高一数学人教新课标专题22
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--2
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法课标解读课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.1.数学抽象——能够认识到二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系.2.数学运算——会求一元二次不等式的解集，能够借助一元二次不等式解决实际应用问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一一元二次不等式一般地，我们把只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是② 2 的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c 均为常数，a≠0.要点二三个“二次”的关系对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，设Δ=③b2−4ac，它的根按照④Δ>0，⑤Δ=0，⑥Δ<0可分为三种情况。
相应地，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与⑦x轴的位置也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+ bx+c<0(a>0)的解集.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c>0(a>0)的图象ax2+bx+c= 0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2（x1<x2）没有实数根ax2+bx+c> 0(a>0)的解集{x∣x<x1,或x>2}有两个相等的实数根x1=x2=−b2aRax2+bx+c< 0(a>0)的解集{x∣x1<x<x2}{x∣x≠−b2a}⌀一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.自主思考1.不等式x3−x2+1≤0是一元二次不等式吗？答案：提示不等式x3−x2+1≤0中未知数的最高次数是3，根据一元二次不等式的定义，可知该不等式不是一元二次不等式.2.当m满足什么条件时，不等式(m−1)x2+x<0是一元二次不等式？答案：提示当m2−1≠0，即m≠±1时，(m−1)x2+x<0是一元二次不等式. 3.是否存在实数a使得一元二次不等式ax2+x−1>0的解集为R？答案：提示若一元二次不等式ax2+x−1>0的解集为R，则{a>0Δ=1+4a<0，此不等式无解，所以不存在实数a使不等式ax2+x−1>0的解集为R.4.若不等式x2+x+a<0的解集为⌀，则实数a应满足什么条件？答案：提示若不等式x2+x+a<0的解集为⌀，则Δ=1−4a≤0，解得a≥14.5.求出函数y=x2−x−2的零点.答案：提示由x2−x−2=0解得x1=−1，x2=2，所以函数y=x2−x−2的零点是-1和2.名师点睛对一元二次不等式概念的两点说明（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只需明确指出这些字母所代表的量就可以使用，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”.（2）“最高次数是2”仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制.互动探究·关键能力探究点一一元二次不等式的解法精讲精练例解下列不等式：（1）2x2+5x−3<0；（2）4x2−4x+1＞0；（3）−x2+6x−10＞0.答案：（1）易知方程2x2+5x−3=0的两个实根分别为x1=−3，x2=12，作出函数y=2x2+5x−3的图象（图略）.由图象可得原不等式的解集为{x|−3＜x＜12}.（2）易知方程4x2−4x+1=0有两个相等的实根，为x1=x2=12.作出函数y=4x2−4x+1的图象，如图所示.由图象可得原不等式的解集为{x|x≠12} .（3）原不等式可化为x2−6x+10＜0，相应方程为x2−6x+10=0，∵Δ=36−40=−4<0，∴方程x2−6x+10=0无实根，∴原不等式的解集为⌀.解题感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正.（2）判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式.（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.（4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象.（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.迁移应用1.不等式x2−3＜2x的解集是( )A.{x|−1＜x＜3}B.{x|−3＜x＜1}C.{x|x＜−1或x＞3}D.{x|x＜−3或x＞1}答案：A解析：不等式x2−3＜2x可化为x2−2x−3＜0，对于方程x2−2x−3=0，因为Δ＞0，所以方程有两个实数根，解得x1=−1，x2=3.结合二次函数y=x2−2x−3的图象（图略）得不等式x2−3＜2x的解集为{x|−1＜x＜3}.故选A.2.不等式−6x2−x+2≤0的解集是( )A.{x|−23≤x≤12}B.{x|x≤−23或x≥12}C.{x|x≥12}D.{x|x≤−32}答案：B解析：不等式−6x2−x+2≤0可化为6x2+x−2≥0.对于方程6x2+x−2=0，因为Δ＞0，所以方程有两个实数根，解得x1=−23，x2=12.结合二次函数y=6x2+x−2的图象（图略）得不等式−6x2−x+2≤0的解集是{x∣x≤−23或x≥12}.故选B.3.在R上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b，则关于实数x的不等式x⊙(x−2)＜0的解集为.答案：{x|−2＜x＜1}解析：由题意可知不等式x⊙(x−2)＜0可转化为x(x−2)+2x+x−2＜0，即x2+x−2＜0.对于方程x2+x−2=0，因为Δ＞0，所以方程有两个实数根，解得x1=−2,x2=1，结合二次函数y=x2+x−2的图象（图略）得不等式的解集为{x|−2＜x＜1}.探究点二含参数的一元二次不等式的解法精讲精练例设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2＞0.答案：对于方程2x2+ax+2=0，Δ=a2−16，下面分情况讨论：①当Δ＜0，即−4＜a＜4时，方程2x2+ax+2=0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ≥0，即a≥4或a≤−4时，方程2x2+ax+2=0有两个实数根，分别为x1=14(−a−√a2−16)，x2=14(−a+√a2−16)当a=−4时，原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1}；当a＞4或a＜−4时，原不等式的解集为{x|x＜14(−a−√a2−16)或x＞14(−a+√a2−16)}；当a=4时，原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠−1}. 综上，当−4＜a＜4时，解集为R；当a＞4或a＜−4时，解集为{x|x＜14(−a−√a2−16)或x＞14(−a+√a2−16)}；当a=−4时，解集为{x|x∈R,且x≠1}；当a=4时，解集为{x|x∈R,且x≠−1}. 解题感悟解含参数的一元二次不等式的步骤提醒：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ ，用求根公式计算. 迁移应用1.求关于x 的不等式ax 2−3x +4＞1+ax(a ＞0) 的解集. 答案：∵ax 2−3x +4＞1+ax(a ＞0) ，∴ax 2−(a +3)x +3＞0 ，即(ax −3)(x −1)＞0 ，易知方程(ax −3)(x −1)=0 的两个根分别为x 1=3a ，x 2=1 ，①当0＜a ＜3 时，3a ＞1 ，原不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞3a } . ②当a =3 时，3a =1 ，原不等式的解集为{x|x ≠1} . ③当a ＞3 时，3a ＜1 ，原不等式的解集为{x|x ＜3a 或x ＞1} .探究点三 三个“二次”的关系及应用精讲精练例 已知关于x 的不等式ax 2+(a −2)x −2≥0(a ∈R) . （1）若不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥2} ，求a 的值； （2）若不等式只有一个解，求a 的值和该不等式的解集.答案：（1）因为不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥2} ，所以函数y =ax 2+(a −2)x −2 的图象与x 轴的交点的横坐标为-1和2，且抛物线开口向上，由此可知，a ＞0 且-1和2是方程ax 2+(a −2)x −2=0 的两个根， 由根与系数的关系可得{−1+2=−a−2a,−1×2=−2a , 解得a =1 .（2）设y =ax 2+(a −2)x −2 ，若不等式ax 2+(a −2)x −2≥0 只有一个解.则函数y =ax 2+(a −2)x −2 的图象与x 轴只有一个交点且开口向下. ∴{a <0,Δ=(a −2)2+8a =0, 解得a =−2 . 此时，原不等式为−2x 2−4x −2≥0 ， 即x 2+2x +1≤0 ，解得x =−1 .∴ 不等式ax 2+(a −2)x −2≥0 的解集为{x|x =−1} . 解题感悟三个“二次”之间的关系解决一元二次方程和一元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：提醒：易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集. 迁移应用1.若不等式ax 2+bx +c ≥0 的解集是{x|−13≤x ≤2} ，求不等式cx 2+bx +a ＜0 的解集.答案：因为ax 2+bx +c ≥0 的解集为{x|−13≤x ≤2} ，所以函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标分别为−13 和2，且抛物线开口向下，即a ＜0 ， 由此可知，−13 和2为方程ax 2+bx +c =0 的两个根，由根与系数的关系可得 {−ba =53,c a=−23, 解得{b =−53a,c =−23a. 则不等式cx 2+bx +a <0 等价于−23ax 2+(−53a)x +a <0 ，即2ax 2+5ax −3a ＞0 ， 又a ＜0 ，所以2x 2+5x −3＜0 . 解方程2x 2+5x −3=0 ，得x 1=−3 ，x 2=12 .所以所求不等式的解集为{x|−3＜x ＜12} .2.已知不等式ax 2−3x +6＞4 的解集为{x|x ＜1或x ＞b} . （1）求a ，b 的值；（2）解不等式(x −c)(ax −b)＞0 .答案：（1）因为不等式ax 2−3x +6＞4 的解集为{x|x ＜1或x ＞b} ， 所以x 1=1 和x 2=b 是方程ax 2−3x +2=0 的两个根， 把x 1=1 代入方程得a ×12−3×1+2=0 ，解得a =1 ， 所以方程为x 2−3x +2=0 ，由根与系数的关系得1×b =2 ，解得b =2 . 综上，a =1 ，b =2 .（2）由（1）可知，原不等式为(x −c)(x −2)＞0 ， 方程(x −c)(x −2)=0 的两个根为x 1=c ，x 2=2 .当c ＜2 时，不等式的解集为{x|x ＜c 或x ＞2} ；当c ＞2 时，不等式的解集为{x|x ＜2或x ＞c} ；当c =2 时，不等式的解集为{x|x ≠2} .评价检测·素养提升课堂检测1.已知集合M ={x|−4＜x ＜2} ，N ={x|x 2−x −6＜0} ，则M ∩N = ( ) A.{x|−4＜x ＜3} B.{x|−4＜x ＜−2} C.{x|−2＜x ＜2} D.{x|2＜x ＜3} 答案：C2.不等式x 2+5x −6＞0 的解集是( ) A.{x|x ＜−2或x ＞3} B.{x|−2＜x ＜3} C.{x|x ＜−6或x ＞1} D.{x|−6＜x ＜1} 答案：C3.设一元二次不等式ax 2+bx +1＞0 的解集为{x|−1＜x ＜13} ，则ab 的值是 .答案： 6解析：∵ 一元二次不等式ax 2+bx +1＞0 的解集为{x|−1＜x ＜13} ，∴ 函数y =ax 2+bx +1 的图象与x 轴交点的横坐标分别为-1和13 ，且抛物线开口向下，∴−1 和13是方程ax 2+bx +1=0 的两个实数根，由根与系数的关系得{−1+13=−ba,−1×13=1a ,解得{a =−3,b =−2,∴ab =6 .4.（★）若不等式ax 2+ax −1≤0 的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围. 答案：当a =0 时，不等式ax 2+ax −1≤0 化为−1≤0 ，符合题意；当a ≠0 时，由题意可得函数y =ax 2+ax −1 的图象在x 轴下方或与x 轴相切， 所以需满足{a ＜0,Δ≤0, 即{a ＜0,a 2+4a ≤0,解得−4≤a ＜0 .综上，实数a 的取值范围是{a|−4≤a ≤0} . 素养演练逻辑推理、数学运算——含参数的不等式的求解问题 1.解关于x 的不等式ax 2−2(a +1)x +4＞0(a ∈R) .答案：①当a=0时，原不等式可化为−2x+4＞0，解得x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}.②当a＞0时，原不等式可化为(ax−2)(x−2)＞0，对应方程(ax−2)(x−2)=0的两个根分别为x1=2a,x2=2.当0＜a＜1时，2a ＞2，则原不等式的解集为{x|x＞2a或x＜2}；当a=1时，2a=2，则原不等式的解集为{x|x≠2}；当a＞1时，2a ＜2，则原不等式的解集为{x|x＞2或x＜2a}.③当a＜0时，原不等式可化为(−ax+2)(x−2)＜0，对应方程(−ax+2)(x−2)=0的两个根分别为x1=2a ，x2=2，因为2a＜2，所以原不等式的解集为{x|2a＜x＜2} .综上，当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜2}；当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＞2a或x＜2}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞2或x＜2a}.素养探究：因为所给的不等式中的二次项系数含有参数a，并且不清楚参数a的符号，所以首先需讨论参数a的符号，在此条件下再通过讨论相应方程的根的大小来确定不等式的解集，过程中培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.迁移应用1.解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).答案：原不等式可变形为ax2+(a−2)x−2≥0，当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤−1}.当a≠0时，原不等式可变形为(ax−2)(x+1)≥0，方程(ax−2)(x+1)=0的两个根分别为x1=2a,x2=−1，当a＞0时，2a ＞−1，则原不等式的解集为{x|x≥2a或x≤−1}.当a＜0时，①当−2＜a＜0时，2a ＜−1，则原不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；②当a=−2时，原不等式的解集为{x|x=−1}；③当a＜−2时，2a ＞−1，则原不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.综上：当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤−1}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|x≥2a或x≤−1}；当−2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，原不等式的解集为{x|x=−1}；当a＜−2时，原不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.课时评价作业基础达标练1.（2021浙江高一期末）已知a＞2，则关于x的不等式ax2−(2+a)x+2＞0的解集为( )A.{x|x＜2a 或x＞1}B.{x|2a＜x＜1}C.{x|x＜1或x＞2a }D.{x|1＜x＜2a}答案：A解析：分解因式得(ax−2)(x−1)＞0，由a＞2可得2a＜1，即可得出不等式的解集.2.（多选）（2021山东聊城高一期末）已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论正确的是( )A.a+b=0B.a+b+c＞0C.c＞0D.b＜0答案：A; B; C解析：由题意可得a＜0，且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1，2，由根与系数的关系得，−ba=−1+2=1＞0，所以b=−a，b＞0，故A中结论正确，D 中结论错误；由ca=−2，得c＞0，故C中结论正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，函数的零点为-1，2，当x=1时，y=a+b+c＞0，故B中结论正确.故选ABC.3.（多选）（2020河北邢台高一期中）关于不等式的解集，下列判断正确的是( )A.不等式−4＜x−1＜4的解集为{x|−2＜x＜5}B.不等式x−23−x≥0的解集为{x|2≤x＜3}C.不等式x2−x+1＜0的解集为⌀D.不等式4−√2x＜0的解集为{x|x＞2√2}答案：B; C; D4.在关于x的不等式x2−(a+1)x+a＜0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )A.{a|−3＜a＜5}B.{a|−2＜a＜4}C.{a|−3≤a≤5}D.{a|−2≤a≤4}答案：D解析：原不等式x2−(a+1)x+a＜0可化为(x−1)(x−a)＜0，按a＞1、a=1和a＜1分类讨论求解.5.（2020河北石家庄高一期中）不等式−2x2−5x+3＜0的解集是.}答案：{x|x＜−3或x＞126.不等式2≤x2−2x＜8的解集是.答案：{x|−2＜x≤1−√3或1+√3≤x＜4}7.求下列不等式的解集：（1）x2−5x+6＞0；x2+3x−5＞0.（2）−12答案：（1）因为方程x2−5x+6=0有两个不等实数根x1=2，x2=3，且函数y=x2−5x+6的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图①所示.根据图象可得不等式的解集为{x|x＞3或x＜2}.（2）原不等式可化为x2−6x+10＜0，对于方程x2−6x+10=0，因为Δ=(−6)2−40＜0，所以方程无解，又因为函数y=x2−6x+10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图②所示.根据图象可得不等式的解集为⌀.8.已知关于x的不等式为ax2−(a+1)x+1＞0.（1）若a=2，解关于x的不等式；（2）若a∈R，解关于x的不等式.答案：（1）把a=2代入，得2x2−3x+1＞0，化简得(x−1)(2x−1)＞0，，x2=1，对于方程2x2−3x+1=0，Δ＞0，所以方程有两个实数根，分别为x1=12或x＞1}.且函数y=(x−1)(2x−1)的图象开口向上，所以不等式的解集为{x|x＜12（2）当a=0时，不等式为−(x−1)＞0，解得x＜1，此时，不等式的解集为{x|x＜1}. 当a≠0时，把ax2−(a+1)x+1＞0化简得(x−1)⋅(ax−1)＞0.方程(x−1)(ax−1)=0的两个根分别为x1=1，x2=1a.①当1a ＞1，即a−1a＜0时，解得0＜a＜1，此时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜1}.②当1a ＜1，即a−1a＞0时，解得a＞1或a＜0，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜1a}，当a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}.③当1a=1，即a=1时，不等式为(x−1)2＞0，此时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.综上所述，当a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜1}；当a=1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜1a}.素养提升练9.（多选）（2021湖北高一期中）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，则以下选项正确的有( )A.a＜0B.c＞0C.cx2+bx+a＞0的解集为{x|1n ＜x＜1m}D.cx2+bx+a＞0的解集为{x|x＜1n 或x＞1m}答案：A; C解析：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，所以a＜0，所以A正确；m，n是方程ax2+bx+c=0的两个根，所以{m+n=−ba,mn=ca,解得{b=−(m+n)a,c=mna,因为m＞0，m＜n，所以n＞0，又因为a＜0，所以c=mna＜0，所以B错误；cx2+bx+a＞0可化为mnax2−(m+n)ax+a＞0，即mnx 2−(m +n)x +1＜0 ， 即(mx −1)(nx −1)＜0 ， 因为n ＞m ＞0 ，所以1n＜1m ，所以不等式cx 2+bx +a ＞0 的解集为{x|1n＜x ＜1m} ，所以C 正确，D 错误，故选AC.10.已知不等式ax 2−bx +c ＞0 的解集为{x|−1＜x ＜2} ，那么不等式a(x 2+1)+b(x −1)+c ＞2ax 的解集为( ) A.{x|0＜x ＜3} B.{x|x ＜0或x ＞3} C.{x|−1＜x ＜2} D.{x|x ＜−2或x ＞1} 答案：C解析：由题意得，方程ax 2−bx +c =0 的两个根为-1，2， 所以{a +b +c =0,4a −2b +c =0,且a <0所以a =b ，−2a =c ，代入不等式a(x 2+1)+b(x −1)+c ＞2ax ，可得x 2−x −2＜0 ，解得−1＜x ＜2 ，所以不等式的解集为{x|−1＜x ＜2} ， 故选C.11.设不等式x 2−2ax +a +2≤0 的解集为A ，若A ⊆{x|1≤x ≤3} ，则a 的取值范围是 . 答案： −1＜a ≤115解析：因为不等式x 2−2ax +a +2≤0 的解集为A ，且A ⊆{x|1≤x ≤3}, 所以对于方程x 2−2ax +a +2=0 ，若A =⌀ ，则Δ=4a 2−4(a +2)＜0 ，即a 2−a −2＜0 ，解得−1＜a ＜2 . 若A ≠⌀ ，则{ Δ=4a 2−4(a +2)≥0,12−2a +a +2≥0,32−3×2a +a +2≥0,1≤a ≤3,即{a ≥2或a ≤−1,a ≤3,a ≤115,1≤a ≤3, 即所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围是−1＜a ≤115.12.（2021安徽师范大学附属中学高一期末）设y =x 2+ax +b(a,b ∈R) ，若关于x 的不等式0≤y ≤−x +6 的解集为{x|2≤x ≤3或x =6} ，则b −a = .答案：27解析：当x =6 时，y =36+6a +b =0 ，可得b =−6a −36 ， 所以y =x 2+ax −6a −36=(x −6)(x +a +6) ，所以方程(x −6)(x +a +6)=0 的两个根分别为6，−a −6 ，又y ≤−x +6 可化为x 2+(a +1)x −6(a +7)≤0 ，即(x −6)(x +a +7)≤0 ， 所以方程y =−x +6 的两个根分别为6，−a −7 ，因为−a −7＜−a −6 ，且不等式0≤y ≤−x +6 的解集为{x|2≤x ≤3或x =6} ， 所以{−a −6=3,−a −7=2, 解得a =−9 ，则b =18 ，因此，b −a =27 .13.解关于x 的不等式ax 2−4x +a ＜0 .答案：当a =0 时，原不等式等价于−4x ＜0 ，解得x ＞0 ，故不等式的解集为{x|x ＞0} ； 当a ≠0 时，对于方程ax 2−4x +a =0 ，Δ=16−4a 2 ， ①当Δ＞0 时，16−4a 2＞0 ，解得{a|−2＜a ＜0或0＜a ＜2} ， 方程ax 2−4x +a =0 有两个不相等的实根， 解得x 1=2+√4−a 2a，x 2=2−√4−a 2a，当0＜a ＜2 时，x 1＞x 2 ， 故不等式的解集为{x|2−√4−a 2a＜x ＜2+√4−a 2a} ；当−2＜a ＜0 时，x 1＜x 2 ， 故不等式的解集为{x|x ＜2+√4−a 2a或x ＞2−√4−a 2a} .②当Δ=0 时，16−4a 2=0 ，解得a =±2 ， 方程ax 2−4x +a =0 有两个相等的实根， 解得x 1=x 2=2a ，当a =2 时，不等式的解集为⌀ ；当a =−2 时，不等式的解集为{x|x ＜2a 或x ＞2a } . ③当Δ＜0 时，16−4a 2＜0 ，解得{a|a ＜−2或a ＞2} ， 方程ax 2−4x +a =0 没有实数根， 当a ＜−2 时，不等式的解集为R ； 当a ＞2 时，不等式的解集为⌀ . 综上所述，当a ＜−2 时，解集为R ； 当a =−2 时，解集为{x|x ＜2a 或x ＞2a } ； 当−2＜a ＜0 时，解集为{x|x <2+√4−a 2a或x >2−√4−a 2a} ；当a=0时，解集为{x|x>0}；当0＜a＜2时，解集为{x∣2−√4−a2a ＜x＜2+√4−a2a}；当a≥2时，不等式的解集为⌀.创新拓展练14.已知M是关于x的不等式2x2+(3a−7)x+3+a−2a2＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.答案：原不等式可化为(2x−a−1)(x+2a−3)＜0，则对于方程(2x−a−1)(x+2a−3)=0的两个根分别为−2a+3，a+12，因为x=0是不等式的一个解，所以代入不等式可得(a+1)⋅(2a−3)＞0，解得a＜−1或a＞32.若a＜−1，则−2a+3−a+12=52(−a+1)＞5，所以3−2a＞a+12，此时不等式的解集是{x|a+12＜x＜3−2a}；若a＞32，则−2a+3−a+12=52(−a+1)＜−54，所以3−2a＜a+12，此时不等式的解集是{x|3−2a＜x＜a+12}.综上，当a＜−1时，原不等式的解集为{x|a+12＜x＜3−2a}；当a＞32时，原不等式的解集为{x|3−2a＜x＜a+12}.第2课时一元二次不等式的应用互动探究·关键能力探究点一分式不等式的解法自测自评1.不等式x−2x+3＞0的解集是( )A.{x|−3＜x＜2}B.{x|x＞2}C.{x|x＜−3或x＞2}D.{x|x＜−2或x＞3}答案：C解析：不等式x−2x+3＞0等价于(x−2)(x+3)＞0，解得x＞2或x＜−3.故选C.2.不等式x−12x+1≤1的解集为( )A.{x|x≤−2或x＞−12}B.{x|x＞−2}C.{x|x≤−2或x≥−12}D.{x|−2≤x≤−12}答案：A解析：原不等式可化为x−12x+1−1≤0，即−x−22x+1≤0，∴x+22x+1≥0，即{(x+2)(2x+1)≥0,2x+1≠0,解得x≤−2或x＞−12，故选A.3.若关于x的不等式x−ax+1＞0的解集为{x|x＜−1或x＞4}，则实数a= . 答案：4解析：x−ax+1>0⇔(x+1)⋅(x−a)>0⇔(x+1)(x−4)>0，∴a=4.4.不等式x2−2x−2x2+x+1＜2的解集为.答案：{x|x≠−2}解析：∵x 2−2x−2x2+x+1−2=−x2−4x−4x2+x+1=−(x+2)2x2+x+1＜0，∴x≠−2.即不等式x 2−2x−2x2+x+1＜2的解集为{x|x≠−2}.解题感悟1.对于不等号一端为零的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分（一般不去分母），使之转化为右边为零的不等式，然后求解.探究点二一元二次不等式的实际应用精讲精练例北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件.（1）据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价到x元.公司拟投入16(x2−600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为活动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?答案：（1）设每件的售价为t元，依题意得(8−t−251×0.2)t≥25×8，整理得t2−65t+1000≤0，解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为40元.（2）依题意得，当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+x5有解，等价于当x＞25时，a≥150x +x6+15有解.因为150x +x6≥2√150x⋅x6=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，此时150x+x6+15=10.2，所以a≥10.2.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件的售价为30元.解题感悟解不等式应用题的步骤迁移应用1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏.售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？答案：设每盏台灯的售价为x元(x≥15)，则日销售收入为x[30−2(x−15)]元，令x[30−2(x−15)]＞400，解得10＜x＜20.又x≥15，所以15≤x＜20.所以为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，这批台灯的销售价格x应满足15≤x＜20.探究点三不等式的恒成立问题精讲精练例（1）不等式x2+2x+a2−3＞0的解集为R，求a的取值范围；（2）若对一切x∈R，不等式ax2+2x+2＞0恒成立，求实数a的取值范围.答案：（1）∵不等式x2+2x+a2−3＞0的解集为R，∴二次函数y=x2+2x+a2−3的图象应在x轴上方，∴Δ=4−4(a2−3)＜0，解得a＞2或a＜−2.（2）若a =0 ，则显然不等式ax 2+2x +2＞0 不能对一切x ∈R 都成立，所以a ≠0 ，此时只有二次函数y =ax 2+2x +2 的图象与x 轴无交点且开口向上时，才满足题意，则{a ＞0,Δ=4−8a ＜0,解得a ＞12 ，即实数a 的取值范围是{a|a ＞12} .解题感悟1.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数.2.不等式ax 2+bx +c >0 的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当a ＝0 时，b ＝0 ，c ＞0 ；当a ≠0 时，{a >0,Δ<0..不等式ax 2+bx +c <0 的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当a ＝0 时，b ＝0 ，c <0 ；当a ≠0 时，{a >0,Δ<0.迁移应用1.当1≤x ≤4 时，不等式(m −1)x +m 2−4m +3＞0 恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：设y =(m −1)x +m 2−4m +3 ，其中x 为自变量，m 为参数，即y 是关于x 的一次函数.当m =1 时，y 恒等于0，即y ＞0 不成立，即原不等式不成立. 当m ≠1 时，易得{(m −1)×1+m 2−4m +3＞0,(m −1)×4+m 2−4m +3＞0,化简得{m 2−3m +2>0,m 2−1>0, 则{m <1或m >2,m <−1或m >1,解得m ＜−1 或m ＞2 .综上所述，m 的取值范围是m ＜−1 或m ＞2 .评价检测·素养提升1.已知全集为R ，A ={x|x−1x+1≤0} ，B ={x|x ＞0} ，则∁R (A ∩B)= ( ) A.{x|x ≤0或x ＞1} B.{x|x ≤0或x ≥1} C.{x|x ＜−1} D.{x|x ≤−1} 答案：A解析：由x−1x+1≤0 得{x −1≤0,x +1＞0 或{x −1≥0,x +1＜0,解得−1＜x ≤1 ，∴A ∩B ={x|0＜x ≤1} .∴∁R (A ∩B)={x|x ≤0或x ＞1} ，故选A.2.已知关于x 的不等式ax−1x+1＞0 的解集是{x|x ＜−1或x ＞12} ，则a = .答案：2解析：不等式ax−1x+1＞0等价于(ax−1)(x+1)＞0.由题意得a＞0，且-1和12是方程(ax−1)(x+1)=0的两个根，所以(a2−1)(12+1)=0，解得a=2.3.（2021浙江高一期末）若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2＞0的解集为R，则实数m的取值范围是.答案：{m|1≤m＜9}解析：当m−1=0，即m=1时，原不等式可化为2＞0，恒成立，符合题意；当m−1≠0，即m≠1时，若不等式(m−1)x2+(m−1)x+2＞0的解集是R，则{m−1＞0,Δ=(m−1)2−8(m−1)＜0,解得1＜m＜9.综上可得，实数m的取值范围是{m|1≤m＜9}.课时评价作业基础达标练1.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下列范围满足不等式8x+3≤3的有( )A.x≤−3B.x≥−3C.x≥−13D.x＜−3答案：C; D2.不等式x2+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A.{a|a＜−4或a＞4}B.{a|−4＜a＜4}C.{a|a≤−4或a≥4}D.{a|−4≤a≤4}答案：A3.（2021河北沧州高一期中）某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为x元，要使提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足( )A.6≤x≤7B.5≤x≤7C.5≤x≤6D.4≤x≤6答案：A解析：提价后的销售量为(10−x−30.1×0.1)万本，因为销售的总收入不低于42万元，所以(10−x−30.1×0.1)x≥42，即(x −6)(x −7)≤0 ，解得6≤x ≤7 . 故选A.4.（2020武汉钢城第四中学高一期中）若关于x 的不等式x 2+px +q ＜0 的解集为{x|1＜x ＜2} ，则关于x 的不等式x 2+px+q x 2−5x−6＞0 的解集是( )A.{x|1＜x ＜2}B.{x|x ＜−1或x ＞6}C.{x|−1＜x ＜1或2＜x ＜6}D.