时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真之令狐文艳创作

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时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

时域有限差分法（FDTD 算法）

时域有限差分法是1966年发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。 1.FDTD 的基本原理

FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。

Maxwell 方程的旋度方程组为：

E E H σε

+∂∂=⨯∇t H H

E m t

σμ-∂∂-=⨯∇ （1）在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x y

z E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m z

时域有限差分法

时域有限差分法（TimeDomainFiniteDifferenceMethod，简称TD-FDM）是数值分析领域中非常重要的一种数值计算方法，它是利用有限差分法对时域偏微分方程（PDE）进行求解的一种方法，其应用范围十分广泛，是在工程和科学领域中应用最多的计算方法之一。

时域有限差分法可以精确表示任意时域偏微分方程的解，但是由于求解过程中存在计算量大、精度低、收敛慢等问题，其计算效率和精度也有限。因此，人们必须采取有效的方法来提高此类方法的精度和计算效率，增强其在工程和科学领域的应用价值。

时域有限差分法的原理很简单，即将偏微分方程的解以一系列有规律的离散点表示，再利用有限差分对偏微分方程进行求解。它主要包括三个部分：数值模型构建、数值计算和数值结果分析。

首先，根据时域偏微分方程的类型及物理本质，构建与之对应的数值模型，采用有限差分形式表达偏微分方程，并根据时域偏微分方程的解特性对有限差分方程进行增强。

然后，构建时域有限差分的计算框架，利用计算机编程语言（如C++、Fortran、Python等）实现数值计算，采用常用的多项式插值和求解算法（如牛顿迭代法、拟牛顿法等）实现精确计算。

最后，利用计算机绘图软件对所得到的数值结果进行分析，以评估结果的准确性，并做出相应的修改和优化。

时域有限差分法的应用非常广泛，它可以用于各种工程领域，如稳态和不稳态流动场的求解，声学学中的各类传播现象的模拟，热传

导的分析等。此外，时域有限差分法在一些科学领域也有很大的应用，如量子力学中电子能级结构、原子结构的计算，核物理中文中阳离子反应剂度模拟，生物学中细胞动力学模型仿真等等。

时域有限积分法

时域有限积分法（FDTD）是一种数值求解电磁场问题的方法。它将麦克斯韦方程组离散化为时域差分方程，并通过时间和空间上的迭代来求解。

FDTD方法有很多优点，比如可以处理各种形状的物体，不需要进行网格剖分，适用于多尺度问题等。同时也有一些缺点，比如在高频情况下需要使用非常小的时间步长，计算量较大等。

FDTD方法的基本思想是将空间离散化为一个个小立方体单元，在每个时间步长内计算电场和磁场在每个单元内的变化。这样就可以得到电磁场在整个空间中的分布情况。

FDTD方法需要满足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件，即时间步长和空间步长之比不能超过一个预定值。这是因为如果时间步长太大，会导致误差增大；如果空间步长太大，则会出现数值不稳定等问题。

FDTD方法还可以结合其他技术一起使用，比如吸收边界条件、半经验公式、某些数学技巧等。这些技术可以提高FDTD方法的精度和效率。

总之，FDTD方法是一种非常重要的求解电磁场问题的方法，它在电磁学、光学、天线设计等领域有着广泛的应用。

Adi-FDTD

基本原理
在ADI-FDTD中空间离散仍采用图（a）所示的Yee元
胞
基本原理
把ADI技术应用到FDTD的迭代公式中，需要把第n步到第n 1步的计算分成两次来进行。
具体的迭代公式为：过程一：
t i 12 , j E i 12 , j 2y H i 1 , j 1 H i 1 , j 1 2 2 2 2 t i, j 12 E i, j 12 E 2 x i 12 , j 12 H i 12 , j 12 H E
基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法adifdtdecjtu2013概要?fdtd简介?背景及发展?基本原理fdtd简介?传统的fdtd法属于显式差分方法因而具有显式差分方法的共同特性解得过程必须满足稳定性条件
ADI-FDTD
基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法
ECJTU@2013
概要
FDTD简介背景及发展基本原理
FDTD简介
传统的FDTD法属于显式差分方法，因而具有显式差分
方法的共同特性，解得过程必须满足稳定性条件。对 FDTD法来说，就是必须满足Courant条件。
1 1 1 1 2 2 (x) (y ) (z ) 2
1 2

