数学奥林匹克高中训练题(37)(精编)

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数学奥林匹克高中训练题_170及解析

数学奥林匹克高中训练题_170注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知{|430,}A x x x x R =-+<∈，12{|20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是．2.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点P (−2,0)到其渐近线的距离为2√63.若过点P 作斜率为√22的直线交双曲线于A 、B 两点，交y 轴于点M ，且PM 是PA 与PB 的等比中项，则双曲线的半焦距为_______________. 3.在棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,已知O 1是底面A 1B 1C 1D 1的中心,M 是棱BB 1上的点,且S △DBM :S △O 1B 1M =2:3.则四面体O 1ADM 的体积为______.4.已知f (x )满足f (x )+f (x−1x)=1+x (x ≠0,1),则g (x )=x −2f (x )的值域是______.5.已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤， ()2235b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是．6.已知D 是边长为1的正△ABC 边BC 上的点,△ABD 、△ACD 的内切圆半径分别为r 1、r 2.若满足r 1+r 2=√35的点D 有两个(设为D 1、D 2),则D 1D 2=______.7.在任何n 个连续的正整数中,使得必有一数其各位数字之和是7的倍数成立的最小的正整数n=______.8.已知正整数数列{a n }首项为2013,末项为1,且对任意的k ≥2均有a k <√a k−1.则满足条件的数列{a n }共有______个.二、解答题1)数表中,每行均是等差数列,每列各数平方后为等差数列.证明：左上⨯右下=左下⨯右上.10.已知⊙C:(x−4)2+(y −3)2=36,定点P (1,0),定直线l 和⊙C 上的动点Q 满足：P 、Q 在直线l 的同侧,点C 在直线l 的另一侧.以P 、Q 为焦点作与直线l 相切的椭圆E ,且当Q在⊙C 上运动时,椭圆E 的长轴长为定值. (1)求直线l 的方程；(2)对于第一象限内任意2012个在椭圆E 上的点,是否一定可以将它们分成两组,使得其中一组点的横坐标之和不大于2013,另一组点的纵坐标之和不大于2013?请证明你的结论. 11.已知△ABC 三个内角分别为∠A 、∠B 、∠C .求2√2sinA +2√2sinB +sinC 的最大值.12.如图,在▱ABCD 中,已知P 为对角线BD 上一点,且满足∠PCB =∠ACD ,△ABD 的外接圆与AC 交于另一点E .证明：∠AED=∠PEB .13.已知复平面上的正n 边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式f (x )=x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0的n 个复根.求该正多边形面积的最小值.14.(1)若p 为奇素数,a 、b 、n∈N +,p |(a −b ),p|b,a≠b ,证明： p a ‖n⇔p a ‖a n −b na−b ;(2)若a,b 是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数n ,满足a n −b n是正整数.证明：a,b 也是正整数. 15.设n≥3(n ∈N +),(a 1,a 2⋯,a n )是任意的和为正数的n 个不同的实数,(b 1,b 2⋯,b n .)是这n 个数的一个排列.若对任意的k (k=1,2,⋯,n ),有∑b i ki=1>0,则称(b 1,b 2⋯,b n )是一个“好排列”.求好排列个数的最小值.参考答案1.41a -≤≤-【解析】1.试题∵2{|430,}A x x x x R =-+<∈{|13}x x =<<，∵120x a -+≤，∴12x a -≤-， ∴0a <且21log ()x a -≤-，即21log ()x a ≥--，∵A B ⊆，∴21log ()1a --≤，∴1a ≤-；而22(7)50x a x -++≤，22[2(7)]454561760a a a ∆=+-⨯=++>，∴77a x a +≤≤+A B ⊆，∴2717314440a a a a ⎧+-≤⎪⎪⎨++≥⎪++>⎪⎩， ∴4a ≥-；综上可得：41a -≤≤-.2.√3或√21【解析】2. 设渐近线的方程为y =kx .由题设得√1+k =2√63，解得k =±√2.故双曲线的渐近线方程为y =±√2x .设双曲线的方程为2x 2−y 2=λ(λ≠0).设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =√22(x +2)，代入双曲线方程消去y得3x 2−4x −2λ−4=0.当Δ=16+12(2λ+4)>0，即λ>−83时，上面的方程恰有两实根，且x 1+x 2=43，x 1x 2=−23(λ+2). 由题设知，PM 2=PA ⋅PB ，可化为|(x 1+2)(x 2+2)|=4⇒|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=4⇒|−23(λ+2)+2×43+4|=4.解得λ=2或λ=14.因此，双曲线的方程为2x 2−y 2=2或2x 2−y 2=14⇒x2−y22=1或x27−y214=1.所以，双曲线的半焦距为√1+2=√3或√7+14=√21. 故答案为：√3或√213.748【解析】3.如图,设O是底面ABCD的中心,则AO⊥平面DO1MS△DBM S△O1B1M =2BMB1M=23⇒BMB1M=13.于是,BM=14,B1M=34.故S△DO1M=S正方形D1B1BD =S△DD1O1−S△O1B1M−S△DBM=7√216.则V=棱镜A−O1MD=12×S△DO1M⋅AO=13×7√216×√22=748.4.(−∞,−4]∪(0，+∞)【解析】4.令φ(x)=x−1x.则φ2(x)=φ(φ(x))=φ(x−1x)=11−x,φ3(x)=φ(φ2(x))=φ(11−x)=x.此时,条件表示为f(x)+f(φ(x))=1+x⇒f(φ(x))+f(φ2(x))=1+φ(x)=2x−1x⇒f(φ2(x))+f(φ3(x))=2φ(x)−1()⇒f(φ2(x))+f(x)=2−x故2f(x)=1+x−2x−1x+2−x1−x⇒f(x)=x3−x2−12x(x−1)(x∈R\{0,1})检验,知其满足题设方程式.则g (x )=1x 2−x∈(−∞,−4]∪(0,+∞).5.185-【解析】5.试题由3a b c a ≤+≤得13b ca a≤+≤，由()2235b a a c b ≤+≤得22315b c b a a a ⎛⎫⎛⎫≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设,b c x y a a ==，则,x y 满足2213{ 315x y x y x ≤+≤≤+≤，平面区域如下图：令22b c z x y a -==-，即1122y x z =-，所以当1122y x z =-时， z 有最小值185-； 6.√65【解析】6. 设BD=x .由余弦定理得AD =√x 2−x +1.一方面,S △ABD=12×√32x ①另一方面,S △ABD =12(1+x +√x 2−x +1)r 1 ②由式①、②解得r 1=√36(1+x −√x 2−x +1)同理, r 2=√36(2−x −√x 2−x +1)故r 1+r 2=√36(3−2√x 2−x +1)=√35⇒x 2−x +19100=0设两个根分别为x 1、x 2,则D 1D 2=|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√65.7.13【解析】7.注意到,12个连续正整数994,995,…,1005中任一数的各位数字之和均不是7的倍数因此,n≥13.对每个非负整数a ,称如下10个数所构成的集合A a ={10a,10a +1,⋯,10a +9}为一个“基本段”.可见,13个连续正整数要么属于两个基本段,要么属于三个基本段.当13个连续数属于两个基本段时,由抽屉原理,知其中必有连续的七个数属于同一个基本段：当13个连续数属于三个基本段A a−1、A a 、A a+1时,其中必有连续十个数同属于A a . 设a a ⋯a a ,a a ⋯a (a +1),…, a k a k−1⋯a 1(a 0+6)是属于同一基本段的七个数,其各位数字之和分别为∑a i k i=0,∑a i +1,⋯,∑a i +6ki=0k i=0.显然,这七个和数被7除的余数互不相同.故其中必有一个是7的倍数. 因此,所求的最小值为n =13.8.201【解析】8.设首项为m 且满足题设条件的正整数数列{a n }的个数为b m . 则b m=b 1+b 2+⋯+b k (k 2+1≤m ≤(k +1)2).注意到,442+1=1937<2013<2025=452.