{x|x ＜−1或1＜x ＜2或x ＞6} 答案：D解析：不等式x 2+px +q ＜0 的解集为{x|1＜x ＜2} ，即x 2+px +q =0 的两个根是1和2，利用根与系数的关系可知{−p =3,q =2, 即{p =−3,q =2,故不等式x 2+px+q x 2−5x−6＞0 可转化为x 2−3x+2x 2−5x−6＞0 ，即(x−1)(x−2)(x+1)(x−6)＞0 ，等价于{(x −1)(x −2)>0,(x +1)(x −6)>0 或{(x −1)(x −2)<0,(x +1)(x −6)<0,解得x ＜−1 或x ＞6 或1＜x ＜2 .故解集为{x|x ＜−1或1＜x ＜2或x ＞6} .故选D. 5.已知∀x ∈R ，不等式(m 2−4)x 2−(m −2)x +1m+2＞0 恒成立，则实数m 的取值范围可能是( )A.{m|2≤m ≤6}B.{m|2≤m ＜6或m =−2}C.{2}D.{m|2≤m ＜6} 答案：D解析：因为∀x ∈R ，不等式(m 2−4)x 2−(m −2)x +1m+2＞0 恒成立，所以当m 2−4=0 时，m =±2 ，若m =2 ，不等式14＞0 恒成立，若m =−2 ，不等式无意义；当m 2−4＞0 ，即m ＞2或m ＜−2 时，对于方程(m 2−4)x 2−(m −2)x +1m+2=0 ，Δ=[−(m −2)]2−4×(m 2−4)×1m+2＜0 ， 解得2＜m ＜6 ，综上，实数m 的取值范围是{m|2≤m ＜6} . 6.不等式5x+1x+1＜3 的解集为 . 答案：{x|−1＜x ＜1}解析：不等式5x+1x+1＜3 可以转化为2x−2x+1＜0 ， 等价于(2x −2)(x +1)＜0 ，∴(x−1)(x+1)＜0，∴−1＜x＜1，∴不等式5x+1x+1＜3的解集为{x|−1＜x＜1}.7.若对于−2≤m≤2，不等式mx2−mx−1＜−m+5恒成立，则实数x的取值范围是.答案：{x|−1＜x＜2}解析：不等式mx2−mx−1＜−m+5可化为(x2−x+1)m−6＜0，∵对于−2≤m≤2，不等式恒成立，∴{(x2−x+1)×(−2)−6＜0,(x2−x+1)×2−6＜0,解得−1＜x＜2. 即实数x的取值范围是{x|−1＜x＜2}.素养提升练8.（多选）若不等式x2+ax+1≥0对任意0＜x＜12恒成立，则a的值可以为( )A.0B.-2C.−52D.-3答案：A; B; C解析：∵0＜x＜12，∴原不等式等价于a≥−(x+1x)，∵x+1x ≥2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，又0＜x＜12，∴x+1x＞52，∴−(x+1x )＜−52，∴a≥−52.故选ABC.9.不等式x2−2x+4≤a2−2a的解集为⌀，则实数a的取值范围为( )A.{a|−3＜a＜1}B.{a|−1＜a＜3}C.{a|−1≤a≤3}D.{a|−3≤a≤1}答案：B解析：因为不等式x2−2x+4≤a2−2a的解集为⌀，故x2−2x+4＞a2−2a恒成立.又y=x2−2x+4=(x−1)2+3≥3，故3＞a2−2a，即(a−3)(a+1)＜0，解得−1＜a＜3.故选B.10.（2021山东潍坊高一期中）已知不等式组{x 2−4x +3＜0,x 2−6x +8＜0的解集是关于x 的不等式x 2−3x +a ＜0 解集的子集，则实数a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ≤0C.a ≤2D.a ＜2答案：B解析：因为不等式组{x 2−4x +3＜0,x 2−6x +8＜0的解集是{x|2＜x ＜3} . 所以关于x 的不等式x 2−3x +a ＜0 的解集包含{x|2＜x ＜3} ，由二次函数y =x 2−3x +a 的图象（图略）可知，{9−4a >0,−2+a ≤0，a ≤0，解得a ≤0 ，故选B.11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是 .答案： 10≤x ≤30解析：设矩形的另一边长为y m ，由三角形相似得x 40=40−y 40 ，且x ＞0 ，y ＞0 ，x ＜40 ，y ＜40 ，xy ≥300 ，整理得y +x =40 ，将y =40−x 代入xy ≥300 ，整理得x 2−40x +300≤0 ，解得10≤x ≤30 .12.已知关于x 的不等式ax 2+(a −1)x +a −1＜0 对于所有的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 .答案：{a|a ＜−13}解析：当a =0 时，原不等式ax 2+(a −1)x +a −1＜0 可化为−x −1＜0 ，即x ＞−1 ，不符合题意；当a ≠0 时，要使不等式ax 2+(a −1)x +a −1＜0 对于所有的实数x 都成立，则{a <0,Δ=(a −1)2−4a(a −1)<0,即{a <0,3a 2−2a −1>0,解得a ＜−13 . 综上，a 的取值范围是{a|a ＜−13} .创新拓展练 13.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x ＜1) ，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 答案：（1）由题意得y =[12×(1+0.75x)−10×(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0＜x ＜1) ， 整理得y =−6000x 2+2000x +20000(0＜x ＜1) .（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有{y −(12−10)×10000＞0,0＜x ＜1,即{−6000x 2+2000x >0,0<x <1,解得0＜x ＜13 ，所以投入成本增加的比例x 应在{x|0＜x ＜13} 内.。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--2
2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式课标解读课标要求素养要求1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一实数a,b大小的比较关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实：如果a−b是正数,那么①a＞b;如果a−b等于0,那么②a=b;如果a−b是负数,那么③a＜b.反过来也对.这个基本事实可以表示为a>b⇔a−b>0；a=b⇔a−b=0;a<b⇔a−b<0.要点二重要不等式一般地，∀a,b∈R,有a2+b2≥④2ab,当且仅当⑤a=b时,等号成立.自主思考1.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较x2+1与2x的大小吗答案：提示作差,因为x2+1−2x=(x−1)2≥0，所以x2+1≥2x.2.教材P39图2.1-4中的小正方形面积如何用a,b表示？答案：提示小正方形的面积为(a−b)2.名师点睛1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不多于,不超过符号语言＞＜≥≤互动探究·关键能力探究点一用不等式（组）表示不等关系精讲精练例 某钢铁厂要把长度为4000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．答案：设截得500 mm 的钢管x 根,截得600 mm 的钢管y 根, 依题意,可得不等式组：{500x +600y ≤4000,3x ≥y,x ≥0,y ≥0,x,y ∈N ∗ ，即{5x +6y ≤40,3x ≥y,x ≥0,y ≥0, x,y ∈N ∗解题感悟将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数字符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 迁移应用1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A.30x −60≥400B.30x +60≥400C.30x −60≤400D.30x +60≤400 答案：B解析：x 个月后他至少有400元,可表示为30x +60≥400 .故选B.2.一辆汽车原来每天行驶xkm ,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多19 km ,那么在8天内它行驶的路程将超过2200 km ,用不等式表示为 . 答案：8(x +19)＞2200解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,所以汽车每天行驶的路程为(x +19)km ,则在8天内它行驶的路程为8(x +19)km ,因此,不等关系“在8天内它行驶的路程将超过2200 km ”可以用不等式表示为8(x +19)＞2200 .探究点二 作差法比较大小精讲精练例 已知x ≤1 ,比较3x 3 与3x 2−x +1 的大小. 答案：3x 3−(3x 2−x +1) =(3x 3−3x 2)+(x −1)=3x 2(x −1)+(x −1)=(3x 2+1)(x −1) .因为x≤1,所以x−1≤0,3x2+1≥1,所以(3x2+1)(x−1)≤0,所以3x3≤3x2−x+1.解题感悟作差法比较a,b大小的基本步骤迁移应用1.比较x3+6x与x2+6的大小.答案：(x3+6x)−(x2+6)=x3−x2+6x−6=x2(x−1)+6(x−1)=(x−1)(x2+6).因为x2+6＞0,所以当x＞1时,(x−1)(x2+6)>0,即x3+6x＞x2+6. 当x=1时,(x−1)(x2+6)=0,即x3+6x=x2+6.当x＜1时,(x−1)(x2+6)＜0,即x3+6x<x2+6.探究点三利用作差法证明不等式精讲精练例已知a＞0,求证：a+1a≥2.答案：证明∵a＞0,∴a+1a −2=(√a)2+(√a)2−2=(√a−√a)2≥0,∴a+1a≥2.解题感悟用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,通过配方、通分、分解因式等方式确定等式的符号,从而证明不等式.迁移应用1.已知a,b均为正实数,证明：a3+b3≥a2b+ab2.答案：证明a3+b3−(a2b+ab2)=(a3−a2b)+(b3−ab2)=a2(a−b)+b2(b−a)= (a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b).当a=b时,a−b=0,则a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a−b)2＞0,因为a,b均为正实数,所以a+b＞0,则a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a 3+b 3≥a 2b +ab 2 .评价检测·素养提升课堂检测1.下列能表示“a 不比b 小”的不等关系的是( ) A.a −b ＞0 B.a −b ＜0 C.a −b ≥0 D.a −b ≤0 答案：C2.(★) 某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,则用不等式组表示为( ) A.{x ≥95y ≥380z >45 B.{x ≥95y >380z ≥45 C.{x ＞95y ＞380z ＞45 D.{x ≥95y ＞380z ＞45答案：D3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设M =x 2,N =−x −1 ,则M 与N 的大小关系是 . 答案：M ＞N解析：由作差法,可得M −N =x 2−(−x −1)=x 2+x +1=(x +12)2+34＞0 ,所以M ＞N . 4.设x ∈R ,证明：x1+x 2≤12 . 答案：证明x 1+x2−12=2x−1−x 22(1+x 2)=−(x−1)22(1+x 2)≤0 ,所以x1+x 2≤12.5.用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m ,要求菜园的面积不小于110 m 2 ,靠墙的一边长为x m ,试用不等式组表示其中的不等关系．答案：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ,且墙长为18 m ,所以0＜x ≤18 ,矩形菜园的另一条边长为30−x 2=(15−x2)m .因此菜园面积S =(15−x 2)x . 依题意有S ≥110 , 即(15−x2)x ≥110 ,故题中的不等关系可用不等式组表示为{0<x ≤18(15−x 2)x ≥110 . 素养演练数学建模——不等关系的实际应用1.某公司有20名技术人员,计划开发A 、B 两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值（万元/件）A类127.5B类136现欲使总产值最高,则应开发A类电子器件件,最高产值为万元.答案：20; 330解析：设应开发A类电子器件x(0≤x≤50,x∈N∗)件,总产值为y万元,则开发B类电子器件(50−x)件,由x2+50−x3≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y=7.5x+6×(50−x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取得最大值,且最大值为330.所以应开发A类电子器件20件,最高产值为330万元.素养探究：（1）根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.（2）根据实际问题列出不等式（组）,应从实际意义出发,而不能拘于某一种形式.迁移应用1.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角x(0＜x＜30)个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.答案：因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角(30−x)个,则{0<x<30,80x+30(30−x)≤1900,x∈N∗50x+60(30−x)≤1620,，解得18≤x≤20,x∈N∗,所以x的取值是18,19,20.当x=18时,30−x=12;当x=19时,30−x=11;当x=20时,30−x=10.故有三种符合题意的组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.课时评价作业基础达标练1.（多选）下列说法正确的是( )A.某人的月收入x元不高于2000元可表示为"x<2000"B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为"x>y"C.变量x不小于a可表示为"x≥a"D.变量y不超过a可表示为"y≤a"答案：C; D2.据天气预报可知某天白天的最高温度为13 ℃,则该天白天的气温t（单位：℃）与13 ℃之间存在的不等关系是( )A.t≤13B.t＜13C.t=13D.t＞13答案：A解析：由气温t不超过最高温度可得结果.3.（2020湖南师大附中高一月考）设M=3x2−x+1,N=x2+x−1,则( )A.M＞NB.M＜NC.M=ND.M与N的大小关系与x有关答案：A解析：作差后与0比较,得出M、N的大小关系.4.（2020安徽滁州定远高一月考）某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式(组)表示为( )A.{x≥2,x∈N∗y≥2,x∈N∗0.8×5x+2×4y≤50B.{x≥2y≥20.8×5x+2×4y≤50C.{x≥2y≥2D.0.8×5x+2×4y≤50答案：A解析：购买两种票面的邮票共用金额应小于或等于50元,同时注意x≥2,y≥2，且x∈N∗,y∈N∗.5.不等式a2+4≥4a中等号成立的条件为.答案：a=26.某商品的包装上标有质量(500±1)克,若用x表示商品的质量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为.答案：|x−500|≤17.比较大小：a2+b2+c22(a+b+c)−4.（填“＞”“＜”或“=”）答案：＞解析：a2+b2+c2−[2(a+b+c)−4]=a2+b2+c2−2a−2b−2c+4=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2+1≥1>0，故a2+b2+c2＞2(a+b+c)−4.素养提升练8.若A=a2+3ab,B=4ab−b2,则A、B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B答案：B解析：∵A−B=a2+3ab−(4ab−b2)=a2−ab+b2=(a−b2)2+34b2≥0,∴A≥B.故选B.9.（2021安徽滁州高一期末）已知a＞b＞1,给出下列不等式：①b+1a+1＞ba;②a+1a＞b+1 b ;③a3+b3＞2a2b;④a+1b＞b+1a,其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：b+1a+1−ba=a(b+1)−b(a+1)(a+1)a=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a,因为a＞b＞1,所以a−b＞0,a+1＞0,所以a−b(a+1)a ＞0,即b+1a+1＞ba,故①正确;a+1a −(b+1b)=a−b+1a−1b=a−b+b−aab=(a−b)(1−1ab)=(a−b)⋅ab−1ab,因为a＞b＞1,所以a−b＞0,ab＞1,所以(a−b)⋅ab−1ab ＞0,即a+1a＞b+1b,故②正确;当a=3,b=2时,a3+b3=33+23=35,2a2b=2×32×2=36, 所以a3+b3<2a2b，故③错误;a+1b −(b+1a)=a−b+1b−1a=a−b+a−bab=(a−b)(1+1ab),因为a＞b＞1,所以a−b＞0,ab＞1,所以(a−b)(1+1ab )＞0,即a+1b＞b+1a,故④正确.所以正确的有①②④.故选C.10.（2020南京师范大学附属实验学校高一月考）如图,在一块长为22 m,宽为17 m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行）,剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为xm,根据题意可列出的不等式为( )A.(22−x)(17−x)≤300B.(22−x)(17−x)≥300C.(22−x)(17−x)＞300D.(22−x)(17−x)＜300 答案：B解析：把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,草坪面积为(22−x)(17−x)m 2 ,因为草坪的面积不小于300 m 2 ,所以(22−x)(17−x)≥300 .故选B.11.已知a,b,c 满足b +c =3a 2−4a +6,b −c =a 2−4a +4 ,比较a,b,c 的大小. 答案：∵b −c =a 2−4a +4=(a −2)2≥0 , ∴b ≥c .由题意得方程组{b −c =a 2−4a +4,b +c =3a 2−4a +6, 解得{b =2a 2−4a +5,c =a 2+1.∴c −a =a 2−a +1=(a −12)2+34＞0 , ∴c ＞a,∴b ≥c ＞a .创新拓展练12.甲打算从A 地出发至B 地,现有两种方案.第一种：前一半路程按速度v 1 前进,后一半路程按速度v 2(v 1≠v 2) 前进,平均速度为v ¯; 第二种：前一半时间按速度v 1 前进,后一半时间按速度v 2(v 1≠v 2) 前进,平均速度为v ¯′ . 则v ¯,v ¯′ 的大小关系为( ) A.v ¯>v ¯′ B.v ¯<v ¯′ C.v ¯=v ¯′ D.无法确定 答案：B解析：第一种方案：设总路程为2 s ,则v ¯=2ss v 1+sv 2=2v 1v 2v1+v 2,第二种方案：设总时间为2 t , 则v ¯′=v 1t+v 2t 2t=v 1+v 22,v¯′−v¯=v1+v22−2v1v2v1+v2=(v1+v2)2−4v1v22(v1+v2)=(v1−v2)22(v1+v2)>0,∴v¯′＞v¯.故选B.第2课时等式性质与不等式性质课标解读课标要求素养要求梳理等式的性质,掌握不等式的性质. 逻辑推理——能够用不等式的性质解决相关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一等式的基本性质等式有下面的基本性质:性质1 如果a=b,那么①b=a;性质2 如果a=b,b=c,那么②a=c;性质3 如果a=b,那么a±c=b±c;性质4 如果a=b,那么ac=bc;性质5 如果a=b,c≠0，那么③ac =bc.要点二不等式的性质不等式有如下性质:性质1 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即④a>b⇔b<a . 性质2 如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c.性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.性质4 如果a>b,c>0,那么⑤ac>bc;如果a>b,c<0,那么⑥ac< bc .性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么⑦ac>bd.性质7 如果a>b>0,那么a n>b n(n∈N,n≥2).自主思考1.若ac=bc,能否得出a=b?举例说明.答案：提示不能.例如:3×0=4×0,但3≠4.2.若a>b,c>d,判断下列各不等式是否成立:①a−c>b−d;②ac>bd;③a+c>b+ d;④a−d>b−c.答案：提示由c>d可得−d>−c,又a>b,所以由不等式的性质5可知③④正确;因为a,b,c,d的正负不确定，所以②不一定成立;因为同向不等式不能相减,所以①不一定成立.名师点睛1.不等式的其他性质（1）倒数性质：a＞b,ab＞0⇒1a ＜1b;a＜0＜b⇒1a ＜1b.（2）分数性质：若a＞b＞0,m＞0,则真分数性质：ba <b+ma+m;ba>b−ma−m(b−m>0).假分数性质：ab >a+mb+m;ab<a−mb−m(b−m>0).2.指定代数式的取值范围必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围．互动探究·关键能力探究点一利用不等式的性质判断不等式是否成立自测自评1.已知a,b,c,d∈R,则下列不等式中恒成立的是( )A.若a＞b,c＞d,则ac＞bdB.若a>b,则ac2＞bc2C.若a＞b＞0,则(a−b)c＞0D.若a＞b,则a+c＞b+c答案：D解析：当c＜0,b＜0时,A中不等式不成立;当c=0时,B中不等式不成立;当c≤0时,C中不等式不成立;由不等式的性质知D中不等式恒成立.故选D.2.若a,b,c∈R,且a＞b,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b≥b−cB.ac≥bcC.c2a−b＞0D.(a−b)c2≥0答案：D解析：选项A,a+b≥b−c⇔a≥−c,因为a,c大小无法确定,所以A中不等式不一定成立; 选项B,当c≥0时,ac≥bc才能成立,故B中不等式不一定成立;选项C,当c=0时,不等式不成立,故C中不等式不一定成立;选项D,因为{a−b＞0,c2≥0,所以(a−b)c2≥0,故D中不等式一定成立.故选D.3.若a＜b＜0,则下列不等式中不成立的是( )A.|a|＞|b|B.a2＞b2C.1a ＞1bD.1a−b ＞1a 答案：D解析：因为a ＜b ＜0 ,所以−a ＞−b ＞0 ,所以|−a|＞|−b| ,即|a|＞|b| ,故A 中不等式成立;(−a)2>(−b)2 ,即a 2>b 2 ，故B 中不等式成立;1−a＜1−b ,即1a ＞1b ,故C 中不等式成立; 当a =−2,b =−1 时,1a−b ＜1a ,故D 中不等式不成立.故选D.解题感悟判断不等式是否成立的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件.（2）解决有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.探究点二 利用不等式的性质证明不等式 精讲精练例 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0,ad =bc ,证明：a +d ＞b +c .答案：证明 由a ＞b ＞c ＞d ＞0 得a −d ＞b −c ＞0 ,即(a −d)2＞(b −c)2 .由ad =bc 得(a −d)2+4ad >(b −c)2+4bc ，即(a +d)2>(b +c)2 ，故a +d >b +c . 解题感悟利用不等式的性质证明不等式时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.迁移应用1.已知a ＞b ＞0,c ＜d ＜0 ,求证：√a d 3＜√b c 3 .答案：证明 因为c ＜d ＜0 ,所以−c ＞−d ＞0 ,所以0＜−1c ＜−1d .又因为a ＞b ＞0 ,所以−a d ＞−b c ＞0 .所以√−a d 3＞√−b c 3 ,即−√a d 3＞−√b c 3 ,所以√a d 3＜√b c 3 .探究点三 利用不等式的性质求取值范围 精讲精练例 已知−3≤α≤−1,−2≤β≤−12 ,求2α−β2 与β−2α3 的取值范围.答案：∵−3≤α≤−1,−2≤β≤−12 ,∴−6≤2α≤−2,14≤−β2≤1 ,∴−234≤2α−β2≤−1.又∵−3≤α≤−1,∴23≤−2α3≤2,∴−43≤β−2α3≤32.解题感悟利用不等式的性质求取值范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,那么就有可能扩大取值范围.迁移应用1.已知实数a满足ab2＞a＞ab,则实数b的取值范围为.答案：b＜−1解析：显然a=0时不符合题意.若a＜0,则b2＜1＜b,矛盾,所以a＞0,则b2＞1＞b,解得b＜−1.评价检测·素养提升课堂检测1.对于实数a,b,c,下列说法错误的是( )A.若a＞b＞0,则1a ＜1bB.若a＞b,则ac2≥bc2C.若a＞0＞b,则ab＜a2D.若c＞a＞b,则ac−a ＞bc−b答案：D解析：由a＞b＞0可得1b ＞1a＞0,故A中说法正确;由a＞b及c2≥0得ac2≥bc2,故B中说法正确;由a＞0＞b知a>b,又a>0,则a2>ab,故C中说法正确;若c=−1,a=−2,b=−3,则ac−a =−2,bc−b=−32,−2<−32,故D中说法错误.故选D.2.若a＞0,b＜0,且|a|＜|b|,则a+b一定是( )A.正数B.负数C.非正数D.非负数答案：B解析：∵a＞0,b＜0,∴|a|=a,|b|=−b.又∵|a|＜|b|,∴a＜−b,∴a+b＜0,∴a+b一定是负数.故选B.3.已知a=1+√7,b=√3+√5,c=4,则a,b,c的大小关系为( )A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.b＞c＞a答案：C解析：因为a2=8+2√7,b2=8+2√15,c2=16,所以c2>b2>a2,所以c＞b＞a.4.已知实数a,b满足0＜a＜b＜2,则a−b的取值范围是.答案：(-2,0)解析：∵0＜a＜2,0＜b＜2,∴−2＜−b＜0.由不等式的性质可得−2＜a−b＜2,又a＜b,即a−b＜0,∴−2＜a−b＜0.5.已知−π2≤α＜β≤π2,求α+β2,α−β2的取值范围.答案：因为−π2≤α＜β≤π2,所以−π4≤α2<π4,−π4<β2≤π4.所以−π4≤−β2＜π4,则−π2＜α+β2＜π2,−π2≤α−β2＜π2.又α＜β,所以α−β2＜0,则−π2≤α−β2＜0.素养演练数学运算——用待定系数法求代数式的取值范围1.已知1≤α−β≤2,2≤α+β≤4,求4α−2β的取值范围.答案：设存在x,y满足4α−2β=x(α−β)+y(α+β)=(x+y)α+(−x+y)β,则{x+y=4,−x+y=−2,解得{x=3,y=1,∴4α−2β=3(α−β)+(α+β).∵1≤α−β≤2,∴3≤3(α−β)≤6.又2≤α+β≤4,∴5≤4α−2β≤10.素养探究：在给定已知代数式的取值范围的条件下,求未知代数式的取值范围,通常需要先用待定系数法将所求代数式表示成已知代数式的组合,再利用不等式的性质求解,特殊情况下这种组合形式也可观察得出,解题过程中体现数学运算的核心素养.迁移应用1.已知−1＜2a+b＜2,3＜a−b＜4,求5a+b的取值范围.答案：令5a+b=λ(2a+b)+μ(a−b)=(2λ+μ)a+(λ−μ)b,则{2λ+μ=5,λ−μ=1,解得{λ=2,μ=1, ∴5a +b =2(2a +b)+(a −b) .∵−1＜2a +b ＜2,∴−2＜2(2a +b)＜4 .又3＜a −b ＜4,∴1＜5a +b ＜8 .课时评价作业基础达标练1.（2020北京海淀清华附中高一期中）已知a ＜b ＜c ,则下列不等式一定成立的是( )A.ac 2＜bc 2B.a 2＜b 2＜c 2C.ab ＜acD.1a−c ＞1b−c答案：D2.若−1＜α＜β＜1 ,则下列不等式恒成立的是( )A.−2＜α−β＜0B.−2＜α−β＜−1C.−1＜α−β＜0D.−1＜α−β＜1答案：A3.（2021天津三中高一期末）若a ＜0,−1＜b ＜0 ,则下列正确的是( )A.a ＞ab ＞ab 2B.ab ＞a ＞ab 2C.ab 2＞ab ＞aD.ab ＞ab 2＞a答案：D4.（多选）（2020广东东莞四中高一期中）若x ＞y,a ＞b ,则下列不等式恒成立的是( )A.a −x ＞b −yB.a +x ＞b +yC.ax ＞byD.x −2b ＞y −2a答案：B ; D5.已知1a ＜1b ＜0 ,给出下列四个不等式：①|a|＞|b| ;②a ＜b ;③a +b ＜ab ;④a 3＞b 3 .其中不正确的不等式个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：C6.（多选）（2020山东烟台高一期中）设a ＞b ＞0,c ≠0 ,则( )A.ac 2＜bc 2B.b a ＜b+c 2a+c 2C.a 2−1a ＞b 2−1bD.a 2+1a ＞b 2+1b答案：B ; C7.（2021浙江高一期末）若−1＜a +b ＜3,2＜a −b ＜4, 则b 的取值范围是 . 答案：−52＜b ＜12解析：因为2＜a−b＜4,所以−4＜b−a＜−2,又−1＜a+b＜3,所以−5＜(a+b)+(b−a)＜1,则−52<b<12.素养提升练8.（2021江苏南京高一期末）已知a,b,m都是负数,且a＜b,则( )A.1a ＜1bB.ab＜baC.a+m＞b+mD.b+ma+m ＞ba答案：D解析：∵a＜b＜0,∴1a ＞1b,选项A错误;∵a＜b＜0,∴ba ＜1,ab＞1,∴ba＜ab,选项B错误;由不等式的性质可知,a+m＜b+m,选项C错误;∵b+ma+m −ba=a(b+m)a(a+m)−b(a+m)a(a+m)=m(a−b)a(a+m)＞0,∴b+ma+m ＞ba,选项D正确.故选D.9.（多选）（2020山东济南高一月考）设a,b为正实数,则下列命题正确的有( )A.若a2−b2=1,则a−b＜1B.若1b −1a=1,则a−b＜1C.若|√a−√b|=1,则|a−b|＜1D.若|a3−b3|=1,则|a−b|＜1答案：A; D解析：若a2−b2=1,则a2−1=b2,即(a+1)⋅(a−1)=b2,∵a+1>a−1,∴a−1< b,即a−b<1,A选项正确.若1b −1a=1,可取a=7,b=78,则a−b>1,B选项错误.若|√a−√b|=1,可取a=9,b=4,则|a−b|=5>1,C选项错误.若a＞b,则a3−b3=1,即a3−1=b3,即(a−1)⋅(a2+1+a)=b3, ∵a2+1+a>b2,∴a−1<b;即a−b<1;若a<b,则b3−a3=1,即b3−1=a3,即(b−1)⋅(b2+1+b)=a3,∵b2+1+b>a2,∴b−1<a,即b−a＜1,∴|a−b|<1,D选项正确.故选AD.10.已知a、b、c、d均为实数,则下列命题中错误的是( )A.若ab＜0,bc−ad＞0,则ca −db＞0B.若ab＞0,ca −db＞0,则bc−ad＞0C.若bc−ad＞0,ca −db＞0,则ab＞0D.若1a ＜1b＜0,则1a+b＜1ab答案：A解析：∵ab＜0,∴1ab＜0,又∵bc−ad＞0,∴ca −db=1ab⋅(bc−ad)＜0,即ca −db＜0,故A中命题错误;∵ab>0,ca −db>0,∴ab⋅(ca−db)>0,即bc−ad>0,故B中命题正确;∵ca −db>0,∴bc−adab>0,又∵bc−ad＞0,∴ab＞0,故C中命题正确;由1a ＜1b＜0,可知b＜a＜0,∴a+b＜0,ab＞0,∴1a+b＜1ab成立,故D中命题正确.故选A.11.（多选）已知6＜a＜60,15＜b＜18,则下列正确的有( )A.13＜ab＜4B.21＜a+2b＜78C.−12＜a−b＜45D.76＜a+bb＜5答案：A; C解析：∵15＜b＜18,∴118＜1b＜115,又6＜a＜60,∴根据不等式的性质可得6×118＜a×1b＜60×115,∴13＜ab＜4,故A正确;∵30＜2b＜36,∴36＜a+2b＜96,故B错误;∵−18＜−b＜−15,∴−12＜a−b＜45,故C正确;∵a+bb =ab+1,∴43＜ab+1＜5,故D错误.故选AC.12.设P=√a+6+√a+7,Q=√a+5+√a+8(a＞−5),则P,Q的大小关系是.答案：P＞Q解析：P2=2a+13+2√(a+6)(a+7),Q2=2a+13+2√(a+5)(a+8),因为(a+6)(a+7)−(a+5)(a+8)=a2+13a+42−(a2+13a+40)=2＞0,所以√(a+6)(a+7)＞√(a+5)(a+8),所以P2＞Q2,所以P＞Q.13.若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证：e(a−c)2＞e(b−d)2.答案：证明∵c＜d＜0,∴−c＞−d＞0.又a＞b＞0,∴a−c＞b−d＞0,则(a−c)2＞(b−d)2＞0,即1(a−c)2＜1(b−d)2.又e＜0,∴e(a−c)2＞e(b−d)2.创新拓展练14.已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:①该函数图象过原点;②当x=−1时,1≤y≤2;③当x=1时,3≤y≤4.当x=−2时,求y的取值范围.解析：命题分析本题考查不等式的性质及应用,涉及二次函数图象、性质以及待定系数法等.答题要领结合已知条件求出c的值,然后将x=−2代入y的表达式,再结合不等式的性质可求x=−2时,y的取值范围.答案：详细解析∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点,∴c=0,∴y=ax2+bx.当x=−2时,y=4a−2b.设存在实数m,n,使得4a−2b=m(a+b)+n(a−b),则4a−2b=(m+n)a+(m−n)b,∴{m+n=4,m−n=−2,解得{m=1,n=3,∴4a−2b=(a+b)+3(a−b).当x=−1时,1≤a−b≤2,当x=1时,3≤a+b≤4,∴3≤3(a−b)≤6,∴6≤4a−2b≤10,故当x=−2时,y的取值范围是{y|6≤y≤10}.方法感悟利用不等式的性质求取值范围,通常需要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,整体使用所给条件,切不可随意拆分所给条件.。
1.4充分条件与必要条件(2课时)(教学课件)高一数学教学一课到位(人教A版2019)(22)
典型例题
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后， 解决下列问题：
07 成果展示2
07 成果展示2
07 成果展示2
07 成果展示2
08 课堂小结 本节课我们学习了哪些内容？
1、充分条件、必要条件、互逆命题与充要条件的概念； 2、结合具体命题，掌握了判定一个条件是另一个条件的充 分条件、必要条件与充要条件的方法．
教学难点：判定一个条件是另一个条件的充分条件、必要条件与充要条件的
方法掌握.