时域有限差分法介绍

时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是

一种数值求解电磁波在时域中传播的方法。它通过将空间和时间连续

性方程离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并使用差分法来近似

求解波动方程。

时域有限差分法可以用于研究不同频率和波长的电磁波在各向同性、各向异性以及具有非线性、色散等特性的介质中的传播和相互作用。它广泛应用于光学和电磁学领域中，可用于模拟光纤、微波器件、天线、光子晶体、超材料等的性能。

该方法的基本思想是将空间划分为离散的单元，称为网格，其中

包含了电场、磁场、电流和电荷等物理量。通过对空间坐标和时间进

行离散化，可以将连续的偏微分方程转化为差分方程。具体地，通过

泰勒展开将时域和空域的导数转化为有限差分的形式。

在时域有限差分法中，电场和磁场被分别定义在正方形的网格节

点上。通过应用麦克斯韦方程组的差分形式，可以得到给定时间步长

的下一个时间步的电场和磁场值。这些值可以根据初始条件和边界条

件进行更新。

时域有限差分法具有较好的稳定性和精度，可以模拟各种复杂的

电磁现象。然而，它在处理边界条件和非均匀介质等问题时存在一些

困难。因此，研究者们提出了各种改进的时域有限差分法，以提高其

适用性和效率。

时域有限差分方法、编程技巧与应用

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时域有限差分算法

Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Algorithm

时域有限差分算法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）

FDTD is a numerical technique used to solve Maxwell's equations in the time domain.

时域有限差分算法是一种用于在时域中求解麦克斯韦方程的数值技术。

It discretizes the spatial and temporal domains, allowing for the simulation of electromagnetic wave propagation and interaction with complex structures.

该算法将空间和时间域离散化，从而能够模拟电磁波的传播以及与复杂结构的相互作用。

The algorithm is widely used in various fields, including antenna design, microwave engineering, and electromagnetic compatibility analysis.

该算法广泛应用于多个领域，包括天线设计、微波工程和电磁兼容性分析。The main advantage of FDTD is its ability to handle arbitrary geometries and material properties, making it a powerful tool for electromagnetic modeling and simulation.

时域有限差分

时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。

一、FDTD的历史背景

时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。

二、FDTD基本思想及特点

时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。根据反文本定

理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。

FDTD介绍解析

FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种时域有限差分方法，用于求解电磁波在介质中传播的问题。它是一种直接的数值求解方法，通

过离散化时空域，将电磁波的偏微分方程转化为差分方程，利用时间步进

的方式进行数值计算，从而得到电磁波在空间中的传播情况。

FDTD方法最早由美国伊利诺伊大学的Kane S. Yee于1966年提出，

是时域有限差分方法中最为广泛应用的一种。它的优点是简单易实现，计

算效率高，适用于各种不规则场景和介质。因此，在电磁学、光学、天线、无线通信等领域中得到了广泛应用。

FDTD方法的基本思想是将时空域离散化，将电磁场的偏微分方程转

换为差分方程。在FDTD方法中，空间域被划分为一个有限的网格，时间

域被划分为离散的时间步长。通过迭代计算，根据已知的初值条件和边界

条件，在每个时间步长内更新场量的数值。

FDTD方法主要包括以下几个关键步骤：

1.空间网格的划分：将求解区域按照一定精度进行离散，通常采用矩

形网格，也可以根据具体问题选择其他形式的网格。

2. 时间步长的确定：根据Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，确

定时间步长，保证波的传播速度不超过网格尺寸的倒数。较小的时间步长

可以提高求解的精度，但会增加计算量。

3.电场和磁场的更新：通过差分方程更新电场和磁场的数值。根据麦

克斯韦方程组，可以得到电场和磁场的更新公式。其中，电场的更新公式

涉及磁场的数值，磁场的更新公式涉及电场的数值。

4.边界条件的处理：为了模拟无限大的介质，需要对边界进行特殊处理。常见的边界条件有吸收边界条件和周期性边界条件等。吸收边界条件

matlab模拟的电磁学时域有限差分法

时域有限差分法（FDTD）是一种计算电磁波传播及散射的数值模拟方法。它是基于麦克斯韦方程组进行仿真的一种方法，而且从计算电磁波传播的实质上来看，FDTD方法是一种求解时域麦克斯韦方程的有限差分方法。

