2016年秋季学期新苏科版八年级数学上册 巩固练习2_勾股定理的逆定理
八年级数学上册 3.2 勾股定理的逆定理例题与讲解素材 (新版)苏科版
《勾股定理的逆定理》1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°.作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2.∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．在△ABC和△A1B1C1中，∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠C1＝90°.辨误区勾股定理的逆定理的条件(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”．(2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB吗？试说明理由．解：AD⊥AB.理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，所以AB2＋AD2＝BD2.由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.故AD⊥AB.2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．(2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题．(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”．(4)二者关系可列表如下：＝5，求DC.分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.3．勾股数勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有______组．( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析：析规律勾股数的判断方法判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．4．勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形．解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，∴AD2＋DC2≠AC2.∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，∴该农民挖的地基不合格．5．利用非负数的性质判定三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a ＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是否是直角三角形．谈重点判定三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．【例5】如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．解：将式子变形，得a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13.∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，∴这个三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理的综合应用(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决．(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．【例6】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，BC＝12 cm，CD＝13 cm.求四边形ABCD的面积．分析：根据AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，可连接BD构成直角三角形，通过判断△BCD是直角三角形解决问题．解：连接BD，在△ABD中，∵AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5 cm.在△BCD中，∵BD＝5 cm，BC＝12 cm，CD＝13 cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36 cm2.。
苏科版八年级数学上册 勾股定理单元复习逆定理运用 画图问题 5
ABC a b c 弦股勾【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
3. 勾股数：①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）；（为正整数） （，为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： BC =AB∠C=90°c 3,4,56,8,105,12,137,24,25n 221,2,1n n n -+2,n ≥n 2221,22,221n n n n n ++++n 2222,2,m n mn m n -+,m n >m n ⇒⇒21（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
苏科版-数学-八年级上册-3.2勾股定理的逆定理 提升训练
3.2勾股定理逆定理第二课时一跃教材知能提炼 【题组练习】1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A -∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形. C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ） A ．2，4，8 B .4,8,10 C .6,8,10 D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 . 7.已知两条线段的长为5cm 和2cm ,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.8.木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 (填“合格”或“不合格”)。
9.如图18-2-2-1，△ABC 中，D 是BC 上的一点， 若AB =10，BD =6，AD =8，AC =17， 则△ABC 的面积为 。
10. 传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长12厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为12厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边长度分别为_ ______厘米，图18-2-2-1其中的道理是______________________。
3.2 勾股定理的逆定理 苏科版数学八年级上册素养提升卷(含解析)
第3章 勾股定理3.2 勾股定理的逆定理基础过关全练知识点1 勾股定理的逆定理1.(2023江苏连云港期末)△ABC的三边长分别为a,b,c.下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数为( )①∠A=∠B-∠C;②a2=(b+c)(b-c);③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④a∶b∶c=5∶12∶13.A.1B.2C.3D.42.【分类讨论思想】如图,在△ABC中,AB=BC=CA=4 cm,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1 cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2 cm/s,设它们运动的时间为t s,当t= 时,△BPQ是直角三角形.( )3.【数形结合思想】△ABC中,已知AB=9 cm, BC=17 cm, AC=10 cm.( )(1)判断△ABC是不是直角三角形;(2)求△ABC 的面积.知识点2 勾股数4.观察下列几组有规律的勾股数,并填空:①6,8,10;②8,15,17;③10,24,26;④12,35,37,则第⑤组勾股数为 .能力提升全练5.【新定义型试题】(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读理解:如果一个正整数m 能表示为两个正整数a,b 的平方和,即m=a 2+b 2,那么称m 为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是( )A.