易算得b 1=1, b 2=b 3=b 4=1,b 5=b 6=⋯=b 9=b 1+b 2=2,b 10=b 11=⋯=b 16=b 1+b 2+b 3=3, b 17=b 18=⋯=b 25=b 1+b 2+b 3+b 4=4, b 26=b 27=⋯=b 36=b 1+b 2+⋯+b 5=6, b 37=b 38=⋯=b 44=b 1+b 2+⋯+b 6=8. 所以,b 2013=b 1+b 2+⋯+b 44=201.9.见解析【解析】9.设a ij ＝a i +(j −1)d ；表示该数表中第i 行第j 列的数.则2a 22=a 12+a 32 ①2(a 2+d 2)2=(a 1+d 1)2+(a 3+d 3)2 ② 2(a 2+2d 2)2=(a 1+2d 1)2+(a 3+2d 3)2 ③由式①、②,①、③分别得2d22+4a2d2=d12+2a1d1+d32+2a3d3⇒2d22−d12−d32=−4a2d2+2a1d1+2a3d3④2d22+2a2d2=d12+a1d1+d32+a3d3⇒2d22−d12−d32=−2a2d2+a1d1+a3d3⑤由式④、⑤得2d22=d12+d32⑥2a2d2=a1d1+a3d3. ⑦将式⑦两边平方并将式①、⑥代入得(2a2d2)2=2a22(2d22)⇒(a12+a32)(d12+d32)=(a1d1+a3d3)2⇒(a1d3−a3d1)2=0⇒a1d3=a3d1进而,(a1+2d1)a3＝(a3+2d3)a1.考虑第1行的第1、n+1、2n+1列及第n+1行的第1、n+1、2n+1列及第2n+1行的第1、n+1、2n+1列的九个数.将这九个数构成一个新的3x3的数表仍满足每一行的数成等差数列,每一列的数的平方成等差数列,于是,原命题得证.10.（1）x+y=4（2）见解析【解析】10.(1)设点P关于直线l的对称点为P′.则P′Q过椭圆与直线l的切点.从而,P′Q=2a (即椭圆E 的长轴长)为定值.于是,点Q在以P′为圆心、2a为半径的圆上.由Q的任意性及Q在⊙C上,知2a=6.故点P′与C重合,即直线l为线段CP的中垂线.注意到,k cp=1⇒k l=−1.因为CP的中点为(52,32),所以,直线l的方程为x+y=4.(2)可以.设这2012个点为A i(x i,y i)(i=1,2,⋯,2012).由(1)知直线l的方程为x+y=4.又易知点A i在直线l的下方,故x i+y i≤4,且0≤x i≤4,0≤y i≤4(i=1,2,⋯,2012).不失一般性,不妨设x1≤x2≤⋯≤x2012.(i)若x1+x2+⋯+x2012≤2013,则将点A i(x i,y i)(i=1,2,⋯,2011)分为一组,点A2012作为一组符合题意.(ii)若x1+x2+⋯+x2012>2013,则存在k∈N+(k≤2011),使得x1+x2+⋯+x k≤2013,且x1+x2+⋯+x k+1>2013.于是,对任意的k≤j≤2012(j∈N+),有x j≥x k>2013k+1.故y k+1+y k+2+⋯+y2012≤(2012−k)(4−2013k+1)=2013−[2√k+1−k+1]2≤2013将点A i(x i,y i)(i=1,2,⋯,k)分为一组,点A i(x i,y i)(i=k+1,k+2,⋯,2012)分为一组.则前一组点的横坐标之和不大于2013,后一组点的纵坐标之和不大于2013.11.(3+√2)√2√2−1【解析】11.记S=2√2sinA+2√2sinB+sinC=4√2sin A+B2⋅cos A−B2+sinC.固定∠C,知当∠A=∠B时,S取最大值.此时,∠C＝π−2∠A,S=2sinA⋅(2√2+ cosA).记f(A)=2sinA⋅(2√2+cosA).考虑一般的ℎ(x)=sinx⋅(a+cosx)的最大值. 由柯西不等式及含参数的均值不等式有ℎ2(x)=1λ2sin2x⋅(λa+λcosx)2≤1λ2sin2x⋅(λ2+cos2x)(a2+λ2)≤1λ2(sin2x+λ2+cos2x2)2(a2+λ2)=1λ2(λ2+12)2(a2+λ2)等号成立当且仅当λ2=acosx,sin2x=λ2+cos2x.消去x得2λ4+a2λ2−a2=0.解得λ2=14(√a4+8a2−a2),cosx=14(√a2+8−a). 令a=2√2,得λ2=2√2−a,cosA=2−√22.即当∠A=arccos 2−√22时，f(A)max=(3+√2)√2√2−112.见解析【解析】12.由∠PCB =∠ACD ,知∠PCD =∠ACB =∠DAE .易知∠BDC =∠ABD =∠AED . 则△DPC ∽△EDA ⇒DP DE=CD AE=AB AE.又∠BAE =∠BDE ,故△DEP ∽△AEB ⇒∠DEP =∠AEB ⇒∠AED =∠PEB .13.n 2sin 2πn【解析】13.设正n 边形的中心对应的复数为a .将复平面的原点平移到a 后,则该正n 边形的顶点均匀分布在一个圆周上,即它们是方程(x −a )n =b (b 是某个复数)的解于是,f (x )＝x n+a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=−b +∑C n i ni=0x n−i (−a )i .对比x 各次项的系数,知−na=a n−1为整数,所以,a 为有理数；再结合n (−a )n−1=a 1为整数,故a 为整数.这样,由a 0=(-a)"-b 为整数,知b 为整数.上述讨论表明,该正n 边形的顶点对应的复数是整系数方程(x −a )n =b 的解.于是,其外接圆半径√|b |n≥1. 故此正n 边形的面积不小于n 2sin 2πn. 而方程x n=1的n 个根在复平面上对应一个正n 边形的n 个顶点,因此,该正多边形面积的最小值为n 2sin 2πn. 14.(1)见解析(2)见解析【解析】14. 设a−b ＝lp β(p|l,β∈N +).则a n −bna−b ＝1lp β[(b +lp β)n −b n ]=1lp β∑C n k (lp β)n k=1k b n−k =∑n kC n−1k−1l k−1p β(k−1)nk=1b n−k ① 设p r ‖n .只需证明：p r ‖a n −b na−b②因为p r ‖b n−1,而式①的其他项∑n kC n−1k−1l k−1p β(k−1)n k=1b n−k (K >1)中k 所含的p 的次数不大于k −2,所以,式②成立.(2)不妨设a=xz,b =yz(x 、y 、z ∈N +且(x,y,z )=1).则a n −b n∈Z ⇔z n |(x n −y n ) .分两种情形.(i)若2|z,设2α‖(x2−y2),n=2k l(l为奇数).则2n|(x n−y n)③因为(x,y,z)=1,所以,x、y均为奇数.故x n−y n=x2kl−y2kl=(x2k−y2k)[x2k(l−1)+⋯+y2k(l−1)]=(x2−y2)(x2+ y2)⋯(x2k−1+y2k−1)⋅[x2k(l−1)+⋯+y2k(l−1)].注意到,2α‖(x2−y2),2‖(x2+y2),2‖(x4+y4),…, 2‖(x2k−1+y2k−1),2|[x2k(l−1)+⋯+y2k(l−1)].于是,2α+(k−1)‖(x n−y n).结合式③有n≤α+(k−1).但n=2k l≥2k,故k≤log2n.所以,n≤α+log2n−1.上式只能对有限多个n成立,矛盾.(ii)存在奇素数p|z.设k为满足p|(x k−y k)的最小正整数.则若n∈N+,p|(x n−y n),即x n≡y n(modp)⇒(xy−1)n≡1(modp). ④因为x k≡y k(modp),所以,(xy−1)k≡1(modp). ⑤由式④、⑤知k|n.设pα‖(x k−y k),pβ‖n k则n k≥pβ⇒log p n≥β.由(1)知pβ‖x n−y nx k−y k于是,pα+β‖(x n−y n).因为z n|(x n−y n),所以,n≤α+β≤α+log p n.上式只能对有限个n成立,矛盾.15.(n−1)!【解析】15.一方面,当a1>0,吨,a2,a3⋯,a n均小于0时,易知好排列个数为(n−1)!.先证明：好排列个数的最小值就是(n−1)!对任意满足条件的a1,a2⋯,a n.将a1,a2⋯,a n放在圆周上,而圆排列的个数为(n−1)!. 接下来证明：任意一个圆排列均对应于题设所求的一个好排列,且不同的圆排列对应不同的好排列.设a1,a2⋯,a n的一个圆排列为c1,c2⋯,c n (约定c n+i=c i.),定义k元好排列(a 1,a 2⋯,a k )满足对任意的i (i=1,2,⋯,k ),∑a j >0i j=1,则(a 1,a 2⋯,a k )为k 元好排列.对所有的i ∈{1,2,⋯,n },取以c i 为第一项的好排列c i ,c i+1,⋯,c i+k ,易知这种好排列是存在的.一个正数就为1元好排列.取好排列中最长的一个,不妨设该好排列的第1项为c 1,长度为l ,即c 1,c 2⋯,c l 为好排列.(l)若l=n ,则结论得证. (2)若l <n ,则由l 的最大性知c 1+c 2+⋯+c l+1≤0.又c 1+c 2+⋯+c n >0,故c l+2+c l+3+⋯+c n >0.设t 0为使c t +c t+1+⋯+c n >0的最小的t ,则t 0≤n −l +1且c t 0,c t 0+c t 0+1,⋯,c t 0+c t 0+1+⋯+c n−1 均为正数.故(c t 0,c t 0+1,⋯,c n )为n−t 0+1元好排列. 于是,( c t 0,c t 0+1,⋯,c n ; c 1,c 2⋯,c l )为长度大于l 的好排列,矛盾.【注】若(c t 0,c t 0+1,⋯,c n )与(c 1,c 2⋯,c l )有重复项,则去掉c 1,c 2⋯,c l 中的重复项,同样可以得到长度大于l 的好排列.从而,l =n .因此,一个圆排列对应一个好排列.又显然不同的圆排列对应不同的好排列. 综上,好排列至少有(n −1)!个.。

