二维各向同性不可分小波变换特性分析

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科研热词小波变换图像融合图像处理小波分析 contourlet变换相位轮廓术小波变换轮廓术图像去噪分布式光纤传感器傅里叶光学鲁棒性高阶色散频域相邻系数非高斯双变量模型非采样contourlet变换非负支撑域递归逆滤波(nas-rif)算法非线性薛定谔方程非线性光学阈值去噪邻域系数连续小波变换(cwt) 过零点边界优化计量学视频去噪蝎虎天体虹膜识别薄膜光学菲涅耳全息自相关函数线特征纳米多层膜红外图像去噪篡改检测空间滤波离散小波变换离散小波相干检测相干光学盲目图像复原界面粗糙度生物特征特征点匹配父系数焦炭显微图像烟雾检测泄漏检测氧化层正则化条纹相位条纹分析显微干涉法
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小波分析的发展历程

一、小波分析

1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。

（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。

（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。

（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。

1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。

1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。

1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。

1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。

1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。

1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。

1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。

1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。

基于小波变换的边缘检测技术(完整)

第一章图像边缘的定义

引言

在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。

由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。

经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。

小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。

§1.1信号边缘特征

人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。

基于小波变换和连续Hopfield神经网络的重叠峰解析策略

【正文语种】中文
【中图分类】TP391
0 引言
在化学谱图信号中，由于不同单峰的峰位可能会出现较为相近的情况，并且峰宽很大，导致不同信号的重叠现象非常严重，给谱图分析工作造成极大的困难，因此对于谱图信号的重叠峰解析工作一直是亟待解决的难题[1]．谱图信号的重叠峰解析技术可以大体分为两类：数值方法和非数值方法．其中，非数值方法是通过改进仪器或提高实验条件来尽量减少重叠峰的出现；而数值方法是通过一系列数学方法对已经出现的重叠峰进行分离，提取出单个谱图峰进行分析从而进一步得出谱图信号所包含的信息，主要包括小波变换、Fourier自去卷积、Kalman滤波和曲线拟合等方法[2]．其中使用最为广泛的是曲线拟合方法，根据最小二乘法原理将原始谱图信号分解为多个给定峰型的单峰叠加组合，并使拟合谱图信号与实际采集得到的谱图信号之间的拟合误差率最小[3]．在重叠含噪光谱解析中，确定峰位最为关键[4]．应用二阶和四阶导数确定重叠峰的数量和位置[5-6]，Fourier自去卷积用于拟合曲线参数的估计[7-8]，基于自然计算的谱图峰检测[9-10]也都有报道．此外，应用小波技术解析重叠峰也是一个相当活跃的领域[4，11-17]．对于重叠峰解析工作来说，不同单峰的各个参数相互制约，通过共同迭代优化得到最优拟合结果，其优化过程密不可分、相互依赖．因此，先对各个单峰的峰位进行确定必然会有它的局限性，而采用一种对于所有的峰参数进行整体优化的重叠峰解析算法方能提高其分析的有效性．

小波分析(讲稿)

实际应用 2.能量谱检测
实际应用 2.能量谱检测
当轮齿齿面出现点蚀时，在正常振动的基础上出现了很多小的波峰，这些波峰就是点蚀坑引起的，如图1所示。
从信号频谱图（图2）上可以看到，在信号的高频段（约1750Hz～ 3250hz）振动能量明显提升。点蚀坑将引起脉冲冲击，从而使信号在较高频域段内幅值有较大提高。尤其是在齿轮固有频率处，由于共振使振动能量明显加大。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis
FFT变换是将信号分解成不同频率的正弦波的叠加和，即把信号
投影到一组正交基 e j.t 上。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（1）无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部
实际应用
2.小波消噪在实际信号测量中，传感器、传输线、电源等所带来的背
景噪声，往往使测量结果产生误差，严重时甚至可能淹没有用信号，使测量结果不能正确反映被测对象的真实状态，降低了信号分析的可信度，因此信号消噪是信号处理的首要问题。
白噪声的小波变换系数模值随分解尺度的增加而变的越来越小，而信号的小波变换系数模值随分解尺度的增加而变的越来越大，故可对若干尺度上的小波系数设置阈值，将分解尺度上的噪声所对应的小波系数进行阈值化置零，保留有效信号所对应的小波系数，然后进行重构，则重构后的信号就是基于小波变换的消噪信号。

