F ， 2F ， 3F ， 4F 的作用，各力作用线汇交于点A ，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A ，如图2-la 所示。
为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A 的合力R F ;还可以用更简便的方法求此合力R F 的大小与方向。
任取一点a ，先作力三角形求出1F 与2F 的合力大小与方向R1F ，再作力三角形合成R1F 与3F 得R2F ，最后合成R2F 与4F 得R F ，如图2-lb 所示。
多边形abcde 称为此平面汇交力系的力多边形，矢量ae 称此力多边形的封闭边。
封闭边矢量ae 即表示此平面汇交力系合力R F 的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A ，如图2-la 所示的R F 。
必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。
由此组成的力多边形abcde 有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。
多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。
根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc 所示。
总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。
设平面汇交力系包含n 个力，以R F 表示它们的合力矢，则有RF =1F +2F +…+nF =∑=n1i iF(2-1)合力R F 对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。
汇交力系、力偶系-文档资料
∑Y=0
利用这两个平衡方程，可求出两个未知量。它是解决平面汇 交力系平衡问题的基本方程。
第三章 力偶系
§3-1
力对点之矩 §3-2 力偶及力偶矩 §3-3 力偶的等效条件和性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
第二章 汇交力系
平面汇交力系：合成和平衡
几何法 解析法
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 ④平面一般力系
平面力系
平面特殊力系
平面任意力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 例：起重机的挂钩。 汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
§2-1 几何法
y
B
x
F1
A D
由平衡方程： B
F
y
x
0
60 0
30 0
FBA F1 cos 600 F2 cos 300 0
C P
F
y
0
FBA
FBC F1 cos 300 F2 cos 600 0
解得：
60 F2 0 30 x 0 F1 FBC
B
FBA 0.366 P 7.321kN
力在空间坐标系的投影为
Fx=Fcos ：
Fy=F cos
F F cos z
F
F 2 F 2 F2 x y z
四、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X1X2 X4 X
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
01静力学2(平面汇交力系、力偶系)
B
—
1
Y 0
FAC P cos30 T cos60 0
X
FAC 27.32kN
FAB
FBC
Y
T
A
P
静 力矩的性质： 力 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 学 2、力作用线过矩心时，此力对矩心之矩等于零 平 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 面 汇 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶 交 矩 力 系 、 力 偶 系 —
静 力 学 — 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系
3.平面汇交力系的平衡 ຫໍສະໝຸດ 面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的合力等于零
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
静 力 学 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系 — —
静 §2-3力对点之矩的概念及计算 力 力对点之矩是度量力对刚体产生转动效应的物理量。 学 1．力对点之矩(力矩) 平 *平面中力对点之矩(代数量) 面 汇 m0 ( F ) Fh 2OAB 交 r F r F sin 力 系 *空间中力对点之矩(矢量) 、 m0 ( F ) r F 力 m 0 ( F ) OAB 偶 m 0 ( F ) 2OAB 系
平 面 FR F 1F 2 F n 汇 交 r FR r ( F 1F 2 F n) 力 M ( F ) M ( F ) M ( F ) M ( 系 O R O 1 O 2 O Fn ) 、 M O (F) 力 当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则 偶 系 各力对任意点之矩的代数和也为零.
tan
FRY FRX
合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一 轴上投影的代数和.
—
1
Y 0
FAC P cos30 T cos60 0
X
FAC 27.32kN
FAB
FBC
Y
T
A
P
静 力矩的性质： 力 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 学 2、力作用线过矩心时，此力对矩心之矩等于零 平 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 面 汇 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶 交 矩 力 系 、 力 偶 系 —
静 力 学 — 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系
3.平面汇交力系的平衡 ຫໍສະໝຸດ 面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的合力等于零
FR ( X i ) 2 ( Yi ) 2 0
静 力 学 平 面 汇 交 力 系 、 力 偶 系 — —
静 §2-3力对点之矩的概念及计算 力 力对点之矩是度量力对刚体产生转动效应的物理量。 学 1．力对点之矩(力矩) 平 *平面中力对点之矩(代数量) 面 汇 m0 ( F ) Fh 2OAB 交 r F r F sin 力 系 *空间中力对点之矩(矢量) 、 m0 ( F ) r F 力 m 0 ( F ) OAB 偶 m 0 ( F ) 2OAB 系
平 面 FR F 1F 2 F n 汇 交 r FR r ( F 1F 2 F n) 力 M ( F ) M ( F ) M ( F ) M ( 系 O R O 1 O 2 O Fn ) 、 M O (F) 力 当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零,则 偶 系 各力对任意点之矩的代数和也为零.
