切线长定理公开课ppt课件
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《切线长定理》教学PPT课件 初中九年级上册 数学公开课课件
• 几何语言:
PA、PB分别切☉O于A、B
A
PA = PB ∠APO=∠BPO
O
P
B
注:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。
知识要点
草帽图
PA = PB ∠APO=∠BPO
方法小结：解题的关键是找到草帽图.
合作探究
• 若连接AB交OP于D，根据图形，你还可以得到 什么结论？
提示:利用图形轴对称性探究
(9-x)+(12-x)=15，解得 x=3.
∴ AF=3(cm)，BD=6(cm)，CE=9(cm).
方法小结：关键是运用切线长定理,将相等线段转化集中 到某条边上,从而建立方程.
颗粒归仓 通过本课的学习，你有哪些收获？
A
O
P
B
1.切线长定理
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠APO=∠BPO
颗粒归仓
通过本节课的活动，你有哪些收获？ 2.切线长定理的应用:
(1)解题关键在于找草帽图。 (2)熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条 边上,从而建立方程求解.
3.三种思想：转化思想,方程思想和分类讨论思想.
课后练习
1.(用尺规作图)过圆外一点作已知圆的切线？ 2.如图☉O与△ABC的三边BC、CA、AB分别相切于点
D、E、F,且AB=9cm, BC=15cm, AC=12cm,求☉O的
半径r.(请尝试用两种方法求解)
教师寄语
没有大胆的猜测就做不出伟大的发现。 ——牛顿
已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,观察图形，试猜想
线段PA与线段PB具有怎样的关系？可否证明你的猜想？
A
O
P
数量关系：连接PO 易证△PAO≌ △PBO 可得PA=PB, ∠APO=∠BPO
3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
切线长定理(共33张)PPT课件
a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
-
12
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是
A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交
PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周
长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角
相等，弧相等，垂直关系提供了理论
依据。必须掌握并能- 灵活应用。
21
练习.如图，△ABC中,∠C =90º,它的
内切圆O分别与边AB、BC、CA相切
于点D、E、F，且BD=12，AD=8，
求⊙O的半径r.
A
D
F O
B
EC
-
22
思考
三角形的内切圆的有关计算
OP垂直平分AB
OM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB
-
10
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
《切线长定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (3)
乙校年平均下降额较大.但是,年平均下降额 (名)不等同于年平均下降率(百分数)
经过计算,你能得出什么结论?本钱下降额 较大的药品,它的本钱下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,本钱下降额较大的药品,它的本钱 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
B
P O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
想一想：
〔1〕切线长 PA、 PB之间的关 系，同时观察∠1，∠2的关系。
〔2〕请根据你的观察尝试总结它们之 间的关系。
A
O
1
2
p
B
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
等腰三角形有 2 个，分别是 △AOB, △APB
（3）图中全等三角形 3
△OAP≌ △OBP
对，分别是 △OCA≌ △OCB
△ACP≌ △BCP
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为 3 3
cm，两切线的夹角等于 60 度。
A
〔5〕如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。
切线长定理
复习旧知
(1)和圆有唯一公共点的直 线叫 圆的切线
〔2〕圆的切线 垂直于 过切点的 半径。
ห้องสมุดไป่ตู้
探索新知：
• 想一想：过圆外一点，可 以画圆的几条切线？画出 图形并观察，可以得出那 些结论？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长。 思考：切线
长和切线的 区别和联系？
喜讯
经过计算,你能得出什么结论?本钱下降额 较大的药品,它的本钱下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,本钱下降额较大的药品,它的本钱 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
B
P O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
想一想：
〔1〕切线长 PA、 PB之间的关 系，同时观察∠1，∠2的关系。
〔2〕请根据你的观察尝试总结它们之 间的关系。
A
O
1
2
p
B
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
等腰三角形有 2 个，分别是 △AOB, △APB
（3）图中全等三角形 3
△OAP≌ △OBP
对，分别是 △OCA≌ △OCB
△ACP≌ △BCP
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为 3 3
cm，两切线的夹角等于 60 度。
A
〔5〕如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。
切线长定理
复习旧知
(1)和圆有唯一公共点的直 线叫 圆的切线
〔2〕圆的切线 垂直于 过切点的 半径。
ห้องสมุดไป่ตู้
探索新知：
• 想一想：过圆外一点，可 以画圆的几条切线？画出 图形并观察，可以得出那 些结论？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长。 思考：切线
长和切线的 区别和联系？
喜讯
《切线长定理》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (2)
对于较复杂的图 形为了解题我们 可以用数形结合
的方法
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别 相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。
（1）找出图中所有相等的线段
D N C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
P OM
A
L B （2）填空：AB+CD = AD+BC（>,<,=)
A
O
P
B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，
F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，
PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为
清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation一词译为“方程”，至今一直这样沿用.