雷达图像处理

与光学图像相比，SAR图像视觉可读性较差，并且受到相干斑噪声及阴影、透视收缩、迎坡缩短、顶底倒置等几何特征的影响。因此对SAR 雷达图像的图像增强与边缘检测将有别于

一般的光学图像。

首先，图像增强技术是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时削弱或去除某些不

需要的信息，它是一种将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些感兴趣的特征，抑制不感兴趣的特征，使之改善图像质量，丰富信息量，加强图像判读和识别效果的图像处理方法。从纯技术上讲，图像技术分为频域处理法和空域处理法。

空域图像增强是直接对图像中的像素进行处理，基本上是以灰度影射变化为基础的，所用的影射变换取决于增强的目的。具体来说，空域法包括点运算和模板处理，其中点运算时针对每个像素点进行处理的，与周围的像素点无关。空域增强方法大致分为 3 种，它们分别是用于扩展对比度的灰度变换、清除噪声的各种平滑方法和增强边缘的各种锐化技术。灰度变换主要利用点运算来修改图像像素的灰度，是一种基于图像变换的操作；而平滑和锐化都是利用模板来修改像素灰度，是基于图像滤波的操作。

频域处理法的基础是卷积定理。传统的频域法是将需要增强的图像进行傅里叶变换或者离散余弦变换，或者是小波变换，然后将其与一个转移函数相乘，再将结果进行反变换得到增强的图像。

在空域图像增强中，形态学的基本思想是使用具有一定形态的结构元素度量和提取图像中的对应形状，从而达到图像进行分析和识别的目的，利用不同的数学形态学变换滤波方法在对S AR图像直接进行平滑滤波的应用中取得较好的结果。算法简单，物理意义明显。

图像边缘检测的二维连续小波变换法

第33卷第4期光电工程V ol.33, No.4 2006年4月 Opto-Electronic Engineering April, 2006

文章编号：1003-501X(2006)04-0093-04

图像边缘检测的二维连续小波变换法

张长江，汪晓东，张浩然，吕干云

(浙江师范大学信息科学与工程学院，浙江金华321004 )

摘要：提出一种新的基于二维连续小波变换的图像边缘检测方法。算法充分利用连续小波变换探测信号奇异性的能力和小波的多分辨率特性。对图像进行二维连续小波变换后，直接对各个分解层的正的小波系数或负的小波系数利用阈值法初步确定图像的边缘点，然后利用“投票选举法”综合各个尺度的边缘信息。这种方法不需要进行边缘点连接，可以直接得到光滑连续的边缘。实验结果表明，新方法能够准确探测图像中目标的整体轮廓和细节信息，在性能上优于传统的两种边缘检测算子。

关键词：图像处理；连续小波变换；边缘检测；阈值

中图分类号：TP391 文献标识码：A

Algorithm for image edge detection based on

two-dimension continuous wavelet transform

ZHANG Chang-jiang，WANG Xiao-dong，ZHANG Hao-ran，LÜ Gan-yun ( College of Information Science and Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua 321004, China ) Abstract: A new method to detect image edge was proposed based on 2-D continuous wavelet transform. The new algorithm mainly recurred to the ability of detecting singularity in signal by continuous wavelet transform and multi-resolution analysis of wavelet transform. Two-dimension continuous wavelet transform was done to original image. Threshold method was done directly to positive or negative wavelet coefficients in every level so as to determine primary edge points.