②④B.①②④C.①②D.①④6.(2023江苏苏州相城月考,6,★★☆)如图,△ABC 中,AC=6,BC=8,AB=10.AD 为△ABC 的角平分线,CD 的长度为( )A.2B.52C.3D.1037.【主题教育·中华优秀传统文化】(2022湖北黄冈、孝感、咸宁中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在我国古代著作《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 (用含m的式子表示).8.(2023江苏苏州昆山期中,12,★★☆)如图,在△ABC中,直线EF、MN 分别为线段AB、AC的垂直平分线,交BC于点F、N,若BF=4,FN=3,CN=5,则S△ABC= .9.(2023江苏连云港期末,20,★☆☆)如图,在△ABC 中,BC=6,AC=8,DE⊥AB,DE=7,△ABE的面积为35.(1)求AB的长;(2)求△ACB的面积.素养探究全练10.【推理能力】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论;(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.11.【推理能力】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图①,则有a2+b2=c2;当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2,所以小明的猜想是正确的.( )(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系,不用证明;(2)在图③中,作BC边上的高;(3)证明你猜想的结论.图① 图② 图③答案全解全析基础过关全练1.C ①由∠A=∠B-∠C 可得∠B=90°,∴△ABC 是直角三角形;②由a 2=(b+c)(b-c)可得a 2+c 2=b 2,∴△ABC 是直角三角形;③由∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5可得∠C=75°,∠B=60°,∠A=45°,∴△ABC 不是直角三角形;④由a ∶b ∶c=5∶12∶13可得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.故选C.2.答案 2或165解析 若△BPQ 是直角三角形,则∠BPQ=90°或∠BQP=90°.①当∠BPQ=90°时,Q 与A 重合,CQ=CA=4 cm,此时t=4÷2=2;②当∠BQP=90°时,由题意可得△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠BPQ=90°-60°=30°,∴BQ=12BP,即8-2t=12t,解得t=165.故当t=2或165时,△BPQ 是直角三角形.3.解析 (1)∵ AB 2+CA 2= 92+102= 181, BC 2=172=289,∴AB 2+CA 2≠BC 2,∴△ABC 不是直角三角形.(2)如图,作CD ⊥AB,交BA 的延长线于点D,设AD=x cm,则BD=(x+9)cm,∵∠D=90°,∴CD 2=BC 2-BD 2,又∵CD 2=AC 2-AD 2,∴BC 2-BD 2=AC 2-AD 2,∴172-(x+9) 2=102-x 2,解得x=6,∴ AD=6, ∴CD 2=102-62=64,∴CD=8,∴S △ABC =12AB·CD=12×9×8=36(cm 2).答:△ABC 的面积是36 cm 2.4.答案 14,48,50解析 根据题目给出的前几组数的规律可知第○n 组勾股数中的第一个数是2(n+2),第二个数是(n+1)·(n+3),第三个数是(n+2)2+1,故第⑤组勾股数是14,48,50.能力提升全练5.C ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①结论正确.②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.④设m 1=a 2+b 2,m 2=c 2+d 2,则m 1·m 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=(a 2c 2+b 2d 2+2abcd)+(a 2d 2+b 2c 2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时,ad-bc=0,∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论错误.∴正确的是①②.故选C.6.C 如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AB2=100,AC2+BC2=62+82=100,∴AB2=AC2+BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.∵AD为△ABC的角平分线,∴CD=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD, CD=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AE=AC=6.在Rt△BED中,BD2=DE2+BE2,∴(8-CD)2=CD2+(10-6)2,解得CD=3.故选C.7.答案 m2+1解析 ∵m为正整数,∴2m为偶数,设其股是a,则弦为a+2.∴(2m)2+a 2=(a+2)2.解得a=m 2-1.∴弦是a+2=m 2-1+2=m 2+1.故答案为m 2+1.8.答案 24解析 ∵直线EF 、MN 分别为线段AB 、AC 的垂直平分线,∴AF=BF=4,AN=CN=5.∵FN=3,∴BC=BF+FN+CN=12,AF 2+FN 2=42+32=52=AN 2,∴∠AFN=90°,∴AF ⊥BC,∴S △ABC =12BC·AF=12×12×4=24.故答案为24.9.解析 (1)∵△ABE 的面积为35,DE=7,DE ⊥AB,∴12AB×7=35,解得AB=10.(2)在△ABC 中,AB 2=102=100,BC 2+AC 2=62+82=100,∵AB 2=AC 2+BC 2,∴∠C=90°,∴S △ABC =12AC·BC=12×8×6=24.答:△ACB 的面积为24.素养探究全练10.解析 (1)AP=CQ.证明:∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB,∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=60°,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,AB=CB,∠ABP=∠CBQ, BP=BQ,∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.(2)连接PQ,如图所示.∵△ABP≌△CBQ,∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ为等边三角形,∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,∴∠BQC=90°+60°=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.11.解析 (1)当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系为a2+b2<c2.(2)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,线段AD即为所求.(3)证明:设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,∴b2-x2=c2-(a+x)2,∴a2+b2=c2-2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2<c2,∴当△ABC中∠ACB为钝角时,a2+b2<c2.。
苏科版八年级上册勾股定理的逆定理同步练习
D、 72 ܽ ጣ2 11 ，2 ጣ1，
72 ܽ ጣ2 2，
长度为 7，8，9 的三条边不能构成直角三角形．
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故选：A． 求出较小两边平方的和及最大边的平方，比较后即可得出结论 实际做题中不用逐项排 除，找出相等的选项即可 ． 本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长 a，b，c 满足 2 ܽ 2 2， 那么这个三角形就是直角三角形．”是解题的关键．
⺁
B. 헀ጣ 是直角三角形，且 헀 ⺁
C. 헀ጣ 是直角三角形，且 ጣ ⺁
D. 헀ጣ 不是直角三角形
1⺁. 如图，D 为 헀ጣ 的边 BC 上一点，已知 헀 1 ， ܦ12，
ጣ 1 ，헀 ܦ，则14
C. 15
二、填空题
11. 在 헀ጣ 中， ， 헀， ጣ 的对边分别为 a，b，c，且满足
.