数学奥林匹克高中训练题(35)及答案

数学奥林匹克高中训练题（35）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题35)|b|≤1是关于x的不等式acosx+bcos3x＞1(A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件(C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件2．(训练题35)三棱锥S—ABC中；SA⊥平面ABC；AB⊥AC；SA=AB；SB=BC；E为SC中点；ED⊥SC交AC于D．则二面角E—DB—C的度数为(C)．(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°3．(训练题35)图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e1、e2、e3、e4. 其大小关系为(C)．(A)e1＜e2＜e3＜e4 (B)e2＜e1＜e3＜e4(C)e1＜e2＜e4＜e3 (D)e2＜e1＜e4＜e34．(训练题35)设a、b、c∈R+. 则()f x=的最小值是(D)．5．(训练题35)设0.530.82,sin1,logx y z===则x、y、z的大小关系是(B)．(A)x＜y＜z (B)y＜z＜x (C)z＜x＜y (D)z＜y＜x6．(训练题35)（a；b）表示两正整数a、b的最大公约数. 设(a；b)=1；则(a2+b2；a3+b3)为(C)．(A)1 (B)2 (C)只能1或2 (D)可能大于2二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题35)如果x2－x+2是ax9+bx8+1的因式；则a=3256-．2．(训练题35)四个城市各派3名政协委员参加k个小组考察活动（每名委员可参加几个小组）；规定：①同一城市的委员不在同一组；②不同城市的任意两名委员恰好共同参加一个组活动. 则k的最小值为 9组．3．(训练题35)坐标平面上横、纵坐标均为整数的点称为整点. 那么抛物线y=x2+1与直线2x－y+81=0所围成闭区域内（包括边界）的整点个数是 988 ．4．(训练题35)设1997199919982012(3).nnx x a a x a x a x++=++++则12403222a a aa a--+-531323222k kk na a aa a++-++--++=19982．5．(训练题35)正有理数a ＞1；写成既约分数,(,) 1.q a p q p== 则满足pq=30!的正有理数a 的个数为 512 ． 6．(训练题35)△ABC 中；角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c. 若a 2+b 2－7c 2=0；则ctgC ctgA ctgB =+ 3 ．三、(训练题35)(本题满分20分)设实数,x y 满足22 5.x y +≤ 求(,)3|||49||7318|f x y x y y y x =++++--的最大值、最小值.．四、(训练题35)(本题满分20分)已知坐标平面内点A （1；1）与直线l : x=3；动点P 到点A 的距离为m ；到l 的距离为n. 若m+n=4, （1）求P 点轨迹方程并画出图形；（2）过A 作倾角为α的直线s ；交轨迹C 于Q 、R 两点；设f(α)=|QR|.求f(α)表达式及α为何值时；f(α)取最大、最小值.．五、(训练题35)(本题满分20分)n 为正整数；r ＞0为实数. 证明：方程x n+1+ rx n －r n+1=0没有模为r 的复数根．第二试一、(训练题35)(本题满分50分)（1）求正整数x 、y ；使6111997x y=+.（2）有多少个正整数n （n ＜1997）；能使111997n x y=+？（x 、y 为正整数）．二、(训练题35)(本题满分50分) 图中⊙O 半径为R ；⊙O 1的半径为r（R ＞r ）；两圆外切于A ；OD 切⊙O 1于D ；O 1E 切⊙O 于E ；B 、C 分别为OE 、O 1D 的中点.（1）证明：B 、A 、C 三点不共线.（2）若R=6；r=3；B 为OE 的中点；连BA 并延长交O 1D 于C ；求O 1C 之长.．三、(训练题35)(本题满分50分)（1）公路上A 、B 两镇相距5公里；A 、B 往外各有两条叉路成形状. 计划在每条叉路上各建一加油站. 要求每个站到A 、B 镇及到其他站（沿公路经过A 、B 镇）距离互不相同；且距离均为整数公里；最长不超过15公里；此计划能否实现？（2）若A 、B 向外各有3条叉路；欲建六个加油站；依然要求站与镇；站与站之间距离互不相同且为整数公里；最长者不超过28公里；能否实现？为什么？．。