基于Curvelet变换的图像照度不均匀校正

克服了小波变换中由于小波变换基的各向同性，对
各向异性的奇异性，如图像中的边界以及线状特征等处理效果不是很好，会引起图像边缘失真这一局限性。然而，第１代Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的实现比较复杂，需要子带分解、平滑分割、重正规化和Ｒｉｄｇｅｌｅｔ
基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的图像照度不均匀校正
唐力伟，原瑞宏，王平
（军械工程学院一系石家庄，０５０００３）
摘要
为解决身管内膛疵病检测中图像照度不均匀问题，提高火炮内膛疵病检测准确性，提出了一种基于Ｃｕｒｖｅｌｅｔ
Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ，简称ＦＤＣＴ— ＵＳＦＦＴ）即ｕｓｆｆｔ
分解等一系列步骤，且冗余度高。为此，Ｅ．Ｊ．Ｃａｎ —
ｄｅｓ等又提出了一种新的Ｃｕｒｖｅｌｅｔ框架体系，即第２代Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换ｌ８］。在实现过程中，第２代Ｃｕｒｖｅ一１ｅｔ变换没有引入Ｒｉｄｇｅｌｅｔ变换，而是在频域中直接给出了Ｃｕｒｖｅｌｅｔ基的具体表达形式。。与小波变换相比，除了尺度和位移参量，Ｃｕｒｖｅ — ｌｅｔ变换还增加了方向参量，在保留了小波变换多尺度特点的同时还具有各向异性特点，具有更好的方向辨识能力，能够很好地逼近奇异曲线，更为精确地

轮廓波及曲波和小波变换用于显微图像消噪的比较

中国组织工程研究与临床康复第15卷第22期 2011–05–28出版

Journal of Clinical Rehabilitative Tissue Engineering Research May 28, 2011 Vol.15, No.22

P .O. Box 1200, Shenyang 110004

4094

School of

Electronics and

Information, Nantong University, Nantong 226007, Jiangsu Province, China; 2

School of Electrical Engineering, Nantong University, Nantong 226007, Jiangsu Province, China

Tang Min ☆, Doctor, Associate professor, School of Electronics and Information, Nantong University, Nantong 226007, Jiangsu Province, China

tangmnt@yahoo.

Supported by: the National Natural Science Foundation of China, No. 61005054*; the Natural Science Foundation of

Jiangsu Universities, No. 09KJD510004*, 10KJB510020*; Science and

contourlet变换原理

Contourlet变换是一种基于小波变换的多尺度分析技术。它是在小波变换的基础上提出的，通过增加方向性分析，进一步提高了多尺度图像分析的效果。

Contourlet变换利用小波变换对图像进行初始分解，然后在每个小波分量上进行局部方向分析，以获取图像的局部方向信息。这样可以将图像的各向同性和各向异性信息分别表示出来，从而更加准确地描述图像的特征。

在局部方向分析方面，Contourlet变换使用了Mallat和Zhang 提出的多尺度和多方向分析技术，将图像分解成多个子带，然后对每个子带进行二维小波分解，得到不同方向的分量。通过对这些分量进行重新组合，可以得到更加准确的图像特征表示。

总的来说，Contourlet变换充分利用了小波变换和多尺度分析的优点，增加了方向性分析，进一步提高了多尺度图像分析的效果，具有广泛的应用前景。

- 1 -

一种基于多尺度稀疏分解的遥感图像融合新方法

徐金东;倪梦莹;童向荣;张艳洁;郑强

【摘要】为取得更好的遥感图像融合效果,结合形态成分分析的思想,提出了图像的多尺度稀疏分解方法.集合曲波变换基和局部离散余弦变换基组成分解字典,通过控制字典系数的大小,将二维图像从多个尺度稀疏分解为纹理成分和卡通成分;从图像融合的信息量角度出发,提出了基于多尺度稀疏分解的遥感图像融合方法,通过稀疏分解提取有效尺度下高空间分辨率图像纹理成分和多光谱图像卡通成分,并对二者进行稀疏重建得到融合图像.与已有的经典融合方法相比,该方法以较小的计算代价换取了更高的空间分辨率和更低的光谱失真;与稀疏重建法相比,该方法的执行速率有较大提升,且有更好的融合效果.因此,所提出的基于多尺度稀疏分解的遥感图像融合方法有一定的推广应用价值.%To achieve better effect of remote sensing image fusion, the authors put forward a multi-scale sparse image decomposition method based on morphological component analysis (MCA).It combines curvelet transform basis and local discrete cosine transform(DCT)basis to form the decomposition dictionary and controls the entries of the dictionary so as to decompose the image into texture component and cartoon component.From the aspect of the amount of information, a remote sensing image(RSI)fusion method based on multi-scale sparse decomposition was proposed.By using sparse decomposition, the effective scale texture component of high resolution RSI and cartoon component of multi-spectral RSI were selected to be fused