헀ጣ 满足下列条件中的一个，其中不能说明 헀ጣ 是直角三角形的是
A. 2
ܽ
B. a：b： 1： ：2
C. ጣ
헀
D. ： 헀： ጣ ：4：5
4. 如图，在 헀ጣ 中，D 是 BC 上一点，已知 헀 1 ，
ܦ12， ጣ 1 ，헀 ܦ，则 DC 的长为
A. 13
B. 12
C. 9
. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是
苏科版八年级上册第三章 3.2 勾股定理的逆定理同步练习
一、选择题 1. 如图，正方形网格中小方格的边长为 1，则 헀ጣ 是
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A. 1，4，9
八年级数学上册 第三章 3.2 勾股定理的逆定理知识点与同步训练(含解析)(新版)苏科版
勾股定理的逆定理一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a，b，c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c+=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c+=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41．一．考点：1．勾股定理逆定理；2．勾股数．二．重难点：掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形．三．易错点：勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数．题模一：勾股定理逆定理例1.1.1下列说法正确的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．符合勾股定理，故本小题正确；②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC是直角三角形．故本小题错误；③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；④当C是斜边时（a+b）（a﹣b）=c2不成立，故本小题错误．例1.1.2 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ． a=9，b=41，c=40B ． a=b=5，c=5C ． a ：b ：c=3：4：5D ． a=11，b=12，c=15【答案】D【解析】 A 、92+402=412，故是直角三角形，故正确；B 、52+52=（）2，故是直角三角形，故正确；C 、32+42=52，故是直角三角形，故正确；D 、112+122≠152，故不能组成直角三角形．例1.1.3 如图，已知4AB =，12BC =，13CD =，3DA =，AB ⊥AD ．判断BC ⊥BD 吗？简述你的理由．【答案】 见解析 【解析】 在直角△ABD 中，已知4AB =，3DA =，22255BD AB AD =+==∵12BC =，13CD =，∴满足222BD BC CD +=，∴△BCD 为直角三角形，即BC ⊥BD ．例1.1.4 在△ABC 中，D 为BC 的中点，5AB =，6AD =，13AC =．试判断AD 与AB 的位置关系．【答案】 AD ⊥AB【解析】 延长AD 至E ，使得AD DE =，连接BE ，∵D 为BC 的中点，∴BD CD =， 在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC EDB DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴13EB AC ==，∵6AD =，∴12AE =，∵222+=，51213∴222+=，AB AE EB∴90∠=︒，BAE∴AD⊥AB．题模二：勾股数例1.2.1分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成勾股数的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C【解析】①222+==，能构成勾股数；6810010②222+=，能构成勾股数；51213③222+=，能构成勾股数；81517④222+≠，不能构成勾股数．456例1.2.2已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【答案】7200（元）【解析】该题考查的是勾股定理的应用．如图，连接BD，在Rt△ABD中，222222345=+=+=，BD AB AD在△CBD中，2212BC=，CD=，2213而222+=，12513即222BC BD CD +=，∴90DBC ∠=︒， 1122ABCD BAD DBC SS S AD AB DB BC =+=⋅+⋅ 114312522=⨯⨯+⨯⨯ 36=所以需费用362007200⨯=（元）．随练1.1 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ． 4，5，6B ． 1.5，2，2.5C ． 2，3，4D ． 1，2，3【答案】B【解析】 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A 、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A 选项错误；B 、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B 选项正确；C 、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C 选项错误；D 、12+（2）2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D 选项错误．故选：B ．随练1.2 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）ABA ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°【答案】C【解析】 AC BC ==，AB =，∵222+=，∴222AC BC AB +=，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ∠=︒，所以本题的答案是C ．随练1.3 △ABC 的三边长a ，b ，c 满足8a b +=，4ab =，256c =，判断△ABC 的形状，并说明理由．【答案】 △ABC 的形状是直角三角形．【解析】 264a b +=（），22264a b ab ++=，∴4ab =，∴22264264856a b ab c +=-=-==．随练1.4 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断△ABC 的形状．【答案】 等腰三角形或直角三角形．【解析】 由题意知，()()()2222222c a b a b a b -=+-，因此当a b =时，△ABC 为等腰三角形；当a b ≠时，由222a b c +=，△ABC 为直角三角形．随练1.5 下面四组数中是勾股数的有（ ）（1）1.5，2.5，2；（2，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A ． 1组B ． 2组C ． 3组D ． 4组【答案】A【解析】 （1）2221.52 2.5+=，能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；（2）2222+=，能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误；（3）222121620+=，三边是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，正确；（4），能构成直角三角形，但不是正整数，故不是勾股数，错误．。
新苏科版初中数学八年级上册3.2勾股定理的逆定理精编习题
勾股定理的逆定理
核心价值题：
1若△AB 的两边长为8和15，则能使△AB 为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A 、161
B 、289 、17 D 、161或289
2 四个三角形的边长分别为：①a=5b=12c=13;②a=2b=3c=4; ③a=25b=6c=65; ④a=21b=20c=29其中，直角三角形的个数是（ ）
