内积空间的基本概念汇总

第四章
Hilbert 空间
一 内积空间的基本概念
设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数
),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足
1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_
__________)x ,y (；
3） )y ,x ()y ,x (αα=；
4）
)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；
称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：
|)y ,x (|2
)y ,y )(x ,x (≤。

设H 是内积空间，对任意H x ∈，命
),(||||x x x =
则||||⋅是H 上的一个范数。

例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义
dt t y t x y x b
a
⎰=________
)()(),(
则与],[2b a L 类似，),
(y x 是一个内积，由内积产生的范数为
2
12
)
|)(|(||||⎰=b
a
dt t x x
上一个内积介不是Hilbert 空间。

定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n
→，y y n
→，),(),(y x y x n
n
→。

定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，
1） 平行四边形法则：
2
||
||y x +＋2
||
||y x -＝2)||||||(||2
2
y x +；
2） 极化恒等式：
),(y x ＝4
1
（2
||
||y x +－
2
||
||y x -＋
2
||
||iy x i +－
)||||2
iy x i -
定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。

二 正交性，正交系 1 正交性
设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x
⊥。

设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集，
对于任意
,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与
N
正交，记
N M ⊥。

设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
称为M 的正交补，记为⊥
M 。

定理2.1 设H 是内积空间 1） 如果H z ,y ,x ∈，z y x
+=且z y ⊥，则2
||
||x ＝
2
||
||y ＋2
||
||z ；
2） 如果
L 是H 的一个稠密子集，即H L =__
，并且
L x ⊥，则0=x ；
3）
M 是H 的任意子集，则⊥
M 是H 的闭子空间。

定理 2.2 设M 是内积空间H 中的完备凸集，则对任意
H x ∈，存在M x ∈0
，使得
||||0
x x -＝),(M x d ||||inf y x M
y -=∈
定理2.3（正交分解）设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任意H x ∈，存在唯一的M x ∈0及⊥
∈M y ，使得
y x x +=0
2 正交系
设}{αx ，I ∈α是内积空间H 中的子集，如果β
α
≠时
0),(=βαy x ，
称}{αx ,I ∈α是中的一个正交系。

设}{αx ,I ∈α是一个正交系，如果对每一上I ∈α，
1||||=αx ,称}{αx ,I ∈α是
一个标准正交系。

设}{αx ，I ∈α是H 的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间H ，称}{αx ,I ∈α是的正交基。

定理2.4 设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，H x ∈，
n
α
α,...,1
是n 个数，则当且当仅),(k
k
e x =α),...,1(n k =时，
||||1
∑-=n
k k
k
e x α取最小值。

定理2.5（Bessel 不等式）设}{n e 是内积空间H 中的标准正交系，则对任意H x ∈，有
∑≤∞
=1
2
2
||
|||),(|k k
x e x
定理2.6 设}{n e 是内积空间中的一个标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 张成的子空间L 在H 中稠密。

定理 2.7 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，则}{n e 是完备的，当且仅当}{n e 是完全的。

定理 2.8 设H 是Hilbert 空间，}{n e 是H 中的标准正交系，2
}{l n ∈ξ，则存在H x ∈，使得
),(k
k
e x =ξ,...)2,1(=k
并且
2
1
2
||
||||x k k
=∑∞
=ξ
定理2.9（正交化定理）设}{n x 是内积空间H 中的可数子集，则在H 中存在标准正交系}{n e ，使得}{n x 与}{n e 张成的子空间相同。

3 可分空间的同构
定理2.10 设H 是任一可分的无穷维的Hilbert 空间，则存在
H 上到2
l
同构映射ϕ，且ϕ保持内积。

这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式”
2
l
三 Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间
1
Riesz 表示定理
定理3.1（Riesz 表示定理）设H 是Hilbert 空间，f 是H 上
任意有界线性泛函，则存在唯一的
H
y f
∈，使得对于每一个
H x ∈，有),()(f
y x x f =，并且有||||||||f
y f =。

2空间的共轭空间
设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，于是对任意H y ∈，易见),(y Ax )(H x ∈是H 上的一个有界线性泛函，因此由Riesz 表示定理，存在唯一的H z ∈，使得
),(y Ax ＝),(z x )(H x ∈
（1）
定义z By
=。

定义 设H 是Hilbert 空间，)(H A β∈，把（1）式确定的有界线性算子B 称为A 的共轭算子。

注意区别第三章第四节中定义H 上的有界线性算子A 的共轭算子*
A 。

以后说到Hilbert 空间H 上的有界算子的共轭算子A 均指（1）定义的算子B ，并且把它记为*
A ，即A 的共轭算子*
A 是由下式定
义的算子：
),(),(),(H y x Ay x y Ax ∈= 。

定义 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界线性算子，如果
*
A ＝A ，即对任意H y x ∈,
),(),(Ay x y Ax =
则称A 是自共轭算子。

设A 是Hilbert 空间H 的有界共轭算子，以下是算子A 的一些简单性质。

1） 对任意H x ∈，),(x Ax 是实的。

2）
|),(|sup ||||1
||||x Ax A x ==
3） 算子A 的特征值是实的。

4） 对应于算子A 的不同特征值21,λλ的特征向量21,x x 是正交
的。

四
Hilbert 空间中的自共轭紧算子
引理4.1 设H 是Hilbert 空间，A 是H 上的有界共轭算子，如果存在H x ∈0，1||||
=x ，使得泛函|),(||)(|x Ax x =ϕ在
x
点达到极大，则由0),(0=
y x 可推出=),(0
y Ax ),(0
Ay x ＝
0。

定理 4.2)(Schmidt Hilbert -
设A 是Hilbert 空间H 上
的自共轭紧算子，则存在对应于特征值}{n λ)0(≠n
λ的特征向量
构成的标准正交系}{n e ，使得每一元H x ∈可唯一地表示为
'0
x
e x k
k
k
+∑=α，
其中)('
0A x N ∈，即满足0'
=Ax ，同时
∑=k
k
k
k
e
Ax αλ
并且如果}{n e 是无穷的，则n n λ∞
→lim ＝0。