tan
FRY FRX
合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一 轴上投影的代数和.
02.第二篇汇交力系
第二章 汇 交 力 系
汇交力系和力偶系是基本力系，任何复杂的力系都可以 等效简化为一个汇交力系和一个力偶系，所以汇交力系 和力偶系的合成是任何复杂力系简化的基础。
本章研究汇交力系的合成和平衡。
§2-1 汇交力系的合成
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2.1 汇交力系的合成
§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 二、汇交力系合成的几何法 三、汇交力系合成的解析法
Fz FR
若汇交力系是平面汇交力系，在与平面垂直Z轴方向的 合力∑Fz≡0，只有
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
FRy FR
FRx
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2-2 汇交力系的平衡条件
在汇交力系合成（几何法和解析法）后，得到合力 FR，汇交力系何时是平衡的？平衡的概念！二力平衡 公理。
三、 汇交力系平衡的的解析条件
平面汇交力系解析合成结果：
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
平面汇交力系平衡的 平衡方程：
Fy F
Fx
FR
Fx 2
Fy 2 0
Fx 0 Fy 0
例2-2 如图所示, 重物G=20kN, 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上, 钢
F4 F3
FR
F3
F4
F2
F2
F1
F1
F1
用力多边形求合力的方法叫力多边形法 ，几何法。几何法多用于 平面汇交力系的合成。
§2.1 汇交力系的合成
汇交力系可简化为一个合力, 其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和（几何和）, 合力作用线通过汇交 点。合力与几何合成力的顺序无关。
汇交力系和力偶系是基本力系，任何复杂的力系都可以 等效简化为一个汇交力系和一个力偶系，所以汇交力系 和力偶系的合成是任何复杂力系简化的基础。
本章研究汇交力系的合成和平衡。
§2-1 汇交力系的合成
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2.1 汇交力系的合成
§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 二、汇交力系合成的几何法 三、汇交力系合成的解析法
Fz FR
若汇交力系是平面汇交力系，在与平面垂直Z轴方向的 合力∑Fz≡0，只有
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
FRy FR
FRx
§2-2 汇交力系的平衡条件
§2-2 汇交力系的平衡条件
在汇交力系合成（几何法和解析法）后，得到合力 FR，汇交力系何时是平衡的？平衡的概念！二力平衡 公理。
三、 汇交力系平衡的的解析条件
平面汇交力系解析合成结果：
FR Fx 2 Fy 2
tan FRy Fy
FRx
Fx
平面汇交力系平衡的 平衡方程：
Fy F
Fx
FR
Fx 2
Fy 2 0
Fx 0 Fy 0
例2-2 如图所示, 重物G=20kN, 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上, 钢
F4 F3
FR
F3
F4
F2
F2
F1
F1
F1
用力多边形求合力的方法叫力多边形法 ，几何法。几何法多用于 平面汇交力系的合成。
§2.1 汇交力系的合成
汇交力系可简化为一个合力, 其合力的大小与方向等 于各分力的矢量和（几何和）, 合力作用线通过汇交 点。合力与几何合成力的顺序无关。
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
且在同一平面内，由平面力偶系的合成理论．其合力偶矩为
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
2汇交力系、力偶系平衡
摇杆 FA
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
F'= F''=F
B F''
d
F A B
d
B
d
F
A
F B A
M
F'
M
A
附加力偶矩：M=MB(F)=±Fd
2. 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 各力向矩心平移
矩心 Fn
F1 O
平面汇交力系 平面力偶系
Fn F1 Fi
Fi
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
F'= F''=F
B F''
d
F A B
d
B
d
F
A
F B A
M
F'
M
A
附加力偶矩：M=MB(F)=±Fd
2. 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 各力向矩心平移
矩心 Fn
F1 O
平面汇交力系 平面力偶系
Fn F1 Fi
Fi
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
材料力学工程构件静力学平衡问题
13
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 平衡方程为：
-例题
sin F sin 0 Xi 0 ， F CB AB 2
(4)
Y i 0
F cos F cos 0(5) N B CB AB ， F 2
14