A 、4
B 、3 、2 D 、1
3 在Rt △AB 中，斜边AB=2，则AB 2+B 2+A 2=
4 已知|－12|＋|＋y －25|与z 2－10z ＋25互为相反数，则以、y 、z 为三边的三角形是______ 三角
形
5 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边A ＝6c ，B ＝8c ，先将直角
边A 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则D ＝
6若△AB 的三边a 、b 、c 满足条件a 2＋b 2＋c 2
＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△AB 的形状
7如图，在四边形ABD 中，已知：AB ＝1，B ＝2，D ＝2，AD ＝3，且AB ⊥B 试
说明A ⊥D 的理由
二、 知识与技能演练题：
1已知：如图，矩形ABD 中，AB ＝4，B 2＝3，点E 是D 上一个动点，连结AE （1）若E ＝1，试求∠AEB 的大小，并说明理由。
（2）当DE 为多少时，AE ⊥BE ，并证明你的结论。
B D。
八年级数学苏科版上册随堂测试第3单元《 3.2 勾股定理的逆定理》 练习试题试卷 含答案
随堂测试3.2勾股定理的逆定理一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(）A．a：b：c=3：4：5B．∠A：∠B：∠C=9：12：15C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c22.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是()①a=7，b=24，C=25；②a=1.5，b=2，c=7.5；③∠A：∠B：∠C=1：2：3;④a=1，b=，c=.A.1个B.2个C.3个D.4个3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是()A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形4.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°.A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是()A.a=3，b=4，c=6B.a=5，b=6，c=7C.a=6，b=8，c=9D.a=7，b=24，c=256.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ab=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形7.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A.∠A：∠B：∠C=l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2，C.三边长为a，b，c的值为，2，4D.a2=(c+b)(c﹣b)8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列判断错误的是()A.如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果a2＋c2=b2，则△ABC不是直角三角形C.如果(c-a)(c+a)=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3，则△ABC是直角三角形9.如图，在4×4的方格中，△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是．13.在△ABC中，如果(a+b)(a﹣b)=c2，那么∠=90°.14.如果△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-24)2+∣b-18∣+∣c-30∣=0，则△ABC的形状是。
苏科版数学八年级上册 勾股定理的逆定理-专题培优训练(含答案)
3.2 勾股定理的逆定理知识点 1 勾股定理的逆定理1.在△ABC 中,如果三边满足关系BC 2=AB 2+AC 2,那么△ABC 的直角是( )A .∠CB .∠AC .∠BD .不能确定2.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是( )A .3,4,5B .5,12,13C .0.3,0.4,0.5D .13,14,153.[2020·盐城阜宁县月考] 已知△ABC 中,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边,下列条件不能判定△ABC 是直角三角形的是( )A .∠A=∠C-∠B B .a ∶b ∶c=4∶5∶6C .a 2=b 2-c 2D .a=,b=,c=134544.如,点P 在直线l 上,已知PA=5,AC=BC=3,PC=4,则线段PB 的长度是( )A .6B .5C .4D .35.[2019·南京秦淮区期末] 如,△ABC 中,AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,D 是AC 的中点,则BD= cm .6.以下列各组数据为长度的线段中,哪些可以组成直角三角形?①5,13,12;②4,5,7;③3a,4a,5a(a>0);④a∶b∶c=5∶12∶13.7.如,在6×6的网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格的格点.(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)在格点上是否存在点P,使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P(用P1,P2,…表示).8.[2019·兴化月考] 如,AD⊥BC,垂足为D.如果CD=1,AD=2,BD=4.(1)直接写出AC2= ,AB2= ;(2)△ABC是直角三角形吗?证明你的结论.知识点2 勾股数9.[2020·高邮期中] 下列各组数中,是勾股数的是( )A.2,3,4B.9,12,13C.0.3,0.4,0.5D.7,24,2510.[2020·连云港灌云县月考] 若8,17,m是一组勾股数,则m= .11.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中摆放正确的是( )12.在△ABC中,AB=10,BC=12,BC边上的中线AD=8,则△ABC中AB边上的高为( )A.8B.9.6C.10D.1213.观察下列各组勾股数,并寻找规律:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④10,24,26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数: .14.如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当t= 时,△ABP为直角三角形.15.如,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2-AE2=AC2.求证:∠A=90°.16.如,AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求该图形的面积.17.[2019·南京高淳区期末]如,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,CD=1,AD=3,求∠BCD 的度数.18.[2019·兴化期中] 【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载,公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像以3,4,5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数,称为勾股数.【应用举例】观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,当勾为3时,股4=(9-1),弦5=(9+1);1212当勾为5时,股12=(25-1),弦13=(25+1);1212当勾为7时,股24=(49-1),弦25=(49+1).1212(1)请仿照上面三组样例,用发现的规律填空:如果勾用n (n ≥3,且n 为奇数)表示,请用含有n 的式子表示股和弦,则股= ,弦= .