二维小波变换纹理特征

小波变换是一种数学工具，用于将信号分解成不同频率的子信号，并

且能够保存信号的时间和频率信息。在图像处理领域，小波变换被广泛应

用于图像压缩、图像增强、特征提取等任务中。二维小波变换可以将图像

分解成不同尺度和方向的子图像，这些子图像包含了图像的纹理特征，在

图像分析中起着重要作用。

纹理是图像中的一种局部统计特征，描述了图像的细微变化和重复规律。在图像识别和分类任务中，纹理特征往往能够帮助我们区分不同的物

体和场景。通过二维小波变换，我们可以从图像中提取出具有纹理信息的

子图像，然后通过对这些子图像进行统计分析和特征提取，来描述图像的

纹理特征。

在二维小波变换中，我们通常使用不同类型的小波基函数来分解图像，常见的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。这些

小波基函数在不同尺度和方向上都具有不同的特性，可以用来提取不同频

率的信息。通过多尺度的小波变换，我们可以获得图像在不同尺度下的纹

理信息，从而更全面地描述图像的纹理特征。

在图像处理中，我们通常使用小波变换的高频子图像来描述图像的纹

理特征。高频子图像包含了图像的细节信息，通常对应于图像中的纹理部分。通过对高频子图像进行统计分析，比如计算均值、方差、能量等统计

特征，我们可以得到图像的纹理特征描述。这些特征可以用来训练机器学

习模型，从而实现图像的分类、检测等任务。

除了统计特征以外，我们还可以通过二维小波变换得到图像的纹理特

征显著性图。纹理特征显著性图可以帮助我们找到图像中最具有代表性的

纹理特征，进而实现目标检测和识别任务。通过对纹理特征显著性图进行

Curvelet介绍

Curvelet 和傅里叶变换，小波变换对

图形处理的关系介绍

Curvelet 变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进，其特点是有高度的各向异性，具有良好表达图形沿边缘的信息的能力，对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势。

其过程为

这和传统的DFT 及小波变换的处理过程类似，把图表中的curvelet 换成DFT 和wavelet 就可以了。

为了弄清这个过程，下面从介绍传统的傅里叶变换和逆变换开始，

(1)()[()]()1

(2)()[()]()2i t i t F T f t f t e dt

f t T F F e d ωωωωωω

∞

--∞

∞

--∞

⎰

其离散形式为

2/0

12/0

(3)()()(4)()()M j ux M

x M j ux M

u F u f x e M

f x F u e ππ--=-==

=∑

∑

二维形式为

2()2()(5)(,)(,)(6)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy

f x y F u v e dudv

ππ∞∞

-+-∞-∞

∞∞

+-∞-∞

⎰⎰

其主要过程是把函数（一维信号或二维图像）分解在满足“一些条件”的一组（或连续）基函数上（在许多情况下是正交基，在物理上可以是一些独立的“频谱”），进行重组后可复原原函数。在重组之前，也可以根据应用做一些滤波处理（除去某些不需要的频率），其缺点是缺乏空间域的局部化处理灵活性。公式3中的2/j ux M

e π-（i t

ω-，2()

j ux vy e

二级小波变换

一、二级小波变换的概述

二级小波变换是一种信号处理技术，它是小波变换的一种扩展。在小波变换中，信号被分解成不同尺度和小角度的频率成分。而二级小波变换则在原有基础上，进一步将信号分解成更小的时间段，从而实现对信号的更细致分析。