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 由（4）和（5）解得：
26
3.3 平面一般力系的例题
例3-5 起重机水平梁AB，A处为固定铰链支座，DC为 钢索。已知梁重G1=2.4KN，电动小车与重物共重 G2=16KN，尺寸如图（a）所示。试求当电动小车 在图示位置时，钢索的拉力和铰链支座A的约束力。
27
3.3 平面一般力系的例题 解： 取梁AB为研究对象 分析受力，作用于梁AB的力，除其自重G1外，在B处 受载荷G2的作用，C处有钢索拉力FT，铰链支座A处的 约束力为FAx和FAy，受力图如图（b）所示。梁AB在 平面任意力系作用下处于平衡。
例3-1 如图a所示为一简单的起重设备。
-例题
AB和BC两在A,B,C三处用铰链连接。在 B处的销钉上装一不计重量的光滑小滑轮 ，绕过滑轮的起重钢丝绳，一端悬重为 G=1.5KN的重物，另一端绕在卷扬 机绞盘D上。当卷扬机开动时， 可将重物吊起，设AB和BC 两杆的自重不计，小滑轮 尺寸亦不考虑，并设重 物上升时匀速的， 试求AB杆和BC杆所受的力.
FAy为负值，表明受力图中FAy的实际指向与图中 的假设相反。
注：本题可用二矩式及三矩式平衡方程求解。取A、 C为矩心，二矩式平衡方程为
X 0 ， F F cos 0 Ax T
M ( F ) 0 . 6 F sin 2 . 7 G 5 . 4 G 0 ，3 A T 1 2
理论力学2—平面汇交力系与平面力偶系
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大, 这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
MO (F) Fh 2AOAB
力矩的单位常用N·m或kN·m。
(1)2.合3力.2矩合定力理 矩定理与力矩的解析表达式
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F')表示，
M Fd 2 AABC
A
F Dd
B
C
F'
平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大, 这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
F Ptg
NB
P
cos
又由几何关系： tg
r2 (rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
MO (F) Fh 2AOAB
力矩的单位常用N·m或kN·m。
(1)2.合3力.2矩合定力理 矩定理与力矩的解析表达式
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F')表示，
M Fd 2 AABC
A
F Dd
B
C
F'
平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
1
引 言
力系 平面力系
空间力系
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面一般力系/平面任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 平面平行力系： 各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系是其中的一种特殊情况。 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内但既不 汇交于一点 也 不相互平行的力系。
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个力的合成
力的平行四边形法
力的三角形法
3
2. 多个力的合成 F1+F2 =R12; F1+F2 +F3 =R12 +F3 =R123;
F1
F2 F1 o F4 R12 R R123
F1+F2 +F3 +F4 =R123 +F4 =R
即
n
mi 0
i 1
26
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
m 2 F2 d 2
合力矩
M R A d ( P1 P2' ) d P1 d P2' d m 1 m 2
25
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
1
引 言
力系 平面力系
空间力系
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面一般力系/平面任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 平面平行力系： 各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系是其中的一种特殊情况。 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内但既不 汇交于一点 也 不相互平行的力系。
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个力的合成
力的平行四边形法
力的三角形法
3
2. 多个力的合成 F1+F2 =R12; F1+F2 +F3 =R12 +F3 =R123;
F1
F2 F1 o F4 R12 R R123
F1+F2 +F3 +F4 =R123 +F4 =R
即
n
mi 0
i 1
26
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
m 2 F2 d 2
合力矩
M R A d ( P1 P2' ) d P1 d P2' d m 1 m 2
25
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