【问题解决】(2)古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式.具体表述如下:若a=2m ,b=m 2-1,c=m 2+1(m 为大于1的整数),则a ,b ,c 为勾股数.请你证明柏拉图公式的正确性.(3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1,若用2a 2+2a+1(a 为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数,请你找出另外两个数的表达式分别是多少.教师详解详析1.B [解析] ∵BC 2=AB 2+AC 2,∴△ABC 是直角三角形,BC 是斜边.∴∠A=90°.故选B .2.D [解析] ∵132+142≠152,∴13,14,15这三条线段不能组成直角三角形.3.B [解析] A 项,∵∠A=∠C-∠B ,且∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故△ABC 是直角三角形;B 项,设a=4x ,b=5x ,c=6x ,则a 2+b 2≠c 2,∴△ABC 不是直角三角形;C 项,∵a 2=b 2-c 2,∴b 2=c 2+a 2,故△ABC是直角三角形;D 项,∵a=,b=,c=1,∴b 2=c 2+a 2,故△ABC 是直角三角3454形.故选B .4.B [解析] ∵PA=5,AC=3,PC=4,∴PA 2=AC 2+PC 2.∴∠PCA=90°.∵AC=BC ,∴点P 在线段AB 的垂直平分线l 上.∴PB=PA=5.故选B .5.5 [解析] ∵AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,∴AB 2+BC 2=AC 2,∴△ABC 是直角三角形,且∠ABC=90°.∵D 是AC 的中点,∴BD=AC=5 cm .126.解:①∵52+122=132,∴以5,12,13为长度的线段可以组成直角三角形.②∵42+52≠72,∴以4,5,7为长度的线段不能组成直角三角形.③∵(3a)2+(4a)2=(5a)2,∴以3a,4a,5a(a>0)为长度的线段可以组成直角三角形.④设a=5x,b=12x,c=13x.∵(5x)2+(12x)2=(13x)2,∴a2+b2=c2.∴以a,b,c为长度的线段可以组成直角三角形.7.解:(1)证明:∵AC2=32+42=25,AB2=12+22=5,BC2=22+42=20,∴AC2=AB2+BC2,∴△ABC是直角三角形.(2)存在.如图所示.8.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC2=AD2+CD2=5.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB2=AD2+BD2=20.故答案为5,20.(2)△ABC 是直角三角形.证明:BC=BD+CD=5.∵5+20=52,即AC 2+AB 2=BC 2,∴△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.9.D [解析] 22+32≠42,不能构成直角三角形;92+122≠132,不能构成直角三角形;0.3,0.4,0.5不是正整数;72+242=252,能构成直角三角形,且都是正整数.故选D .10.15 [解析] 当17是最长边时,82+m 2=172,即m 2=225,∴m=15;当m 是最长边时,m 2=82+172,即m 2=353,则m 不是正整数.综上,m=15.11.D [解析] ∵72+242=252,152+202=252,∴选项D 正确.12.B [解析] 如图,过点C 作CE ⊥AB 于点E.∵AD 是△ABC 的中线,BC=12,∴BD=6.∵AB=10,AD=8,BD=6.∴AB 2=AD 2+BD 2.∴∠ADB=90°.∴AD ⊥BC.∵S △ABC =BC ·AD=AB ·CE ,1212∴CE==9.6.故选B .12×81013.16,63,65 [解析] 观察前4组数据的规律可知第组勾股数的第一个数是2(n+1);第二个数是n (n+2);第三个数是(n+1)2+1.所以第⑦组勾股数是16,63,65.14.2或 [解析] ∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,∴BC=4 cm .258①当∠APB 为直角时,点P 与点C 重合,BP=BC=4 cm,∴t=4÷2=2.②当∠BAP 为直角时,BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3 cm,在Rt △ACP 中,AP 2=32+(2t-4)2,在Rt △BAP 中,AB 2+AP 2=BP 2,∴52+[32+(2t-4)2]=(2t )2,解得t=.258综上,当t=2或时,△ABP 为直角三角形.25815.证明:连接CE.∵D 为BC 的中点,DE ⊥BC 交AB 于点E ,∴CE=BE.∵BE 2-AE 2=AC 2,∴CE 2-AE 2=AC 2.∴AC 2+AE 2=CE 2.∴∠A=90°.16.[解析] 连接AC ,应用勾股定理及其逆定理,可判定△ABC 为直角三角形,再运用面积的和差关系求出图形的面积.解:连接AC.在Rt △ADC 中,AC 2=AD 2+CD 2=42+32=25,∴AC=5.在△ABC 中,AC 2+BC 2=169,AB 2=169,∴AB 2=AC 2+BC 2,则△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90°.∴S=AC ·BC-AD ·CD=×5×12-×3×4=24.1212121217.解:如图,连接AC.∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴∠ACB=45°,AC 2=AB 2+BC 2=8.在△ACD 中,∵AC 2+CD 2=8+1=9,AD 2=32=9,∴AD 2=AC 2+CD 2,∴∠ACD=90°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°.18.解:(1)(n 2-1) (n 2+1)1212(2)∵a=2m ,b=m 2-1,c=m 2+1(m 表示大于1的整数),∴a 2+b 2=(2m )2+(m 2-1)2=4m 2+m 4-2m 2+1=m 4+2m 2+1=(m 2+1)2,c 2=(m 2+1)2,∴a 2+b 2=c 2.∴a ,b ,c 为勾股数.(3)2a 2+2a ,2a+1.。
苏科版数学八年级上册3.2《勾股定理的逆定理》练习.doc
1 勾股定理的逆定理
核心价值题：
1.若△ABC 的两边长为8和15，则能使△ABC 为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A 、161
B 、289
C 、17
D 、161或289
2. 四个三角形的边长分别为：①a=5,b=12,c=13;②a=2,b=3,c=4; ③a=2.5,b=6,c=6.5; ④a=21,b=20,c=29.其中，直角三角形的个数是（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
3. 在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2= .
4. 已知|x －12|＋|x ＋y －25|与z 2－10z ＋25互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是
______ 三角形.
5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，先将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD ＝ .
6.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC
的形状.
7.如图，在四边形ABCD 中，已知：AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，且AB ⊥
BC.试说明AC ⊥CD 的理由.
