高考数学大一轮复习第6章第2节一元二次不等式及其解法文新人教版

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高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理新人教版

方向 2 利用函数性质解不等式
【例 2】 (1)(2019·山东聊城一模)已知函数 f(x)＝|x|(10x－10－x)，
不等式 f(1－2x)＋f(3)>0 的解集为( A )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)(2019·河南豫北名校联考)已知函数 f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足 f(x
A．(－2,3)
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝{x|－2<x≤2} ＝(－2，2]．
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为－12，1.选 A.
3．设一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 ab
的值为( B )
A．1
B．－14
C．4
D．－12
解析：因为一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1
<x<2}．所以方程 ax2＋bx＋1＝0Байду номын сангаас的解为－1,2.
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
③当
0<a<1
时，1a>1，解x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为x|x<1a或x>1；当 a＝0 时，解

高考数学第一轮复习第六篇第2讲一元二次不等式及其解法课件理新人教A版

规律方法
第八页，共22页。
用不等式(组)表示(biǎoshì)不
考
等关系题
点
【训练 1】(2013·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x＞0
时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为________．
解 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当 x＜0 时，－x＞0，
第七页，共22页。
一元(yī yuán)二次不等式的解法
考点
接上 f(x)＝－x2＋2x＋3 ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得 4x2＋4x－3＞0，解得 x＞12或 x＜－32，故选 A.
f(x)=4x2＋4x－3
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后(ránhòu)结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，
2
② ③解解当当得得aa＜＞xx≥0≤0 时2a时－或，，1x.原原≤不不－等等1.式式化化为为xx－－2a2a((xx＋＋11)≤)≥00. ，
a
当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤a2；
当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意；
小关系，从而确定解集形式．
规律方法
第十一页，共22页。
训练 2 (1)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且
x2－x1＝15，则 a 等于(
)．A.52
7 B.2
15 C. 4
15 D. 2
法一∵不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(x1，x2)，

高考数学一轮总复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件文

答案：(－4,1)
x＋8 (2)(2015 年上海)下列不等式中，与不等式 2 ＜2 解 x ＋2x＋3 集相同的是( )
A.(x＋8)(x2＋2x＋3)＜2 B.x＋8＜2(x2＋2x＋3) 1 2 C. 2 ＜ x ＋2x＋3 x＋8 x2＋2x＋3 1 D. ＞2 x＋8
解析：因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0，x＋8 可能是正 x＋8 数、负数或零，所以由 x＋8＜2(x ＋2x＋3)可得 2 ＜2， x ＋2x＋3
【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
3 1＋b＝a，得 1×b＝2. a
a＝1，解得 b＝2.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为
2
x＋8 所以与不等式 2 ＜2 解集相同的是 x＋8＜2(x2＋2x＋3). x ＋2x＋3 故选 B.
答案：B
x (3)(2013 年上海)不等式 <0 的解集为________. 2x－1

高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文

所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立．因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所以 m＜x2－6x＋1．因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．

高考数学一轮复习第6章第2节一元二次不等式及其解法

3.会解一元二次不等式，参数的范围问题也是热点．
对给定的一元二次不等 2.从考查形式看，以选择题、填空
式，会设计求解的程序框题为主，有时也穿插于解答题中
图.
考查，属于中档题.
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第二级
• 第三级
– 第四级
ax2＋bx＋c<0(a>0)
»第五级
ax2＋bx＋c>0(a>0)
【典例剖析】
(1)(2013·南充模拟)已知不等式 x2－2x－3<0 的解集
为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B，不等式 x2＋ax＋b<0 的解
集为 A∩B，则 a＋b 等于
A．－3
B．1
C．－1
D．3
(2)解下列不等式：
①－3x2－2x＋8≥0；②x＋2≥3x.
题号 (1) (2)
C．{x|x<－2»或第五x>级3}
D．{x|x>3}
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第二级
解析：• 第由三题级意知 2,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的解，且 a<0. ∴b＝－6–a第，四c＝级8a. ∴不等式 cx»2＋第b五x＋级a<0 即为 8ax2－6ax＋a<0，
∴8x2－6x一元二次方程根与系数的关
系解题． ①按一元二次不等式的解法步骤求解； ②移项、通分、转化为一元二次不等式求解.
(1)解析：由题意知 A＝{x|－1<x<3}， B＝{x|－1<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}， ∴方程 x2＋ax＋b＝0 的两根为－1,2. ∴－－11＋ ×22＝＝－b. a， ∴ab＝＝－－12，， ∴a＋b＝－3.