数学奥林匹克高中训练题(1)

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数学奥林匹克高中训练题（）１
第一试
一
｛，，，｝１２ … ｎ上的单调递增函数，且对任何、
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选择题（小题６分，３）每共６分
ｙ，））么） ∈有：．，＿Ａ炙Ｙ（．那
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６设ｎ＞１（是定义在有限集合Ａ＝．，）ｆ
ｏｎＩｎ … ・＾≤ ｎ ≤ －２・ｎ
五、２）直线与函数Ｙ＝一＋（０分设
的图像恰有两个不同的公共点．求出所有
（）Ａｎ＝２（）Ｂｎ＝３（）Ｃｎ＝４（ｎ５Ｄ）＞１
１设ｆ），＋ＣＩ０Ｉ１．（：Ｏ＋Ｘ，ｆ（） ≤ ，
Ｉ（）≤１ｔ一１Ｉ．么，ｆ２Ｉ最ｆ１Ｉ，ｆ（） ≤１那Ｉ（）的大值为（
故∑
１
１０００
１
一
ＩＧ０Ｏ
．
（＋一）－ｗｉ
ｉ１＝
１０ｏ０
一９５．．Ｄ
令： ‘ ，于是，
参考答案
第一试
１Ｃ．．
ｙ＝
＋２
＋ｌ
ｔ＝
＋
志
≤
ｔ
＋
＝
＋
Ｉ２Ｉ４）＝１ａ＋２６＋ｃＩ
（）Ａ５
二、空题（填每小题９分，５）共４分

数学奥林匹克高中训练题(17)及答案

数学奥林匹克高中训练题（17）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个；分别作为对数的真数和底数；共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面；则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ；且都存在反函数；则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时；222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x<< (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x xg x x g x -==-+表示)(x g 的反函数；设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成；且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中；,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面；则二面角B AP C --的余弦值是 148． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数；在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数；则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数；如果有一个θ；使(sin cos )sin cos n i n i n θθθθ+=+成立；则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5；7；9；再染9后最邻近的四个连续偶数10；12；14；16；再染此后最邻近的五个连续奇数17；19；21；23；25；按此规则一直染下去；得一红色子列1；2；4；5；7；9；10；12；14；16；17；…；则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ．第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点；证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13．二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥；试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95-三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ；使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++．四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色；要么染成蓝色；我们称它们为“红边”或“蓝边”；假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”；证明：这九个点中存在四个点；两两连结的六条边都是红边．。

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)

——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（214）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.已知点A(3,1),，且的四个顶点均在函数的图像上，则的面积为。
2.设集合，若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为，则集合A中的元素和为。
7.在四面体ABCD中，，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的体积为。
8.设为定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，均有，则实数的取值范围是。
二、解ห้องสมุดไป่ตู้题
9.已知函数，设为正实数，且。证明：
10.设抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线与抛物线E交于S、T两点，以为圆心的圆过点S、T，且。
二、设为正整数，为素数。求所有满足的三元数组（）
三、将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率。
四、已知正实数满足有一组不全为0的实数解且。证明：
（1）求抛物线的方程。
（2）设M上的点，过点M且垂直于FM的直线与抛物线E交于A、B两点，证明：。
11.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足。设，求
加试
一、如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线与圆交于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使得，证明：QP平分.
3.在中，，点D在边AB上，BD=1，AC=，DA=DC，则
4.椭圆上任意两点P、Q，O为坐标原点，若，则面积的最小值为。
5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为。

数学奥林匹克高中训练题(4)

相交于点Ｐ、其中点Ｊ坐标为（，）两Ｑ，ｐ的３２，
寻＋２… ＝，了＋＋＇４ａｔ６／２００
ｔＩ／．
— —
圆半径的乘积为．若直线ｙ：（＞）ｋ０和
轴均与圆Ｃ。圆Ｃ相切，ｋ＝— — ．和则
＞ｔ）／为轴上一．
，
三、５）由／个Ｐ／个Ｑ和／个Ｒ（０分对＇ｔ、＇ｔｔ＇
【３刳
定点．点Ｍ的过直线交椭圆于不同的两点Ａ、直线Ａ和Ｂ，
２
ＡＢ与定直线１＝交于Ｐ、两点．．：Ｑ设
求证：＋：一１＋１
一
．
）Ｉ
Ｙ２
Ｙ３
Ｙ４
五、２（０分）２０６个实数０，／，，设０。ｔ … ．
４若、 ∈［２０，０６，．ｙ一６２０］且满足０
ｌｏ２２＋ｃｓ（＋３ｙ—１）＋ｙ＋２１）１）２（＋（一Ｙ
点，满足／ＡＧ＝且Ｃ
（，
／个白球（＇ｔｍ＞／４，＇）它们除颜色不同外，ｔ＞ｔ其
余都相同．现从中任取两个球．（）１若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，证：必求ｍ
为奇数；
／ＢＨ．Ａ过点Ｇ分别作
ＧＤ上ＢＧＣ，Ｅ上ＣＧＡ，Ｆ
上Ａ垂足分别为Ｄ、Ｂ，
、．
若ＤＦ＝９￣Ｅ０，

