广东省梅州市2020届高三数学上学期第一次质量检测试题理

2019-2020学年第一学期高三第一次质检
理 科 数 学 试 卷
总分：150分 完成时间：120分钟 2019.10 班级 姓名 座号 成绩 一．选择题（60分）
1.已知集合{}=|10A x x -<，{}
2|20B x x x =-<，则A B =
A.{}|0x x <
B.{}|1x x <
C.{}|01x x <<
D.{}|12x x <<
2.已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程2
0x px q ++=的一个根，则p q ⋅=
A.4-
B.0
C.2
D.4
3.已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为
A.c b a <<
B.a c b <<
C.b c a <<
D.c a b <<
4.函数()21
x f x x
-=的图象大致为
A. B.
C. D.
5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和
一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则
A.()()P A P M >
B.()()P A P M <
C.()()P A P M =
D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关
6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数） A.1900是闰年，2400是闰年 B.1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年 D.1900是平年，2400是平年
7.若sin 78m =，则sin 6=
8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ,9S ,27S 成等比数列，则
9
3
S S = A.3
B.6
C.9
D.12
9.双曲线)0(1:2
22>=-a y a
x C 的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标
原点，若PF PO =，则OPF S ∆的最小值为
A.
4
1 B.
2
1 C.1 D.2
10．已知函数()ln
4x
f x x
=-，则 A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减 D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增
11．已知函
数()s i n 3c o s f x a x
x =的
图像的一条对称轴为直线56
x π
=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为
A. 3π-
B. 0
C.3π
D.23
π 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]
x ∈时，()22x
f x =-，函数()()lo
g (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-
内恰有三
个不同零点，则实数a 的取值范围是
A ．1(0,
)(7,)9+∞ B. 1
(,1)(1,3)9 C. 11(,)(3,7)95 D. 11
(,)(5,3)73
二、填空题（共20分）
13.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤+-≥+-0220120
2y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.
14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，21212,e e b e e a -=-=，则=⋅b a _____. 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=ωπωx x f ，若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.
16.在三棱锥ABC P -中，,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________. 三．（解答题，共70分）
17.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为
A b S tan 6
1
2=.
（1）证明：A c b cos 3= （2）若,22,2tan ==a A 求S
18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对B
A ,两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：
（1）通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：
记事件:C “A 获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.
19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，
DC PD =，点E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BDE ；
（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.
20.（12分）已知F 为抛物线y x T 4:2
=的焦点，直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点. （1）若1=k ，求FB FA +的值；
（2）点)2,3(--C ，若CFB CFA ∠=∠，求直线l 的方程.
21.（12分）
已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：
（1）()g x 在22,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内有唯一零点t ； （2）()2f x <.
（参考数据：sin 20.9903
≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-， 1.4142≈，
3.14π≈.）
（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系
xOy ，直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.
（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.
23.[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数()211f x x x =-++. （1）画出()y f x =的图像；
（2）若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.
2019-2020学年第一学期高三第一次质检
理科数学参考答案2019.10
一．选择题：CADDC CBCBA DC
二．填空题： （13）0 （14）
3
2
（15）( 9 8，13
8
] （16）6π
三．解答题：
17．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 6b 2
tan A 得3c sin A ＝b tan A ．
因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin A
cos A
，
又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分
（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝
5 5
， 由（1）得2bc cos A ＝2b 2
3，c ＝5b
3．
…8分
由余弦定理得8＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
所以8＝b 2
＋5b 2
9－2b 2
3＝8b 2
9，从而b 2
＝9． 故S ＝ 1 6b 2tan A ＝3． …12分
18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；
A 选手所得分数比较集中，
B 选手所得分数比较分散． …4分
（2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”，C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”；
C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”，C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”．
则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)．
P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2)
＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．
由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，3
20
，故
P (C A 1)＝8
20，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝320
，
P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137
400． …12分
19．解：
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，
∴PA ∥EO ，又PA ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴PA ∥平面BED ．
…4分
（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，
则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
由⎩⎨⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，
得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，1)．
…7分
直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得
|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．
…9分 同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)，
…10分
cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 1
2
，
∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°．
…12分
20．解：
（1）由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 22
4
)，
y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，
x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8．
② …2分 |FA |＋|FB |＝x 21
4＋1＋x 22
4＋1 ＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2
4＋2．
…4分 当k ＝1时，由①②得|FA |＋|FB |＝10
…5分
（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 2
14－1)，FB →＝(x 2，x 2
2
4
－1)，FC →＝(－3，－3).
∠CFA ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉， …8分
又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 22
4
＋1则
FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，
解得k ＝－ 3
2
，
…11分 所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0．
(12)
分
21．解：
（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，
所以x ∈(0，π 2]时，g (x )＞0，即g (x )在(0，π
2
]内没有零点．
…2分
x ∈(
π
2
，π)时，g '(x )＝2cos x －x sin x ， 因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π
2
，π)上单调递减，
又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g (2π3)＝－π 3＋3
2＜0，
所以g (x )在(2，2π
3)内有唯一零点t ．
…6分
（2）由（1）得，
x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减，
即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ． 由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2
t －2cos t
cos t
＝cos 2
t －2cos t －1 cos t
＝(cos t －1)2
－2 cos t
．
…9分
因为t ∈(2，2π3)，所以cos t ∈(－ 1
2，cos 2)，
从而(cos 2－1)2
－2＝(－1.4161)2
－(2)2
＞0， 即(cos t －1)2
－2
cos t ＜0，
所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分
22．解：
（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2
＝4ρcos θ， 因为ρ2
＝x 2
＋y 2
，x ＝ρcos θ， 所以x 2
＋y 2
＝4x ，即(x －2)2
＋y 2
＝4．
直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α
（t 为参数，0≤α＜π）． (5)
分
（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，
将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2
－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，
因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π
6)，
…8分
所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2
(α＋ π 6)＝1．
因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π
6，
从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π
3．
…10分
23．解：
（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2，
3x ，x ＞ 1
2
． …3分
y ＝f (x )的图象如图所示：
…5分
n ，解得n ≥2．
m |x |＋n ≥3|x |．（※） 若m ≥3，（※）式明显成立；若m ＜3，则当|x |＞n
3－m 时，（※）式不成立．
…8分
另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．
故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．
因此m＋n的最小值为5．…10分。