届高考数学一轮复习第六章不等式课堂达标一元二次不等式及其解法文新人教版

课堂达标(三十一) 一元二次不等式及其解法[A 根底稳固练]1．(2022·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln－x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)[解析] 由题意得－x 2＋4x －3>0，即x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，又ln(－x 2＋4x －3)≠0，即－x 2＋4x －3≠1，∴x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．[答案] D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y ＝f (－x )的图象为( )[解析] 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎪⎫12，94. [答案] B3．某商场假设将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件. 那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间[解析] 设销售价定为每件x 元，利润为y ，那么：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间． [答案] C4．(2022·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.[答案] A5．(2022·郑州调研)规定记号“⊙〞表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，假设1⊙k 2<3，那么k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)[解析] 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. [答案] A6．(2022·洛阳诊断)假设不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235[解析] 设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0，知方程f (x )＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1[答案] B7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x <0，－x －1x ≥0，那么不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是______．[解析] ∵f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1x ＋x ＋1x ≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋x ＋1－x ≤3，解得－3≤x <1，或x ≥1，即x ≥－3. [答案] {x |x ≥－3}8．(2022·西安检测)函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .假设函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，那么m 的取值范围为______．[解析] 函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．。

高考数学一轮复习第六篇不等式第2节一元二次不等式的解法课件文

答案：[－1，2]
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第2节一元二次不等式的解法第十四页，共五十页。
5．下列命题： ①若不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为(x1，x2)，则必有 a>0； ②若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根是 x1 和 x2；
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第2节一元二次不等式的解法第二十一页，共五十页。
(3)方法一：原不等式可化为x－1 1－1≤0，即2x－－1x≤0，故有xx－－21≥0，所以 x－2 与 x－1 同号或 x－2＝0，故有xx－－21≥＞00，或xx－－21≤＜00，，所以 x≥2 或 x＜1. 所以原不等式的解集为{x|x≥2 或 x＜1}．
解：(1)方法一：∵原不等式即为 16x2－8x＋1≥0，其相应方程为 16x2－8x＋1＝0，
Δ＝(－8)2－4×16＝0，
∴上述方程有两相等实根 x＝14，结合二次函数 y＝16x2－8x＋1 的图象知，原不等式的解集为 R.
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第2节一元二次不等式的解法第十九页，共五十页。
第2节一元二次不等式的解法第二十六页，共五十页。
(1)C 解析：由于不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|－13≤x≤2}，
得 a＜0，且－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，∴－13＋2＝
－ba，－13×2＝ac，∴b＝－53a，c＝－23a.
∴不等式 cx2＋bx＋a＜0，可化为－23ax2＋53ax＋a＜0.
方法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0 ⇔(4x－1)2≥0， ∴x∈R，∴不等式的解集为 R. (2)方法一：原不等式等价于xx2≥－03x＋2＞0，或xx2＜＋03. x＋2＞0，