数学奥林匹克高中训练题(02)及答案

数学奥林匹克高中练习题〔02〕第一试一、选择题〔此题总分值30分,每题5分〕1．(练习题07)十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M =----．M 的所有非空子集记为(1,2,,1023)i M i =,每一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)i m i =.那么10231i i m ==∑〔C 〕．〔A 〕0 〔B 〕1 (C) -1 (D)以上都不对2．(练习题07)ABC ∆△ABC 的三个内角,,A B C 依次成等差数列,三条边,,a b c 上的高,,a b c h h h 也依次成等差数列．那么ABC ∆为〔B 〕〔A 〕等腰但不等边三角形〔B 〕等边三角形〔C 〕直角三角形〔D 〕钝角非等腰三角形3．(练习题07)对一切实数x ,不等式42(1)10x a x +-+≥恒成立．那么a 的取值范围是〔A 〕〔A 〕1a ≥- (B) 0a ≥ (C) 3a ≤ (D) 1a ≤4．(练习题07)假设空间四点,,,A B C D 满足8,10,13AB CD AC BD AD BC ======,那么这样的三棱锥ABCD 共有〔A 〕个．〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕多于25．(练习题07)不等式21log 0(0,)2m x x x -<∈在时恒成立,那么m 的取值范围是〔B 〕〔A 〕01m << (B)1116m ≤< (C) 1m > (D) 1016m << 6．(练习题07)方程20(,,,0)ax b x c a b c R a ++=∈≠在复数集内根的个数为n .那么〔C 〕〔A 〕n 最大是2 〔B 〕n 最大是4 〔C 〕n 最大是6 〔D 〕n 最大是8二、填空题〔此题总分值30分,每题5分〕1．(练习题07)函数y =的值域是________2．(练习题07)椭圆22198x y +=,焦点为1F ,2F ,P 为椭圆上任意一点〔但P 点不在x 轴上〕,12PF F ∆的内心为I ,过I 作平行于x 轴的直线交12,PF PF 于,A B .那么12PAB PF F S S ∆∆=___916_____. 3．(练习题07),,A B C 为ABC ∆的三个内角,且cotcot cot 2(cot cot cot )222A B C A B C T ++-++≥.那么max T =__.4．(练习题07)实数,,a b c 满足22223,285a b c a b c c +-=-+++=.那么ab 的最小值是__2516__. 5．(练习题07)在一次足球冠军赛中,要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛,每场比赛胜队得2分,平局各得1分,败队得0分．有一队得分最多,但它胜的场次比任何一队都少．假设至少有n 队参赛,那么n =__6____.6．(练习题07)假设1013222m ++是一个完全平方数,那么自然数m = 14 ．三、(练习题07)〔此题总分值20分〕假设正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4,求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)四、(练习题07)〔此题总分值20分〕一个点在x 轴上运动的速度为2米/秒,在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能到达的区域的边界线．五、(练习题07)〔此题总分值20分〕x 为虚数,且1x x+是方程210y ay a -++=的实根．求实数的取值范围．(25a a ≤->) 第二试一、(练习题07)〔此题总分值20分〕在ABC ∆中,M 为BC 边上的任一点,ME AB ⊥于E ,MF AC ⊥于F ,AN EF ⊥交BC 于N ．求证：AM AN AB AC ⋅+=⋅．二、(练习题07)〔此题总分值35分〕用n 个数〔允许重复〕组成一个长为N 的数列,且2n N ≥.证实：可在这个数列中找出假设干个连续的项,它们的乘积是一个完全平方数．三、(练习题07)〔此题总分值35分〕空间中有100个点,其中每四点都不在同一平面上,每三点都不在同一条直线上,每一点都与其它33点连红线,与另33点连黄线,与最后的33点连蓝线．证实：一定会出现一个三边均不同色的三角形．。

数学奥林匹克高中训练题33及答案

数学奥林匹克高中训练题33及答案数学奥林匹克高中训练题（33）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题33)1=的解集是(D)．(A){1(B)1{10(C)1{π (D)φ 2．(训练题33)一个三角形的三条边恰为221,21,1m m m m +++-，则这个三角形中最大角为(B)． (A)3π (B)32π (C)43π (D)56π 3．(训练题33)己知()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上的偶函数 , 若2()()23f x g x x x -=++, 则()()f x g x +=(A)．(A)223x x -+- (B)223x x +- (C)223x x --+ (D)223x x -+4．(训练题33)满足方程组221410580,x y x y ?+--+=?=的数组(,)x y 是(C)． (A) 294152180,294155217-+ (B) 294155217,294152180+- (C) 294152180,294155217+- (D) 294155217,294152180-+ 5．(训练题33)tan 1x =是54x π=的(A)． (A)必要条件, 但非充分条件． (B)充分条件, 但非必要条件．(C)充分条件, 也是必要条件． (D)非充分条件, 也非必要条件．6．(训练题33)正方形纸片ABCD , 沿对角线AC 对折, 使D 点在面ABC 外, 这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于(D)．(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题33)若1098762()222361f x x x x x x x x =+--++++, 则1)f = 4 ．2．(训练题33)n N ∈，则111112123123n++++=+++++++ 21n n + ．3．(训练题33)若2000199819961994(1)(62)(1)(3)(1)(237)(1)(102)i i i i z i i i i ++---=+-+-+ ，则z = 1 ． 4．(训练题33)多项式2200122001(22)(33)x x x x +++--展开后合并同类项，所得结果中x 的奇次项系数之和为 -1 ．5．(训练题33)正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，E 是DC 中点，F 是1BB 中点，则四面体1AD EF 的体积是524 ．6．(训练题33)在坐标平面上，由条件1,23y x y x ?≥--??≤-+??所限定的平面区域的面积是16 ．三、(训练题33)(本题满分20分)tan5o 是有理数还是无理数？请证明！四、(训练题33)(本题满分20分)公差为4的有限项的等差数列，它的首项的平方与其余所有项之和不超过100．请你回答，这个等差数列最多可以有多少项？（8）五、(训练题33)(本题满分20分),,a b c 均为实数，,,a b b c c a ≠≠≠．证明：222322a b c b c a c a b a b b c c a+-++-++-≤<-+-+-．第二试一、(训练题33)(本题满分50分),O H 分别是锐角ABC ?的外心与垂心，点D 在AB 上，AD AH =，点E 在AC 上，AE AO =．证明：DE AE =．二、(训练题33)(本题满分50分)某工厂的m 位工人共提了n 条(1)n >不同的合理化建议．经统计发现，每两个工人提的合理化建议中都至少有一条相同的建议，但没有两个工人所提的建议完全相同．证明： 12n m -≤．三、(训练题33)(本题满分50分)在圆上有21个点．证明：以这些点为端点组成的所有弧中，不超过120o 的弧不少于100条．。