二、 知识与技能演练题：
1.已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC 2＝3，点E 是CD 上一个动点，连结AE.（1）若
CE ＝1，试求∠AEB 的大小，并说明理由。
（2）当DE 为多少时，AE ⊥BE ，并证明你的结论。
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】
E A B B
D。
苏科版-数学-八年级上册-2.6 勾股定理的逆定理(江苏科教版)复习教案1
【同步教育信息】一. 本周教学内容2.6 勾股定理的逆定理（江苏科教版）复习教案2.7 直角三角形全等的判定二. 重点、难点重点：1. 勾股定理的逆定理及应用；2. 直角三角形全等的判定方法“HL”及应用。
难点：1. 判断边长为（含字母）代数式的三角形是否为直角三角形。
2. 直角三角形全等的判定（HL）方法的推导过程。
三. 知识要点及学习目标1. 掌握直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）勾股定理的逆定理：在一个三角形中，如果其中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（其中第三边最大，它所对的角为直角）如图：在△ABC中，如果AB2＝AC2+BC2那么：△ABC是直角三角形。
（或直接写成∠ACB＝90°）2. 会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形。
3. 掌握判定两个直角三角形全等的方法（HL）。
直角三角形全等的判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“HL”）如图，在△ABC和△A’B’C’中，如果∠C＝∠C’＝90°，AB＝A’B’BC＝B’C’那么△ABC ≌△A’B’C’4. 了解角平分线的性质：角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
会用这个性质判断某点是否在角平分线上（判断角平分线的方法）。
如下图，过∠ACB内一点P，作PM⊥CA于M，PN⊥CB于N，如果PM＝PN，则P点在∠ACB的平分线上。
（如果作射线CP，则CP就是∠ACB的平分线，或直接得出∠ACP＝∠PCB）【典型例题】例1. 根据下列条件，分别判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝32，b ＝1，c ＝32分析：根据边长判定三角形是否是直角三角形就是要分别计算两条较短边的平方和与最长边的平方，比较它们是否相等。
若相等，则三角形是直角三角形；否则不是直角三角形。
解：（1）22225247=+∴以7，24，25为边的三角形是直角三角形。
苏科版八年级数学上册3.2 勾股定理的逆定理
初中数学试卷3.2 勾股定理的逆定理一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，72．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：63．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=106．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为______．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是______．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=______度．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是______（只填数，不填等式）12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为______cm2．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为______．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和______组成一组勾股数．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c219．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．（2）猜想，当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=______，b=______，c=______；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．参考答案一．选择题（共7小题）1．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（）A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形【分析】先把等式化为a2﹣b2=c2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】对原式进行化简，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．5．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（）A．b2=（a+c）（a﹣c）B．a：b：c=1：2：C．a=32，b=42，c=52D．a=6，b=8，c=10【分析】根据选项中的数据，由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a﹣c），∴b2=a2﹣c2，∴b2+c2=a2，∴能构成直角三角形，故选项A错误；B、∵a：b：c=1：2：，∴设a=x，则b=2x，c=x，∵x2+（x）2=（2x）2，∴能构成直角三角形，故选项B错误；C、∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，∴不能构成直角三角形，故选项C正确；D、∵a=6，b=8，c=10，62+82=36+64=100=102，∴能构成直角三角形，故选项D错误；故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理时，可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c=C．（b+a）（b﹣a）=c2D．∠A：∠B：∠C=5：3：2【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．【解答】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．二．填空题（共7小题）8．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为 4.8．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8．【点评】本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式，比较简单．9．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是480．【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长即可求得x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【解答】解：设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480．故答案是：480．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式，正确判断三角形是直角三角形是关键．10．如图，三个正方形的面积分别为S1=3，S2=2，S3=1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1+∠2=90度．【分析】根据面积得出AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵S1=3，S2=2，S3=1，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，故答案为：90．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理的应用，能根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°是解此题的关键．11．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．12．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【解答】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故答案为：18．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．13．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为等腰直角三角形．【分析】由于（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，利用非负数的性质可得a=b，且a2+b2=c2，根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．【解答】解：∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2，∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质．14．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852﹣842，再进行计算即可．【解答】解：∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．三．解答题（共8小题）15．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC 的面积可得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×=2，∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×+×4×8=4+16．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．17．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．【解答】（1）证明：连接CE，如图，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE=BE…（2分）∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）解：∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．18．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，25 72+242=2529，40，41 92+402=412……17，b，c 172+b2=c2【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理；解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．19．在△ABC中，c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形；当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC 的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．【分析】分三种情况：①△ABC是直角三角形；②△ABC是钝角三角形；③△ABC是锐角三角形．【解答】解：∵a=2，b=4，∴a2+b2=22+42=20．分三种情况：①△ABC是直角三角形时，a2+b2=c2，c2=20，c=2；②△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2，且a+b＞c，即20＜c2，且6＞c，解得2＜c＜6；③△ABC是锐角三角形时，a2+b2＞c2，且b﹣a＜c，即20＞c2，解得﹣2＜c＜2，∵c为最长边，∴c≥4．故4≤c＜2．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力．20．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形．（2）猜想，当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．