高考数学一轮复习第六章不等式第二讲一元二次不等式及其解法学案含解析新人教版

第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知识梳理知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的__判别式__.(3)当__Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的__交点__确定一元二次不等式的解集．知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有__两相异__实根x1，x2(x1<x2)有__两相等__实根x1＝x2＝－b2a__没有__实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|__x>x2或x<x1__}{x|x∈R且__x≠x1__}__R__ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|__x1<x<x2__}__∅____∅__归纳拓展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．简单分式不等式的解法(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)g (x )≠0.5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )；若0<a <1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )．(2)若a >1，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0；若0<a <1，log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二走进教材2．(必修5P 26T2改编)不等式x (1－2x )>0的解集是( B ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．(必修5P 80A 组T4改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( B ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}[解析] ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0， ∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B ．4．(必修5P 80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞__. [解析] 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三走向高考5．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－1，23__. [解析] 3x 2＋x －2<0⇒(x ＋1)(3x －2)<0， ⇒(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －23<0⇒－1<x <23， ∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，23.考点突破·互动探究考点一一元二次不等式的解法——多维探究角度1 不含参数的不等式例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0.[分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， ∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －32>0， ∴x >32或x <－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. (2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R .名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．角度2 含参数的不等式例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )；[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1a与1的关系，故需分a <0，a ＝0,0<a <1，a ＝1，a >1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a. 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. (2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为∅.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为(D)A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}(2)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)[解析](1)由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D．(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．考点二三个二次间的关系——师生共研例 3 (1)(2021·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( B )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤13或x ≥12(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A ) A ．⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235 [分析] (1)利用根与系数的关系求解．(2)令f (x )＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f (1)≥0或f (1)<0且f (5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f (5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．[解析] (1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎨⎧－12－13＝b a，⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.故选B ． (2)令f (x )＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f (x )＝0，有两个不等实根，又两根之积为负， ∴方程有一正根和一负根．解法一：不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，只要f (1)≥0或⎩⎨⎧f (1)<0，f (5)>0.解得a ≥1或－235<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A ．解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f (5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 解法三：x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解⇔a >2x －x 在[1,5]上有解⇔a >f (x )min (记f (x )＝2x －x ，x ∈[1,5])，显然f (x )为减函数，∴f (x )min ＝f (5)＝－235，∴a >－235.[引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是__(－∞，1)__. [解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．〔变式训练2〕(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152(2)(2021·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a >0，∴a ＝156＝52，故选A ．解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )．又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∴x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝52，故选A ．(2)解法一：由函数f (x )＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解⇔f (4)>0，即a <－2，故选A ．解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.故选A ．考点三一元二次不等式恒成立问题——师生共研例4 已知f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m |≤1，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m ≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34.因为t ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. (3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0. 令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎨⎧g (－1)<0，g (1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨一元二次不等式恒成立问题 1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ＝b 2－4ac <0. 〔变式训练3〕(1)若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]D ．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m <0D ．m ≥－4(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}[解析] (1)当a ＝3时，－4<0恒成立；当a ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，Δ＝4(a －3)2＋16(a －3)<0，解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.故选D ．(2)令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A ．(3)记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B ．名师讲坛·素养提升一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，记f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)方程无根Δ＝b 2－4ac <0；(2)方程有两等根Δ＝b 2－4ac ＝0；(3)方程有两不等实根Δ＝b 2－4ac >0，记其根为x 1，x 2且x 1<x 2.①x 1>0⇔⎩⎨⎧ Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a>0，x 1x 2＝c a >0.或x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (0)>0，－b 2a >0；②x 1<0<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac >0x 1x 2＝c a <0或x 1<0<x 2⇔af (0)<0；③x 1<x 2<0⇔⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0，或x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af (0)>0，－b 2a <0.④x 2>x 1>k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a >k ，⑤x 1<k <x 2⇔af (k )<0；⑥x 1<x 2<k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a <k .⑦m <x 1<n <x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )<0；x 1<m <x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )<0，af (n )>0；m <x 1<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )>0，m <－b 2a <n ，Δ>0.x 1<m <n <x 2⇔⎩⎨⎧ af (m )<0，af (n )<0.⑧m <x 1<n <x 2<p ⇔⎩⎨⎧ f (m )·f (n )<0，f (n )·f (p )<0.求m 的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．[解析] 设f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ，Δ＝4(m ＋1)2＋4m (m －1)＝8m 2＋4m ＋4＝4(2m 2＋m ＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足⎩⎨⎧ f (1)f (2)<0f (0)f (－1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧m (2m ＋1)<0(－2m －3)(－m )<0，解得－12<m <0. (2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f (－1)f (1)<0，即(2m ＋1)(－2m －3)<0，∴m >－12或m <－32，又∵m －1≠0，∴m ≠1， ∴m 范围⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－12，1∪(1，＋∞)． (3)一根小于1，另一根大于2，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)f (1)<0(m －1)f (2)<0即⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)(2m ＋1)<0(m －1)m <0解得：0<m <1. (4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m －1)f (－1)<0，即(m －1)(－2m －3)<0，解得：m >1或m <－32. (5)两根都在(－1,3)内，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0－1<－m ＋1m －1<3(m －1)f (－1)>0(m －1)f (3)>0，解得：－32<m <314. (6)两根都大于0，应满足⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1>0(m －1)f (0)>0，解得：0<m <1. (7)两根都小于1，应满足：⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1<1(m －1)f (1)>0，解得：m >1或m <－12. (8)在(1,2)内有解应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥01<－m ＋1m －1<2(m －1)f (1)>0(m －1)f (2)>0或f (1)f (2)≤0解得－12≤m ≤0，经检验m ＝－12及m ＝0都不合题意舍去， ∴－12<m <0. 〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__(－2,1)__.(2)若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k 的取值范围为≤k <－12__. [解析] (1)记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由题意可知f (1)＝m 2＋m －2<0，解得－2<m <1.(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f (－1)>0，f (1)>0.解得－4＋23≤k <－12.。