数学奥林匹克高中训练题(26)及答案

数学奥林匹克高中练习题〔26〕第一试一、选择题〔此题总分值36分,每题6分〕1．(练习题59),x y 是两个不等的正数,那么2x y A +=,2x yB +=,211C x y=+的大小顺序是(C)．(A)A B C >> (B)A C B >> (C)B A C >> (D)B C A >> 2．(练习题59)函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域,对定义域中任何x ,有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,且当0x ≠时,()1g x ≠,那么2()()()()1f x F x f xg x =+-是(B)．(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 3．(练习题59),a b 为非零常数,假设sin cos M a b θθ=+, arctan )bN aθ=+,那么对任意的θ(C)．(A)M N = (B)M N ≠ (C)仅当0a >时,M N = (D)仅当0b >时M N = 4．(练习题59)如图1,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是面11BB C C 和ABCD 的中央,那么异面直线EF 与11A C 的距离为(C)．(A)2a(B)a 22 (C)a 33 (D)a 465．(练习题59)周期数列{}n x 满足12(3)n n n x x x n --=-≥,假设121,0x x a ==≥,那么当该数列的周期最小时,数列的前2022项的和是(B)．(A)2022 (B)1335 (C)1949 (D)14286．(练习题59)设点12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右两焦点,l 为右准线,假设在椭圆上存在点M ,使12,MF MF ,点M 到l 的距离d 成等比数列,那么椭圆离心率e 的取值范围是(A)．(A)1,1)(B)1](C)2(D)2ABCD FEA 1B 1C 1D 1二、填空题〔此题总分值54分,每题9分〕1．(练习题59)复数12,z z ,满足12121,2,32z z z z ==-=+,那么122z z +=937-． 2．(练习题59)220,(4)4x x y ≥+-≤,设22222x y w x y +=+,那么w 的取值范围是 522w ≤≤ ．3．(练习题59)在三棱锥S ABC -中,底面三角形每个顶点处的三个面角和均为180o,底面三角形三边分别是3、2和5,那么该三棱锥的体积是． 4．(练习题59)设12()1f x x=+,定义11()[()]n n f x f f x +=,且(0)1(0)2n n n f a f -=+,那么100a = 10112- ．5．(练习题59)焦点在x 轴上的椭圆2212x ky +=,点,A B 是过原点的直线与椭圆的两个交点,假设数k 使得在椭圆上还存在另一点C ,使ABC ∆为正三角形,那么对所有这样的k ,ABC ∆的面积最大值是． 6．(练习题59)方程组22150x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,有且仅有整数解,那么满足题意的实数对(,)a b 的个数是 60 ．三、(练习题59)(此题总分值20分)i a R +∈,且1,1,2,,1i i a a i n +≥=-,求证：12122312n n a a a na a a a a a +++≥+++．四、(练习题59)(此题总分值20分)给定空间不共面的n 个点(4)n ≥．试问：是否一定存在这样一个平面,仅过这n 个点的其中三个？并请证实你的结论．五、(练习题59)(此题总分值20分)如果在一条平面曲线上存在四点,使得这四点构成的图形是一个菱形,那么称该曲线存在内接菱形．现双曲线22122:1x y c a b -=,双曲线22222:1x y c b a-=,其中,0,0a b a b ≠>>．证实：在双曲线1c 与2c 中有且仅有一条存在内接菱形．第二试一、(练习题59)(此题总分值50分)如图2,点,P Q 是ABC ∆的外接圆上〔异于,,A B C 〕的两点,点P 关于直线,,BC CA AB 的对称点分别是,,U V W ,连线,,QU QV QW 分别与直线,,BC CA AB 交于,,D E F ,求证：〔1〕,,U V W 三点共线；〔2〕,,D E F 三点共线．二、(练习题59)(此题总分值50分)0(1,2,,),2i x i n n ≥=≥,且21121ni k j i k j n kx x x j =≤≤≤+=∑∑,试求1ni i x =∑的最大值和最小值．三、(练习题59)(此题总分值50分)12(,,,)n a a a 是自然数1,2,,n 的一个排列,且满足：对任意11i n ≤≤-,均有11i i a i a i ++≤++．(1)假设记i x 为数(1)i i n ≤≤在排列中所处位置的序号〔如排列(1,3,4,2)中,12341,4,2,3x x x x ====〕．求证：对每一个满足题意的排列12(,,,)n a a a ,均有11i i x i x i ++≤++(11)i n ≤≤-成立．(2)试求满足题意的排列的个数()n A ．。

运用函数单调性解竞赛题

n +α
1
< 1 ,故 [ y ] = 0.
n + α+ n +α
1
从而 , f ( x , y ) = 由函数 g ( x ) = x + α< 1 得增及 0 ≤
n+
n +1
.
1
x
例1 设正实数 x 、 y 满足 xy = 1. 求函数 x+ y f ( x , y) = [ x ][ y ] + [ x ] + [ y ] + 1 的值域 ( 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整 [2 ] 数) .
1 解与函数相关的竞赛题
2 解 : 不妨设 x ≥y ,则 x ≥ 1 ,x ≥ 1.
( 1) 当 x = 1 时 , y = 1 ,此时 f ( x , y ) =
1 . 2
( 2) 当 x > 1 时 , 设 [ x ] = n , { x } = x -
α< 1. [ x ] = α,则 x = n + α,0 ≤ 于是 , y =
注 :解此题巧妙地运用了函数 φ( x ) =
- 1x
2
1-
1
x
2
在 ( 1 ,2 ] 上的单调性 .
2 解与方程 ( 组) 有关的竞赛题
就必有 f ( x ) ≥m ( x ∈[ - 2 ,2 ] ) 成立 . 分析 : mmax = f ( x ) min = f ( x0 ) ,所以 ,可将二次函数写成顶点式 . 不失一般性 , 可假设
在 x0 ∈R ,使 f ( x0 ) = 0 ,则对任意实数 x ,有 f ( x ) = f ( x0 + x - x0 ) = f ( x0 ) f ( x - x0 ) = 0. 与题目条件矛盾 ,故 f ( x ) > 0. ( 2) 证明 f ( 0) = 1. 在 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) 中 ,令 x = y = 0 , 有

数学奥林匹克高中训练题_120_

2009 年第 8 期
39
b a
1 2 345
y 当且仅当 = x
时 , 取到最小值 .
因此 , a + b = 5. 2 009.
4 016 . 2 009
4 22 3. . 11
如图 2, 设 F 是边 BD 的中点 , 联结 A F、 EF、 CF. 则 d 为点 C 到平面 A EF 的距离 . 设正四面体的棱长 a = 4. 则其体积
) = ± 则 sin ( 3・ +θ 1, 即 18
述三个圆分别交于点 D、 D′ , E、 E′ , F、 F′ , 其中 , 点 D、 D′ 在不含点 A 的圆上 , 等等 . 又设 △A EF、 △B FD、 △CD E 的外接圆交于一点
M , △A E ′ F′ 、 △B F ′ D′ 、 △CD ′ E′ 的外接圆交于
θ= k
+
3
(k
Z) . 1 > 0, 则 Z) . = 3 . 2
又 cosθ = θ= 2 k 因此 ,
+
a +1
2
一点 M ′ . 证明 : OM = OM ′ .
( 50 分 ) 如果一个多项式的系数都是二、
3
(k
a a +1
2 009
自然数 , 则称为“ 自然多项式 ” . 对正整数 n, 用 A ( n ) 表示满足 P ( 2 ) = n 的不同自然多项式 P ( x ) 的个数 . 证明 : lim
=1 + t + t = t +
2
f ( 2 009 a + 2 008 ) = - 2 007

数学奥林匹克高中训练题(236)