01 复习导入
问题：各位同学，初中我们已经学习过命题的定义、
分类、组成与形式，大家还能对这些知识进行阐述 吗？
01 复习导入
提示
01 复习导入
实例呈现
02 探究新知1——充分条件与必要条件
（1）探究
02 探究新知1——充分条件与必要条件
1、问题：各位同学，前面我们由判断一个命题的真假得出了充分 条件与必要条件的概念，今天这节课我们将利用初中所学习的“互逆 命题”概念得出新的逻辑概念，那么大家还能说出“互逆命题”的概念 是什么吗？
05 探究新知2——充要条件
2、探究
05 探究新知2——充要条件
3、充要条件的概念
06 小组合作、讨论交流2
人教A版必修第一册
第一章 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语
1.4 充分条件与必要条件 （ 2课时 ）
教学目标
学习目标： 1. 认识与理解充分条件、必要条件与充要条件的概念（数学抽
象）； 2.结合具体命题，灵活掌握判定一个条件是另一个条件的充分
条件、必要条件与充要条件的方法（逻辑推理）．
教学重点：充分条件、必要条件、互逆命题与充要条件的概念与判定方法．
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--1
1.3 集合的基本运算第1课时 并集和交集课标解读 课标要求 素养要求1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集和交集.2.能使用Venn 图表达集合的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
数学运算一会求两个集合的并集和交集，能根据两个集合的交集求参数的值（或取值范围）.自主学习·必备知识教材研习 教材原句要点一 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即A ∪B = ① {x|x ∈A,或x ∈B} ，可用Venn 图表示.要点二 交集一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B （读作“A 交B ”），即A ∩B = ② {x|x ∈A,且x ∈B} ，可用Venn 图表示.自主思考1.若A ={−1,1} ，B ={1,2,3} ，则A ∪B 中有几个元素？ 答案：提示 A ∪B ={−1,1,2,3} ，所以A ∪B 中有4个元素.2.⌀∩R 中有几个元素？答案：提示因为⌀ 中没有元素，所以⌀∩R =⌀ ，即⌀∩R 中有0个元素. 名师点睛1.A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成.“或”的数学含义如图，若集合A 和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.2.并集的性质（1）A∪B=B∪A，即两个集合的并集满足交换律.（2）A∪A=A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.（3）A∪⌀=⌀∪A=A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.（4）A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集. （5）若A⊆B，则A∪B=B，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集等于这个集合本身.3.交集的性质（1）A∩B=B∩A，即两个集合的交集满足交换律.（2）A∩A=A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.（3）A∩⌀=⌀∩A=⌀，即任何集合与空集的交集等于空集.（4）(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集.（5）若A⊆B，则A∩B=A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的交集是A.互动探究·关键能力探究点一并集的运算精讲精练例设集合M={x|x2+2x=0}，N={x|x2−2x=0}，则M∪N=( )A.{0}B.{0,2}C.{−2,0}D.{−2,0,2}答案：D解析：M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,−2}，N={x|x2−2x=0,x∈R}={0,2}，故M∪N={−2,0,2}，故选D.解题感悟求两个集合的并集的方法（1）两个集合用列举法给出：①依定义，直接观察，求出并集；②借助Venn图求出并集. （2)两个集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助教轴，求出并集.迁移应用1.设集合A={−1,0,−2},B={x|x2−x−6=0}，则A∪B=( )A.{−2}B.{−2,3}C.{−1,0,−2}D.{−1,0,−2,3} 答案：D解析：因为A ={−1,0,−2} ，B ={x|x 2−x −6=0}={−2,3} ，所以A ∪B ={−1,0,−2,3} .故选D.2.已知集合A ={x|x ≥1} ，B ={x|2x −3＞0} ，则A ∪B = ( ) A.{x|x ≥0} B.{x|x ≥1} C.{x|x ＞32} D.{x|0≤x ＜32} 答案：B解析：因为B ={x|2x −3＞0}={x|x ＞32} ，所以A ∪B ={x|x ≥1} .故选B.探究点二 交集的运算精讲精练例（1）若A ={x ∈N|1≤x ≤10} ，B ={x ∈R|x 2+x −6=0} ，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{−3,2}D.{−2,3}（2）设集合A ={x|−1≤x ≤2} ，B ={x|0≤x ≤4} ，则A ∩B = ( ) A.{x|0≤x ≤2} B.{x|1≤x ≤2} C.{x|0≤x ≤4} D.{x|1≤x ≤4} 答案：（1）A （2）A解析：（1）易知A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ，B ={−3,2} ，所以题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ={2} ，故选A.（2）在数轴上表示出集合A 与B ，如图所示.则由交集的定义知，A∩B={x|0≤x≤2}.解题感悟求两个集合的交集的方法（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.迁移应用1.若集合A={x|−2＜x＜1}，B={x|x＜−1或x＞3}，则A∩B=( )A.{x|−2＜x＜−1}B.{x|−2＜x＜3}C.{x|−1＜x＜1}D.{x|1＜x＜3}答案：A解析：因为A={x|−2＜x＜1}，B={x|x＜−1或x＞3}，所以A∩B={x|−2＜x＜−1}，故选A.探究点三交集、并集运算的性质及综合应用精讲精练例已知集合A={x|−3＜x≤4}，集合B={x|k+1≤x≤2k−1}，且A∪B=A，试求k的取值范围.答案：①当B=⌀，即k+1＞2k−1时，k＜2，满足A∪B=A.②当B≠⌀时，要使A∪B=A，只需{−3＜k+1, 4≥2k−1,k+1≤2k−1,解得2≤k≤52.综上可知，k≤52.解题感悟利用集合交集、并集的运算性质解题的技巧（1）在进行集合运算时，若条件中出现A∩B=A或A∪B=B，则应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A=⌀的情况．（2）集合运算常用的性质：①A∪B⇔A⊆B；②A∩B=A⇔A⊆B；③A∩B=A∪B⇔A=B迁移应用1.已知集合A={x|−3＜x≤6}，B={x|b−3＜x＜2b}，M={x|−4≤x＜5}，则A∩M=；若B∪M=M，则实数b的取值范围为.答案：{x|−3＜x＜5}; b≤−3或−1≤b≤52解析：因为A ={x|−3＜x ≤6} ，M ={x|−4≤x ＜5} ，所以A ∩M ={x|−3＜x ＜5} . 因为B ∪M =M ，所以B ⊆M .①当B =⌀ 时，b −3≥2b ，解得b ≤−3 ，满足B ⊆M ； ②当B ≠⌀ 时，{b −3≥−4,2b ≤5,b −3＜2b, 解得−1≤b ≤52.综上，b ≤−3 或−1≤b ≤52 .评价检测·素养提升课堂检测1.已知集合A ={1,6} ，B ={5,6,8} ，则A ∪B = ( ) A.{1,6,5,6,8} B.{1,5,6,8} C.{6,6} D.{6} 答案：B2.已知集合A ={x|x ＞−1} ，B ={x|x ＜2} ，则A ∩B = ( ) A.{x|x ＞−1} B.{x|x ＜2} C.{x|−1＜x ＜2} D.⌀ 答案：C解析：在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，故A ∩B ={x|−1＜x ＜2} ，故选C.3.已知集合M ={−1,0,1} ，P ={0,1,2,3} ，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{0,1}B.{0}C.{−1,2,3}D.{−1,0,1,2,3} 答案：D解析：由Venn 图可知，阴影部分所表示的集合是M ∪P .因为M ={−1,0,1} ，P ={0,1,2,3} ，所以M ∪P ={−1,0,1,2,3} .故选D.4.已知集合A ={1,2,3,4} ，B ={y|y =3x −2,x ∈A} ，则A ∩B = . 答案：{1,4}5.若集合A ={x|−1＜x ＜5} ，B ={x|x ≤−1或x ≥4} ，则A ∪B = ，A ∩B = .答案：R; {x|4≤x＜5}解析：如图，借助数轴可知A∪B=R，A∩B={x|4≤x<5}．素养演练数学运算——利用集合运算求参数问题1.已知集合M={1,2,a2−3a−1}，N={−1,a,3}，M∩N={3}，求实数a的值. 审：集合M与集合N的交集中的元素为3，即3是两个集合的公共元素，由此可以列出方程求参数a的值.联：当已知两个集合的运算结果求参数的值时，一般要根据集合的运算性质列出方程求解，同时注意验证所求得的参数值是否满足集合中元素的互异性.解：因为M∩N={3}，所以3∈M，所以a2−3a−1=3，即a2−3a−4=0，解得a=−1或a=4.当a=−1时，①不满足集合中元素的互异性，舍去；当a=4时，M=②{1,2,3}，N={−1,3,4}，符合题意.综上，a=4.解析：思：解答此类题目的思路是将集合中的运算结果转化为集合与元素之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到其关系；与不等式有关的集合，可利用数轴得到不同集合之间的关系.迁移应用1.若集合A={0,1,2,x}，B={1,x2}，A∪B=A，则满足条件的实数x有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解析：因为A∪B=A，所以B⊆A，所以x2=0或x2=2或x2=x，解得x=0或x=√2或x=−√2或x=1.经检验，当x=√2或x=−√2时满足题意，故选B.课时评价作业基础达标练1.（2020北京昌平高一检测）已知集合A={1,2,3,5}，B={2,3}，那么A∪B=( )A.{2,3}B.{1,5}C.{1,2,3,5}D.{3}答案：C2.（2020北京第五中学高一测试）集合A={x|−2＜x＜2}，B={x|−1≤x＜3}，那么A∩B=( )A.{x|−2＜x＜3}B.{x|−1≤x＜2}C.{x|−2＜x ≤1}D.{x|2＜x ＜3} 答案：B3.设集合 A ={x|x 是参加自由泳的运动员} ，B ={x|x 是参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为( ) A.A ∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 答案：A4.集合A ={0,2,a} ，B ={1,a 2} ，若A ∪B ={0,1,2,4,16} ，则实数a 的值为( ) A.0B.1C.2D.4 答案：D5.已知A ，B 两个集合分别用圆表示，则集合{x|x ∈A,且x ∈B}可用阴影表示为( )A. B. C. D.答案：D6.（多选）A ∩B =A ，B ∪C =C ，则A ，B ，C 之间的关系必有( ) A.A ⊆C B.A ⊆B C.A =C D.A ∩C =C 答案：A ; B7.（2020甘肃平凉高一期中）已知集合A ={1,2,3} ，集合B ={x|(x +1)(x −2)=0} ，则A ∩B = ( ) A.{1} B.{2} C.{−1,2} D.{1,2,3} 答案：B8.（2020浙江金华高一期中）已知集合A ={(x,y)|x +y =3} ，B ={(x,y)|x −y =1} ，则A ∩B = ( ) A.{2,1} B.{x =2,y =1} C.{(2,1)} D.(2，1) 答案：C解析：由题意得{x +y =3,x −y =1,解得{x =2,y =1, 故A ∩B ={(2,1)} .故选C.9.（2021安徽池州第一中学检测）已知集合A ={x|−2＜x ＜3} ，B ={x|2m +1＜x ＜m +7} ，若A ∪B =B ，求实数m 的取值范围.答案：因为A ∪B =B ，所以A ⊆B ，所以{2m +1＜m +7,2m +1≤−2,m +7≥3,解得−4≤m ≤−32 ，故实数m 的取值范围为{m|−4≤m ≤−32} .10.已知集合A ={x|1≤x ＜5},B ={x|−a ＜x ≤a +3} .若B ∩A =B ，求实数a 的取值范围.答案：因为B ∩A =B ，所以B ⊆A ， 当B =⌀ 时，−a ≥a +3 ，解得a ≤−32 ； 当B ≠⌀ 时，{−a ＜a +3,−a ≥1,a +3＜5, 所以−32＜a ≤−1 ，综上，a ≤−1 .所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−1} .素养提升练11.（多选）（2020山东菏泽单县第五中学高一月考）集合A ={0,1,4} ，B ={0,1,3} ，则( ) A.A ∩B ={0,1} B.A ∩B ={0,1,4}C.A ∪B ={0,1,3,4}D.集合A 的真子集个数为8 答案：A ; C解析：因为A ∩B ={0,1} ，所以A 选项正确，B 选项不正确；A ∪B ={0,1,3,4} ，所以C 选项正确；集合A 的真子集个数为23−1=7 ，所以D 选项不正确.故选AC.12.（2021江西吉安高一检测）设集合A ={x|2a +1≤x ≤3a −5} ，B ={x|3≤x ≤22} ，则使A ⊆(A ∩B) 成立的a 的取值范围为( ) A.⌀ B.{a|6≤a ≤9} C.{a|a ＜9} D.{a|a ≤9} 答案：D解析：由A ⊆(A ∩B) 得A ⊆B ，则①当A =⌀ 时，2a +1＞3a −5 ，解得a ＜6 ，满足条件. ②当A ≠⌀ 时，{2a +1≤3a −5,2a +1≥3,3a −5≤22,解得6≤a ≤9 .综合①②可知，使A ⊆(A ∩B) 成立的a 的取值范围为{a|a ≤9} .13.已知集合A ={−2,3,4,6} ，集合B ={3,a,a 2} ，若B ⊆A ，则实数a = ；若A ∩B ={3,4} ，则实数a = . 答案：-2; 2或4解析：因为集合A ={−2,3,4,6} ，集合B ={3,a,a 2} ，B ⊆A ，所以a =−2 .若A ∩B ={3,4} ，所以a =4 或a 2=4 ，所以a =2 或a =−2 （舍去）或a =4 . 14.满足{1,3}∪A ={1,3,5} 的所有集合A 的个数是 . 答案：4解析：由{1,3}∪A={1,3,5}，知A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集中的元素.而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.15.设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}，C={2,−3}. （1）求a，b的值及A，B；（2）求(A∪B)∩C.答案：（1）因为A∩B={2}，所以4+2a+12=0，4+6+2b=0，即a=−8，b=−5，所以A={x|x2−8x+12=0}={2,6}，B={x|x2+3x−10=0}={2,−5}.（2）由（1）知A∪B={−5,2,6}，C={2,−3}，所以(A∪B)∩C={2}.创新拓展练16.已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，B={x|x2−5x+6=0}，试问是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）⌀⫋(A∩B).若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解析：命题分析本题考查集合的运算，集合间的关系，考查运算求解及逻辑推理能力，考查逻辑推理的核心素养.答题要领先求集合B，由条件（1）、（2）得出A⫋B，由条件（3）得出A≠⌀，然后对集合A分类讨论得出结论.答案：详细解析不存在.理由：假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}.因为A∪B=B，所以A⊆B，即A=B或A⫋B.由A≠B，可知A⫋B.又因为⌀⫋(A∩B)，所以A≠⌀，即A={2}或{3}.当A={2}时，代入得a2−2a−15=0，即a=−3或a=5.经检验a=−3时，A={2,−5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去.当A={3}时，代入得a2−3a−10=0.即a=5或a=−2.经检验a=−2时，A={3,−5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去.综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件.方法感悟A∪B=B⇔A⊆B，A可能为空集；A∩B=B⇔B⊆A，B可能为空集.解决集合间的关系问题时应注意子集与真子集的区别，注意分类讨论和数形结合思想的应用.第2课时补集课标解读课标要求素养要求1.了解全集的含义及其符号表示。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--恒成立与能成立问题
加练课3 恒成立与能成立问题学习目标 1.了解不等式中“恒成立与能成立”问题的三种常见类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型.掌握不等式恒成立与能成立问题的解题方法.2.运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和数学方法分析和解 决问题.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.当x =−1 或x =2 时，都能使不等式2x −3＞0 成立.( × )2.设f(x)=ax +b ，若f(x)＞0 在[m,n] 上恒成立，则f(m)＞0 和f(n)＞0 同时成立.( √ )3.若f(x) 在区间[a,b] 上单调递减，且f(x 0)＞0,x 0∈(a,b) ，则f(x)＞0 恒成立.( × ) 二、夯实基础，自我检测4.（2020河北尚义第一中学高一期中）若命题p ：∀x ∈R,x 2+ax +1≥0 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥2 B.a ≤−2C.−2≤a ≤2D.a ≤−2 或a ≥2 答案：C解析：令f(x)=x 2+ax +1 ，则必有△=a 2−4≤0 ，解得−2≤a ≤2 ， 所以实数a 的取值范围是−2≤a ≤2 . 故选C.5.（2021四川成都树德中学高一月考）若关于x 的不等式ax 2−2ax +3＜0 无解，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤0 或a ＞3B.0≤a ≤3C.a ≤0 或a ≥3D.0＜a ≤3 答案：B解析：ax 2−2ax +3＜0 无解⇔ax 2−2ax +3≥0 恒成立， 当a =0 时，3≥0 恒成立；当a ≠0 时，{a >0,△=4a 2−12a ≤0, 解得0＜a ≤3 .综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤3 .故选B.6.（2020山西太原高一月考）若关于x 的不等式2x 2−8x −4+a ≤0 在1≤x ＜3 内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥12 B.a ≤10 C.a ≤12 D.a ≥10解析：由题意，可得−a≥2x2−8x−4，设f(x)=2x2−8x−4=2(x−2)2−12，若1≤x＜3，则−12≤f(x)≤−10，若使不等式2x2−8x−4+a≤0在1≤x＜3内有解，则只需−a≥f(x)min，即−a≥−12，解得a≤12.故选C.7.若不等式mx2+2mx+1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是.答案：[0,1)8.当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+2＞0恒成立，则m的取值范围是.答案：(−2√2,+∞)解析：当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+2＞0恒成立，等价于m＞−x−2x恒成立.设f(x)=−x−2x，其中x∈(1,2)，则f(x)=−(x+2x )≤−2√x⋅2x=−2√2，当且仅当x=√2时取“=”.∴f(x)的最大值为−2√2.∴m的取值范围是(−2√2,+∞).互动探究·关键能力探究点一不等式能成立问题精讲精练例（2020浙江温州中学高一期中）已知函数f(x)=2x2−(m+3)x+1. （1）当m=−2时，求不等式f(x)≤2的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≤2在[1,2]上有解，求实数m的取值范围. 答案：（1）当m=−2时，f(x)=2x2−x+1≤2，即2x2−x−1≤0，即(2x+1)(x−1)≤0，解得−12≤x≤1，故不等式的解集为{x|−12≤x≤1}.（2）由题意得，2x2−(m+3)x+1≤2在x∈[1,2]上有解，即m≥2x 2−3x−1x=2x−1x−3在x∈[1,2]上有解，记g(x)=2x−1x−3,x∈[1,2]，则m≥g(x)min，又g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)min=g(1)=−2，所以m≥−2.解决不等式有解问题，可按以下规则进行转化：一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，（1）若x1∈[a,b],f(x1)<m有解，f(x)min<m；（2）若x1∈[a,b],f(x1)>m有解，f(x)min>m.迁移应用1.已知函数f(x)=ax2−(2a+3)x+6(a∈R).（1）当a=1时，求函数y=f(x)的零点；（2）解关于x的不等式f(x)＜0(a＞0)；（3）当a=1时，函数f(x)≤−(m+5)x+3+m在[−2,2]上有解，求实数m的取值范围.答案：（1）当a=1时，f(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)，所以函数y=f(x)的零点为2，3（2）由f(x)=ax2−(2a+3)x+6＜0可得(ax−3)(x−2)<0，当0＜a＜32时，解不等式得2＜x＜3a；当a=32时，x不存在，即不等式的解集为⌀；当a＞32时，解不等式得3a＜x＜2.综上，当0＜a＜32时，不等式的解集为{x|2＜x＜3a}；当a=32时，不等式的解集为⌀；当a＞32时，不等式的解集为{x|3a＜x＜2}.（3）由题意得，不等式x2+mx+3−m≤0在[−2,2]上有解，令y=x2+mx+3−m，则函数的图象开口向上，对称轴为直线x=−m2.①当−m2≤−2，即m≥4时，函数在x=−2处取得最小值，即4−2m+3−m≤0，即m≥73，所以m≥4；②当−2＜−m2＜2，即−4＜m＜4时，函数在x=−m2处取得最小值，此时−m24+3−m≤0，解得m≤−6或m≥2，即2≤m＜4；③当−m2≥2，即m≤−4时，函数在x=2处取得最小值，此时4+2m+3−m≤0，解得m≤−7.综上，m≥2或m≤−7.探究点二 一次函数型与二次函数型精讲精练例1对任意的m ∈[−1,1] ，函数f(x)=x 2+(m −4)x +4−2m 的值恒大于零，求x 的取值范围.答案：由题意得，f(x)=x 2+(m −4)x +4−2m =(x −2)m +x 2−4x +4 ， 令g(m)=(x −2)m +x 2−4x +4 ，则原问题转化为关于m 的一次函数问题， 即在[−1,1] 上，g(m) 的值恒大于零， ∴{g(−1)=(x −2)×(−1)+x 2−4x +4>0,g(1)=x −2+x 2−4x +4>0, 解得x ＜1 或x ＞3 .故当x 的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞) 时，对任意的m ∈[−1,1] ，函数f(x) 的值恒大于零.例2（2020江苏淮安阳光学校高一月考）设m ∈R ，二次函数y =x 2−5x +m . （1）若该二次函数的两个零点都在区间(1,+∞) 内，求m 的取值范围；（2）若对任意的x ∈[1,2] ，不等式x 2−5x +m ≤2x 2+mx +m 2 恒成立，求m 的取值范围.答案：（1）二次函数y =x 2−5x +m 图象的对称轴为直线x =52 ，由题意可得{△=(−5)2−4m >0,f(1)=1−5×1+m >0,解得{m <254,m >4,所以m 的取值范围为4＜m ＜254 .（2）不等式x 2−5x +m ≤2x 2+mx +m 2 对于任意的x ∈[1,2] 恒成立， 即x 2+(m +5)x +m 2−m ≥0 对于任意的x ∈[1,2] 恒成立， 设g(x)=x 2+(m +5)x +m 2−m ， 函数图象为开口向上的抛物线， 其对称轴为直线x =−m+52，则只需g(x)min ≥0 ， 所以{−m+52≥2,g(x)min =g(2)≥0或{−m+52≤1,g(x)min =g(1)≥0 或{1<−m+52<2,g(x)mis =g(−m+52)≥0,解得{m ≤−9,m 2+m +14≤0或{m ≥−7,m 2+6≥0或{−9<m <−7,3 m 2−14m −25≥0, 所以m ≤−9 或m ≥−7 或−9＜m ＜−7 ，故m 的取值范围是R . 解题感悟 1.一次函数型：f(x)=ax +b >0(a ≠0) 在[m,n] 上恒成立⇔{f(m)>0,f(n)>0.f(x)=ax +b <0(a ≠0) 在[m,n] 上恒成立⇔{f(m)<0,f(n)<0.2.