在FDTD方法中，我们将区域空间离散化，并定义电场、磁场等量的格点值。然后，根据麦克斯韦方程组的时域形式，在各个时刻进行场量的更新。FDTD方法在实践应用中具有计算时间和空间复杂度低，且适用于复杂的结构和非线性介质等特点，所以在电磁学数值仿真中应用广泛。

我们可以用MATLAB来进行FDTD的电磁学仿真，下面详细介绍MATLAB的使用步骤：

1. 建立空间离散化格点

在仿真开始前，需要先根据空间大小和仿真目的来建立离散化格点。对于一个一维的结构，我们可以用以下代码来建立：

x = linspace(0,1,N); %建立离散化空间格点

Ex = zeros(1,N); %电场，长度为N的全0数组

Hy = zeros(1,N); %磁场，长度为N的全0数组

其中N为获取离散化格点数量的参数，x为离散化空间格点，Ex和Hy为电场和磁场。

2. 定义电场和磁场边界条件

在进行仿真时，需要了解仿真的边界情况并将其定义成特殊的边界条件。例如，仿真空间内可能存在各种元件、环境等，这些都会对电场和磁场的性质产生影响。所以，我们需要用特殊边界条件来约束仿真空间内电场和磁场的行为。

在FDTD中，通常采用数值反射边界条件（DNG Boundary）来进行仿真。例如，在这个边界条件下，在仿真空间内部设置经典的电场边界条件：场强等于零；并在仿真空间外部添加一层基质，该基质的介电常数和磁导率均为负值，并且在该基质中场的强度和方向均反向。相当于在仿真空间外设置一个虚拟折射界面，能够将场边界反射。

fdtd基本原理

B( R, t ) E ( R, t ) J m ( R, t ) t
安培-麦克斯韦电路定律
法拉第定律
场
源
B ( R, t ) E ( R , t ) [ ] J e ( R, t ) t u
安培-麦克斯韦电路定律
E x : t n t t
H y : t ( nt 1 / 2 ) t
( nz 3/ 2, nt 1/ 2) Hy ( nz 1/ 2, nt 1/ 2) Hy
nt nt
=1,……., N t
(15a)
=1,…….,N t (15b)
( nz 3/ 2, nt 1/ 2) Hy
(12)
1 1 nz 2 1 1 1 nz 2 n z 1 nz H y (t ) [ E x (t ) E x (t )] J my (t ) t 0 z 0
1 1 1 t t H y ( z, t ) [H y (nz ) H y (nz )] O[(z)2 ] z z 2 2 z n z z
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
z 2
nz 2 nz 3/ 2 nz 1 nz 1/ 2 n z
nz 1/ 2 nz 1 nz 3/ 2
(c)电磁场分量在空间上的分布图 2 电磁场空间离散位置示意图

FDTD时域有限差分法

吸收边界条件
15
• 问题的提出
–在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放的，电磁场占据无限大空间，而计算机内存是有限的，所以只能模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。吸收边界条件很多，而且是研究的热点，下面只给出Engquist-Majda吸收边界条件，采用Mur差分格式
FDTD时域有限差分法简介
4
• 关键的三大要素
–差分格式 –解的稳定性 –吸收边界条件
• FDTD的特点
–广泛的应用性 –节约运算和存储空间 –适合并行计算 – 计算程序的通用性 – 简单直观，容易掌握
差分计算基本概念
5
设函数f (x), 独立变量x有很小的增量x 则
h
，
有Taylor公式可得:
n
u
n
1 2
(u
1 2
n 1
u )
1 u( 1 ) 2 2 (u (1) u (0))
u
( n 1)
ct x n 1 ( M ) u ( M 1) [u ( M 1) u n ( M )] c t x
n
Engquist-Majda边界吸收条件，Mur差分格式

计算电磁学之FDTD算法的MATLAB语言实现

South China Normal University

课程设计实验报告

课程名称：计算电磁学

指导老师：

专业班级： 2014级电路与系统

姓名：

学号：

FDTD算法的MATLAB语言实现

摘要：时域有限差分(FDTD)算法是K.S.Yee于1966年提出的直接对麦克斯韦方

程作差分处理,用来解决电磁脉冲在电磁介质中传播和反射问题的算法。其基本思想是:FDTD计算域空间节点采用Yee元胞的方法,同时电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样；把整个计算域划分成包括散射体的总场区以及只有反射波的散射场区,这两个区域是以连接边界相连接,最外边是采用特殊的吸收边界,同时在这两个边界之间有个输出边界,用于近、远场转换;在连接边界上采用连接边界条件加入入射波,从而使得入射波限制在总场区域；在吸收边界上采用吸收边界条件,尽量消除反射波在吸收边界上的非物理性反射波。