二、二级小波变换的应用领域

二级小波变换在多个领域具有广泛的应用，如图像处理、音频处理、通信系统、模式识别等。通过二级小波变换，可以实现对信号的更精细分析，提高信号处理的性能。

三、二级小波变换的优势和特点

1.高频分辨率：二级小波变换能够将信号分解成不同频率成分，从而实现对高频信号的分辨率提高。

2.低频分辨率：通过二级小波变换，可以更好地分析信号的低频成分，有助于提取信号的宏观特征。

3.灵活性：二级小波变换可以根据信号的特性和需求，自适应地进行信号分解和分析。

4.噪声抗干扰能力：二级小波变换具有较强的噪声抗干扰能力，能够在噪声环境中实现对信号的有效提取。

四、二级小波变换的实例分析

以图像处理为例，二级小波变换可以将图像分解成不同频率和尺度的小波系数，从而实现对图像的细致分析。这种分析有助于图像特征的提取、图像质

量的提高以及图像压缩等应用。

五、总结与展望

二级小波变换作为一种有效的信号处理技术，在各个领域都取得了显著的成果。随着科技的不断进步，二级小波变换在未来将不断完善和发展，为信号处理领域带来更多的创新应用。

景观生态学中的尺度分析方法

蔡博峰;于嵘

【摘要】多尺度空间分析法是发现和识别景观特征尺度的主要方法.当前这类方法很多,缺乏归类和对比分析评价.基于空间类型变量和数值变量,对多尺度空间分析方法进行了重新梳理.同时对当前常用的尺度分析方法:半方差分析、尺度方差分析、小波分析和孔隙度指数分析,以中国三北防护林为例,对比了各种尺度分析方法的特点和优劣.结果表明,在特征尺度的识别上:小波方差方法清晰明了;半方差分析法灵活简捷,结果明显;尺度方差分析法和孔隙度指数法在本研究中的判识结果不甚明显.在计算速度上:半方差分析法计算量最大、耗时最长,尺度方差次之,小波方差速度最快,孔隙度指数法计算速度快于前两种,慢于小波方差分析方法.半方差分析方法简单灵活,而且相关理论方法成熟,但缺乏对大尺度格局的整体把握,而小波分析恰恰能很好的弥补这一不足.最后提出,半方差分析和小波变换相结合将会是最优的尺度分析方法.

【期刊名称】《生态学报》

【年(卷),期】2008(028)005

【总页数】9页(P2279-2287)

【关键词】尺度分析方法;特征尺度

【作者】蔡博峰;于嵘

【作者单位】中国科学院遥感应用研究所,北京,100101;北京市环境保护科学研究院,北京,100037;广西壮族自治区环境保护科学研究所,南宁,530022

【正文语种】中文

【中图分类】Q149

空间格局与过程是生态学的重要范式，若要正确理解格局与过程的关系就必须认识到其所依赖的空间尺度特点[1～3]，即把握这种关系或者现象发生的特征(characteristic) 尺度(或本征(intrinsic) 尺度)。多尺度空间分析是进行尺度效应分析的基础，是发现和识别景观等级结构和特征尺度的主要方法。

基于小波变换的边缘检测技术（完整）

基于⼩波变换的边缘检测技术（完整）

第⼀章图像边缘的定义

引⾔

在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的⼀种基本特征，被经常⽤于到较⾼层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从⽽可以对图像进⾏进⼀步的分析和理解。

由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发⽣了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这⼀特点，⼈们提出了多种边缘检测算⼦：Roberts算⼦Prewitt算⼦Laplace算⼦等。

经典的边缘检测⽅法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算⼦。这些算⼦毫⽆例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、⽽边缘和噪声在空间域表现为灰度有⼤的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测⽅法。⼩波分析与多尺度分析有着密切的联系，⽽且在⼩波变换这⼀统⼀理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测⽅法，Mallat S提出了⼀⼩波变换多尺度分析为基础的局部极⼤模⽅法进⾏边缘检测。

⼩波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能⼒，因此⽐其他的边缘检测⽅法更实⽤和准确。⼩波边缘检测算⼦的基本思想是取⼩波函数作为平滑函数的⼀阶导数或⼆阶导数。利⽤信号的⼩波变换的模值在信号突变点处取局部极⼤值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常⽤的⼩波算⼦有Marr 算⼦Canny算⼦和Mallat算⼦等。