二次函数型（1）二次函数在R 上的恒成立，问题： 对于二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0) ， ①若ax 2+bx +c ≥0 在R 上恒成立，则{a >0,△≤0;②若ax 2+bx +c ≤0 在R 上恒成立，则{a <0,△≤0;（2）二次函数在给定区间上的恒成立问题：若f(x)=ax 2+bx +c >0(a ≠0) 在某个区间上恒成立，则利用图象法或转化为求函数的最值问题或分离变量法求解. 迁移应用1.（2020江苏南京高一期中）已知函数f(x)=x 2−4ax +3a 2 ，其中a 为实数. （1）当a =2 时，判断命题p ：∃x ∈R,f(x)≤0 的真假，并说明理由； （2）若∀x ∈[1,2],f(x)≤0 ，求实数a 的取值范围. 答案：（1）命题p 为真命题.理由：当a =2 时，f(x)=x 2−8x +12 ， 又f(2)=0 ，所以命题p ：∃x ∈R,f(x)≤0 为真命题.（2）由题意得，函数f(x) 的图象关于直线x =2a 对称， f(x) 在(−∞,2a) 上是减函数， 在(2a,+∞) 上是增函数，当32≤2a 时，f(x) 的最大值为f(1) ，当32＞2a 时，f(x) 的最大值为f(2) ，则要使∀x ∈[1,2],f(x)≤0 ， 只需f(1)≤0 ，且f(2)≤0 即3a 2−4a +1≤0 ， 且3a 2−8a +4≤0,解得13≤a ≤1 ，且23≤a ≤2 ，即23≤a ≤1 ，所以实数a 的取值范围是[23,1] .探究点三 变量分离型精讲精练例（2020山东烟台高一期中）已知函数f(x)=x 2−3x +b ，不等式f(x)＜0 的解集为{x|1＜x ＜t},b,t ∈R . （1）求b 和t 的值；（2）当x ∈[1,4] 时，函数y =f(x) 的图象恒在y =kx 2 图象的上方，求实数k 的取值范围.答案：（1）因为不等式f(x)＜0 的解集为{x|1＜x ＜t} ， 所以1和t 为方程x 2−3x +b =0 的两根， 所以{1×t =b,1+t =3, 解得b =t =2 .（2）由题意得，∀x ∈[1,4] ， 恒有x 2−3x +2＞kx 2 .两边同时除以x 2 得，k ＜2x 2−3x +1 . 令g(x)=2x2−3x+1,t =1x, 则g(t)=2t 2−3t +1 ，则k ＜2x 2−3x +1 等价于k ＜g(t),t ∈[14,1] ， 即k ＜g(t)min又g(t)=2t 2−3t +1=2(t −34)2−18，所以当t =34 时，g(t)min =−18 . 所以实数k 的取值范围为k ＜−18 .解题感悟函数恒成立问题的求解方法在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上的具体函数，这样便于问题的解决.一般将函数的恒成立问题转化为求函数的最大值或最小值问题： ①a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤f(x)min ； ②a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥f(x)min . 迁移应用1.（2020江苏南京师范大学附属中学高一月考）已知二次函数f(x) 的值域为[−4,+∞) ，且不等式f(x)＜0 的解集为(-1,3). （1）求f(x) 的解析式；（2）若对于任意的x ∈[−2,2],f(x)＞2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0) ，由题意可得，{f(−1)=a −b +c =0,f(3)=9a +3b +c =0,f(1)=a +b +c =−4, 解得{a =1,b =−2,c =−3, 即f(x)=x 2−2x −3 .（2）由（1）得m ＜x 2−4x −3 对任意的x ∈[−2,2] 恒成立， 令g(x)=x 2−4x −3=(x −2)2−7 ， 当x ∈[−2,2] 时，g(x)∈[−7,9] ，所以m ＜−7 ，即实数m 的取值范围是(−∞,−7) .评价检测·素养提升1.（2020江苏南京第五高级中学高一月考）不等式2x 2−kx −k ＞0 对于一切实数x 恒成立，则k 的取值范围为( ) A.(-8,0) B.(0,8)C.(−∞,−8)∪(0,+∞)D.(−∞,0)∪(8,+∞) 答案：A2.（2020湖北宜昌高一期中）如果∃x 0∈R ，使得x 02+ax 0+1＜0 成立，那么实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,−2]B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.[2,+∞)D.⌀ 答案：B3.已知当a ∈[−1,1] 时，不等式x 2+(a −4)x +4−2a ＞0 恒成立，则实数x 的取值范围是 . 答案：(−∞,1)∪(3,+∞)解析：令g(a)=x 2+(a −4)x +4−2a =(x −2)a +x 2−4x +4 ， 因为当a ∈[−1,1] 时，不等式x 2+(a −4)x +4−2a ＞0 恒成立， 所以{g(−1)＞0,g(1)＞0, 即{x 2−5x +6＞0,x 2−3x +2＞0, 解得x ＜1 或x ＞3 ，所以实数x 的取值范围为(−∞,1)∪(3,+∞) .4.已知函数f(x)=x 2+mx −1 ，若对于任意的x ∈[m,m +1] ，都有f(x)＜0 成立，则实数m 的取值范围是 . 答案：(−√22,0)解析：由题意可得{f(m)=2 m 2−1＜0,f(m +1)=2 m 2+3m ＜0,解得−√22＜m ＜0 ，所以实数m 的取值范围是(−√22,0) .5.若二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0) 满足f(x +1)−f(x)=2x ，且f(0)=1 . （1）求f(x) 的解析式；（2）当x ∈[1,3] 时，不等式f(x)＜m(x +2) 恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）由f(0)=1 ，可得c =1 ，由f(x +1)−f(x)=a(x +1)2+b(x +1)+c −(ax 2+bx +c)=2ax +a +b =2x ， 可得2a =2,a +b =0 ，解得a =1,b =−1 ， 则f(x)=x 2−x +1 .（2）由题意得，不等式x 2−x +1＜m(x +2) 在x ∈[1,3] 上恒成立， 即x 2−(1+m)x +1−2m ＜0 在x ∈[1,3] 上恒成立， 设g(x)=x 2−(1+m)x +1−2m ，则g(1)=1−(1+m)+1−2m ＜0 ，且g(3)=9−3(1+m)+1−2m ＜0 解得m ＞13 且m >75 ，则m ＞75 ，即m 的取值范围是(75,+∞) .课时评价作业基础达标练1.（2020山东烟台高一期中）若不等式x 2−tx +1＜0 对一切x ∈(1,2) 恒成立，则实数t 的取值范围为( ) A.t ＜2 B.t ＞52 C.t ≥1 D.t ≥52 答案：D2.（2020河北保定定州第二中学高一月考）当1≤x ≤3 时，关于x 的不等式ax 2+x −1＜0 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(−∞,0) B.(−∞,−14) C.(−14,+∞) D.(−12,+∞) 答案：B3.（2020江苏南京高一期中）关于x 的不等式x 2+x −2+a(x +x −1)+a +1＞0 对任意的x ＞0 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.a ＞−2 B.a ＞−1 C.a ＞0 D.a ＞1 答案：B4.（2020山西兴县友兰中学高一期中）若“∃x ∈[−1,3],x 2−2x +a ＜0 ”为假命题，则实数a 的最小值为 . 答案：15.关于x 的不等式(1+m)x 2+mx +m ＜x 2+1 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 答案：(−∞,0]6.关于x 的不等式x 2+ax −2＜0 在区间[1,4] 上有实数解，则实数a 的取值范围是 . 答案：(−∞,1)7.已知二次函数f(x) 满足f(x)=f(2−x) ，且f(1)=7,f(3)=3 . （1）求函数f(x) 的解析式；（2）是否存在实数m ，使得二次函数f(x) 在[−1,3] 上的图象恒在直线y =mx +1 的上方？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为f(x)=f(2−x) ，所以二次函数f(x) 的图象的对称轴为直线x =1 ， 又f(1)=7 ，故可设二次函数解析式为f(x)=a(x −1)2+7 ， 因为f(3)=3 ，所以4a +7=3 ，解得a =−1 . 所以f(x)=−(x −1)2+7=−x 2+2x +6 .（2）假设存在实数m ，使得二次函数f(x) 在[−1,3] 上的图象恒在直线y =mx +1 的上方，等价于不等式−x 2+2x +6＞mx +1 ，即x 2+(m −2)x −5＜0 在[−1,3] 上恒成立. 令g(x)=x 2+(m −2)x −5 ，则{g(−1)=−m −2＜0,g(3)=3m −2＜0, 解得−2＜m ＜23 ， 所以实数m 的取值范围为(−2,23) .8.（2020北京八中高一期中）已知函数f(x)=mx 2+(1−3m)x −4,m ∈R . （1）当m =1 时，求f(x) 在区间[−2,2] 上的最大值和最小值； （2）解关于x 的不等式f(x)＞−1 .（3）当m ＜0 时，若存在x 0∈(1,+∞) ，使得f(x)＞0 ，求实数m 的取值范围.答案：（1）当m =1 时，f(x)=x 2−2x −4 在[−2,1) 上单调递减，在(1,2] 上单调递增， 所以f(x) 的最小值为f(1)=1−2−4=−5 ，最大值为f(−2)=4+4−4=4 .（2）不等式f(x)＞−1 可化为mx 2+(1−3m)x −3>0 ，即(mx +1)(x −3)>0 ， 当m ＞0 时，不等式化为(x +1m )(x −3)＞0 ，解得x ＜−1m 或x ＞3 ； 当m =0 时，不等式化为x −3＞0 ，解得x ＞3 ； 当m ＜0 时，不等式化为(x +1m )(x −3)＜0 ，当−1m ＜3 ，即m ＜−13 时，解得−1m ＜x ＜3 ； 当−1m =3 ，即m =−13时，不等式无解；当−1m ＞3 ，即−13＜m ＜0 时，解得3＜x ＜−1m . 综上，当m ＞0 时，不等式的解集为{x|x ＜−1m或x ＞3} ；当m =0 时，不等式的解集为{x|x ＞3} ；当−13＜m ＜0 时，不等式的解集为{x|3＜x ＜−1m } ； 当m =−13 时，不等式的解集为空集； 当m ＜−13 时，不等式的解集为{x|−1m＜x ＜3} .（3）当m <0 时，若存在x 0∈(1,+∞) ，使得f(x)>0 ，则f(x) 在(1,+∞) 上的最大值大于0，因为函数f(x)=mx 2+(1−3m)x −4 的图象开口向下，其对称轴为直线x =−1−3m 2m=−12m +32＞1 ， 所以f(x)max =f(−1−3m 2m)=m ⋅(1−3m)24 m 2+(1−3m)⋅(−1−3m 2m)−4=−(1−3m)24m−4 ，所以−(1−3m)24m−4＞0 ，即(1−3m)2＞−16m ， 即9 m 2+10m +1＞0, 解得m ＜−1 或−19＜m ＜0 .素养提升练9.（2020江苏苏州高一月考）已知正数a,b 满足9a +1b =2 ，若a +b ≥x 2+2x 对任意正数a,b 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A.[−4,2] B.[−2,4]C.(−∞,−4]∪[2,+∞)D.(−∞,−2]∪[4,+∞)答案：A10.（2020安徽合肥一中高一月考）已知m ∈R ，函数f(x)=mx 3−x ，若∃a ∈R ，使得−2≤f(a +1)−f(a)≤2 ，则实数m 的最大值为( )A.12B.9C.8D.0答案：A解析：f(a +1)−f(a)=m(a +1)3−(a +1)−ma 3+a =m(3a 2+3a +1)−1 ， 若∃a ∈R ，使得−2≤f(a +1)−f(a)≤2 ，则−2≤m(3a 2+3a +1)−1≤2 ，则−1≤m(3a 2+3a +1)≤3 ，因为y =3a 2+3a +1=3(a +12)2+14＞0 ， 所以−13a 2+3a+1≤m ≤33a 2+3a+1 ，因为要求实数m 的最大值，所以只需m ≤(33a 2+3a+1)max 即可，而y =3a 2+3a +1=3(a +12)2+14 的最小值为14 ，所以(33a 2+3a+1)max =12 ，故m ≤12 .故选A.11.已知二次函数f(x)=4x 2−2(p −2)x −2p 2−p +1 ，若在区间[−1,1] 内至少存在一个实数x ，使得f(x)＞0 ，则实数p 的取值范围是 .答案：(−3,32)解析：因为二次函数f(x) 在区间[−1,1] 内至少存在一个实数x ，使得f(x)＞0 的否定是“在区间[−1,1] 内的任意实数x ，都有f(x)≤0 ”，所以{f(1)m ≤120,f(−1)m ≤120,即{4−2(p −2)−2p 2−p +1≤0,4+2(p −2)−2p 2−p +1≤0, 整理得{2p 2+3p −9≥0,2p 2−p −1≥0,解得p ≥32 或p ≤−3 ，所以二次函数在区间[−1,1] 内至少存在一个实数x ，使得f(x)＞0 的实数p 的取值范围是(−3,32) . 12.函数f(x)=x 2+ax +3−a, 当x ∈[−2,2] 时，f(x)≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是 .答案：[−7,2]解析：函数f(x)=x 2+ax +3−a 的图象开口向上，其对称轴为直线x =−a 2 .当−a 2＜−2 ，即a ＞4 时，函数f(x) 在区间[−2,2] 上为增函数， ∴f(x)min =f(−2)=−3a +7 ，解不等式−3a +7≥0 ，得a ≤73 ，显然不符合题意；当−2≤−a 2≤2 ，即−4≤a ≤4 时， f(x)min =f(−a 2)=−14a 2−a +3 ，解不等式−14a 2−a +3≥0 ，得−6≤a ≤2 ， ∴−4≤a ≤2 ；当−a 2＞2 ，即a ＜−4 时，函数f(x) 在区间[−2,2] 上为减函数， ∴f(x)min =f(2)=a +7 ，解不等式a +7≥0 ，得a ≥−7 ，∴−7≤a ＜−4 .综上，实数a 的取值范围是[−7,2] .13.（2020河南郑州高一期中）已知函数f(x)=2x 2−ax +a 2−4,g(x)=x 2−x +a 2−8,a ∈R .（1）当a =1 时，解不等式f(x)＜0 ；（2）若对任意x ＞0 ，都有f(x)＞g(x) 成立，求实数a 的取值范围；（3）若对任意x 1∈[0,1] ，任意x 2∈[0,1] ，都有不等式f(x 1)＞g(x 2) 成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当a =1 时，f(x)=2x 2−x −3 ，令f(x)＜0 ，得(2x −3)(x +1)＜0 ，解得−1＜x ＜32 ，所以f(x)＜0 的解集为(−1,32) . （2）若对任意x ＞0 ，都有f(x)＞g(x) 成立，即f(x)−g(x)=x 2+(1−a)x +4＞0 在x ＞0 时恒成立，令ℎ(x)=x 2+(1−a)x +4(x >0) ，当△=(1−a)2−16＜0 ，即−3＜a ＜5 时，函数ℎ(x) 的图象和x 轴无交点，且开口向上，符合题意；当△≥0 ，即a ≥5 或a ≤−3 时，只需{ℎ(0)=4＞0,−1−a 2＜0, 解得a ＜1 ， 又a ≥5 或a ≤−3 ，所以a ≤−3 .综上，实数a 的取值范围是a ＜5 .（3）若对任意x 1∈[0,1] ，任意x 2∈[0,1] ，都有不等式f(x 1)＞g(x 2) 成立，则只需满足f(x)min >g(x)max ,x ∈[0,1] .g(x)=x 2−x +a 2−8 ，其图象的对称轴为直线x =12 ， 则g(x) 在[0,12) 上单调递减，在(12,1] 上单调递增， ∴g(x)max =g(0)=g(1)=a 2−8 .f(x)=2x 2−ax +a 2−4 ，其图象的对称轴为直线x =a 4 ，①当a 4≤0 ，即a ≤0 时，f(x) 在[0,1] 上单调递增， f(x)min =f(0)=a 2−4＞g(x)max =a 2−8 恒成立；②当0＜a 4＜1 ，即0＜a ＜4 时，f(x) 在[0,a 4) 上单调递减，在(a 4,1] 上单调递增，f(x)min =f(a 4)=78a 2−4,g(x)max =a 2−8 ， 令78a 2−4＞a 2−8 ，得0＜a ＜4 ； ③当a 4≥1 ，即a ≥4 时，f(x) 在[0,1] 上单调递减， f(x)min =f(1)=a 2−a −2,g(x)max =a 2−8,令a 2−a −2＞a 2−8 ，解得4≤a ＜6 .综上，实数a 的取值范围为(−∞,6) .创新拓展练14.（2021山东烟台高一期末）已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R) .（1）若关于x 的不等式f(x)＞0 的解集是(−∞,−2)∪(−12,+∞) ，求a 、b 的值； （2）若a =−2,b =0,g(x)=kx,f(x) 与g(x) 的定义域都是[0,2] ，使得|f(x)−g(x)|＜1 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若方程f(x)=0 在区间(1,2)上有两个不同的实根，求f(1) 的取值范围.答案：（1）因为f(x)＞0 的解集为(−∞,−2)∪(−12,+∞) ， 所以方程f(x)=0 的两根为-2和−12 ， 由根与系数的关系得，{(−2)+(−12)=−a,(−2)×(−12)=b,所以a =52,b =1 . （2）因为a =−2,b =0, 所以f(x)=x 2−2x,因为|f(x)−g(x)|＜1 在[0,2] 上恒成立，所以−1＜x 2−2x −kx ＜1 在[0,2] 上恒成立.①当x =0 时，-1＜0＜1满足题意，②当x ∈(0,2] 时，x −1x −2＜k ＜x +1x −2 在(0,2] 上恒成立， 即(x −1x −2)max ＜k ＜(x +1x −2)min ， 因为y =x −1x −2 在(0,2] 上单调递增，y =x +1x −2 在(0,1] 上单调递减，在(1,2] 上单调递增， 所以(x −1x −2)max =−12 ，(x +1x −2)min =0 ，所以−12＜k ＜0 .（3）因为方程f(x)=0 在区间(1,2)上有两个不同的实根,所以{f(1)=1+a +b >0,f(2)=4+2a +b >0,1<−a 22,△=a 2−4b >0,因为b =f(1)−1−a ，所以{f(1)＞0,4+2a +f(1)−1−a ＞0,−4＜a ＜−2,a 2−4(f(1)−1−a)＞0,由a 2−4(f(1)−a −1)>0 ，得4f(1)＜(a +2)2＜4 ，解得f(1)＜1 .综上，f(1) 的取值范围是(0,1).。
22人教A版新教材数学必修第一册课件--1
[答案] 当 ≠ ⌀ 时,如图所示．
m + 1＞ − 2,
m + 1 ≥ −2,
所以 ቐ 2m − 1＜5,
或 ቐ2m − 1 ≤ 5,
2m − 1 ≥ m + 1,
2m − 1 ≥ m + 1
解这两个不等式组,得 2 ≤ ≤ 3 .
当 = ⌀ 时,
由 + 1＞2 m − 1 ,得 ＜2 .
1. 已知集合 = {(, )| + = 2, , ∈ } ,试写出 的所有子集.
[答案] 因为 = {(, )| + = 2, , ∈ } ,所以 = {(0,2), (1,1), (2,0)} .
所以 的所有子集： ⌀ ， {(0,2)} ， {(1,1)} ， {(2,0)} ， {(0,2), (1,1)} ，
（3） = {| − 2020＜＜2021} ， = {|＜2022} .
[答案] 易知 中的元素都是 中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如
2021 ∈ ,但 2021 ∉ ,故 ⫋ .
解题感悟
判断集合间关系的方法
（1）观察法:一一列举然后观察.
（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用
要点二 图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 图.
要点三 集合 与集合 相等
一般地,如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素,同时集合 的任
=
何一个元素都是集合 的元素,那么集合 与集合 相等,记作③________.
也就是说,若 ⊆ ,且 ⊆ ,则 = .
新课标人教A版高中数学必修22.平面精品PPT课件
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
YOUR SITE HERE
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版) 新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
再见
2、 观察长方体，你发现长方体的两个相交平面的公共
部分是什么？是直线吗？若相邻两个平面有一个公共点， 如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一 公共点B’ 那它们的公共部分又是什么呢？
D C
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这两个 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交 线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’和平 面BB’C’C有一个公共点B’，经过 点B’有且只有一条过该点的公共 直线B’C’.
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
公理2在生活中的应用
测量员用三角架支撑测量用的平板仪
教室的门：两个合页，一把锁， 或者插上插销后，就不能开启了。
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
B
A
C
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
2、过空间一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
新课标人教A版高中数学必修22.平面 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
四川省射洪县射洪中学高中数学《22 函数的表示法》教
四川省射洪县射洪中学高中数学必修一《22 函数的表示法》教案函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：1.列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？2.这三种表示法各有什么优、缺点？列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、请画出下列函数的图像。
,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩解：图像为第一和第二象限的角平分线， y 如图2-5所示0 x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。
问1.如何作出函数1y x =-的图像？ 2.如何作出函数1y x =-的图像？ 3. 如何作出函数23y x =+-的图像？4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积。
高中数学第22课教案
高中数学第22课教案
一、教学目标
1. 知道正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性。
2. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图像特点。
3. 掌握利用三角函数的性质解题。
二、教学重点
1. 正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性。
2. 正弦、余弦、正切三角函数的图像特点。
三、教学难点
1. 利用三角函数的性质解题。
四、教学准备
1. 教材、课件。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 试题纸、学生纸。
五、教学过程
1. 引入：通过一个实际生活中的例子引入三角函数的周期性和奇偶性的概念，引导学生了解三角函数的概念。
2. 讲解：通过讲解正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性，让学生掌握这些函数的基本特点。
3. 练习：让学生分组进行练习，练习解题过程中运用三角函数的性质。
4. 总结：总结本节课的重点难点，强调三角函数的性质在解题中的应用。
5. 作业：布置相关作业，督促学生掌握三角函数的性质及解题方法。
六、板书设计
1. 正弦函数：周期性、奇函数。
2. 余弦函数：周期性、偶函数。
3. 正切函数：周期性。
七、教学反思
本节课主要针对三角函数的性质展开教学，通过实际例子引入，让学生了解三角函数的概念；通过讲解和练习，让学生掌握正弦、余弦、正切函数的周期性和奇偶性，以及运用这些性质解题的方法。
通过板书设计和总结，加深学生对本课内容的理解和记忆。
希望学生能在课后认真完成作业，巩固所学知识。
人教A版高中数学必修22.平面课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 AB 中A C 1 ，B 1 C 判1 D D 1 断下列命题是否正确，并 说明理由：
②设正方形ABCD与 A1B的1C1中D1心分别O、 ，则O平1 面
与平面 AA1C的1C交线为 B；B1D1D
OO1
正确
一、平面的概念
海面、湖面、桌面、黑板面、墙面
几何中的平面是无限延展的
1.平面的基本概念:
平面是一个只描述而不定义的最基本的概念, 它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化 的模型.
点评：几何里的平面的特征:
1.无限延展
（没有边界）
2.不计大小 3.不计厚薄
（无所谓面积） （没有质量）
2. 平面的画法:P ()Leabharlann l,且 P l lP
作用：
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系．
a
B
A l
（1）
al
P
b
（2）
在 (1)中 ， l, a A, a B.
在 (2)中 ， l, a,b,
a lP,b lP.