在小学我们已经学过,方程是指含有未知数的等式.
运用已学的知识，根据下列问题中的条件，分别列
出方程：
1、一件衣服按 8 折销售的售价为72元,这件衣服的原价是多
少元? 设这件衣服的原价为x元,可列出方程
_0__.8_x____7_2_;
cm，两切线的夹角等于 60 度
A
（5）如果PA=4cm，PD=2cm，
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
解：设OA= x cm，则PO= PD + OD
= (x+2) cm
B
在RtΔ OAP中，PA= 4cm，由勾股定理得
初中九年级下册数学《切线长定理》PPT精品课件
切线长定理
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
相关主题
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由题意得
A
x y
y z
13 14
(1) (2)
z x 9 (3)
x
x F9
z
13 E
B
O
(1)+(2)+(3)得: x+y+z=18 (4)
z
(4)-(1)得 z=5 (4)-(2)得 x=4
y
D 14
(4)-(1)得 y=9
y
因此AE=4 cm BD=5 cm CE=9 cm C
（1）图中相等的线段有 OM=ON PM=PN
（2）图中相等的角有 ∠ MPO= ∠ NPO ∠ POM= ∠ PON
∠ OMP= ∠ ONP源自2、如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50 连结PO，
则 APO 25 度。
A
O
P
B
8
3、如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是 ⊙O上一点，且∠AEB=60°,则∠ P= 60°度．
这点和切点之间的线段的长。
A
P O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是 指切线上的一条线段的长，可以度量。
4
动手量一量：
测量切线长PA、PB的长度，并比较大小 测量∠1、 ∠2的度数，并比较大小。
A
O
1
2
p
B 5
你能不能用所学的几何知识证明刚才的结论？
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求 AE、BD、CE的长。
解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm)
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x
A
x
x ∵ BD+CD=BC
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13 E O
解得 X=4
因此 AE=4 cm
9
4、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分 别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM， 则ΔPDE的周长为（ A ）
A.16cm
B.14cm C.12cm
D.8cm
AD
C
P
BE
10
活动二：
思考
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
解：∴∵∠点OOB是C△= A1B∠CA的BC内心 1 12
∠O∴C∠BO=B12C∠=AC2∠BABC=30°
∴∴∠∠∠OBBCOOBCC=======111211∠18888180A0000°0°°°°C°B---- -=1∠∠2134OO∠00(BBA°°∠CCBA-C--B40∠∠C-°OO+CC12∠BB∠AACCBB)
13﹣x
BD=5 cm
13﹣x
CE=9 cm
C
F9
9﹣x
B
9﹣x
D 14
15
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求 AE、BD、CE的长。
解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm)
设CD=y，则CE=y 设BD=z，则BF=y
A
B C
11
12
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形的内切圆的圆心
（即三角形三条角平分线的交点）
A
B O
C
13
C
C
．o A
．o
A
B
B
三角形外接圆
外接圆圆心：
三角形内切圆
内切圆圆心：
三角形三边垂直平分线的交点。 三角形三个内角平分线的交点。
14
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别
1
探索
这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的 平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？
P
A
B
地面
墙
经过圆外一
点可以有两
P
条直线与圆 相切
2
活动一：怎样画圆O的切线？
作法：1、在圆周上取一点A，连接AO； 2、过点A作AO的垂线。
A P
O
B
3
思考：切线长 和切线的区别
和联系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，
16
牛刀小试
1、如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F； 如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= 11,cAmC= 6AcBm=
9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
17
练一练
2、如图，△ABC中，∠ AB∠CA=6=04°0°，∠ACB=80 °，点O
是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 解：∵点O是△ABC的内心
求证： PA PB,APO BPO
A
O B
p
6
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。
请你们结合图形用
A
数学语言表达定理
O
p
B
PA、PB分别切⊙O于A、B, 连结PO
PA = PB ∠OPA=∠OPB
7
牛刀小试
1、如图，PM、PN都是圆O的切线，则
B
=180°- 12 (180°- ∠A)=180°- 70°=110°
2
A
OO
C
18
小结
1. 切线长定理 2.如何作三角形的内切圆？ 3.三角形的内心的性质 4.区分三角形的内切圆和外接圆，三角 形的内心和外心。
19
20