§1.1信号边缘特征

⼈类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，⽽是各部分有机组成的。⼈类的信号识别（这⾥讨论⼆维信号即图像）具有以下⼏个特点：边缘与纹理背景的对⽐鲜明时,图像知觉⽐较稳定；图像在空间上⽐较接近的部分容易形成⼀个整体；在⼀个按⼀定顺序组成的图像中，如果有新的成份加⼊，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统⾸先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，⾸先识别的是图像的⼤轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要⼈的先验知识作指导；图像的空间位置、⽅向⾓度影响知觉的效果。从以上这⼏点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对⽐度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在⼀种有序性；具有⽅向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪⼀种。

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文章编号:167320291(2006)0520024204

二维各向同性不可分小波变换特性分析

章春娥,裘正定

(北京交通大学计算机与信息技术学院,北京100044)

摘　要:从滤波器设计、采样方面与标准二维可分小波变换的比较、分析二维各向同性不可分小波变换在图像处理中表现出来的特性,并针对不可分小波提出了新的父子关系定义和改进型零树结构.二维不可分小波变换相对标准可分小波变换而言,尺度函数和小波函数不可分且各向同性,具有更细的渐进尺度,更好的紧支撑特性,各个子带有清晰的频率特征及重建特性.本文通过实验统计分析了二维不可分各向同性小波特性,利用改进型零树结构大大提升了其在图像压缩中的性能;对不可分小波变换在图像处理中的应用具有指导性的意义.关键词:各向同性;二维不可分小波;零树结构;图像处理中图分类号:TP391.4 文献标识码:A

Analysis on 2-D Nonseparable and Isotropic W avelet T ransform

ZHA N G Chun-e ,Q IU Zheng-di ng

(School of Computer and Information Technology ,Beijing Jiaotong University ,Beijing 100044,China )

Abstract :C ompared with 2-D separable wavelet the properties of 2-D nonseparable wavelet are analyzed from the aspects of filter design ,sampling and others.For s pecial nonseparable wavelet ,a new father-s on relation 2ship and modified zero-tree structure are proposed.For 2-D nonseparable wavelet trans form ,its scale and wavelet functions are nonseparable and is otropic ,and it has more progressive scales and more tight energy sup 2port.Each subband has more s pecific frequency feature and could gain better reconstruction.This paper ana 2lyzes the properties by experimental data ,increasing greatly the image compression performance by the modi 2fied zerotree ,and als o providing guide for 2-D nonseparable wavelet in image processing.K ey w ords :isotropic ;2-D nonseparable wavelet ;zerotree structure ;image processing

小波变换凭借良好的时频局部化特性,其理论和方法在语音分析,模式识别,数据压缩,图像配准、数据融合、数字水印等信号处理方面得到了广泛的应用.一维小波的理论研究比较深入,多维小波通常自然而然地由一维小波的张量积得到,属于多维可分小波,即通常意义上的标准小波.多维标准小波基于成熟的一维小波理论,构造和实现基本上都基于一维小波进行.一维小波张量积形成的多维小波分析同时带来了一些问题[1].当用张量积表示多维尺度空间时,不同基函数的数目将增加为2d (其中d

表示空间维数).由于基函数是不同尺度下一维小波和尺度函数的积,一些多维小波将会高度偏离坐标方向,失去与一维小波一致的紧支撑特性.张量积形成的基函数还混淆了尺度的运算表达,降低了多维信号小波表示的稀疏性.换而言之,这类由一维小波张量积形成的多维标准小波引入了各向异质性,且难以从物理上解释相应尺度子带代表的频率信息.一维小波能很好地描述一维序列点的奇异性,却很难将对点序列奇异性的描述通过张量积的形式拓展到二维以上的信号处理.

收稿日期:2005212217

基金项目:国家中小型企业创新基金资助项目(04C26213301189);北京交通大学创新基金资助项目(2005SM009)

作者简介:章春娥(1976—

),女,四川达州人,博士生.em ail :z-ce @ 裘正定(1944—

),男,浙江嵊县人,教授,博士生导师.第30卷第5期2006年10月北　京　交　通　大　学　学　报JOURNAL OF BEI J IN G J IAO TON G UN IV ERSIT Y

Vol.30No.5

Oct.2006

构造二维不可分的非张量积小波可以在一定程度上解决上述问题,这类非张量积小波更可能做到各向同性[123].二维不可分小波的各向同性特性使得空间上各个方向的频率得到很好的表示,带来相对张量积小波更好的稀疏特性,更有利于图像的压缩重建和去噪[125].文献[6]利用各向同性冗余小波变换寻找旋转不变性特征:参与实验的图像具有明显的各向异性特征,二维不可分小波变换各向同性的特点使得实验图像在有旋转的情况下也能得到跟原始图像非常接近的变换系数.