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。
数学必修2
2.1.1 平面
空间点、直线、平面的位置关系
问题
观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所 在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
D C
A
B
D C
A
B
长方体由上下、前后、 左右六个面围成．
有些面是平行的，有些面 是相交的；有些棱所在直线 与面平行，有些棱所在直线 与面相交，每条棱所在的直 线都可以看成是某个平面内 的直线，等等．
人教B版高中数学必修一第22课时.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第22课时 实数指数幂及其运算(1)课时目标1.理解分数指数幂的概念及有理指数幂的含义． 2．掌握指数幂的运算．识记强化1．正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的乘积，记作a n .它的运算法则是：a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；a man ＝a m －n (m ＞n ，a ≠0)； (ab )m ＝a m b m .2．n 次方根的定义：如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．3．有理数指数幂规定：a 0＝1(a ≠0)a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 答案：C解析：对C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6≠a 6b 6，选C. 2．计算(－2)101＋(－2)100所得的结果是( ) A ．2100 B ．－1 C ．2101 D ．－2100 答案：D解析：由(－2)101＋(－2)100＝(－2)100(－2＋1)＝－2100，可知结果． 3．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x 答案：C解析：由2－x 有意义得x ≤2.由x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1.故选C. 4．5－26的平方根是( ) A.3＋ 2 B.3－ 2 C.2－ 3D.3－2，2－ 3 答案：D解析：解法一：∵[±(3－2)]2＝(3－2)2＝5－26， ∴5－26的平方根为±(3－2)． 解法二：设5－26的平方根为x ，则x 2＝5－26＝(3)2－23·2＋(2)2＝(3－2)2. ∴|x |＝|3－2|，即x ＝±(3－2)．5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ≠0) B ．x13-＝－3xC.⎝⎛⎭⎫x y 34-＝4⎝⎛⎭⎫y x 3(xy ＞0) D.6y 2＝y 13(y ＜0)答案：C解析：根据根式、分数指数幂的意义和转化法则可知，选项A 中负号应在括号外；选项B 应等于13x；选项D 指数26不能约分成13，这样值域会发生变化，左边的值域为(0，＋∞)，右边的值域为(－∞，0)．6．已知a 23＋b 23＝4，x ＝a ＋3a 13b 23，y ＝b ＋3a 23b 13， 则(x ＋y ) 23＋(x －y ) 23为( ) A ．0 B ．8C ．10D ．以上答案都不对 答案：B解析：x ＋y ＝a ＋3a 13b 23＋b ＋3a 23b 13＝(a 13＋b 13)3x －y ＝a ＋3a 13b 23－b －3a 23b 13＝(a 13－b 13)3∴原式＝(a 13＋b 13)2＋(a 13－b 13)2＝2(a 23＋b 23)＝2×4＝8. 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．若2x ＋2－x ＝2，则8x ＋8－x 的值为________． 答案：2解析：∵8x ＋8－x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )(22x ＋2－2x －1)＝2[(2x ＋2－x )2－3]＝2(22－3)＝2.8．化简：(3＋2)2011·(3－2)2012＝________. 答案：3－ 2解析：原式＝(3＋2)2011(3－2)2011(3－2)＝[(3＋2)(3－2)]2011(3－2)＝3－ 2.9．计算：0.02713-－⎝⎛⎭⎫－16－2＋2560.75－⎝⎛⎭⎫4172713-＋⎝⎛⎭⎫59－1－72916-＝________.答案：3215解析：原式＝103－36＋64－35＋95－13＝3215.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)设x 3＋x －3＝2，求x ＋1x 的值．解：由乘法公式x 3＋x －3＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－1，又x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，故x 3＋x －3＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－3，令x ＋1x＝m ，则方程变形为m (m 2－3)＝2.解方程得m ＝－1或m ＝2.若m ＝－1，则有x ＋1x ＝－1，此时方程无解，故m ＝－1舍去．∴m ＝2，即x ＋1x＝2.11．(13分)化简下列各式：(1)(2n ＋1)2×(12)2n ＋14n×8－2(n ∈N *)； (2)(a －2b －3)(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )．解：(1)原式＝22n ＋2×2－2n －122n×2－6＝222n －6＝2－2n ＋7＝(12)2n －7. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)·b －2－(－2)c －1＝－13ab 0c －1＝－a 3c .能力提升12．(5分)化简(1＋2132-)(1＋2116-)(1＋218-)(1＋214-)(1＋212-)的结果是( )A.12(1－2132-)－1 B ．(1－2132-)－1C ．1－2132- D.12(1－2132-)答案：A解析：把原式的分子分母同乘以1－2132-，分子的结果为1－2－1＝12.13．(15分)求下列各式的值：(1)(7＋43)12－2716＋1634－2·(823)＋52·；(2)⎝⎛⎭⎫1312＋3·(3－2)－1－⎝⎛⎭⎫1176414－⎝ ⎛⎭⎪⎫33334－⎝⎛⎭⎫13－1. 解：(1)原式＝(2＋3)12?2－313?6＋234?4－221+3?3＋214+(-1)?(-)55＝2＋3－3＋8－8＋2 ＝4.(2)原式＝13＋33－2－⎝⎛⎭⎫816414－(3－23)34－31＝13＋3(3＋2)－⎝⎛⎭⎫9812－312-－3 ＝13＋3＋6－324－13－3＝6－324.。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--1
1.2 集合间的基本关系课标解读课标要求素养要求1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一子集一般地,对于两个集合A，B，如果集合A中①任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆B（或②B⊇A）,读作“A包含于B”(或“B包含A”）.要点二Venn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.要点三集合A与集合B相等一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作③A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.要点四真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B（或④B⫌A）,读作“A真包含于B”(或“B真包含A”）.要点五空集一般地,我们把⑤不含任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的⑥子集.要点六两个重要结论1.任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.2.对于集体A，B，C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.自主思考1.A⊆B用Venn图怎么表示？答案：提示2.若A={x∣x2+x+1=0}，B={y∣y2+y+1=0}，则A=B吗？答案：提示A=B，集合A、B中的元素是同一个一元二次方程的解，所以A=B. 3.A⫋B与B⫋A的含义相同吗？答案：提示不同,A⫋B表示集合A是集合B的真子集,B⫋A表示集合B是集合A的真子集.4.⌀与{0}有什么区别?答案：提示⌀是不含任何元素的集合;{0}是含有一个元素的集合,⌀⫋{0}.5.若集合A只有一个子集,则集合A是什么集合?答案：提示A是⌀.6.已知A={1},C={1,2},则满足A⊆B,B⊆C的集合B有几个?答案：提示2个,即B={1}或B={1,2}.名师点睛1.“A⊆B”可以理解为集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即对于任意x∈A都能推出x∈B.不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.2.空集只有一个子集,即它本身,即⌀⊆⌀;若A≠⌀,则⌀⫋A.3.在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.若A不是B的子集,则A一定不是B的真子集.4.若A⊆B,且B⊆A,则A=B;反之,若A=B,则A⊆B,且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证A=B,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.互动探究·关键能力探究点一集合间关系的判断精讲精练例判断下列各组中集合之间的关系:（1）A={x|x是12的约数}}，B={x|x是36的约数};（2）A={x|x=2 k−1,k∈N}，B={x|x=2 k+1,k∈N}，C={x|x=4 k+1,k∈N}; （3）A={x|−2020＜x＜2021}，B={x|x＜2022}.答案：（1）若x是12的约数,则x必是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.（2）易知集合A={−1,1,3,5,…}，集合B={1,3,5,7,…}，集合C={1,5,9,…},所以C⫋B⫋A.（3）易知A中的元素都是B中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如2021∈B,但2021∉A,故A⫋B.解题感悟判断集合间关系的方法（1）观察法:一一列举然后观察.（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系.（3）数形结合法:利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和A⫋B同时成立,则A⫋B更能准确表达集合A,B之间的关系.迁移应用1.判断下列各组集合之间的关系：（1）A={−1,1},B={(−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1)};（2）A={x|−1＜x＜4},B={x|x−5＜0};（3）M={x|x=2n,n∈N∗},N={x|x=4n,n∈N∗};（4）集合P={x|y=x2},集合Q={y|y=x2}.答案：（1）集合A的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系．（2）集合B={x|x＜5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⫋B.（3）由列举法知M={2,4,6,8,…}，N={4,8,12,16,…}，故N⫋M.（4）因为P={x|y=x2}=R，Q={y|y=x2}={y|y≥0},所以Q⫋P.探究点二求集合的子集（真子集）及其个数精讲精练例（1）写出集合{a,b,c}的所有子集,并求出真子集的个数;（2）写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.答案：（1）集合{a,b,c}的所有子集:⌀，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个.（2）由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P有{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}.解题感悟1.求集合子集或真子集的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n(n∈N∗)个元素,则：（1）A的子集有2n个;（2）A的非空子集有(2n−1)个;（3）A的真子集有(2n−1)个;（4）A的非空真子集有(2n−2)个.迁移应用1.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.答案：因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的所有子集：⌀，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2),(1,1)}，{(0,2),(2,0)}，{(1,1),(2,0)}，{(0,2),(1,1),(2,0)}.探究点三集合间关系的应用精讲精练例已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2 m−1},若B⫋A,求实数m的取值范围.答案：当B≠⌀时,如图所示．所以{m+1≥−2, 2m−1＜5,2m−1≥m+1或{m+1＞−2,2m−1≤5,2m−1≥m+1,解这两个不等式组,得2≤m≤3.当B=⌀时,由m+1＞2 m−1,得m＜2.综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}．解题感悟利用集合间的关系求参数问题（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题. （2）空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠⌀)的含参数的问题时,要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.迁移应用1.（2021湖北武汉武昌检测）已知集合A={x|−a≤x≤a}，B={x|x≤2},若A⊆B,求实数a的取值范围.答案：因为A⊆B,所以可分为A=⌀和A≠⌀两种情况,当A =⌀ 时,−a ＞a ,解得a ＜0 ,当A ≠⌀ 时,应满足{a ≥−a,a ≤2,解得0≤a ≤2 .综上所述,a ≤2 .评价检测·素养提升课堂检测1.集合{1,2} 的子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A2.下列表述正确的有( )①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若⌀⫋A ,则A ≠⌀ .A.0个B.1个C.2个D.3个答案：B3.已知集合A ={−1,3,m},B ={3,4} ,若B ⊆A ,则实数m = .答案：4解析：因为B ⊆A,B ={3,4} ，A ={−1,3,m} ,所以4∈A ,所以m =4 .4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合A ={x|x ≥5或x ≤−5} ，B ={x|x ≥a} ,若B ⊆A ,则实数a 的取值范围是 ．答案：a ≥5解析：因为B ⊆A, 所以a ≥5.素养演练数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题1.已知集合A ={x|x 2−4x +3=0} ，B ={x|mx −3=0} ，且B ⫋A, 求实数m 的所有取值组成的集合.解析：审：结论是求实数m 的取值范围,注意已知集合A ,B 是方程的解集.联：集合A 是一元二次方程的解集,集合B 是一元一次方程的解集,但未知数x 前含有参数,因此需要分类讨论.答案：解：由x 2−4x +3=0 ,得x =1 或x =3 ,所以集合A ={1,3} .当B =⌀ 时,m =0 ,满足① B ⫋A .当B ≠⌀ 时,m ≠0 ,则B ={x|mx −3=0}={3m } .因为B⫋A,所以②3m =1或3m=3,解得m=3或m=1.综上可知,实数m的所有取值组成的集合为③{0,1,3} .解析：思：涉及“B⊆A”或“B⫋A”的问题,一定要分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论,不要忽视空集的情况,过程中体现了数学运算的核心素养.迁移应用1.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a−5}，B={x|x＜−1或x＞16}.（1）若A为非空集合,求实数a的取值范围;（2）若A⊆B,求实数a的取值范围.答案：（1）若A≠⌀,则有2a+1≤3a−5,解得a≥6,所以实数a的取值范围是{a|a≥6}.（2）当A⊆B时有以下三种情况:①A=⌀,即3a−5＜2a+1,解得a＜6;②A≠⌀,且A⊆{x|x＜−1},则有{3a−5＜−1,2a+1≤3a−5,无解;③A≠⌀,且A⊆{x|x＞16},则有{2a+1>16,2a+1≤3a−5,解得a＞152.综上,实数a的取值范围是{a|a＜6或a＞152}.课时评价作业基础达标练1.若{1,2}={x|x2+bx+c=0},则( )A.b=−3，c=2B.b=3，c=−2C.b=−2，c=3D.b=2，c=−3答案：A2.下列图形中,表示M⊆N的是( )A. B.C. D.答案：C3.满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A.4B.6C.8D.9答案：C4.已知集合A ={x|x 2−9=0} ,则下列正确的有( )①3∈A ;②{−3}∈A ;③⌀⊆A ;④{3,−3}⊆A .A.4个B.3个C.2个D.1个答案：B5.（2020山东济宁邹城一中高一期中）已知集合M ={x|x =1+a 2,a ∈N ∗} ，P ={x|x =a 2−4a +5,a ∈N ∗} ,则( )A.M ⫌PB.M ⫋PC.M =PD.M ⊆P答案：B6.（2020陕西渭南临渭检测）若集合A ⊆{1,2,3} ,且A 中至少含有一个奇数,则这样的集合A 有 个.答案：6解析：集合{1,2,3} 的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有{1} ，{3} ，{1,2} ，{1,3} ，{2,3} ，{1,2,3} ,共6个.7.集合A ={x|(a −1)x 2+3x −2=0} 有且仅有两个子集,则实数a 的取值为 ． 答案：1或−18解析：由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当a =1 时,满足题意．当a ≠1 时,由Δ=9+8(a −1)=0 可得a =−18 ,故a =1 或a =−18 .8.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）已知集合A ={1,a,a 2−1} ,若0∈A ,则a = ;A 的真子集有 个.答案：0或-1; 7解析：因为集合A ={1,a,a 2−1},0∈A ,所以a =0 或{a 2−1=0,a ≠1,解得a =0 或a =−1 .所以集合A ={1,0,−1} ,故A 的真子集有23−1=7 个.9.已知集合A ={x|1≤x ≤2} ，B ={x|1≤x ≤a,a ≥1} .（1）若A ⫋B ,求a 的取值范围;（2）若B ⊆A ,求a 的取值范围.答案：（1）若A ⫋B ,由图可知,a ＞2 .故实数a 的取值范围为{a|a ＞2} .（2）若B ⊆A ,由图可知,1≤a ≤2 .故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}. 素养提升练10.若集合M={x|x=k2+14,k∈Z},集合N={x|x=k4+12,k∈Z},则( )A.M=NB.N⊆MC.M⫋ND.以上均不对答案：C解析：因为M={x|x=k2+14,k∈Z}={x|x=2 k+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}={x|x=k+24,k∈Z},又2 k+1(k∈Z)为奇数,k+2(k∈Z)为整数,所以M⫋N.11.（2020四川泸县第一中学检测）设集合A={−1,1},集合B={x|x2−2ax+1=0},若B≠⌀，B⊆A,则a=( )A.-1B.0C.1D.±1答案：D解析：当B={−1}时,x2−2ax+1=0有两个相等的实根,为-1,即a=−1,经检验,符合题意;当B={1}时,x2−2ax+1=0有两个相等的实根,为1,即a=1,经检验,符合题意;当B={−1,1}时,不成立．故a=±1.12.设集合M={(x,y)|x+y＜0,xy＞0}和P={(x,y)|x＜0,y＜0},那么M与P的关系为.答案：M=P解析：因为xy＞0,所以x，y同号,又x+y＜0,所以x<0，y<0,即集合M表示第三象限内的点,又因为集合P也表示第三象限内的点,所以M=P.13.已知集合A={x∈R|x2+x=0},则集合A=.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=.答案：{−1,0}; {−1,0}解析：解方程x2+x=0,得x=−1或x=0,所以集合A={x∈R|x2+x=0}={−1,0}.因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={−1,0}.14.设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}．（1）若a=15,试判定集合A与B的关系;（2）若B⊆A,求实数a组成的集合C.答案：（1）A ={x|x 2−8x +15=0}={5,3} ，当a =15 时,B ={5} ,所以B ⫋A .（2）当a =0 时,B =⌀ ,因为A ={3,5} ,所以B ⊆A ;当a ≠0 时,B ={1a } ,因为A ={3,5} ，B ⊆A ,所以1a =3 或1a =5 ,则a =13 或a =15 .所以C ={0,13,15} .创新拓展练 15.已知集合A ={x||x −a|=4} ,集合B ={1,2,b} .（1）是否存在实数a ,使得对于任意实数b 都有A ⊆B 若存在,求出对应的a 的值,若不存在,说明理由;（2）若A ⊆B 成立,求出对应的实数对(a,b) .解析：命题分析 本题是探索性问题,主要考查含绝对值方程的解法,集合间的关系,考查运算求解能力,考查数学运算的核心素养.答题要领（1）依题意,当且仅当集合A 中的元素为1,2时,对任意实数b 都有A ⊆B .（2）若A ⊆B ,则A 中的两个元素肯定有一个对应元素b.列出方程组,并求解.答案：详细解析 （1）不存在.理由：当且仅当集合A 中的元素为1,2时,对于任意实数b 都有A ⊆B .因为A ={a −4,a +4} ,所以{a −4=1,a +4=2或{a −4=2,a +4=1, 无解. 所以不存在实数a ,使得对于任意实数b 都有A ⊆B.（2）由（1）易知,若A ⊆B ,则A 中的两个元素肯定有一个对应元素b ,则{a −4=1,a +4=b 或{a −4=2,a +4=b或{a −4=b,a +4=1或{a −4=b,a +4=2, 解得{a =5,b =9或{a =6,b =10 或{a =−3,b =−7 或{a =−2,b =−6.所以所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6),方法感悟 （1）注意区分子集与真子集的概念;（2）存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.注意分类讨论思想的运用.。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--5
5.3 诱导公式第1课时 诱导公式二、三、四课标解读 课标要求 素养要求1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式二、三、四,并能运用诱导公式进行化简、求值与证明. 1.逻辑推理——会根据圆的对称性推导诱导公式二、三、四.2.数学运算——会用诱导公式二、三、四进行化简、求值与证明.自主学习·必备知识教材研习 教材原句要点一 诱导公式二sin(π+α)= ① −sinα ， cos(π+α)= ② −cosα ， tan(π+α)= ③ tanα .要点二 诱导公式三sin(−α)= ④ −sinα ， cos(−α)= ⑤ cosα ， tan(−α)= ⑥ −tanα要点三 诱导公式四sin(π−α)= ⑦ sinα ， cos(π−α)= ⑧ −cosα ， tan(π−α)= ⑨ −tanα要点四 任意角三角函数转化为锐角三角函数利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：自主思考1.锐角α 的终边与180 ∘+α 角的终边有何位置关系? 答案：提示 角180 ∘+α 与a 的终边互为反向延长线.2.任意角α 与−α 的终边有怎样的位置关系?答案：提示α 与−α 的终边关于x 轴对称. 名师点睛1.诱导公式二、三、四中，三角函数的名称不变，符号看角的终边所在的象限.2.诱导公式中的α 是任意角，可以看成锐角，所以π+α 可以看成第三象限角，−α 可以看成第四象限角，π−α 可以看成第二象限角.互动探究·关键能力探究点一 利用诱导公式求三角函数值精讲精练例求下列三角函数值. （1）sin 1320∘ ； （2）cos(−43 π6) ；（3）tan(−765∘) .答案：（1）sin 1320∘=sin(3×360∘+240∘)=sin 240∘=sin(180∘+60∘)=−sin 60∘=−√32.（2）cos(−43 π6)=cos43 π6=cos(6 π+7 π6)=cos(π+π6)=−cos π6=−√32. （3）tan(−765∘)=−tan 765∘=−tan(45∘+2×360∘)=−tan 45∘=−1 .解题感悟利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”——用公式一或三来转化.（2）“大化小”——用公式一将角化为0 ∘ 到360 ∘ 之间的角. （3）“小化锐”——用公式二或四将大于90 ∘ 的角转化为锐角. （4）“锐求值”——得到锐角后求三角函数值. 迁移应用1.已知sin(α−360∘)−cos(180∘−α)=m ，则sin(180∘+α)⋅cos(180∘−α) 等于( )A.m 2−12B.m 2+12C.1−m 22D.−m 2+12答案：A 2.sin5 π6+tan7 π4−cos(−8 π3)= .答案：0解析：原式=sin(π−π6)+tan(2 π−π4)−cos 2 π3=sin π6+tan(−π4)−cos(π−π3)=sin π6−tan π4+cos π3=12−1+12=0 .探究点二 条件求值问题精讲精练例 已知sinβ=13,cos(α+β)=−1 ，则sin(α+2β) 的值为( ) A.1 B.-1 C.13 D.−13 答案：D解析：因为cos(α+β)=−1 ，所以α+β=π+2 kπ,k ∈Z ，所以sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(π+β)=−sinβ=−13 .故选D.解题感悟解决条件求值问题的策略（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异与联系.（2）可以将已知式进行变形向所求式转化或将所求式进行变形向已知式转化. 迁移应用1.已知sin(π3−α)=12 ，则cos 2(α−π3)⋅sin(2 π3+α) 的值为 .答案：38解析：cos 2(α−π3)⋅sin(2 π3+α)=cos 2[−(π3−α)]⋅sin[π−(π3−α)]=[1−sin 2(π3−α)]⋅sin(π3−α)=34×12=38.2.已知cos(α−55∘)=−13 ，且α 为第四象限角，则sin(α+125∘) 的值为 . 答案：2√23解析：因为cos(α−55∘)=−13＜0，且α是第四象限角，所以α−55∘是第三象限角，所以sin(α−55∘)=−√1−cos2(α−55∘)=−2√23.因为α+125∘=180∘+(α−55∘)，所以sin(α+125∘)=sin[180∘+(α−55∘)]=−sin(α−55∘)=2√23.探究点三利用诱导公式化简、证明精讲精练例（1）化简：cos(2 π−α)sin(−2 π−α)cos(6 π−α)cos(α−π)sin(5 π−α)；（2）求证：tan(2 π−α)sin(−2 π−α)cos(6 π−α)sin(π−α)cos(α−π)=−tanα.答案：（1）原式=cosα⋅sin(−α)cos(−α)cos(π−α)sin(π−α)=cosα(−sinα)cosα(−cosα)sinα=cosα.（2）证明：左边=tan(−α)⋅sin(−α)⋅cos(−α)sin(π−α)⋅cos[−(π−α)]=(−tanα)⋅(−sinα)⋅cosαsinα⋅cos(π−α)=sin2α−cosα⋅sinα=−sinαcosα=−tanα=右边，所以原等式成立.解题感悟用诱导公式化简、证明三角等式的常用方法①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.②切化弦（弦化切）：一般需将表达式中的正切函数（正弦、余弦函数）转化为正弦、余弦函数（正切函数）.迁移应用1.化简：sin[(2n+1)π−2 π3]tan[(2n+1)π−π3],n∈Z.答案：原式=sin(2nπ+π−2 π3)tan(2nπ+π−π3)=sin(π−2 π3)tan(π−π3)=−sin2 π3 tanπ3=−√32×√3=−32.2.求证：sin(α−3 π)+cos(π−α)sin(−α)−cos(π+α)=tanα+1tanα−1.答案：证明左边=sin(−4 π+π+α)−cosα−sinα+cosα=sin(π+α)−cosα−sinα+cosα=−sinα−cosα−sinα+cosα=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=右边，故原等式成立.评价检测·素养提升1.（2021江苏扬州江都中学高一测试）cos4 π3=( )A.12B.−12C.−√32D.√32答案：B2.如果α,β满足α+β=π，那么下列式子中正确的个数是( )①sinα=sinβ；②sinα=−sinβ；③cosα=−cosβ；④cosα=cosβ；⑤tanα=−tanβA.1B.2C.3D.4答案：C3.（2021江西南昌八一中学高一检测）sin 240∘+tan 600∘的值是( )A.−√32B.√32C .−12+√3 D.12+√3答案：B4.sin2(π+α)−cos(π+α)cos(−α)+1的值为.答案：2解析：原式=(−sinα)2−(−cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.5.已知α∈(0,π2),tan(π−α)=−34，求sinα.答案：因为tan(π−α)=−tanα=−34，所以tanα=34，联立{tanα=sinαcosα=34,sin2α+cos2α=1,解得sinα=±35.又α∈(0,π2)，所以sinα＞0，所以sinα=35.6.化简：sin(3 π+α)⋅cos(α−4 π)cos(−α−5 π)⋅sin(−π−α).答案：原式=sin(π+α)cosαcos(π+α)⋅[−sin(π+α)]=cosαcosα=1.课时评价作业基础达标练1.（2021江苏盐城东台创新高级中学高一检测）下列等式恒成立的是( )A.cos(−α)=−cosαB.sin(360∘−α)=sinαC.tan(2 π−α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π−α)答案：D2.（2021贵州铜仁伟才学校高一检测）在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点(√3 3,−√63)，则cos(π+α)=( )A.−√33B.√33C.−√63D.√63答案：A3.（2021广东佛山高一月考）若tanα=−2，则sin(α−π)⋅cos(π+α)=( )A.45B.25C.±25D.−25答案：D4.（多选）（2021山东潍坊高一检测）下列化简正确的是( )A.tan(π+1)=tan 1B.sin(−α)tan(360∘−α)=cosαC.sin(π−α)cos(π+α)=tanα D.cos(π−α)tan(−π−α)sin(2 π−α)=1答案：A; B解析：A选项，tan(π+1)=tan 1，故A正确；B选项，sin(−α)tan(360∘−α)=−sinα−tanα=sinαsinαcosα=cosα，故B正确；C选项，sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tanα，故C不正确；D选项，cos(π−α)tan(−π−α)sin(2 π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−cosα⋅sinαcosαsinα=−1，故D不正确.故选AB5.（2021天津第八中学高一检测）如果cos(2 π−α)=√53，且α∈(−π2,0)，那么tan(π−α)=( )A.23B.−23C.2√55D.−2√55答案：C解析：依题意，cos(2 π−α)=cosα=√53，由于α∈(−π2,0)，所以sinα=−√1−cos2α=−23，所以tanα=sinαcosα=√5=−2√55，所以tan(π−α)=−tanα=2√55.故选C.6.（2020天津静海一中高一期末）sin(−570∘)+cos(−2640∘)+tan 1665∘=.答案：17.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β均为非零常数.若f(2022)=−1，则f(2021)等于.答案：1解析：因为f(2022)=asin(2022 π+α)+bcos(2022 π+β)=asinα+bcosβ=−1，所以f(2021)=asin(2021 π+α)+b⋅cos(2021 π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+ bcosβ)=1.8.求证：1cos(−α)+cos(180∘+α) 1sin(540∘−α)+sin(360∘−α)=tan3α.答案：证明左边=1cosα−cosα1sin(180∘−α)−sinα=1cosα−cosα1sinα−sinα=1−cos2αcosα1−sin2αsinα=sin2αcosα⋅sinαcos2α=tan3α=右边，所以原等式成立.9.已知f(α)=sin(π+α)cos(2 π−α)tan(−α)tan(−π−α)sin(−π−α).（1）化简f(α) ；（2）若α 是第三象限角，且sin(α−π)=15 ，求f(α) 的值； （3）若α=−31 π3，求f(α) 的值.答案：（1）f(α)=−sinαcosα(−tanα)(−tanα)sinα=−cosα .（2）∵sin(α−π)=−sinα=15， ∴sinα=−15 .又α 是第三象限角， ∴cosα=−2√65,∴f(α)=2√65. （3）∵−31 π3=−6×2 π+5 π3，∴f(−31 π3)=−cos(−6×2 π+5 π3) =−cos5 π3=−cos π3=−12.素养提升练10.已知f(x)={sinπx(x <0),f(x −1)−1(x >0), 则f(−116)+f(116) 的值为( )A.1B.-2C.2D.-1 答案：B解析：因为f(−116)=sin(−11 π6)=sin(−2 π+π6)=sin π6=12 ， f(116)=f(56)−1=f(−16)−2=sin(−π6)−2=−12−2=−52 ， 所以f(−116)+f(116)=−2 .11.已知n 为整数，化简sin(nπ+α)cos(nπ+α)所得结果是( )A.tan nαB.−tan nαC.tanαD.−tanα 答案：C解析：若n =2 k(k ∈Z) ，则sin(nπ+α)cos(nπ+α)=sin(2 kπ+α)cos(2 kπ+α)=sinαcosα=tanα(k ∈Z) ；若n =2 k +1(k ∈Z) ，则sin(nπ+α)cos(nπ+α)=sin(2 kπ+π+α)cos(2 kπ+π+α)=sin(π+α)cos(π+α)=−sinα−cosα=tanα(k ∈Z) .综上，原式=tanα .12.(2021湖南邵阳武冈第二中学高一月考)已知cos(π3+α)=−35 ，则cos(2 π3−α)= . 答案：35解析：由题意可知，cos(π3+α)=−35 ， 根据三角函数的诱导公式可得， cos(2 π3−α)=cos[π−(π3+α)]=−cos(π3+α)=35.13.已知角α 的终边上一点的坐标为(sin 5 π6,cos5 π6) ，则角α 的最小正值为 .答案：5 π3解析：因为sin 5 π6=sin(π−π6)=sin π6=12 ，cos5 π6=cos(π−π6)=−cos π6=−√32，所以点(sin 5 π6,cos5 π6) 在第四象限.又因为tanα=cos5 π6sin5 π6=−√3 ，所以α=2 kπ−π3,k ∈Z ，所以角α 的最小正值为5 π3 .14.已知1+tan(θ+4 π)1−tan(θ−2 π)=3+2√2 ，求[cos 2(π−θ)+sin(π+θ)⋅cos(π−θ)+2 sin 2(θ−π)]⋅1cos 2(−θ−2 π)的值.答案：由1+tan(θ+4 π)1−tan(θ−2 π)=3+2√2 ，得(4+2√2)tanθ=2+2√2 ，所以tanθ=√24+2√2=√22，故[cos 2(π−θ)+sin(π+θ)⋅cos(π−θ)+2 sin 2(θ−π)]⋅1cos 2(−θ−2 π)=(cos 2θ+sinθcosθ+2 sin 2θ)⋅1cos 2θ=1+tanθ+2 tan 2θ=1+√22+2×(√22)2=2+√22.创新拓展练15.在△ABC 中，若sin(2 π−A)=−√2sin(π−B),√3cos A =−√2cos(π−B) ，求△ABC 的三个内角.解析：命题分析 本题考查诱导公式与同角三角函数的基本关系的综合运用，考查运算求解的能力，考查数学运算的核心素养.答题要领将已知等式两边平方、相加求cos A，进而可得角A的大小，逐个验证，用三角形内角和定理求角B，C.答案：由题意得sin A=√2sin B，√3cos A=√2cos B，两边平方后相加得2 cos2A=1，解得cos A=±√22，因为A∈(0,π)，所以A=π4或3 π4.当A=3 π4时，cos B=−√32＜0，所以B∈(π2,π)，所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去.当A=π4时，cos B=√32，所以B=π6，所以C=7 π12.综上所述，A=π4,B=π6,C=7 π12.方法感悟等式的性质：①等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；②等式两边同时乘或除以相等的数或式子，两边依然相等；③等式两边同时乘方或开方，两边依然相等.第2课时诱导公式五、六课标解读课标要求素养要求1.理解诱导公式五、六.2.掌握诱导公式五、六在化简、求值、证明问题中的应用.1.逻辑推理——能用所学知识推导诱导公式五、六.2.数学运算——能用诱导公式五、六化简、求值与证明.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一诱导公式五sin(π2−α)=①cosα，cos(π2−α)=②sinα.要点二诱导公式六sin(π2+α)=③cosαcos(π2+α)=④−sin a自主思考1.π2−α与α的终边有什么样的位置关系？答案：提示关于直线y=x对称.2.诱导公式五、六中的三角函数的名称和符号是否变化？ 答案：提示三角函数的名称改变，符号看角的终边所在的象限. 名师点睛1.诱导公式中α 是任意角，可以看成锐角，所以π2−α 可以看成第一象限角，π2+α 可以看成第二象限角.2.运用诱导公式五、六解题时，先变名（即三角函数的名称改变），再定号（符号看角的终边所在的象限）.3.常见的互余关系：π3−α 与π6+α,π4+α 与π4−α 等；常见的互补关系：π3+θ 与2 π3−θ,π4+θ 与3 π4−θ 等.互动探究·关键能力探究点一 化简求值精讲精练 例 求cos(5 π2+x)tan(π2−x)sin(x−5 π2)的值.答案：原式=cos(2 π+π2+x)sin(π2−x)sin(x−π2−2 π)cos(π2−x)=cos(π2+x)sin(π2−x)sin(x−π2)cos(π2−x)=−sin x⋅cos x−cos x⋅sin x =1 .解题感悟化简求值的方法与技巧（1）方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式进行变形，从而解决问题.