【分析】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据（1）中的计算作出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；故答案为：锐角；钝角；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；故答案为：＞；＜；（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．21．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OB=12×1.5=18海里，OA=16×1.5=24海里，又∵AB=30海里，∵182+242=302，即OB2+OA2=AB2∴∠AOB=90°，∵∠DOA=40°，∴∠BOD=50°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 …a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …b 4 6 8 10 …c 22+1 32+1 42+1 52+1 …（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1；（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．【分析】（1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．【解答】解：（1）由题意有：n2﹣1，2n，n2+1；（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1∴a2+b2=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2而c2=（n2+1）2∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．【点评】本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．。
苏科版-数学-八年级上册- 勾股定理逆定理 课后练习二及详解
勾股定理逆定理课后练习（二）主讲教师：傲德题一：如图，已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD面积．题二：以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4cm，8cm，7cmB．2cm，2cm，2cmC．2cm，2cm，4cmD．13cm，12 cm，5 cm题三：如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于．题四：如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为．题五：观察第一个数为偶数的勾股数：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n 表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．勾股定理逆定理课后练习参考答案题一：36．详解：∵AB⊥BC∴∠B=90°，由勾股数知：AC=5，∵AC 2+CD 2 =5 2+12 2=169=AD 2，∴△ACD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36．题二：D．详解：A、∵42=16，82=64，72=49，∴42+72≠82∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵22=4，22=4，22=4，∴22+22≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22=4，22=4，42=16，∴22+22≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵132=169，122=144，52=25，∴122+52=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确．题三：135．详解：连接AC．∵AB⊥BC于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB 2+BC 2=AC 2，又∵AB=CB=2，∴AC=22，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=23，DA=2，∴CD 2=12，DA2=4，AC 2=8．∴AC 2+DA2=CD 2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．故答案为135．题四：6个．详解：根据等腰直角三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C点．如图：故6个．题五：2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n21，n2+1详解：若用2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n21，n2+1∴(2n)2+(n21)2=n4+2n2+1=(n2+1)2，∴2n、n21、n2+1是一组勾股数．。
新苏科版八年级数学上册3.2 勾股定理的逆定理生成案
新苏科版八年级数学上册3.2 勾股定理的逆定理生成案
一、我的困惑及解决的方法：
1、 2、
二、我明白了：
勾股定理的逆定理：
三、巩固练习
1已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？
2设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．
问：△ABC是直角三角形吗？
24
7
15
20
D
C
B
A
D
A B
C
四、拓展延伸
若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.。
苏科版-数学-八年级上册-3-2 勾股定理的逆定理同步测试
§3.2 勾股定理的逆定理 2015.10 一、细心选一选．1．下列四组线段可以构成直角三角形的是 ( )A ．4，5，6B ．1．5，2，2．5．C ．2，3，4D ．1，2，32．分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12； ③1，2，3；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有 ( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，如果(a －5)2+12b -+c 2－26c +169=0，那么此三角形的形状是 ( )A ．以a 为斜边的直角三角形．B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形4．一个三角形三边的长分别为15 cm ，20 cm ，25 cm ，则这个三角形最长边上的高是 ( )A ．12 cmB ．10 cmC ．1212cm D ．1012cm5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 ( )6．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c 下列说法中错误的是 ( )A ．如果∠C －∠B =∠A ，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°B ．如果c 2=b 2－a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°C ．如果(c + a )(c －a ) =b 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C =90°D ．如果∠A ：∠B ：∠C=3：2：5，则△ABC 是直角三角形，且∠C =90°二、认真填一填．7．填空：(1) 在△ABC 中，∠C=90°，a =9，b =12，则c = ；(2) 在△ABC 中，AC =6，BC =8，当AB = 时，∠C=90°．8．在△ABC 中，若a 2= (b + c )(b －c )，则△ABC 是 三角形．9．若12x -+25x y +-与z 2－10z +25互为相反数，则x = ，y = ，z = ，以 x ，y ，z 为三边的三角形是 三角形．10．△ABC 中，若a 2 + b 2=25，a 2－b 2=7，又c =5，则最大边上的高是 ．11．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ， GH 四条线段，其中，能构成一个直角三角形三边的三条线段是 ．12．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识可知b= ，c= ．三、耐心解一解．13．判断下列由线段a，b，c为三边组成的三角形是否为直角三角形．(1) a=7，b=24，c=5 (2) a=2．5，b=2，c=1．5(3) a=54，b=1，c=5314．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．求证：AC⊥CD．15．如图是一块地的平面图，其中AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m，∠ADC=90°，求这块地的面积．16．如图，E，F分别是正方形ABCD 中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=14BC，F为CD的中点，连接AF，AE，则△AEF是什么三角形? 请说明理由．17．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－EA2=AC2．求证：∠A=90°．18．已知：在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n2－1，b=2n，c=n2+1(n>1)．求证：∠C=90°．19．如图，点P是等边△ABC内一点，连接P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．(1) 猜想AP与CQ具有怎样的数量关系? 并请证明你的猜想；(2) 若P A：P B：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状并说明理由．参考答案1．B 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．(1) 15 (2) 10 8．直角9．12 13．5 直角10．2．4 11．AB，EF，GH12．84 85 13．略14．略15．连接AC．AC==5，AC2+BC2=25+144=169，AB2=169．∴AC2+BC2=AB2．∴∠ACB=90°．S=S△ACB－S△ACD=12×AC×B C－12×AD×CD =12×5×12－12×4×3 =24(m2) 16．△AEF是直角三角形．理由：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2=EF2+AF2，∴△AEF是直角三角形．17．连接EC，∵D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，∴BE=CE．∵BE2－EA2=AC2，∴CE2－EA2=AC2．∴CE2=EA2+AC2．∴∠A=90°。
苏科版八年级上册第三章3.2勾股定理的逆定理(解析版)