本文主要结合FDTD算法边界条件特点,在特定的参数设置下，用MATLAB语言进行编程，在二维自由空间TEz网格中，实现脉冲平面波。

关键词：FDTD；MATLAB；算法

1 绪论

1.1 课程设计背景与意义

20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。其中FDTD是一种已经获得广泛应用并且有很大发展前景的时域数值计算方法。时域有限差分（FDTD）方法于1966年由K.S.Y ee提出并迅速发展，且获得广泛应用。K.S.Y ee用后来被称作Y ee氏网格的空间离散方式，把含时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分方程，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。但是由于当时理论的不成熟和计算机软硬件条件的限制，该方法并未得到相应的发展。20世纪80年代中期以后，随着上述两个条件限制的逐步解除，FDTD便凭借其特有的优势得以迅速发展。它能方便、精确地预测实际工程中的大量复杂电磁问题，应用范围几乎涉及所有电磁领域，成为电磁工程界和理论界研究的一个热点。目前，FDTD日趋成熟，并成为分析大部分实际电磁问题的首选方法。

时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

时域有限差分法（FDTD 算法）

时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

Maxwell 方程的旋度方程组为：

E E H σε

+∂∂=⨯∇t H H

E m t

σμ-∂∂-=⨯∇ （1）在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：

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z E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭

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FDTD介绍解析

FDTD研究历史和现状
❖ 原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题, 并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
差分格式
差分格式
差分格式
差分格式
❖ 由此可以看出该算法的特点是：在每一个网格点上，各场的分量新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值和该点周围邻近点上另外一场量的场分量早 1/2 个时间步长时刻的值。因此任一时刻可依次计算出一个点，并行算法可以计算多个点。这一关系构成了 FDTD 方法的基本迭代步骤。通过这些运算可以交替算出电场与磁场在各个时间步的值
差分格式
❖ 对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分格式为：
式中，i, j, k Hale Waihona Puke Baidu别为x，y，z，方向的网格编号。
差分格式
❖ 首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成多个网格单元，其中 x , y , z 分别表示在x、y、z坐标方向的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设 f (i,j,k)代表电场或磁场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为

时域有限差分法的基本原理及仿真

时域有限差分法（FDTD算法）是一种用于求解时域电磁场分布的数值方法，广泛应用于电磁场仿真与分析。FDTD算法的基本原理是通过将时域Maxwell方程进行离散化，将空间和时间划分为网格单元，然后在这些离散的网格点上进行差分计算，从而得到电磁场在全空间的时间演化过程。

FDTD算法的原理可以总结为以下几个步骤：

1. 空间离散化：将求解区域分割为网格点，并对每个网格点进行编号。一般使用的是Cartesian坐标系，其中在每个网格点上会有电场和磁场的分量。

2. 时间离散化：将时间轴分割为等间隔的时间步长，并通过时间步长来描述电磁场在时间上的变化。时间步长需要满足Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件，以保证算法的稳定性。

3. 更新电场：根据Faraday定律，通过差分法更新电场在每个网格点上的数值。根据电场的分量及其对应的电场方程，可以得到电场在每个网格点上新的数值。

4. 更新磁场：根据Ampere定律，通过差分法更新磁场在每个网格点上的数值。根据磁场的分量及其对应的磁场方程，可以得到磁场在每个网格点上新的数值。

5.添加源与边界条件：在仿真区域内添加合适的源，以模拟电磁波的激励，同时设置合适的边界条件来保证电磁波在边界处的反射或吸收。

6.迭代求解：通过反复迭代执行步骤3和步骤4，以实现电磁场在全

空间的时间演化过程。每次迭代，电磁场都会根据已知的电磁场状态进行

更新，直到达到设定终止条件。

FDTD算法的仿真过程可以描述如下：

1.初始化电场和磁场：根据初始条件，设置仿真区域内电场和磁场的