（2）技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦. 迁移应用1.已知cosα=−14 ，求sin(−α−3 π2)⋅sin(3 π2−α)⋅tan 2(2 π−α)cos(π2−α)⋅cos(π2+α)⋅cos 2(π−α)的值.答案：原式=sin(−α+π2)⋅[−sin(π2−α)]⋅tan 2(2 π−α)cos(π2−α)⋅cos(π2+α)⋅cos 2(π−α)=cosα⋅(−cosα)⋅tan 2αsinα⋅(−sinα)⋅cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.因为cosα=−14 ， 所以原式=16.探究点二 三角恒等式的证明精讲精练 例 求证：sin(2 π+α)cos(π−α)cos(π2−α)cos(7 π2−α)cos(π−α)sin(3 π−α)sin(−π+α)sin(5 π2+α)=tanα .答案：证明 左边=sinα(−cosα)sinαcos[2 π+(π+π2−α)]−cosαsin[2 π+(π−α)]sin[−(π−α)]sin[2 π+(π2+α)]=sinαcos[π+(π2−α)]sin(π−α)[−sin(π−α)]sin(π2+α)=sinαsinα[−cos(π2−α)]sinα(−sinα)cosα=sinα(−sinα)(−sinα)cosα=tanα=右边 ，所以原等式成立.解题感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 迁移应用 1.求证：2 sin(θ−3 π2)cos(θ+π2)−11−2 sin 2(π+θ)=tanθ+1tanθ−1.答案：证明 左边=2 sin(3 π2−θ)⋅sinθ−11−2 sin 2θ=2 sin[π+(π2−θ)]sinθ−11−2 sin 2θ=−2 sin(π2−θ)sinθ−11−2 sin 2θ=−2 cosθsinθ−1cos 2θ+sin 2θ−2 sin 2θ=(sinθ+cosθ)2sin 2θ−cos 2θ=sinθ+cosθsinθ−cosθ=tanθ+1tanθ−1=右边 ，所以原等式成立.探究点三 诱导公式在三角形中的应用精讲精练例 （多选）在△ABC 中，下列表达式为常数的是( ) A.sin(A +B)+sin C B.cos(B +C)+cos A C.sin 2A+B 2+sin 2C 2 D.sinA+B 2sin C2答案：B ; C解析：cos(B +C)+cos A =cos(π−A)+cos A =0 ，所以B 中表达式是常数； sin 2A+B2+sin 2C2=sin 2π−C 2+sin 2C 2=cos 2C 2+sin 2C 2=1，所以C 中表达式是常数；sin(A +B)+sin C =2 sin C ，sin A+B 2sin C 2=cos C 2sin C 2=12sin C ，所以A ，D 中表达式不是常数. 解题感悟利用诱导公式解决三角形中的有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，又要注意三角形中的隐含条件（三角形内角和等于π）. 在△ABC 中，常用到以下结论： sin(A +B)=sin(π−C)=sin C ； cos(A +B)=cos(π−C)=−cos C ； tan(A +B)=tan(π−C)=−tan C ； sin(A2+B2)=sin(π2−C2)=cos C2 ； cos(A2+B2)=cos(π2−C2)=sin C2 . 迁移应用1.（2020黑龙江哈尔滨第三中学高一检测）已知△ABC为锐角三角形，则( )A.sin A＞sin BB.cos A＞cos BC.sin A＞cos BD.sin A＜cos B答案：C解析：因为△ABC为锐角三角形，所以A+B＞π2，即A＞π2−B.又A,π2−B∈(0,π2)，所以sin A＞sin(π2−B)=cos B.故选C.评价检测·素养提升课堂检测1.已知sin 25.3∘=a，则cos 64.7∘等于( )A.aB.−aC.a2D.√1−a2答案：A解析：cos 64.7∘=cos(90∘−25.3∘)=sin 25.3∘=a.2.若sin(180∘+α)+cos(90∘+α)=−14，则cos(270∘−α)+2 sin(360∘−α)的值为( )A.−16B.−38C.16D.38答案：B解析：由sin(180∘+α)+cos(90∘+α)=−14，得−sinα+(−sinα)=−14，则sinα=18，所以cos(270∘−α)+2 sin(360∘−α)=−sinα−2 sinα=−3 sinα=−38.3.（2021山东临沂高一期末）已知4 cosα−sinα3 sinα+2 cosα=14.（1）求tanα的值；（2）求sin(π−α)sin(3 π2−α)的值.答案：（1）因为4 cosα−sinα3 sinα+2 cosα=14，所以16 cosα−4 sinα=3 sinα+2 cosα，所以14 cosα=7 sinα，所以tanα=2.（2）sin(π−α)sin(3 π2−α)=−sinαcosα=−sinαcosαsin2α+cos2α=−tanαtan2α+1,由（1）知tanα=2，所以原式=−24+1=−25.素养演练数学运算——利用诱导公式求解三角函数值问题1.若sinα=√55，求cos(3 π−α)sin(π2+α)[sin(7 π2+α)−1]+sin(5 π2−α)cos(3 π+α)sin(5 π2+α)−sin(7 π2+α)的值.审：已知条件sinα=√55，求与α 有关的代数式的值.联：根据已知条件，用诱导公式将所求代数式化简，并建立与sinα 有关的关系式，然后求解.注意诱导公式的特点及三角函数值的符号. 解：原式=cos[2 π+(π−α)]cosα[sin(3 π+π2+α)−1]+sin[2 π+(π2−α)]cos[2 π+(π+α)]sin[2 π+(π2+α)]−sin[3 π+(π2+α)]=−cosαcosα(−cosα−1)+cosα−cosαcosα+cosα =11+cosα+11−cosα =21−cos 2α=2sin 2α .因为sinα=√55，所以2sin 2α=(√55)=10 ，所以原式=10.解析：思：利用诱导公式化简三角函数式应抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，并利用相关的公式进行变形，从而解决问题． 迁移应用1.已知sinφ 是方程5x 2−7x −6=0 的根，且φ 为第三象限角，求sin(φ+3 π2)⋅sin(3 π2−φ)⋅tan 2(2 π−φ)⋅tan(π−φ)cos(π2−φ)⋅cos(π2+φ)的值.答案：易知方程5x 2−7x −6=0 的两根为x =2 或x =−35 ， 因为−1≤sinφ≤1 ，所以sinφ=−35 .又因为φ 为第三象限角，所以cosφ=−√1−sin 2φ=−45,tanφ=34 ， 所以原式=(−cosφ)⋅(−cosφ)⋅tan 2φ⋅(−tanφ)sinφ⋅(−sinφ)=tanφ=34.课时评价作业基础达标练1.若sin(π2+θ)＜0 ，且cos(π2−θ)＞0 ，则θ 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案：B2.下列与sin(θ−π2)的值相等的式子为( )A.sin(π2+θ) B.cos(π2+θ)C.cos(3 π2−θ)D.sin(3 π2+θ)答案：D解析：sin(θ−π2)=−sin(π2−θ)=−cosθ.对于A,sin(π2+θ)=cosθ；对于B,cos(π2+θ)=−sinθ；对于C,cos(3 π2−θ)=cos[π+(π2−θ)]=−cos(π2−θ)=−sinθ；对于D,sin(3 π2+θ)=sin[π+(π2+θ)]=−sin(π2+θ)=−cosθ.故选D.3.若α∈(π,3 π2)，则√1−sin2(3 π2−α)=( )A.sinαB.−sinαC.cosαD.−cosα答案：B解析：因为α∈(π,3 π2)，所以sinα＜0，所以√1−sin2(3 π2−α)=√1−cos2α=−sinα.故选B.4.已知sin(75∘+α)=13，则cos(15∘−α)的值为( )A.−13B.13C.−2√23D.2√23答案：B解析：因为(75∘+α)+(15∘−α)=90∘,所以cos(15∘−α)=cos[90∘−(75∘+α)]=sin(75∘+α)=13.5.（2021吉林四平第一高级中学高一月考）已知sin(π2−θ)−cos(π+θ)=6 sin(2 π−θ)，则sinθcosθ+cos2θ等于( )A.35B.25C.−35D.−25答案：A解析：由题意得cosθ+cosθ=−6 sinθ，所以cosθ=−3 sinθ，所以tanθ=sinθcosθ=−13，所以sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=23109=35 .故选A.6.在△ABC 中，√3sin(π2−A)=3 sin(π−A) ，且cos A =−√3cos(π−B) ，则C = . 答案：π27.已知cos(3 π2+α)=−35，且α 为第四象限角，则cos(−3 π+α)= .答案：−45 解析：因为cos(3 π2+α)=sinα ，所以sinα=−35 .又α 为第四象限角，所以cosα=√1−sin 2α=45， 所以cos(−3 π+α)=cos(π−α)=−cosα=−45 .8.已知f(cos x)=cos 2x ，则f(sin 75∘)= . 答案：√32解析：因为f(cos x)=cos 2x ， sin 75∘=sin(90∘−15∘)=cos 15∘ ，所以f(sin 75∘)=f(cos 15∘)=cos(2×15∘)=cos 30∘=√32.9.（2021河南新乡高一月考）求证：2 sin(θ−3 π2)cos(θ+π2)−11−2 sin 2(π+θ)=tan(9 π+θ)+1tan(π+θ)−1.答案：证明 左边=−2 sin(3 π2−θ)⋅(−sinθ)−11−2 sin 2θ=2 sin[π+(π2−θ)]sinθ−11−2 sin 2θ=−2 sin(π2−θ)sinθ−11−2 sin 2θ=−2 cosθsinθ−1cos 2θ+sin 2θ−2 sin 2θ=(sinθ+cosθ)2sin 2θ−cos 2θ=sinθ+cosθsinθ−cosθ ，右边=tan(9 π+θ)+1tan(π+θ)−1=tanθ+1tanθ−1=sinθ+cosθsinθ−cosθ ，所以左边=右边，故原式得证.10.已知f(x)=cos πx−9 π2.（1）求证：f(x +4)=f(x) ;（2）计算：f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)+f(2022) . 答案：（1）f(x)=cosπx−9 π2=cos(πx 2−π2−4 π)=sin πx 2.证明：因为f(x +4)=sin π(x+4)2=sin(πx2+2 π)=sinπx2，所以f(x +4)=f(x) .（2）因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin π2+sin2 π2+sin3 π2+sin4 π2=1+0−1+0=0 ，且f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0 ，……f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，f(2021)+f(2022)=f(2020+1)+f(2020+2)=f(1)+f(2)=sinπ2+sin2 π2=1，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)+f(2022)=1.素养提升练11.（多选）（2020山东师范大学附属中学高一检测）已知角A，B，C是锐角三角形ABC 的三个内角，则下列结论一定成立的有( )A.cos(A+B)＜cos CB.sin(A+B2)=cos C2C.sin A＞cos BD.tan A＜tan(B+C)答案：A; B; C解析：因为角A，B，C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，又角A，B，C是锐角，所以cos(A+B)=cos(π−C)=−cos C＜0＜cos C,tan(C+B)=tan(π−A)=−tan A＜0＜tan A，故A中结论正确，D中结论错误.由A+B2+C2=π2可得，sin A+B2=cos C2，故B中结论正确.因为A+B＞π2，所以A＞π2−B，所以sin A＞sin(π2−B)=cos B，故C中结论正确.故选ABC.12.（2021海南文昌高一检测）如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为(513,1213),∠AOB=90∘，则cos∠COA=，tan∠COB=.答案：513; −512解析：因为A点的坐标为(513,1213)，所以cos∠COA=513,sin∠COA=1213.因为∠AOB =90∘,所以cos∠COB =cos(∠COA +90∘) =−sin∠COA =−1213 .又点B 在第二象限，所以sin∠COB =√1−cos 2∠COB =513 ， 故tan∠COB =sin∠COB cos∠COB =−512.13.已知sinα=2√55，求tan(α+2021 π)+sin(5 π2+α)cos(5 π2−α)的值.解析：命题分析 本题考查同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合运用，考查运算求解的能力，分类讨论的数学思想，考查数学运算的核心素养.答题要领 先利用诱导公式化简三角函数式，再根据sinα 的值确定角α 所在的象限，进而求得结果．答案：tan(α+2021 π)+sin(5 π2+α)cos(5 π2−α)=tan(α+π)+sin(5 π2+α)cos(5 π2−α)=tanα+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.因为sinα=2√55＞0 ，所以α 为第一或第二象限角. ①当α 是第一象限角时， cosα=√1−sin 2α=√55，原式=1sinαcosα=52 . ②当α 是第二象限角时， cosα=−√1−sin 2α=−√55，原式=1sinαcosα=−52 . 综上可知，原式=52 或−52 .方法感悟 三角函数运算是重要的数学运算，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．创新拓展练14.（多选）角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90∘，则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=−14，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有( )A.sinβ=√154B.cos(π+β)=14C.tanβ=√15D.tanβ=√155答案：A; C解析：因为sin(π+α)=−sinα，所以sinα=14，若α+β=90∘,则β=90∘−α.故sinβ=sin(90∘−α)=cosα=±√154，故A满足.若tanβ=√15，则sinβ=√15cosβ，又sin2β+cos2β=1，所以sinβ=±√154，故C满足.显然B、D不满足.。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--3
3.4 函数的应用（一）课标解读 课标要求素养要求了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.数学建模——会建立函数模型解决实际问题. 自主检测·必备知识名师点睛1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=ax +b （a ，b 为常数，a ≠0 ）二次函数模型 f(x)=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0 ） 分段函数模型f (x )={f 1(x ),x ∈D 1f 2(x ),x ∈D 2⋯f n (x ),x ∈D n2.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： ①审题；②建模；③求模；④还原. 用框图表示为3.一次函数模型y =ax +b(a ＞0) 的增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型y =ax 2+bx +c(a ≠0) 的最值容易求出，常常用于解决最优、最省等最值问题.互动探究·关键能力探究点一 一次函数模型精讲精练例 某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两个污水处理方案，并准备实施.方案1：工厂污水净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费.（1）若工厂每月生产3000件产品，在不污染环境,又节约资金的前提下，应选择哪个污水处理方案？请通过计算加以说明；（2）当工厂每月生产6000件产品时，又该如何决策呢？答案：设工厂生产x件产品时，依方案1得到的利润为y1元，依方案2得到的利润为y2元，则y1=(50−25)x−2×0.5x−30000=24x−30000，y2=(50−25)x−14×0.5x=18x.（1）当x=3000时，y1=42000，y2=54000.因为y1＜y2，所以应选择方案2处理污水.（2）当x=6000时，y1=114000，y2=108000.因为y1＞y2，所以应选择方案1处理污水.解题感悟（1）应用一次函数模型时，本着“问什么，设什么，列什么”的原则求解.（2）一次函数求最值问题，常转化为求解不等式ax+b≥0（或≤0）的问题.解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.迁移应用1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.（1）若设停放的自行车的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.答案：（1）由题意得，y=0.3x+0.5(3500−x)=−0.2x+1750（x∈N∗且0≤x≤3500）. （2）若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3500×(1−40%)≤x≤3500×(1−25%)，即2100≤x≤2625.由函数y=−0.2x+1750(2100≤x≤2625)的图象（图略），可得函数y=−0.2x+ 1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330]，即收入在1225元至1330元之间.探究点二二次函数模型精讲精练例一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少，并求出此时残料的面积.答案：如图所示，根据题意，设直角三角形为△ABC，AC=40 cm，BC=60 cm，矩形为CDEF，CD=xcm，CF=ycm，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得AFED =FEBD，即40−yy=x60−x，化简得y=40−23x.设剩下的残料面积为Scm2，则S=12×60×40−xy=23x2−40x+1200=23(x−30)2+600(0＜x＜60)，故当x=30时，S取得最小值，为600，此时y=20，所以当x=30，y=20时，剩下的残料面积最小，最小为600 cm2.解题感悟利用二次函数求最值的方法及注意点（1）方法：根据实际问题建立函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.（2）注意判断取得的最值对应的自变量与实际意义是否相符.迁移应用1.为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1，a2（单位：万元）满足P=80+4√2a1，Q=14a2+120 .设甲大棚的资金投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为f(x)（单位：万元）.（1）求f(50)的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入，才能使总收入f(x)最大.答案：（1）当甲大棚的资金投入为50万元时，乙大棚的资金投入为150万元，则由P=80+4√2a1，Q=14a2+120，可得f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5（万元）.（2）根据题意，可知总收入f(x)=80+4√2x+14×(200−x)+120=14x+4√2x+250，由题意知{x≥20,200−x≥20,解得20≤x≤180，令t=√x，t∈[2√5,6√5]，则f(t)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，t∈[2√5,6√5].因为8√2∈[2√5,6√5]，所以当t=8√2，即x=128时，总收入最大.所以当甲大棚投入资金为128万元，乙大棚投入资金为72万元时，总收入最大.探究点三 分段函数模型精讲精练例 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200 时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0≤x ≤200 时，求函数v(x) 的解析式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f(x)=x ⋅v(x) 可以达到最大？并求出最大值.（精确到1辆/时）答案： （1）由题意，当0≤x ≤20 时，v(x)=60 ；当20≤x ≤200 时，设v(x)=ax +b ，则{200a +b =0,20a +b =60, 解得{a =−13,b =2003, 所以v(x)=13(200−x) ，20<x ≤200 . 故函数v(x) 的解析式为v (x )={60,0≤x ≤20,13(200−x ),20<x ≤200. （2）依题意并结合（1）可得f (x )={60,0≤x ≤20,13x (200−x ),20<x ≤200. 当0≤x ≤20 时，f(x) 为增函数，故当x =20 时，f(x) 在区间[0,20] 上取得最大值60×20=1200；当20<x ≤200 时，f(x)=13x(200−x)=−13(x −100)2+100003，当x =100 时，f(x) 在区间(20,200] 上取得最大值100003.100003＞1200 ，综上，当x =100 时，f(x) 在区间[0,200] 上取得最大值100003≈3333 .即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时. 解题感悟应用分段函数解决实际问题时的注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. （2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域的求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.1. （2021山东泰安高一期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元每生产x 百件，需另投入成本c(x) （单位：万元），当年产量不足30百件时，c(x)=10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x +10000x−4500 ；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为几百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？答案：（1）当0≤x ＜30 时，y =500x −10x 2−100x −2500=−10x 2+400x −2500 ； 当x ≥30 时，y =500x −501x −10000x+4500−2500=2000−(x +10000x) .∴y ={−10x 2+400x −2500,0≤x ≤30,2000−(x +10000x ),x ≥30.（2）当0≤x <30 时，y =−10(x −20)2+1500 ， ∴ 当x =20 时，y 取得最大值1500； 当x ≥30 时，y =2000−(x +10000x)≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800 .当且仅当x =10000x，即x =100 时，y 取得最大值1800.∵1800＞1500 ，∴ 年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.评价检测·素养提升1.在一定范围内，某种产品的购买量y （单位：吨）与单价x （单位：元）之间满足一次函数关系.若购买1000吨，则每吨800元，若购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( ) A.820元B.840元 C.860元D.880元 答案：C2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走（路程=12× 加速度的平方×时间），那么( ) A.人可在7秒内追上汽车 B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米 答案：D3.某汽车在同一时间内的速度v(km/h) 与耗油量Q(L) 之间有近似的函数关系：Q =0.0025v 2−0.175v +4.27 ，则车速为 km/h 时，汽车的耗油量最少. 答案：35解析： 由题意得，Q =0.0025v 2−0.175v +4.27=0.0025(v 2−70v)+4.27=0.0025[(v −35)2−352]+4.27=0.0025(v −35)2+1.2075 .所以当v =35 km/h 时，汽车的耗油量最少.4.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如表所示： x/ 元 130 150 160 y/ 件705035如果日销售量y 是关于销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？ 答案：设y =ax +b(a ≠0) ， 则{130a +b =70,150a +b =50, 解得{a =−1,b =200,∴y =200−x .当每件产品的销售价为x 元时，每件产品的销售利润为(x −120) 元，设每天的销售利润为S 元，则S =(200−x)×(x −120)=−x 2+320x −24000=−(x −160)2+1600，120＜x ＜200 ，∴ 当x =160 时，S 取得最大值1600.所以，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润为1600元.课时评价作业基础达标练1.（2020广东深圳中学高一期中）已知等腰三角形的周长为40 cm ，底边长ycm 是腰长xcm 的函数，则函数的定义域为( ) A.(10,20)B.(0,10) C.(5,10)D. [5,10) 答案：A2.（2021山东潍坊高一期末）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12 ，第2关收税金为剩余金的13 ，第3关收税金为剩余金的14 ，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16 ，若5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金( ) A.2斤B.75 斤 C.65 斤D.1110 斤 答案：C3.（2020四川泸县第二中学高一月考）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售的过程中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的售价x（元）满足一次函数m=162−3x.若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为( )A.30元B.42元C.54元D.越高越好答案：B4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2 m元收费.若某职工某月缴纳水费16 m元，则该职工这个月实际用水为( )A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米答案：A5.（2021浙江杭州高一期末）某种产品每件定价80元，每天可售出30件，每件定价120元，每天可售出20件，若售出件数y是定价x（元）的一次函数，则这个函数解析式为.答案：y=−14x+50,x∈(0,200)6.（2021福建福州高一期末）某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x千件，需投入成本c(x)万元，c(x)=x2+10x.若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不亏损，则a的最小值为.答案：130解析：由题意建立利润f(x)的函数解析式为f(x)=ax−(x2+10x+3600)(x＞0)，整理得f(x)=−x2+(a−10)x−3600，为保证生产该产品不亏损，则f(x)=−x2+(a−10)x−3600≥0(x>0)，即a≥x+3600x +10≥2√x⋅3600x+10=130，当且仅当x=3600x，即x=60时，a取得最小值，为130，此时产品不亏损.故a的最小值为130.7.（2020福建莆田擢英中学高一期中）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，那么超过600元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为元.答案：1120解析：设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元，则当x ∈[0,600] 时，y =0 ，当x ∈(600,1100] 时，y =(x −600)×5%=0.05x −30 ，令y =30 ，得0.05x −30=30 ，解得x =1200＞1100 ，不符合题意；当x ∈(1100,+∞) 时，y =500×5%+(x −1100)×10%=25+0.1x −110=0.1x −85 ，令y =30 ，得0.1x −85=30 ，解得x =1150 ，符合题意，所以他实际所付金额为1150-30=1120元. 8.如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB =13 ，BC =3 ，在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF ，且AE =AH =CG =CF =x ，则x = 时，四边形EFGH 的面积最大，最大面积为 .答案： 3; 30解析：设四边形EFGH 的面积为S ，则S =13×3−2[12x 2+12(13−x)(3−x)]=−2x 2+16x =−2(x −4)2+32,x ∈(0,3] .因为S =−2(x −4)2+32 在(0,3] 上是增函数，所以当x =3 时，S 有最大值，且最大值为30.素养提升练9.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米.若池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙（长度与污水处理池的宽相等）建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计.设污水处理池的长为x 米，总造价为Q(x) （元），则Q(x) 的解析式为( ) A.Q(x)=800(x +324x )+16000(252≤x ≤16)B.Q(x)=800(x +324x)+16000(0<x ≤16) C.Q(x)=800(x +324x)+12000(252≤x ≤16) D.Q(x)=800(x +324x)+12000(0<x ≤16)答案：A解析：由题意得污水处理池的宽为200x，则四周池壁总造价为400×(x +200x)×2=800×(x +200x) ，池底造价为200×80=16000，两道隔壁墙造价为248×200x×2=99200x，所以Q(x)=800×(x +200x)+16000+99200x=800×(x +324x)+16000 ，又{0<x ≤16，0<200x≤16，所以252≤x ≤16 .故选A.10.某种电热水器的水箱容量是200升，加热到一定温度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2 t 2 升，当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗澡用水65升，则该热水器盛满水后一次至多可供洗澡的人数是( ) A.3B.4 C.5D.6 答案：B解析：设水箱内的水量为y 升.由题意知，水箱内水量y =200+2t 2−34t =2(t −172)2+1112，当t =172时，y 有最小值，此时共放水34×172=289 （升），28965≈4.4 ，故至多可供4人洗澡.故选B.11.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店,经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租、水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P （元）与店面经营天数x 的关系是P(x)={300x −12x 2,0≤x ＜300,45000,x ≥300,则总利润最大时店面经营的天数是 . 答案：200解析：设总利润为L(x) ，则L(x)={−12x 2+200x −10000,0≤x <300，−100x +35000,x ≥300当0≤x <300时，L(x)max =10000 ，此时x =200 ；当x ≥300 时，L(x)max =5000 .5000＜10000，所以总利润最大时店面经营的天数是200.12.某公园要建造一个直径为20 m 的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m 处达到最高，最高的高度为8 m .另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为 m . 答案： 7.5解析：根据题意，设水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x m ，且此点的高度为y m ，y 与x 之间的函数关系式为y =a 1(x +2)2+8(−10≤x ＜0) 或y =a 2(x −2)2+8(0≤x ≤10) .由x =−10 ，y =0 ，可得a 1=−18 ；由x =10 ，y =0 ，可得a 2=−18 .所以y =−18(x +2)2+8(−10≤x ＜0) 或y =−18(x −2)2+8(0≤x ≤10) .当x =0 时，y =7.5 ，即装饰物的高度为7.5 m .13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励经销商订购，决定当一次的订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，经销商一次的订购量不会超过600件.（1）设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p =f(x) 的表达式； （2）当经销商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？答案：（1）当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60−(x−100)×0.02= 62−0.02x.∴p={60,0<x≤100,x∈N ∗,62−0.02x,100<x≤600,x∈N∗（2）设该厂获得的利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x−40x=20x；当100<x≤600时，y=(62−0.02x)x−40x=22x−0.02x2.∴y={20x,0<x≤100,x∈N∗,22x−0.02x2,100<x≤600,x∈N∗.当0＜x≤100时，y=20x是增函数，则当x=100时，y最大，此时y=20×100= 2000；当100＜x≤600时，y=22x−0.02x2=−0.02(x−550)2+6050，则当x=550时，y最大，此时y=6050.显然6050＞2000.∴当经销商一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元.创新拓展练14.（2020北京交通大学附属中学高一期中）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的纯收益最大？答案：（1）由题图1可得，当0＜t≤200时，P=100−300200−0t+300=300−t;当200＜t≤300时，P=300−100300−200(t−300)+300=2t−300，故题图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式为f(t)={300−t,0＜t≤200, 2t−300,200＜t≤300.由题图2可设对应的二次函数解析式为g(t)=a(t−150)2+100(a≠0)，因为该函数的图象过点(250,150)，所以150=a(250−150)2+100，解得a=1200，故题图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式为g(t)=1200(t−150)2+100,0＜t≤300.（2）设上市时间为t时的纯收益为ℎ(t)（元），则由题意得，ℎ(t)=f(t)−g(t)，即ℎ(t)={−1200t2+12t+1752,0<t≤200,−1200t2+72t−10252,200<t≤300.当0<t≤200时，ℎ(t)=−1200t2+12t+1752=−1200(t−50)2+100，故t=50时，ℎ(t)取得最大值，为100；当200＜t≤300时，故t=300时，ℎ(t)取得最大值，为87.5.综上，当t=50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.。
高一中数学知识点22讲解
高一中数学知识点22讲解数学是一门抽象而又有逻辑性的学科，理解和掌握其中的基本知识点对于学生来说至关重要。
在高一学年，数学知识的难度和深度会有所增加，因此在这一阶段，对于数学知识的讲解显得尤为重要。
接下来，我将针对高一数学中一个重要的知识点进行详细的讲解，以帮助同学们更好地理解和掌握。
1. 解一元一次方程解一元一次方程是高一数学中最基础的内容之一，也是后续学习的基础。
解方程是通过推理和变形，找出令方程成立的未知数值。
一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
解一元一次方程的基本步骤如下：（1）整理方程，使得未知数的项在等号一侧，常数项在另一侧；（2）利用加减法和乘除法的性质，逐步化简方程，将未知数独立并求解；（3）检验求得的解是否满足原方程，若满足，则解是正确的。
2. 解一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容，其形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，a≠0。
解一元二次方程的一般步骤如下：（1）将方程移项，合并同类项，使方程化为标准形式；（2）根据二次方程的性质，使用求根公式x=-b±√(b^2-4ac)/2a 求解；（3）根据求解的结果进行检验，验证是否满足原方程。
3. 三角函数基本关系三角函数是三角学的基础知识之一，对于高中数学的学习和后续相关学科的发展都具有重要意义。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们与角度之间存在特定的关系。
在高一学年，主要介绍了三角函数的定义和基本关系，具体如下：（1）根据直角三角形的定义，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值；（2）由定义可得，这三个函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]；（3）三角函数之间满足一系列基本关系：tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=1/tanθ，sin^2θ+cos^2θ=1等。
4. 平面向量运算平面向量是矢量几何的基本概念，也是高一数学中的重要内容。
22人教A版新教材数学必修第一册课件--4
（3）底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，
要尽可能用幂的形式来表示，便于运用指数幂的运算性质.