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摇杆 FA
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
F3 F4
F4 F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢 同起点 并与最后分力同终点。
2. 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡条件：合力 FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件—— 力多边形自行封闭。
F5
F1 F2 F4 F3
F2 F1 F3 F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。 解：取梁AB为研究对像，画受力图
MO (F) = MO(Ft)+ MO (Fr)
= Fcos ×0.06+ 0 = 1400cos20o×0.06
120
Fr= Fsin F
Ft= Fcos
O
= 78.93 N.m
3.力偶和力偶矩
力偶实例
力偶与力偶矩
力偶的定义：大小相等，方向相反, 不共线的两个
平行力称为力偶，记为（F , F ′)。
a
x'
Fx>0 F
b
x
Fx<0
x
力在直角坐标轴上的投影
y
y'
力的投影
F
b
Fx=Fcos
Fy=Fcosβ
b′
B
Fy
a′
A a
x' Fx
b
力的解析表达式
F=Fx+Fy =Fx i +Fy j
O
y
x
F
Fy
b
i , j 为 x , y 方向的单位矢量。
j O
i
Fx
x
力的投影与分力间的关系 在直角坐标轴上 力的投影与分力大小相同
取杆BC，画受力图。
M 0
r F M2 0 sin
' A
M1
O
FO
解得
' A
FA’
FB
r 0.5 M2 F 8 0 sin sin 30 8 kN m
FB FA 8kN
讨论
力多边形如图所示，求合力FR
是否平衡？
F3 F1 F2 F1 F2 F3
力偶矩：度量力偶使物体产生的转动效应。 力偶矩 M (F，F ′)=±F﹒d 力偶矩是代数量 单位 N.m, kN.m 正负号规定： 逆时针转向为正， 顺时针转向为负。
力偶的性质
力偶与力偶矩
(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。 (2)力偶在任意轴上的投影为零。 (3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。
大小， P=20kN 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆， 取滑轮B，画受力图。F1=F2=P 用解析法，建图示坐标系
F
x
0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
FBA
B
y
FBC
解得 FBA 0.366P 7.321kN （压力） F2 60°
F
y
0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
30°
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
F1
x
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
1.力对点之矩（力矩） 是度量力使物体产生转动效应的物理量。 力F 对O点之矩 ,为 MO(F )=±F﹒h =±2AΔOAB 力矩的单位为 N.m, kN.m
力矩的正负号规定：逆时针转向为正，反之为负。
力臂 矩心 O
h F
O
AΔOAB
r A
B F
注意：同一个力对不同的点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为
力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
F A dA C dB B
MA(F )=F﹒dA
MB(F )=-F﹒dB MC(F )=0 力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
用几何法，画封闭力三角形。 力多边形自行封闭，构成直角三角形 FA=FB= Wcos45°= 10 cos45°= 7.07kN
F
C C
从已知力 开始45°FB来自PA α=45°
α
B
Aα
FA
P
FB
α
45°
FA
B
P
例2-1
已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计
F
B
求：DC杆及铰链A的受力。
解：DC为二力杆，取AB杆，画受力图。
M 0
解得
l
FAl M1 M 2 M 3 0
M 1 M 2 M 3 10 10 20 FA FB 200 N 3 l 200 10
已知： M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 求：平衡时的M2 及铰链O，B处的约束力。
2.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和。
MO(FR )=∑MO(Fi )
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。 F=1400N , =20o
F
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。 F=1400N , =20o 合力矩定理
4.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR Fx Fy ( Fxi ) ( Fyi ) 0
2 2 2 2
n
平衡方程
y F1