3.2勾股定理的逆定理一、选择题1.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2,3,4B. 3,4,5C. 6,8,12D.2.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. ,,B. ,,C. ,,D. ,,3.三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形4.一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定形状5.由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A. ：：：4：5B. ：：：3：5C. D.6.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A. B. C. D.7.已知△ABC，AB=5，BC=12，AC=13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（）A. B. 5 C. D. 12二、填空题8.三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于______．9.一个三角形的三边的比是3∶4∶5，它的周长是24，则它的面积是____________.10.如图，已知CD=6m，AD=8m，ADC=900，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积是_____m211.12.如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2=______，ABC=______°．13.探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3,4,5），（5,12,13），（7,24,25），（9,40,41），…可发现，，，…请写出第5组数：______________．14.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是______ ．15.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．三、解答题16.如图，已知四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．17.如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．（1）求△ABC的面积；（2）通过计算判断△ABC的形状；（3）求AB边上的高．18.如图，在△中，，，，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．证明：△是直角三角形；求△的面积．19.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．20.如图，在△ABC中，AB=30cm，BC=35cm，B=60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．21.如图所示，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD=12，BD=16，AB=20，CD=9．（1）试说明AD⊥BC．（2）求AC的长及△ABC的面积．（2）判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．2.【答案】D【解析】解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选：D．理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方．理解勾股数的定义，并能够熟练运用．3.【答案】C【解析】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．对等式进行整理，再判断其形状．本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．4.【答案】A【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，∴扩大后三角形三边长分别为：10，24，26，∵102+242=676，262=676，∴102+242=262，∴这个三角形的形状为直角三角形．故选：A．直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键．5.【答案】A【解析】解：A、∵ A：B：C=3：4：5，∴ C=180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵ A：B：C=2：3：5，∴ A+B=C，∴ C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵ A-C=B，∴ A+B=C，∴ C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；D、∵AB2-BC2=AC2，∴AB2+AC2=BC2，故能判定△ABC是直角三角形．故选：A．先根据所给的数据，再根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可求出答案．本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．6.【答案】D【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，∴AM的最小值是．故选：D．根据勾股定理的逆定理可以证明BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．7.【答案】A【解析】解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB2+BC2=169=AC2，∴△ABC是直角三角形，当BP⊥AC时，BP最小，∴线段BP长的最小值是：13•BP=5×12，解得：BP=．故选：A．首先判断△ABC的形状，再利用三角形面积求法得出答案．本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．8.【答案】2.5【解析】解：∵32+42=25=52，∴该三角形是直角三角形，∴×5=2.5．故答案为：2.5．根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键．9.【答案】24【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.先根据三角形的三边长的比是3：4：5，它的周长是24求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，由三角形的面积公式即可求解.【解答】解：∵三角形的三边长的比是3：4：5，它的周长是24,∴设此三角形的边长分别是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2,∴此三角形的边长分别是6，8，10,∵ ,∴此三角形是直角三角形,∴这个三角形的面积=×6×8=24．故答案为24.10.【答案】96【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=AC×BC-AD×CD即可得出结论．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD=6m，AD=8m，ADC=90°，BC=24m，AB=26m，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，ACB=90°．∴S阴影=AC×BC-AD×CD=×10×24-×8×6=96（m2）．故答案为96．11.【答案】10 45【解析】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AB2=12+32=10，AC2=BC2=12+22=5，∵5+5=10，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴ ABC=45°．故答案为：10，45．连接AC，根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，证明△ABC是等腰直角三角形，继而可得出ABC的度数．本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．12.【答案】11，60，61【解析】【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【解答】解：∵①3=2×1+1，4=2×12+2×1，5=2×12+2×1+1；②5=2×2+1，12=2×22+2×2，13=2×22+2×2+1；③7=2×3+1，24=2×32+2×3，25=2×32+2×3+1；④9=2×4+1，40=2×42+2×4，41=2×42+2×4+1；⑤11=2×5+1，60=2×52+2×5，61=2×52+2×5+1，故答案为11，60，61．13.【答案】15【解析】解：设第三个数为x，∵是一组勾股数，∴①x2+82=172，解得：x=15，②172+82=x2，解得：x=（不合题意，舍去），故答案为：15．设第三个数为x根据勾股定理的逆定理：∴①x2+82=172，②172+82=x2．再解x即可．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．14.【答案】15【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE=AB=5，BAD=E，∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，∴CE2+AE2=AC2，∴ E=90°，∴ BAD=90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积=AD•AB=15，故答案为：15．延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD 的面积．本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．15.【答案】解：连接AC，如图所示：∵ B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，ACD=90°，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．故四边形ABCD的面积是36．【解析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC的面积=4×4-×4×2-×2×1-×3×4=5；（2）由勾股定理得：AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=32+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）∵AC==2，BC=，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高=．【解析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形.（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；（3）由三角形的面积即可得出结果.17.【答案】解：（1）∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，ADE=C=BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，∴x2+92=（15-x）2，解得．∴BE=BC-EC=15-=，∴S△ABE=×BE×AC=××8=．【解析】本题考查翻折变换，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，ADE=C=BDE=90°，设EC=DE=x，在Rt△BDE中，根据DE2+BD2=BE2，构建方程求出x，再根据S△ABE=×BE×AC计算即可.18.【答案】解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴ E=90°，由勾股定理得：CD==，∴BC=2CD=2，答：BC的长是2．【解析】延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出E=90°，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．19.【答案】解：（1）设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM=x，BN=2x，∴BM=AB-AM=30-x，根据题意得：30-x=2x，解得：x=10，答：经过10秒△BMN为等边三角形；（2）经过x秒，△BMN是直角三角形，①当BNM=90°时，∵ B=60°，∴ BMN=30°，∴BN=BM，即2x=（30-x），解得：x=6；②当BMN=90°时，∵ B=60°，∴ BNM=30°，∴BM=BN，即30-x=×2x，解得：x=15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【解析】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键．（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分①BNM=90°时，即可知BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②BMN=90°时，知BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．20.【答案】解：（1）∵AD2+BD2=122+162=400，AB2=202=400，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴ ADB=90°即AD⊥BC；（2）∵ ADB=90°，且点D为BC边上的一点，∴ ADC=90°，∴由勾股定理得：AC==15，∴S△ABC=BC•AD=×205×12=150；（3）△ABC是直角三角形．理由如下：∵AC2+AB2=132+202=625，BC2=252=625，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形．【解析】（1）根据已知条件推知AD2+BD2=AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得结论；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的长度，由三角形的面积公式来求三角形ABC的面积即可；（3）利用勾股定理的逆定理进行证明．本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．第11页，共11页。