1. 计算或化简下列各式：
2
3
−
（1） ( 8)
9
2
3
× ( 102 ) ÷ 105 ;
3
2
2
−3
[答案] 原式 = (2 )
2 9
3 2
5
2
× (10 ) ÷ 10 =
A. [2, +∞ )
B. [ 2,4) ∪ (4, +∞)
C. (−∞, 2) ∪ (2, +∞)
D. (−∞, 4) ∪ (4, +∞)
3
2
2. 将 5 写成根式，正确的是( D )
A.
3
52
B.
3
5
C.
5
3
2
D.
53
3−
3. 若 ≤ 3 ，则 ( − 3)2 = ________.
[解析] 因为 ≤ 3 ，所以 ( − 3)2 = | − 3| = 3 − .
次)，结果不一定等于 .
（2） ( ) 是实数 的 次方根的 次幂，其中实数 的取值由 的奇偶
决定．其算法是对 先开方，后乘方(都是 次)，结果恒等于 .
2.对分数指数幂的理解
（1）分数指数幂
不能理解为 个 相乘,它是根式的一种新的写
1
3
2 = (＜0)
5
−4
=
4
1 5
( ) (＞0)
B.
高中新课程数学新课标人教B版必修一2.1.1函数学案22
2．1．1 函数 学案（2）【预习要点及要求】1．映射的概念，映射与函数的关系．2．了解映射，一一映射的概念，初步了解映射与函数间的关系．以判定一些简单的映射． 【知识再现】1、函数的定义:___________________________________2、函数的定义域、值域：___________________________________3、区间的概念：___________________________________ 【概念探究】1、映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 内任意一个元素x ，在B 中 一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到B 的 ．这时称y 是x 在映射f 的作用下的 ，记作f(x )．于是y=f(x)中x 称做y 的 ．2、集合A 到B 的映射f 可记为f ：A →B 或x →f(x)．其中A 叫做映射f 的 （函数定义域的推广），由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的 ，通常记作f(A)．3、如果映射f 是集合A 到B 的映射，并且对于B 中的任何一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合之间存在 ，并称这个映射为集合A 到集合B 的 ．4、由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广， 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是 ．完成课本P34-35，例4、例5、例6、例7． 【总结点拨】从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素． 【例题讲解】例1、判断下列对应哪些是由A 到B 的映射？为什么？（1）A=R ，||11:},0|{x y x f y y B +=→>=； （2）A=R ，2:},0|{x y x f y y B =→≥=；（3）x y x f y y B x x A =→≥=≥=:},0|{},3|{ （4）A=Z ，B=Q ，xy x f 1:=→例2、已知集合A=R ，},|),{(R y x y x B ∈=，B A f →:是从A 到B 的映射，)1,1(:2++→x x x f ，求A 中元素2的象和B 中元素)45,23(的原象．例3、已知q px y x f N n n n n B m A +=→∈+==+:,},3,,7,4{},,3,2,1{24且是从A 到B 的一个一一映射，已知1的象是4，7的原象是2，求p, q, m, n 的值．【当堂达标】1、在给定的映射R y x xy y x y x f ∈+→,),,2(),(:的条件下，点)61,61(-的原象是（ ）A 、)361,61( B 、)32,41()21,31(--或 C 、)61,361(-D 、)41,32()31,21(-或 2、区间[0，m]在映射f:x →2x+m 所得的象集区间为[a, b]，若区间[a, b]的长度比区间[0, m]的长度大5，则m 等于（ ）A 、5B 、10C 、2．5D 、13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b, 2b+c, 2c+3d, 4d ，例如，明文1, 2, 3,4对应密文5, 7, 18, 16．当接收方收到密文14, 9, 23, 28时，则解密得到的明文为（ ）A 、4, 6, 1, 7B 、7, 6, 1, 4C 、6, 4, 1, 7D 、1, 6, 4, 74、设集合A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 9, 25, 49, 81, 100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是（ ）A 、2)12(:-→x x f B 、2)32(:-→x x f C 、12:2--→x x x fD 、2)1(:-→x x f 答案【例题讲解】例1、（1）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象． （2）是由A 到B 的映射 （3）是由A 到B 的映射（4）不是由A 到B 的映射，因为A 中元素O 在B 中无象例2、解：A 中元素2在B 中的象为)3,12+由214512312=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x x 得 ∴B 中元素)45,23(的原象是21。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结--1
1.1 集合的概念第1课时集合的含义课标解读课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用.1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.自主学习·必备知识教材原句要点一集合与元素的概念1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①A，B，C，… 表示集合，用小写拉丁字母②a，b，c，… 表示集合中的元素.2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③一样的，我们就称这两个集合是相等的.要点二集合与元素间的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.要点三数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N∗或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤R.自主思考1.班上高个子的同学能称为元素吗？答案：提示不能，个子高的同学无法确定为一个具体对象.2.坐标平面内所有的点组成的集合为A，那么2∈A，(1,2)∈A都成立吗?答案：提示2∉A，(1,2)∈A.3.集合N与N∗或N+有何区别?答案：提示集合N中的元素是0和正整数；集合N∗或N+，中的元素是正整数.4.N与Z有何区别?答案：提示集合N中的元素是0和正整数，集合Z中的元素是0、负整数与正整数.如：2021∈N，2021∈Z，−100∉N，−100∈Z.名师点睛1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.2.集合中元素的特性确定性、互异性、无序性.3.常用数集关系网实数集R{有理数集Q{整数集Z{正整数集N ∗ }自然数集N{0}负整数集分数集无理数集互动探究·关键能力探究点一 集合的概念精讲精练例 下列各组对象，能构成集合的是( )①中国各地最美的旅游景点；②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于2021的自然数；④2020年我校体育节中的金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④答案：B解析：①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.解题感悟一般地，确认一组对象均不相同a 1,a 2,a 3,⋯,a n (a 1,a 2,a 3,⋯，a n ) 能否构成集合的过程如下：迁移应用1.有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点O 的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A.1B.2C.3D.4答案：B解析：“接近”“比较小”没有明确标准．③④均可构成集合．故选B.探究点二元素与集合的关系精讲精练例（1）下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②√2∉Q；③0∈N∗；④|−5|∉N∗.A.1B.2C.3D.4（2）已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6−a∈A，那么a为( ) A.2B.2或4C.4D.0答案：（1）B（2）B解析：（1）①π是实数，所以π∈R正确；②√2是无理数，所以√2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N∗错误；④|−5|=5为正整数，所以|−5|∉N∗错误．故选B.（2）当a=2∈A时，6−a=4∈A，当a=4∈A时，6−a=2∈A，所以a=2或a=4.故选B.解题感悟判断元素与集合关系的两种方法1.直接法：（1）使用前提：集合中的元素是直接给出的；（2）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.2.推理法：（1）使用前提：集合中的元素不便直接表示的；（2）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.迁移应用1.已知集合A中的元素x满足2x+a＞0，常数a∈R，若1∉A，2∈A，则a的取值范围是.答案：−4＜a≤2解析：∵1∉A，2∈A，∴2×1+a≤0，且2×2+a>0，解得−4＜a≤−2.2.用符号“∈”或“∉”填空.设集合D是所有满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合，则-1 D,(−1,1)D.答案：∉; ∈解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y=x2的有序数对(x,y)，所以−1∉D，(−1,1)∈D.探究点三集合中元素的特征及运用精讲精练例已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值.答案：由题意可知，a=1或a=a2，若a=1，则a2=1，这与a2≠1矛盾，故a≠1.若a=a2，则a=0或a=1（舍去），又当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可知，实数a的值为0.解题感悟由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤（1）求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）；（2）检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；（3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）.易错点拨常因忘记验证集合中元素的互异性而失分.迁移应用1.（2020河南南阳高一检测）设集合M满足：若t∈M，则2020−t∈M，且集合Ｍ中所有元素之和为m，2020×11＜m＜2020×12，则集合Ｍ中的元素个数为( )A.22B.22或23C.23D.23或24答案：C解析：由集合M满足：若t∈M，则2020−t∈M，得当t≠2020−t时，集合M中两个互异的元素t与2020−t之和为2020，当t=2020−t时，t=1010，因为2020×11＜m＜2020×12，所以m=2020×11+1010，集合Ｍ中的元素个数为11×2+1=23，故选C.评价检测·素养提升1.（2021安徽黄山高一期末）下列元素与集合的关系不正确的是( )A.0∈NB.0∈Z∈Q D.π∈QC.32答案：D2.（多选）下列各项中，可以组成集合的是( )A.所有的正数B.等于2021的数C.接近于2021的数D.不等于0的数答案：A ; B ; D3.“booknote ”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是( )A.5B.6C.7D.8答案：B4.有下列说法：①N 与N ∗ 是同一个集合；②N 中的元素都是Z 中的元素；③Q 中的元素都是Z 中的元素；④Q 中的元素都是R 中的元素.其中正确的有 （填序号）.答案：②④5.若集合A 是由元素-1，3组成的集合，集合B 是由方程x 2+ax +b =0 的解组成的集合，且A =B ，求实数a ，b .答案：因为A =B ，所以-1，3是方程x 2+ax +b =0 的解.则{−1+3=−a,−1×3=b, 解得{a =−2,b =−3.. 课时评价作业基础达标练1.（2020海南东方八所中学高一月考）下列所给的对象能构成集合的是( )A.2021届的优秀学生B.高一数学必修第一册课本上的所有难题C.遵义四中高一年级的所有男生D.比较接近1的全体正数答案：C2.设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A.0∈AB.a ∉AC.a ∈AD.a =A答案：C3.（2020海南临高二中高一月考）下列关系中，正确的个数为( )①72∈R ；②π∈Q ；③|−3|∉N ；④−√4∈Z .A.1B.2C.3D.4答案：B4.若以集合A 中的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案：A5.（2021湖北荆州高一检测）已知a，b是非零实数，代数式|a|a +|b|b+|ab|ab的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A.0∈MB.−1∈MC.3∉MD.1∈M答案：B6.（多选）下列说法中正确的有( )A.N∗中最小的数是1B.若−a∉N∗，则a∈N∗C.若a∈N∗，b∈N∗，则a+b的最小值是2D.方程x2+4=4x的解构成的集合中有2个元素答案：A; C解析：N∗是正整数集，最小的正整数是1，故A说法正确；当a=0时，−a∉N∗，且a∉N∗，故B说法错误；若a∈N∗，则a的最小值是1，又b∈N∗，则b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a+b取最小值2，故C说法正确；x2+4=4x的解构成的集合为{2}，其中有1个元素，故D说法错误.故选AC.7.若集合A中有两个元素-1和2，集合B中有两个元素x，a2，若A与B相等，则x=；a= .答案：-1; ±√2解析：由集合相等的概念可知x=−1，a2=2即a=±√2.8.（2021广西南宁三中高一检测）已知集合A是由全体偶数组成的，集合B是由全体奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a+b A，ab A（选填“∈”或“∉”）. 答案：∉; ∈解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a+b是奇数，ab是偶数，故a+b∉A，ab∈A.9.已知集合A中含有两个元素a−3和2a−1，若−3∈A，求实数a的值.答案：∵−3∈A，∴−3=a−3或−3=2a−1.①若−3=a−3，则a=0，此时集合A中含有两个元素-3，-1，符合题意；②若−3=2a−1，则a=−1，此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合题意.综上所述，a=0或a=−1.素养提升练10.（2021山西新绛第二中学检测）已知集合M是方程x2−x+m=0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )A.1∈MB.0∈MC.−1∈MD.−2∈M答案：C解析：由2∈M可知，2为方程x2−x+m=0的一个解，所以22−2+m=0，解得m=−2.所以方程为x2−x−2=0，解得x1=−1,x2=2.故方程的另一个解为-1.选C.11.（2020山东青岛高一期中）由实数x，−x，|x|，√x2，−√[3]x3所组成的集合，其元素的个数最多为( )A.2B.3C.4D.5答案：A解析：当x＞0时，x=|x|=√x2，−√[3]x3=−x，此时集合中共有2个元素；3=−x=0，此时集合中共有1个元素；当x=0时，x=|x|=√x2=−√x33=−x，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2当x＜0时，√x2=|x|=−√x3个元素，故选A.∈N，且x∈N，则集合A中的元素为.12.集合A中的元素x满足63−x答案：0，1，2∈N可得，3−x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，解析：由63−x0.因此A中的元素为2，1，0.,a, 13.（2020山东济宁第一中学高一月考，改编）已知集合A中含有三个实数，分别为a2,ba若0∈A且1∈A，则a2021+b2021=.答案：-1解析：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，=0，故a2≠0，所以ba即b=0.由1∈A，可知a2=1或a=1.当a=1时，a2=1，由集合中元素的互异性，知a=1不符合题意；当a2=1时，a=−1或a=1（舍去）.故a=−1，b=0所以a2021−b2021的值为-1.创新拓展练14.设集合A中含有三个元素3，x，x2−2x.（1）求实数x应满足的条件；（2）若−2∈A，求实数x的值.解析：命题分析本题考查集合元素的特征，元素与集合的关系，考查运算求解能力，数学抽象的核心素养.答题要领（1）集合A中含有三个元素，即3，x，x2−2x互不相同.（2）由−2∈A，可得x=−2或x2−2x=−2.且x，x2−2x.不相等.答案：（1）由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2−2x，x2−2x≠3 .解得x≠−1且x≠0且x≠3.（2）因为−2∈A，所以x=−2或x2−2x=−2.由于x2−2x=(x−1)2−1≥−1，所以x2−2x≠−2，所以x=−2.方法感悟（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.（2）利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．第2课时集合的表示法课标解读课标要求素养要求针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.自主学习·必备知识教材原句要点一列举法把集合的所有元素①一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.要点二描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有②共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A∣P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.自主思考1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?答案：提示优点：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.缺点：不易看出元素所具有的特征，有的集合不能用列举法表示.2.描述法的特点有哪些?答案：提示运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.名师点睛1.使用列举法表示集合的四个注意点（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1,a2,…,a n}；（2）元素不重复，满足元素的互异性；（3）元素无顺序，满足元素的无序性；（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.2.用描述法表示集合时的三个注意点（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.互动探究·关键能力探究点一列举法的应用精讲精练例用列举法表示下列集合：（1）方程x2=x的所有实数解组成的集合；（2）直线y=2x+2021与y轴的交点所组成的集合；（3）不大于8的正整数构成的集合；（4）15的正约数组成的集合.答案：（1）方程x2=x的解是x=0或x=1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．（2）将x=0代入y=2x+2021，得y=2021，即直线与y轴的交点是（0，2021），故直线与y轴的交点组成的集合是{(0,2021)}．（3）不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为{1,2,3,4,5,6,7,8}．（4）15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为{1,3,5,15} .解题感悟用列举法表示集合的步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来.注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3),(5,−1)}.迁移应用1.用列举法表示下列集合：（1）小于10的质数组成的集合A；（2）方程x2−2x−3=0的实数根组成的集合B；（3）直线y=x+2与直线y=−2x+5的交点组成的集合D.答案：（1）因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以A={2,3,5,7}.（2）方程x2−2x−3=0的实数根为3，-1，所以B={3,−1}.（3）由{y=x+2,y=−2x+5得{x=1,y=3,所以直线y=x+2与直线y=−2x+5的交点为（1，3），所以D={(1,3)}.探究点二描述法的应用精讲精练例用描述法表示下列集合：（1）比1大且比10小的实数组成的集合；（2）不等式3x+4≥2x的所有解组成的集合；（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；（4）正奇数集M.答案：（1）可以表示成{x∈R|1＜x＜10}．（2）可以表示成{x|3x+4≥2x}，即{x|x≥−4}．（3）可以表示成{(x,y)|x±y=0}．（4）设x∈M，故全体奇数可用式子x=2n+1，n∈Z表示，但此题要求为正奇数，故n∈N，所以正奇数集M={x|x=2n+1,n∈N}.解题感悟描述法的一般形式为{x∈A∣P(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；P(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.迁移应用1.用描述法表示下列集合：（1）被3除余2的正整数组成的集合B；（2）C={5,10,15,20}；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D .答案：（1）设被3除余2的正整数为x，则x=3n+2，n∈N，所以被3除余2的正整数组成的集合B={x|x=3n+2,n∈N}.（2）C={x|x=5n,n≤4,n∈N∗}（3）易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y>0，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D={(x,y)|x＜0,且y＞0}.探究点三集合表示方法的综合应用精讲精练例集合A={x|kx2−8x+16=0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.答案：①当k=0时，方程kx2−8x+16=0变为−8x+16=0，解得x=2，即A={2}，满足题意；②当k≠0时，要使集合A={x|kx2−8x+16=0}中只有一个元素，则方程kx2−8x+ 16=0有两个相等的实数根，所以Δ=64−64k=0，解得k=1，此时集合A={4}，满足题意.综上所述，k=0或k=1，故实数k的值组成的集合为{0,1}.解题感悟（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.迁移应用1.已知集合A={x|ax2−3x+2=0}.（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.答案：（1）当a=0时，原方程可化为−3x+2=0，得x=23，符合题意.当a≠0时，方程ax2−3x+2=0为一元二次方程，由题意得，Δ=9−8a=0，得a=98.所以当a=0或a=98时，集合A中只有一个元素.（2）由题意得，当{a≠0,Δ=9−8a＞0,即a<98且a≠0时，方程有两个实根，又由（1）知，当a=0或a=98时，方程有一个实根.所以a的取值范围是{a|a≤98}.（3）由（1）知，当a=0或a=98时，集合A中只有一个元素.若集合A中没有元素，则{a≠0,Δ=9−8a<0,解得a＞98.综上，a的取值范围是{a|a≥98或a=0}.评价检测·素养提升课堂检测1.下列四个集合中，不同于另外三个的是( )C.{2}D.{x|x 2−4x +4=0}答案：B2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是( )A.{−3,−2,−1,0,1}B.{−2,0}C.{x|−3＜x ＜1,x =2k}D.{x|−3＜x ＜1,x =2k,k ∈Z}答案：B ; D3.若A ={−1,1,2,3} ，B ={x|x =t 2,t ∈A} 用列举法表示集合B 为 .答案：{1,4,9}4.图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为 .答案：{(x,y)|0≤x ≤2,0≤y ≤1}5.给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为{(x,y)|xy ＞0} ；②方程√x −2+|y +2|=0 的解集为{2,−2} ；③集合{(x,y)|y =1−x} 与{x|y =1−x} 是相等的．其中正确的是 （填写所有正确说法的序号）．答案：①解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x,y) ，故①正确；方程√x −2+|y +2|=0 等价于{x −2=0,y +2=0,即{x =2,y =−2,所以方程的解为有序实数对(2,-2)，解集为{(2,−2)} ，或{(x,y)∣{x =2y =−2} ，故②不正确； 集合{(x,y)|y =1−x} 的代表元素是(x,y) ，集合{x|y =1−x} 的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．素养演练1.数学抽象——描述法中点集与数集的区别下面三个集合：A ={x|y =x 2+1} ；B ={y|y =x 2+1} ；问：（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？答案：（1）不是.在A 、B 、C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．（2）集合A 的代表元素是x, 满足y =x 2+1,故A ={x|y =x 2+1}=R .集合B 的代表元素是y, 满足y =x 2+1 的y ≥1 故B ={y|y =x 2+1}={y|y ≥1} .集合C 的代表元素是(x,y) ，满足条件y =x 2+1 ，即表示满足y =x 2+1 的实数对(x,y) ，也可认为满足条件y =x 2+1 的坐标平面上的点．因此，C ={(x,y)|y =x 2+1}={(x,y)|点(x,y)是y =x 2+1图象上的点} .素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如{x|P(x)} 表示数集，{(x,y)|y =P(x)} 表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.迁移应用1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合A ={1,3} 相等的是( )A.(1,3)B.{(1,3)}C.{x|x 2−4x +3=0}D.{(x,y)|x =1,y =3}答案：C课时评价作业基础达标练1.（2020湖南怀化高一期末）如果集合A ={x|x ＞−5} ，那么( )A.−5∈AB.{−5}∈AC.−6∈AD.0∈A答案：D2.集合{x ∈N ∗|x −1＜2} 的另一种表示法是( )A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}答案：B3.用描述法表示函数y =3x +5 的图象上的所有点为( )A.{x|y =3x +5}B.{y|y =3x +5}C.{(x,y)|y =3x +5}D.{y =3x +5}答案：C4.（2020山东枣庄十六中高一期中）方程组{x +y =3,x −y =1的解集是( ) A.(1,2) B.(2,−1) C.{2,1} D.{(2,1)}答案：D5.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2−x=0}B.{y|y2−y=0}C.{x|y=x2−x}D.