本文作者以实例的形式对不可分小波变换相对二维标准小波变换的特性进行了比较和分析,针对不可分小波变换特性提出了新的父子关系定义和改进型零树结构,充分利用不可分小波各向同性的特性,得到了4倍于可分小波的压缩性能.

1　二维不可分小波变换

1.1　二维不可分小波的构造

小波变换中,一般要求基本小波及傅里叶变换都是窗函数.张量积小波的变量可分离,仅在水平和垂直方向能较好地逼近窗函数,因而不可能在任意方向都能很好地描述二维信号的细节.二维不可分小波的思想要求它在各个方向都能相对更好地逼近窗函数,其设计显得十分必要.从滤波器组理论出发,一维滤波器的某些技术和结论并不能直接用来推广设计多维滤波器,对伸缩矩阵D 选择的依赖性也增加了设计的难度.

目前得到广泛应用的方法是McClellan 变换法[2];变量变换法(T rans formation of variables )[7]和文献[8]中所谓的新方法,究其实质仍然是McClellan 方法.由于零相位的限制,McClellan 变换方法仅适用于一维对称双正交小波,只能生成双正交二维小波.

利用径向基函数进行多维尺度函数和小波设计是设计不可分小波的另一个方向.Dimitri 等人[3]针对二维信号改进了傅里叶变换域N 维信号径向B-样条函数

^βγ(ω)=

V γ(e j ω

)‖

ω‖γ(1)式中,V γ(e j ω)=V 2(e j ω)γ/2,V 2(e j ω)=

4∑N

k =1sin 2

(ωk 2)-83∑N -1

k =1∑N

l =k +1

sin 2(ωk 2)sin 2(ωl 2),N =2.随着γ的增大,式(1)快速向高斯函数收敛,将其作为尺度函数可生成性能优越的多分辨率小波.1.2　二维采样

目前广泛应用于非冗余二维不可分多分辨率小

波分解中的采样是梅花采样(Quincunx Sampling ),与传统可分小波的二分采样(Dyadic Sampling )相对应.设梅花采样的2×2整数伸缩矩阵D ,其特征值σ1、σ2满足σ1≥σ2>1,则称该矩阵为尺度矩阵;这个限制保证了尺度矩阵沿着所有维的方向伸缩.根据伸缩矩阵D 的不同,梅花采样有不同的实现方式.

最典型的应用即

D =

1-1(2) 对于这类梅花采样方式,两次采样的结果与传统可分小波的一次采样一样,D 2=2I ,I 为二维单位阵.从采样的角度分析,L 级可分小波分解与2L 级不可分小波分解具可比性.基于径向函数的小波分析设计只需将D 作为尺度因子代入多分辨小波的生成过程,具体细节请参见文献[3].

2　二维不可分小波变换特性分析

本节从实验的角度对二维可分和不可分小波变

换的特性进行比较分析.二维可分标准小波变换采用Daubechies 9/7小波实现,二维不可分小波变换通过以式(1)中的4阶(γ=5)改进多维径向样条函数为尺度函数的小波分析实现,两者均采用式(2)的伸缩矩阵.2.1　父子关系定义和改进型零树结构分别对两幅图做3级可分小波分解和6级不可分小波分解,得到大小均为64×64的近似子图,如图1所示.

(a )可分小波变换传统 (b )不可分小波变换改进型

图1　父子关系图

Fig.1　Father-son relationship

除图1(a )中LL 和图1(b )中的L P 分别代表两

种变换的近似子图外,图1中其他数字分别代表相应小波分辨率尺度l (Resolution ).尺度越粗分辨率越低,处于较低频率段,用较大的l 表征;0

2第5期章春娥等:二维各向同性不可分小波变换特性分析