高考数学大一轮复习第六章第2节一元二次不等式及其解法课件

③若 a＞2，则 a－1＞1,0＜a－1 1＜1,1－a＜0，解得 x＜0，或a－1 1≤x≤1；
综上，当 a＝1 时，不等式解集为{x|x＜0 或 x≥1}．
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当 a＜1 时，不等式解集为xa－1 1≤x＜0，或x≥1
.
当 1＜a≤2 时，不等式解集为
xx＜0，或1≤x≤a－1 1
D.xx≥1或x≤－12
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3．函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是
．
【答案】 {x|－3＜x＜2}
4．一元二次不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集是－12，13，
则 a＋b 的值是
．
【答案】－14
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5．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
得11＋ ×bb＝＝3a2a， .
解得ab＝＝12， .
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(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
(2)当 a≠1 时，(*)式为1－ax－x1x＋1－1 a≥0
①若 a＜1，则 a－1＜0，a－1 1＜0，解得a－1 1≤x＜0，或
x≥1；
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②若 1＜a≤2，则 1－a＜0，a－1 1≥1，解得 x＜0，或 1≤x≤a－1 1；
.
当 a＞2 时，不等式解集为xx＜0，或a－1 1≤x≤1

高考数学复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法
课标要求
考情风向标
1.经历从实际情境中抽象出 1.不等式解法是不等式中的重要一元二次不等式模型的过程. 内容,它的应用范围几乎涉及高 2.通过函数图象了解一元二中数学的所有章节,且常考常新,
次不等式与相应函数、方程的 “三个二次”之间的联系的综合
联系.
应用等问题是高考的热点.
考点 2 含参数不等式的解法例 2：(1)解关于 x 的不等式 x2－(a＋1)x＋a<0； (2)解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0； (3)解关于 x 的不等式 x2－2ax＋2≤0(a∈R)； (4)解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解：(1)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当 a>1 时,原不等式的解集为(1,a)；当 a＝1 时,原不等式的解集为∅ ；当 a<1 时,原不等式的解集为(a,1).
答案：B
(3)(2019 年上海)不等式|x＋1|<5 的解集为________. 解析：由|x＋1|<5 得－5<x＋1<5,即－6<x<4. 答案：(－6,4)
(4)不等式3x－－24x<0 的解集是(
)
A.{x|x<4}
B.{x|3<x<4}
C.xx<32或x>4
3
D.x2<x<4
A.
x|－1<x<1 2
C.{x|－2<x<1}
B.
x|x<－1
或
x>1 2
D.{x|x<－2 或 x>1}
解析：由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根.

高考数学一轮复习第6章第2节一元二次不等式及其解法课件新人教A版

得11×＋bb＝＝2a3a.，
解得ab＝＝12，.
(2)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即 x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0. 当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为∅. 所以，当 c＞2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|2 ＜x＜c}；当 c＜2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为{x|c＜x＜2}；当 c＝2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集为∅.
【思路点拨】 (1)先化简不等式为标准形式，再依据解集确定 a 的符号，然后利用根与系数的关系列出 a，b 的方程组，求 a， b 的值．
(2)所给不等式含有参数 c，因此需对 c 讨论写出解集．
【尝试解答】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x ＜1 或 x＞b}，所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根，b＞1 且 a＞0.由根与系数的关系，
号语言之间的合理转化 .2 避免忽视 v≥0 的限制条件，及
3v＋ v2 50 400
≤12.6 中的等号.
2.解不等式的实际应用中，常以函数模型为载体，解题时要
理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，
最后用不等式的解回答实际问题.
【解】 (1)按现在的定价上涨 x 成时，上涨后的定价为 p1＋1x0元，每月卖出数量为 n1－1y0件，每月售货总金额是 npz 元，

高考数学大一轮复习第六章第二节一元二次不等式及其解法课件

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12
考点二一元二次不等式恒成立问题 (常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]
一元二次不等式恒成立的条件
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔ac>＝0b，＝0，
或a>0， Δ<0.
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔ac<＝0b，＝0，或Δa<<00，.
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
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8
(2)原不等式等价于
x2－x－2＞0， x2－x－2≤4
⇔xx22－－xx－－26＞ ≤00，
⇔xx－－23xx＋＋12＞ ≤00， ⇔x－＞22≤或x≤x＜3－. 1，借助于数轴，如图所示，
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4
考点一一元二次不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－
4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根且x1＜x2.
(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；
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[多角探明] 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.
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归纳起来常见的命题角度有： (1)形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围； (2)形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围； (3)形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围.

高考数学大一轮复习 第6章 第2节 一元二次不等式及其解法 文 新人教版

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理新人教版

高考数学第一轮复习 第六篇 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版