2019年第2期43中图分类号：G424.79文献标识码：A文章编号:1005-6416（2019）02-0043-05第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.方程学%"+右'=sin7W的解为_____.2.平面区域{（x,y）I71-%271-y ^xy\的面积为______•3.已知a、b、c、d为正整数，且35log a^=y,log c J=—,a-c=9.贝l ja+b+c+d=_____.4.在中，Z4、ZB、ZC所对的边分别为a』、c,Z4BC=120°,Z4BC的平分线与AC交于点D,且BD=1.则4a+c的最小值为_____•5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定:每局胜者得1分,负者得0分;比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止•设甲在每局中获胜的概率为壬，乙在每局中获胜的概率为土,且各局胜负相互独立•则比赛停止时，已结束局数E的期望Eg为______.6.以抛物线y=x2上的点为直角顶点作抛物线的两个内接Rt△MAB、Rt AMCZ）.则线段4B与CD的交点E的坐标为_____•7.在正四面体4BCD中，点E、F分别在棱AB^AC±，满足BE=3,EF=4,且EF〃面BCD.则△DEF的面积为_____.8.若正整数a、b、c满足2019M10aM100bMl000c,则数组（a,b,c）的个数为_____.二、解答题（共56分）9.（16分）设不等式I2x-a\<15-2*1对所有％C[l,2]成立.求实数a的取值范围.10.（20分）在数列{a”|中，设S”=£a,1=1（n G Z+），约定:So=0.已知怡，S k_{<k；a k={（\WkWn,k、n G Z+）.[-k,S k_^k求不超过2019的最大正整数n,使得s”=o.11.（20分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C]：y2=4x,曲线C2：（x-4）2+y2=8,经过曲线G上一点P作一条倾斜角为45。

奥林匹克竞赛高中数学训练题

数学奥林匹克高中训练题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题37)a 是由1998个9组成的1998位数，b 是由1998个8组成的1998位数，则b a ⋅的各位数字之和为(C)．(A)19980 (B)19971 (C)17982 (D)179912．(训练题37)已知)2,0(π∈x ，则方程03832=++ctgx x ctg 的所有根的和为(C)．(A)π3 (B)π4 (C)π5 (D)π63．(训练题37)已知三个正数a 、b 、c 之和为10，如果它们之中没有一个大于其余数的2倍，那么abc 的最小值是(B)．(A)32 (B)4131 (C)9727 (D)161374．(训练题37)已知])32()32[(21n n n x -++=)(N n ∈，n x 为正整数，则19981999x 的个位数字为(B)．(A)1 (B)2 (C)6 (D)75．(训练题37)已知ABC ∆中，2lg ,2lg ,2lg Ctg B tg A tg 成等差数列，则B ∠的取值范围是(B)． (A)60π≤∠<B (B)30π≤∠<B (C)323ππ≤∠≤B(D)ππ≤∠≤B 32 6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别是cm 3，cm 3，cm 6，则这只小球的半径(D)．(A)只为cm 3 (B)只为cm 6 (C)只为cm 9 (D)以上说法不对二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题37)已知!1999|1998n ，则正整数n 的最大值为 55 ．2．(训练题37)已知0O 是正ABC ∆的内切圆，1O 与0O 外切且与ABC ∆的两边相切，…，1n O +与n O 外切且与ABC ∆两边相切)(N n ∈．那么，在ABC ∆内所有这些可能的圆（包括0O ，n O )(N n ∈）的面积之和与ABC ∆3．(训练题37)P 是边长为2的正ABC ∆所在平面上的一动点，且16222=++PC PB PA ，则动点P 的轨迹为以正ABC ∆的中心为圆心，2为半径的圆．4．(训练题37)已知方程)(88N n n z y x ∈=++有666组正整数解),,(z y x ．那么n 的最大值是 304 ．5．(训练题37)已知正四面体ABCD 的六条棱的长分别为cm 4，cm 7，cm 20，cm 22，cm 28，xcm 。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

数学奥林匹克高中训练题(10)

数学奥林匹克高中训练题（10）第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．(训练题10),αβ为锐角，且cos cos ,,()()()2sin sin x xx R f x παβαββα+>∈=+，则（D ）． (A) ()f x 在定义域内是增函数 (B) ()f x 在[0,)+∞内为增函数，在(,0]-∞内为减函数 (C) ()f x 在定义域内是减函数 (D) ()f x 在(,0]-∞内为增函数，在[0,)+∞内为减函数 2．(训练题10) 设,a d 为非负实数，,b c 为正实数，且b c a d +≥+．则b cc d a b+++的最小值是（C ） (A) 1 (B)12123．(训练题10) 设222522333333363322220,(),(),()a b A a b B a b C a a b >>=+=+=+．则,,A B C 的大小关系是（D ）(A)A B C << (B) B C A << (C) C A B << (D) A C B <<4．(训练题10) 三棱锥A BCD -中，60,1,2,3oBAC CAD DAB AB AC AD ∠=∠=∠====，则三棱锥体积是（A ）(A)2其他 5．(训练题10) 八个数字1，1，2，2，3，3，4，4可以组成不同的四位数个数是（A ） (A) 204 (B) 144 (C) 72 (D) 24 6．(训练题10) 方程21112()y x y y+=+的整数解(,)x y 有（B ） (A) 0组 (B) 1组 (C) 有限组(多于1组) (D) 无穷多组二、填空题（本题满分48分，每小题8分）1．(训练题10) 已知123456164a a a a a a ≤≤≤≤≤≤≤．则351246a a a Q a a a =++的最小值是___34___． 2．(训练题10) 将数列2，6，10，14，…按顺序分组，第一组2项（2，6），第二组6项（10，14，…，30），…第k 组有42k -项，则1994属于第 16 组. 3．(训练题10) ABC ∆的面积为S ，45oA ∠=，直线MN 分ABC ∆的面积为相等的两部分，且M 在AB 上，N 在AC 上，则MN4．(训练题10)设02πθ≤≤，使不等式2sin 3cos 640m m θθ+--<恒成立的实数m 取值范围是_12m >-_. 5．(训练题10) 对不同的实数m ，方程2264940y my x m m --++=表示不同的抛物线，一条直线与这所有的抛物线都相交，且截得的弦长均为9．则这条直线的方程是___133y x =-___. 6．(训练题10) 若复数z 满足6532230z izz i +--=．则z 1= ．第二试一、(训练题10)（本题满分20分）设(2n n a =．求证：对一切n N ∈，[]n a 为奇数（[]x 表示不超过x 的最大整数）．二、(训练题10)（本题满分20分）在自然数1，2，3，…，n,…中去掉所有含数字0，7，8，9的那些自然数，得数列{a n }：1，2，3，4，5，6，11，12，…，16，21，22，…．求证：11498n na ∞=<∑．三、(训练题10)（本题满分30分）在ABC ∆中，AB AC =，点M 在AB 上,且MA MC =，点N 在AC 上，且,:2:3CN CB A NBA =∠∠=．求NMC ∠的度数．(30o NMC ∠=)四、(训练题10)（本题满分30分）平面上给定1994个点，其中任何三点不共线，将以这些点为端点的每条线段都标上+1或-1，如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1，称三角形为负的．试证明负三角形个数为偶数．。