F
i 1 n i 1
xi
0 0
F2 j O
Fn i F3
F
x
yi
平衡方程简记为
F F
x
0 0
y
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
4.同平面内力偶的等效定理
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等， 则两力偶彼此等效。
力偶与力偶矩
推论1 力偶的可移性
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面
内任意移动，其对刚体的作用效果不变
力偶与力偶矩
推论2
M=20kN.m
力偶的可改装性
10kN 2m M=20kN.m 20kN 20kN 1m
10kN
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
a
F b a
A
√a2+b2
Fx
MA(F)=MA(Fy)+ MA(Fx)
F sin a a b 0
2 2
F a b sina
2 2
作 业
P. 63
2-1 , 2-6, 2-7 , 2-8
再见
第二章 平面力系
平面汇交力系
平面力系(力的作用线共面）
平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1 平面汇交力系 1. 平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则
合成原理：力的平行四边形法则 （力三角形） 合成方法：力多边形法则
F1
F2
F2
F1
合力 F R
F2 F3 F4 F1
合力 F R
F12 F123
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂
大小，其作用效果不变
力偶与力偶矩
力偶的三要素：
力偶矩的大小,力偶的转向,力偶的作用面。
力偶的表示 M
M M
单位
N.m
5. 平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系合成一个力偶 平面力偶系平衡方程
M=ΣMi
ΣMi =0
M
M3
例2-5 已知： M1=M2=10 N.m , M3=20 N.m , l =200 mm 求：光滑螺柱A、B 所受水平力 解：由于力偶只能由力偶平衡， A、B 所受水平力必为力偶
用几何法，画封闭力三角形。 按比例量得
E
D A
45° C
FA
A
45°
F
C B 从已知力 开始
FA
FC
F
45°
FC
3.平面汇交力系合成的解析法
1）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
力在轴上的投影 Fx=Fcos
A
F B
投影的正负号规则 从起点到终点 与轴的正向相同时， 投影为正； 相反时为负。 注意：力的投影是标量
FR=2F1
FR=0
讨论
各力分别作用在矩形刚体的四个角点处， 大小如图所示。
刚体是否平衡？为什么？
F2 F1 F1 F2
F'1 F' 2
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
F3 F4
F4 F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢 同起点 并与最后分力同终点。
2. 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡条件：合力 FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件—— 力多边形自行封闭。
F5
F1 F2 F4 F3
F2 F1 F3 F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。 解：取梁AB为研究对像，画受力图
MO (F) = MO(Ft)+ MO (Fr)
= Fcos ×0.06+ 0 = 1400cos20o×0.06
120
Fr= Fsin F
Ft= Fcos
O
= 78.93 N.m
3.力偶和力偶矩
力偶实例
力偶与力偶矩
力偶的定义：大小相等，方向相反, 不共线的两个
平行力称为力偶，记为（F , F ′)。
a
x'
Fx>0 F
b
x
Fx<0
x
力在直角坐标轴上的投影
y
y'
力的投影
F
b
Fx=Fcos
Fy=Fcosβ
b′
B
Fy
a′
A a
x' Fx
b
力的解析表达式
F=Fx+Fy =Fx i +Fy j
O
y
x
F
Fy
b
i , j 为 x , y 方向的单位矢量。
j O
i
Fx
x
力的投影与分力间的关系 在直角坐标轴上 力的投影与分力大小相同
取杆BC，画受力图。
M 0
r F M2 0 sin
' A
M1
O
FO
解得
' A
FA’
FB
r 0.5 M2 F 8 0 sin sin 30 8 kN m
FB FA 8kN
讨论
力多边形如图所示，求合力FR
是否平衡？
F3 F1 F2 F1 F2 F3
力偶矩：度量力偶使物体产生的转动效应。 力偶矩 M (F，F ′)=±F﹒d 力偶矩是代数量 单位 N.m, kN.m 正负号规定： 逆时针转向为正， 顺时针转向为负。
力偶的性质
力偶与力偶矩
(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。 (2)力偶在任意轴上的投影为零。 (3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。
大小， P=20kN 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆， 取滑轮B，画受力图。F1=F2=P 用解析法，建图示坐标系
F
x
0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