{y|y=x2−x}答案：B解析：选项A中的集合只有一个元素；选项B中集合{y|y2−y=0}的代表元素是y，则集合{y|y2−y=0}是方程y2−y=0根的集合，即{y|y2−y=0}={0,1}；选项C，D中的集合中都有无数个元素．6.设集合A={x|x2−3x+a=0}，若4∈A，则用列举法表示集合A为.答案：{−1,4}解析：∵4∈A，∴16−12+a=0，∴a=−4，∴A={x|x2−3x−4=0}={−1,4}.7.（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合A={a|a使方程ax2+2x+ 1=0有唯一实数解}表示为 .答案：{0,1}解析：由题意可知集合A中的元素表示能使方程ax2+2x+1=0有唯一实数解的a的值，当a=0时，2x+1=0，解得x=−12，成立；当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有唯一实数解，则Δ=4−4a=0，解得a=1，所以A={0,1}.8.已知集合A={x∈N|910−x ∈N}，B={910−x∈N|x∈N}，则集合A与B中有个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为．答案：2; {1,9}解析：因为x∈N，910−x ∈N，所以当x=1时，910−x=1；当x=7时，9 10−x =3；当x=9时，910−x=9.所以A={1,7,9}，B={1,3,9}．所以集合A与B中有2个相同的元素，集合A，B中的相同元素组成的集合为{1,9}．9.用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于-3.5且小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体；（4）所有能被3整除的数；（5）不等式2x−1＞5的解集．答案：（1）{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.（2）{−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}或{x|−3.5＜x＜12.8,x∈Z}．（3）{x|x是梯形}或{梯形}．（4）{x|x=3n,n∈Z}．（5）{x|2x−1＞5}．素养提升练10.（多选）下列命题中正确的是( )A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素B.集合{0}中没有元素C.√13∈{x|x＜2√3}D.{1,2}与{2,1}是同一个集合答案：A; D解析：{x∈R|x2=1}={1,−1}；集合{0}中有一个元素，这个元素是0，{x∣x<2√3}= {x∣x<√12}，√13>√12故√13∉{x|x＜2√3}；根据集合中元素的无序性可知，{1,2}与{2,1}是同一个集合.所以选AD.11.（多选）（2020海南第四中学高一月考）下列表示同一个集合的是( )A.P={2,5}，Q={5,2}B.P={(2,5)}，Q={(5,2)}C.P={x|x=2m+1,m∈Z}，Q={x|x=2m−1,m∈Z}D.P={x|x=6 m,m∈Z}，Q={x|x=2 m且x=3n,m∈Z,n∈Z}答案：A; C; D解析：A中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合；B中集合P中的元素是点(2,5)，集合Q中的元素是点(5,2)，不相同，不是同一个集合；C中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合；D中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合.故选ACD.12.集合{x|x=2m−3,m∈N∗,m＜5}用列举法表示为.答案：{−1,1,3,5}解析：集合中的元素满足x=2m−3,m∈N∗，m<5，则：当m=1时，x=−1；当m=2时，x=1；当m=3时，x=3；当m=4时，x=5，故集合为{−1,1,3,5}.13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合A={−1,1,2}（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.答案：不是; {1,2,12}（答案不唯一）解析：由于2的倒数12不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若集合中有三个元素，则必有一个元素a=1a ，即a=±1，故可取的集合有{1,2,12}，{−1,3,13}等.创新拓展练14.已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z}，B={x|x=3n+2,n∈Z}，M={x|x=6n+3,n∈Z}.若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m=a+b成立？答案：存在.因为a∈A，b∈B，所以分别存在n1、n2∈Z使得a=3n1+1，b=3n2+2所以a+b=3(n1+n2)+3，若m∈M，则m=6n+3=3×2n+3，n∈Z，所以要使m=a+b,则n1+n2=2n，n∈Z，即当n1+n2为偶数时，存在a∈A，b∈B使m=a+b成立.。
22人教A版新教材数学必修第一册知识总结-- 3
3.3 幂函数课标解读课标要求素养要求1.了解幂函数的概念，会求幂丽数的解析式.2.结合幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x−1，y=x12的图象，掌握它们的性质.1.直观想象一一能够作出5个幂函数的图象. 2.数学抽象一一会概括幂丽数的性质.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一幂函数的概念一般地，函数①y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 .要点二五个幂函数的图象与性质在同一坐标系中画出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x−1，y=x 12和y=x−1的图象.我们得到：（1）函数y=x，y=x2，y=x3，y=x 12和y=x−1的图象都通过点（1，1）；（2）函数y=x，y=x2，y=x3，y=x−1是②奇函数，函数y=x2是③偶函数；（3）在区间(0,+∞)上，函数y=x，y=x2，y=x3，y=x 12④单调递增，函数y=x−1⑤单调递减；（4）在第一象限内，函数y=x−1的图象向上与⑥y轴无限接近，向右⑦x轴无限接近.自主思考1.函数y=2x，y=2x2是幂函数吗？答案：提示函数y=2x，y=2x2都不是幂函数.2.已知x≠0，则函数y=1x2，y=x0是幂函数吗？答案：提示函数y=1x2，y=x0(x≠0)都是幂函数.3.当0<x<1时，判断f(x)=x1.1，g(x)=x0.9，ℎ(x)=x−2的大小关系.答案：提示ℎ(x)>g(x)>f(x).名师点睛1.幂函数的特征（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数．形如y=(2x)α，y=2x5，y=xα+6的函数都不是幂函数．2.幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点（1，1）.（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间(0,+∞)上单调递增；如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0,+∞)上单调递减.（3）在(1,+∞)上，随着指数的逐渐增大，函数图象越来越靠近y轴．互动探究·关键能力探究点一幂函数的概念精讲精练例已知函数f(x)=(m2−m−1)x−5 m−3，m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？答案：①若f(x)是幂函数，则m2−m−1=1，即m2−m−2=0，解得m=2或m=−1.②若f(x)是正比例函数，则−5 m−3=1，解得m=−4，5.此时m2−m−1≠0，故m=−45③若f(x)是反比例函数，则−5 m−3=−1，，解得m=−25.此时m2−m−1≠0，故m=−25④若f(x)是二次函数，则−5 m−3=2，解得m=−1.此时m2−m−1≠0，故m=−1.解题感悟将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区分它们之间的不同(k≠0)；③二次函数y=ax2+bx+点：①正比例函数y=kx(k≠0)；②反比例函数y=kxc(a≠0)；④幂函数y=xα(α∈R).迁移应用1.有以下函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1；④y=(x−1)2；⑤y=x.其中幂函数的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：幂函数有①⑤两个.2.若f(x)=(m2−4 m−4)x m是幂函数，则m=.答案：5或-1解析：若f(x)是幂函数，则m2−4 m−4=1,即m2−4 m−5=0，解得m=5或m=−1.探究点二幂函数的图象及应用例若四个幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )A.d＞c＞b＞aB.a＞b＞c＞dC.d＞c＞a＞bD.a＞b＞d＞c答案：B解析：依据图象的高低判断幂指数的大小，在（0，1）上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；在(1,+∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴.故选B.解题感悟1.在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定.当α＞0时，函数单调递增；当α＜0时，函数单调递减.2.曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸;0＜α＜1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.迁移应用)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，当x分别为何值时，1.已知点(√3,3)与点(−2,−12有f(x)>g(x)；f(x)=g(x)；f(x)<g(x)？答案：设f(x)=xα，g(x)=xβ.，因为(√3)α=3，(−2)β=−12所以α=2，β=−1，所以f(x)=x2，g(x)=x−1在同一平面直角坐标系中的图象如图所示.由图象知，当x ∈(−∞,0)∪(1,+∞) 时，f(x)＞g(x) ； 当x =1 时，f(x)=g(x) ； 当x ∈(0,1) 时，f(x)＜g(x) .探究点三 幂函数性质的应用例 比较下列各题中两个值的大小： （1）(−23)−1 与(−35)−1 ； （2）(a +1)3 与a 3 ； （3）1.212，0.9−12，√1.1 .答案：（1）函数y =x −1 在(−∞,0) 上为减函数， ∵−23＜−35，∴(−23)−1＞(−35)−1 .（2）函数y =x 3 在R 上为增函数， ∵a +1＞a ， ∴(a +1)3＞a 3 . （3）0.9−12=(109)12 ，√1.1=1.112.∵1.2＞109＞1.1 ，且y =x 12 在[0,+∞ ）上单调递增， ∴1.212>(109)12>1.112， 即1.212＞0.9−12＞√1.1 . 解题感悟利用幂函数的性质比较大小的方法1.直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较两个数的大小；2.转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性比较两个数的大小. 迁移应用1.比较下列各组中两个值的大小： （1）(23)0.5 与(45)0.5 ； （2）−3.143 与−π3 ； （3）245，335，2515.答案：（1）∵y =x 0.5 在[0,+∞) 上是增函数，且23＜45 ， ∴(23)0.5＜(45)0.5 .（2）∵y =x 3 是R 上的增函数，且3.14<π ，∴3.143<π3 ， ∴−3.143＞−π3 .（3）245=1615，335=2715.∵y =x 15 为[0,+∞ ）上的增函数，且16＜25＜27， ∴245＜2515＜335.评价检测·素养提升课堂检测1.已知幂函数f(x)=x α 的图象经过点（4，2），则f(2)= ( ) A.2B.√2 C.√22 D.12答案：B解析：因为幂函数f(x)=x α 的图象经过点（4，2），所以f(4)=4α=2 ，解得α=12, 所以f(x)=x 12, 所以f(2)=√2 .故选B.2.设M =(x 2+1)3 ，N =8x 3 ，则M 与N 的大小关系是( ) A.M ＞N B.M ≥N C.M ＜N D.M ≤N 答案：B解析：易知函数y =x 3 是R 上的增函数，且x 2+1≥2x ，所以(x 2+1)3≥(2x)3=8x 3 ，即M ≥N .故选B.3.已知y =(2a +b)x a+b +(a −2b) 是幂函数，则a = ，b = . 答案：25 ; 154.比较下列各组数的大小． （1）−8−1 和−9−1 ； （2）(15)3 和(12)3 ；（3）(−0.31)65 ，0.3565.答案：（1）函数f(x)=x −1 在(0,+∞) 上是减函数，∵8<9 ，∴8−1>9−1 ，∴−8−1<−9−1 .（2）函数y =x 3 在R 上是增函数，且12＞15, 则(12)3＞(15)3 .（3）∵y =x 65 为R 上的偶函数，∴(−0.31)65=0.3165 .又函数y =x 65为[0,+∞) 上的增函数，且0.31<0.35 ，∴0.3165<0.3565 ，即(−0.31)65＜0.3565 . 素养演练数学抽象——幂函数的综合应用 1.已知幂函数y =f(x)=x −2 m2−m+3，其中m ∈{m|−2＜m ＜2,m ∈Z} ，若：①f(x) 是区间(0,+∞) 上的增函数； ②对任意的x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0 .求同时满足①②的幂函数f(x) 的解析式，并求当x ∈[0,3] 时，f(x) 的值域.答案：因为m ∈{m|−2＜m ＜2,m ∈Z} ，所以m =−1,0,1 .因为对任意的x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0 ，即f(−x)=−f(x) ，所以f(x) 是奇函数. 当m =−1 时，f(x)=x 2 ，只满足条件①而不满足条件②； 当m =1 时，f(x)=x 0 ，条件①②都不满足；当m =0 时，f(x)=x 3 ，条件①②都满足，且在区间[0 ，3] 上是增函数.f(0)=0 ，f(3)=33=27 ，所以当x ∈[0,3] 时，函数f(x) 的值域为[0，27].素养探究：解决幂函数的综合问题时应注意：（1）充分利用幂函数的图象、性质，如图象过定点、单调性、奇偶性等；（2）注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想.通过解题培养学生数学抽象的核心素养. 迁移应用1.已知幂函数f(x)=(a 2−a +1)x 9+a 5(a ∈Z) 是偶函数，且在(0,+∞) 上为增函数，试求实数a 的值.答案：由幂函数的定义可知，a 2−a +1=1 ，即a 2−a =0 ，解得a =0 或a =1 ， 则f(x)=x 95 或f(x)=x 2 .若f(x)=x 95 ，则其定义域为(−∞,+∞) ，关于原点对称， 又f(−x)=(−x)95=−x 95=−f(x) ， ∴f(x) 为奇函数，不符合题意；若f(x)=x 2 ，则其定义域为(−∞,+∞) ，关于原点对称， 又f(−x)=(−x)2=x 2=f(x) ，∴f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意，∴实数a的值为1.课时评价作业基础达标练1.（2021天津东丽高一期末）下列幂函数在区间(0,+∞)内单调递减的是( )A.y=xB.y=x2C.y=x3D.y=x−1答案：D2.直线y=1，y=x，x=1及幂函数y=x−1的图象将平面直角坐标系的第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y=x 12的图象在第一象限中经过( )A.③⑦B.③⑧C.②⑥D.①⑤答案：C3.（多选）（2020福建厦门双十中学高一期中）若函数f(x)=(3 m2−10 m+4)x m是幂函数，则f(x)一定( )A.是偶函数B.是奇函数C.在x∈(−∞,0)上单调递减D.在x∈(−∞,0)上单调递增答案：B; D4.（多选）（2021浙江宁波高一期末）下列关于幂函数的图象和性质的描述中正确的有( )A.幂函数的图象都过点（1，1）B.幂函数的图象都不经过第四象限C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种答案：A; B5.（多选）（2020浙江绍兴诸暨中学高一期中）下列说法中错误的有( )A.y=x0的图象是一条直线B.幂函数的图象不过第二象限C.若函数y=1x 的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y＜12}D.若幂函数的图象过点（4，2），则它的递增区间是[0,+∞）答案：A ; B ; C 6.若(a +1)−12<(3−2a)−12，则a 的取值范围是( )A.(12,23) B.(23,32) C.(23,2) D.(32,+∞) 答案：B 解析：令f(x)=x−12=√x，易知f(x) 的定义域是(0,+∞) ，且在(0,+∞) 上是减函数，故原不等式等价于{a +1＞0,3−2a ＞0,a +1＞3−2a,解得23＜a ＜32 .7.（2020山西怀仁第一中学高一月考）已知幂函数f(x)=(k 2−4 k +5)x −m 2+4 m(m ∈Z) 的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞) 上单调递增. （1）求m 和k 的值；（2）求满足不等式(2a −1)−3＜(a +2)−3 m2的a 的取值范围.答案：（1）∵ 幂函数f(x)=(k 2−4 k +5)⋅x −m 2+4 m，∴k 2−4 k +5=1 ，解得k =2 .又∵ 幂函数f(x) 在(0,+∞) 上单调递增， ∴−m 2+4 m ＞0 ，解得0＜m ＜4 ，∵m ∈Z ，∴m =1 或m =2 或m =3 ，当m =1 或m =3 时，f(x)=x 3 ，f(x) 的图象关于原点对称，不符合题意；当m =2 时，f(x)=x 4 ，f(x) 的图象关于y 轴对称，符合题意.综上，m =2 ，k =2 . （2）由（1）可得m =2 ，∴(2a −1)−3<(a +2)−3 ，而函数y =x −3 在(−∞,0) 和(0,+∞) 上均单调递减， 当x ＞0 时，y =x −3>0 ，当x <0,y =x −3<0 ，∴ 满足不等式的条件为0＜a +2＜2a −1 或a +2＜2a −1＜0 或2a −1＜0＜a +2 ， 解得−2＜a ＜12 或a ＞3 ， 故满足不等式(2a −1)−3＜(a +2)−3 m 2的a 的取值范围为(−2,12)∪(3,+∞) .素养提升练8.（多选）（2020湖北黄冈黄州第一中学高一期中）已知幂函数y =x m 2−2 m−3(m ∈Z) 的图象与x 轴和y 轴都没有交点，且关于y 轴对称，则m 的值可以为( ) A.-1B.1C.2D.3 答案：A ; B ; D 解析：∵ 幂函数y =x m2−2 m−3(m ∈Z) 的图象与x 轴、y 轴都没有交点，且关于y 轴对称，∴m 2−2 m −3≤0 ，且m 2−2 m −3(m ∈Z) 为偶数，由m 2−2 m −3≤0 得，−1≤m ≤3 ，又(m ∈Z) ，∴m =−1,0,1,2,3 . 当m =−1 时，m 2−2 m −3=1+2−3=0 ，函数为偶数，符合题意； 当m =0 时，m 2−2 m −3=−3 ，函数为奇数，不符合题意；当m =1 时，m 2−2 m −3=1−2−3=−4 ，函数为偶数，符合题意； 当m =2 时，m 2−2 m −3=4−4−3=−3 ，函数为奇数，不符合题意； 当m =3 时，m 2−2 m −3=9−6−3=0 ，函数为偶数，符合题意． 综上所述，m =−1,1,3 .故选ABD.9.（多选）（2020湖北荆州沙市中学高一期中）已知幂函数f(x)=x α 的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有( ) A.函数是偶函数 B.函数是增函数 C.当x ＞1 时，f(x)＞1 D.当0＜x 1＜x 2 时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)答案：B ; C ; D解析：因为幂函数f(x)=x α 的图象经过点（16，4），所以16α=4 ，则α=12 ， 所以f(x)=x 12=√x ，其定义域为[0,+∞) ，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 中说法错误；因为12＞0 ，所以f(x)=x 12是增函数，故B 中说法正确； 当x ＞1 时，f(x)＞f(1)=1 ，故C 中说法正确； 当0＜x 1＜x 2 时，因为f(x 1)+f(x 2)2=√x 1+√x 22，f(x 1+x 22)=√x 1+x 22，所以[f(x 1)+f(x 2)2]2−[f(x 1+x 22)]2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=−x 1+x 2−2√x 1x 24，=−(√x 1−√x 22)2<0所以f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22) ，故D 中说法正确.故选BCD.10.幂函数f(x) 的图象过点(2,m) ，且f(m)=16 ，则实数m 的值为 . 答案：4或1411.幂函数f(x) 的图象过点(3,√3) ，则f(x 2−2x) 的减区间为 . 答案：(−∞,0]解析：设幂函数的解析式为f(x)=x α ， 代入点(3,√3) 得，√3=3α ，所以α=12 ，所以幂函数的解析式为f(x)=√x ，定义域为[0,+∞ ），所以f(x 2−2x)=√x 2−2x ，则x 2−2x ≥0 即其定义域为{x|x ≤0或x ≥2} ， 因为y =x 2−2x 的图象的对称轴为直线x =1 ，所以其减区间为(−∞,1] ，所以f(x 2−2x) 的减区间为(−∞,0] .创新拓展练12.已知幂函数f(x)=x1m 2+m(m ∈N ∗) .（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数的图象经过点(2,√2) ，试确定m 的值，并求出满足条件f(2−a)＞f(a −1) 的实数a 的取值范围.解析：命题分析 本题考查幂函数的单调性、幂函数的定义域、函数不等式的解法，考查对基本概念的理解和数学运算的能力．过程体现数学运算的核心素养. 答题要领（1）利用奇数与偶数的乘积为偶数结合函数的解析式确定函数的定义域和单调性即可； （2）根据题意求得正整数m 的值，然后结合函数的解析式求解所给的不等式即可. 答案：（1）∵m 2+m =m(m +1) ，m ∈N ∗ ，m 与m +1 中必定有一个为偶数， ∴m 2+m 为偶数， ∴ 函数f(x)=x1m 2+m(m ∈N ∗) 的定义域为[0,+∞ ），并且该函数在其定义域上为增函数.（2）∵ 函数f(x) 的图象经过点(2,√2) ， ∴√2=21m 2+m，即212=21m 2+m，∴m 2+m =2 ，即m 2+m −2=0 . ∴m =1 或m =−2 （舍去）. ∴f(x)=x 12(x ≥0) ，∴f(x) 在[0,+∞ ）上是增函数，∴ 由f(2−a)＞f(a −1) 得，{2−a ≥0,a −1≥0,2−a >a −1,得1≤a <32 .故m 的值为1，满足条件f(2−a)＞f(a −1) 的实数a 的取值范围是[1,32) .方法感悟 判断一个函数是不是幂函数需满足这三个条件：x α 的系数是1；x α 的底数x 是自变量；x α 的指数α 为常数.解函数不等式，需根据函数的单调性去掉函数符号，转化为普通不等式求解，同时注意函数定义域的限制.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学人教（新课标）
专题二十二 二倍角的正弦、余弦、正切
一、学习要求
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力．
能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆．）
二、重点难点
重点是正弦、余弦、正切的倍角公式以及二倍角的余弦的两种变形：
cos2α=2cos 2α－1及cos2α=1－2sin 2α．
难点是倍角公式与前面学过的同角三角函数的基本关系式，诱导公式、和（差）角公式的综合运用．
三、学法点拨
1、二倍角的正弦、余弦、正切
在和角公式S (α＋β)、C (α＋β)、T (α＋β)中，令α=β就可以得出对应的二倍角的三角函数公式．
点拨：（1）倍角公式是和角公式的特例．
（2）因为sin 2α＋cos 2α=1所以公式C 2α还可变形为：
cos2α=2cos 2α－1或 cos2α=1－2sin 2α．
（3）公式成立的条件：C 2α中α∈R ；S 2α中α∈R ；T 2α中α≠（k ∈Z ）时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式，即：
．
（4）理解二倍角的含义：二倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸于将4α作为2α的2倍，将α作为的2倍；将作为的2倍；将3α作为的2倍；将的2倍等等情况．
（5）注意公式的逆用：
例如：
2、半角的正弦、余弦、正切
在倍角公式cos2α=1－2sin2α、cos2α=2cos2α－1中以α代替2α，以代替α，即得：cosα=1－2sin2，cosα=2cos2－1，所以有即得：
称之为半角公式．
将公式S（
α＋β）加上S（
α－β）
即可得：
，另外将公式S （α＋β）减去S （α－β）、C （α＋β）加上C 点拨：（1）半角公式中正、负号的选取由所在象限确定．
（2）称公式为降幂公式．
（3）可看做的半角；可看做3α的半角；可看做α的半角；2α可看做4α
的半角等等． （4）公式成立的条件为：α≠2kπ＋π(k ∈Z)．
（5）k ∈Z ．
说明：半角公式不要求记忆．
3、积化和差与和差化积公式
（α－β）、C （α＋β）减去C （α－β）可得出另三个公式，即得积化和差公式如下：
在上述公式中令α＋β=θ，α－β=φ可得以下和差化积公式：
点拨：（1）积化和差公式的推导，用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换
元”的思想．
（2）正确地运用积化和差与和差化积公式的关键在于对式子的深刻观察：①观察角度的和差特点；②观察式子的整体结构特点．
说明：积化和差与和差化积公式不要求记忆．
四、示例解析
1、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行求值．
例1、已知，求sinα，cosα，tanα的值．
解：
点评：上述三个公式称为万能公式，所谓“万能”是指已知角的正切，即可求出α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割值．
例2、求tan20°＋2tan40°＋4tan10°－tan70°的值．
解析一：原式
解析二：原式
点评：“切化弦”和二倍角公式的逆用是解答此题的关键．2、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简．
例3、化简：
解析：
点评：常见的变形：
3、利用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行证明．例
4、求证：．
分析一：切化弦，利用倍角公式证明．
证明：
分析二：利用半角公式证明
证明：
分析三：利用正切的二倍角公式证明．
证明：
点评：三角恒等式的证明常用证题思想：
①异名化同名②异角化同角③复杂到简单④高次到低次
就是说要注意结构差异、角差异、函数名差异，并及时的进行变角、变名，变式处理．例5、已知：2sinα=sinθ＋cosθ,sin2β=sinθ·cosθ．
求证：．
证明：
点评：条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去，常用方法有代入法、消去法、综合法、分析法等．
例6、已知tanx=a，求的值.
分析：分子中的3sinx可看成2sinx＋sinx，然后把sinx＋sin3x化为积.分母同样处理.
在线测试
一、选择题
1、=（）
A．－B．C．D．－
2、tan15°＋cot15°=（）
A．4B．3 C．2D．1
3、sin15°sin30°sin75°的值等于（）
A．B．C．D．
4、化简cos2α＋2sin2α，得（）
A．0B．1 C．sin2αD．cos2α
5、已知tanx=2，则等于（）
A．B．－C．D．－
6、化简=（）
A．cot2αB．tan2αC．cotαD．tanα
7、化简的结果为（）
A．sin2x B．cos2x C．－cos2x D．－sin2x
8、的值为（）
A．－B．C．D．－
9、若，则sinα=（）A．B．C．D．
10、已知，则sin2x的值是（）
A．－B．－C．D．
二、填空题
11、=_____________．
12、若=_____________．
三、解答题
13、已知的值．
14、求值．
15、求证：．
16、已知cosα=cosβcosA，求证：．
答案及提示：1 C 2 A 3 C 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C 提示：
1、
2、
3、
4、cos2α＋2sin2α=cos2α－sin2α＋2sin2α=1．
5、
6、原式
7、原式
8、原式9、
10、
11、原式
12、
13、
14、原式
15、左边
=右边16、右边
即证．。