数学奥林匹克高中训练题(11)及答案

数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．(训练题16)一元二次复系数方程02=++b ax x 恰有两个纯虚根，则（C ）．（A ）a 是零，b 是负实数（B ）a 是零，b 是纯虚数（C ）a 是纯虚数，b 是实数（D ）a 是纯虚数，b 是纯虚数2． (训练题16)n 是一个正整数，n y xy x =++22的整数组解的数目是（B ）．（A ）4的倍数（B ）6的倍数（C ）2的倍数（D ）8的倍数3．(训练题16)满足211x x x x x x -+->+-+的所有实数x 在（D ）．（A ）（3,31）内（B ）（3，+∞）内（C ）（－∞，31）内（D ）（－∞，31）∪（3，+∞）内 4．(训练题16)d cx bx ax x x f ++++=234)(，这里d c b a ,,,是实数．已知,15)3(,10)2(,5)1(===f f f 则)4()8(-+f f 是（C ）．（A ）2500 （B ）不确定的（C ）2540 （D ）8605．(训练题16)平面内，设函数)(x f 的图象与x y 2-=的图象关于直线32+=x y 对称，则)(x f 的解析表达式是（A ）．（A ）2)1234(52643---=++x y x y （B ）2)1234(10643---=++x y x y （C ）2)34(5243x y x y --=+ （D ）2)1234(52643---=-+x y x y 6．(训练题16),3≥n 方程n x x x x x x x x x x x x x n n n n n n =+++---1321121121 的有序整数组解一共有（B ）．（A ）n 组（B ）12-n 组（C ）n 2组（D ）12+n 组二、填充题（每小题9分，共54分）1．(训练题16)任意整数,,,z y x 满足等式z y x bz ay cx az cy bx cz by ax ++=++++++++的所有实数c b a ,,是 (1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)---共6组．2．(训练题16)使得zy x z y x 111,++++和xyz 都是整数的全部正有理数组（),,z y x （)z y x ≤≤是 (1,1,1),(1,2,2),(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)共5组．3．(训练题16)圆台上的上底半径r 与下底半径R （R.>r ）之和是母线l 的6倍,而上底面积、侧面积、下底面积成等比数列，此圆台的高为2023r -，此圆台体积的最大值是 500(29π ． 4．(训练题16)设x x x kx x x f (11)(2424++++=∈R ），对任意三个实数a,b,c,已知存在一个三角形，三边长分别为),(),(),(c f b f a f 则满足上述条件的所有实数k 的范围是 1(,4)2- ． 5．(训练题16)设),6sin 6(cos 3)(ππi z z f +=这里z 是复数，用A 表示点),31(i f +B 表示点),0(f C 表示点)4(i f ，则∠ABC= 6π ． 6．(训练题16)b a ,是正实数，),1(21,,1110n n n x x x b x a x +===-+这里x ∈N 。

数学奥林匹克高中训练题(109)

１．Ｄ．
椭圆与轴的交点，
上ＡＣＢ，Ｂ上Ａ且ｌｌＢ，
＝
ｃ
～
将原不等式变形得
Ｐ一１＋（一４（）ｘ＋３＞０）．设ｆＰ）一１ｐ＋（一４３．（＝（）＋）
２设．
（）＜＜３Ｂ一１
／）１。专（—）＋．＝一似＋０１１（
在区间（，）１４内为减函数，（，。在６＋ｏ）上为
（＞３或＜～１Ｄ）
增函数，则实数ａ的取值范围是（
（） ≤５Ａａ
一
第二试
、
（０分）５已知Ｆ、Ｇ分别是锐角△ ＡＣＢ
ＯＰ＝，，（ｏ２＝ｎ，ｂ
内一点Ｍ在边Ｇ、Ｃ上的投影．明：Ａ证
ＡＭＢ
一
则
ｍ
＋
ｎ
＝
—
—
．
目图ｌ
≥
，
３果ｐｑ洳、、
、
都是整数，且
②
（０２ｘ）１ａ一２ｘ）１ａ～ａ１（０ａ２．
维普资讯
４２
中等数学
２如图１已知Ｇ。，
０
△ ＯＢ的面积最大，Ａ最大值为多少？
是 △ ＡＯ的重心．Ｂ若过点Ｇ，且
Ｏ＝拉，ＡＯＢ＝，
由式 ② 、知 ③
１ａ一２２ａ．０ａ ≤４ ③
由求根公式得
一
ｂＶ ±厂
— — — 一・

数学奥林匹克高中训练题(88)

４Ｉ
６知ｉ（，，．Ａ１ｉ江ｌ，已＋一）２３
４是平面上不同的四个点．）若此四点共圆，则ｔ、２ｔ、应满足， … ．ｌｔ、３ｔ４＿．三、２）（０分已知Ａ＝｛，，｝ ∈Ａ，１２３，
ｉ，，，０．＝１２ … ２０６记
又１ ≤ ６则有５＋ ≤２１． ≤ｎ２０，０ ≤ｎ４００于是，
口＝＋＋＋０（ＥＮ＋． … ：６ｎ０）
ｎ４２式数［】２１个＋为｜的有一＝０，Ｉ｝形 ∞
２
试用ａ、２ｌ口表示．
一四、２分）（ｏ已知Ｐ、Ｑ是椭圆ｃ。２＋Ｘ
ａｅｉ十ａｃ０ｒｎｓｒｃｓ＋ａｔｌ锄ｃ的值域是
４已知正项数列｛满足ａ＋ａ一１．ａ｝：＝０（ＥＮ＋．ｎ）下面给出５个判断：、
①０＜ ≤ １
２已知、 ∈Ｒ，．Ｙ＋戈＋Ｙ＝１（，ｎ＞ｌ
（）Ａ ①③ （）Ｃ ②③
－
４已知三棱锥Ｐ～ＡＣＰ．Ｂ，Ａ＝ａＰ，Ｂ＝
）．ｂＰ，Ｃ＝ｃＰ在底面ＡＣ上的射影０为，Ｂ △ ＡＣ的重心，Ｏ＝ｈ则一＝ＢＰ．伽
．
— —
（）Ｂ ①④ （）Ｄ ②⑤
５对于任何正整数ｋ记（）ｋ的．，ｋ为
∈Ｎ＋．＋）的最大值为一 …一）则４，．
② １： ≤口＜ｌ
３．求和： ∑ （：＋：＋ｃ：ｃ：ｃ …＋：）：：

数学奥林匹克高中训练题100

合{1 ,2 , …, n}的不同子集 ,满足下列条件 :
(i) i ∈Ai 且 Card ( Ai ) ≥3 , i = 1 ,2 , …, n ;
(ii) i ∈Aj 的充要条件是 j ∈ Ai ( i ≠j ,
i 、j = 1 ,2 , …, n) .
试回答下列问题 :
n
∑ (1) 求 Card ( Ai ) ; i =1
(A) 0 < a < b
(B) a < 0 < b
(C) a < b < 0
(D)
a<
1 2
<
b
2. 已知不等式 22x + a2 x + b ≥0 解的最
小值为 2. 则 a 的取值范围是 ( ) .
(A) ( - ∞,0)
(B) [ 0 , + ∞)
(C) [ 2 , + ∞)
(D) [ - 4 , + ∞)
>
sin (α+β) sinα·sin β
-
2sin (α+β) ·cos(αsin 2α·sin 2β
β)
=
2sin (α+β)
[2cos α·cos sin 2α·sin
β2β
cos (α-
β)
]
=
2sin
(α+ sin
β) ·cos 2α·sin
(α+β) 2β
> 0.
5. B. 由韦达定理得 α+β= - p ,αβ= q. 则 m = (α+β) 2 + 4αβ= 2 (α+β) 2 - (α- β) 2 . 又| α+β| ≤| α| + | β| ≤1 , | α- β| ≤| α| + | β| ≤1 ,