FBA
B
y
FBC
解得 FBA 0.366P 7.321kN （压力） F2 60°
F
y
0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
30°
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
F1
x
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
1.力对点之矩（力矩） 是度量力使物体产生转动效应的物理量。 力F 对O点之矩 ,为 MO(F )=±F﹒h =±2AΔOAB 力矩的单位为 N.m, kN.m
力矩的正负号规定：逆时针转向为正，反之为负。
力臂 矩心 O
h F
O
AΔOAB
r A
B F
注意：同一个力对不同的点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为
力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
F A dA C dB B
MA(F )=F﹒dA
MB(F )=-F﹒dB MC(F )=0 力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
用几何法，画封闭力三角形。 力多边形自行封闭，构成直角三角形 FA=FB= Wcos45°= 10 cos45°= 7.07kN
F
C C
从已知力 开始45°FB来自PA α=45°
α
B
Aα
FA
P
FB
α
45°
FA
B
P
例2-1
已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计
F
B
求：DC杆及铰链A的受力。
解：DC为二力杆，取AB杆，画受力图。
M 0
解得
l
FAl M1 M 2 M 3 0
M 1 M 2 M 3 10 10 20 FA FB 200 N 3 l 200 10
已知： M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 求：平衡时的M2 及铰链O，B处的约束力。
2.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和。
MO(FR )=∑MO(Fi )
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。 F=1400N , =20o
F
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。 F=1400N , =20o 合力矩定理
4.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR Fx Fy ( Fxi ) ( Fyi ) 0
2 2 2 2
n
平衡方程
y F1
F
i 1 n i 1
xi
0 0
F2 j O
Fn i F3
F
x
yi
平衡方程简记为
F F
x
0 0
y
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
4.同平面内力偶的等效定理
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等， 则两力偶彼此等效。
力偶与力偶矩
推论1 力偶的可移性
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面
内任意移动，其对刚体的作用效果不变
力偶与力偶矩
推论2
M=20kN.m
力偶的可改装性
10kN 2m M=20kN.m 20kN 20kN 1m
10kN
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
a
F b a
A
√a2+b2
Fx
MA(F)=MA(Fy)+ MA(Fx)
F sin a a b 0
2 2
F a b sina
2 2
作 业
P. 63
2-1 , 2-6, 2-7 , 2-8
再见
第二章 平面力系
平面汇交力系
平面力系(力的作用线共面）
平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1 平面汇交力系 1. 平面汇交力系合成的几何法 力多边形法则
合成原理：力的平行四边形法则 （力三角形） 合成方法：力多边形法则
F1
F2
F2
F1
合力 F R
F2 F3 F4 F1
合力 F R
F12 F123
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂
大小，其作用效果不变
力偶与力偶矩
力偶的三要素：
力偶矩的大小,力偶的转向,力偶的作用面。
力偶的表示 M
M M
单位
N.m
5. 平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系合成一个力偶 平面力偶系平衡方程
M=ΣMi
ΣMi =0
M
M3
例2-5 已知： M1=M2=10 N.m , M3=20 N.m , l =200 mm 求：光滑螺柱A、B 所受水平力 解：由于力偶只能由力偶平衡， A、B 所受水平力必为力偶
用几何法，画封闭力三角形。 按比例量得
E
D A
45° C
FA
A
45°
F
C B 从已知力 开始
FA
FC
F
45°
FC
3.平面汇交力系合成的解析法
1）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
力在轴上的投影 Fx=Fcos
A
F B
投影的正负号规则 从起点到终点 与轴的正向相同时， 投影为正； 相反时为负。 注意：力的投影是标量
FR=2F1
FR=0
讨论
各力分别作用在矩形刚体的四个角点处， 大小如图所示。
刚体是否平衡？为什么？
F2 F1 F1 F2
F'1 F' 2