一次函数与一次方程一次不等式

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一次函数与一元一次方程不等式

数学集体备课教案

不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；

不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．

三、互学展示

例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：

（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;

（2）当x取何值时，y<3?

做一做

如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）

归纳总结

求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集,从“函数值”看y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围

求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集, 从“函数图象”看确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x 取值范围

四、帮学提升

1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .

2.学习之友p60第2题学生自行回答

组内练习，组长帮助组员解决问题

x −3

【八年级】一次函数与一次方程、一次不等式

一次函数与一次方程、一次不等式存在着内在的联系，与此有关的试题也频频亮相在近年来各地中考试题中，为帮助同学们了解有关的考题．下面采撷几例,供复习参考.

一、一次函数与一次方程相结合

一次函数与一次方程相结合的题目比较多，如根据方程选择图象、根据图象确定方程（组）解等.多数题目以选择题或填空题的形式出现.

分析：本题已知二元一次方程选择与之对应的函数图形，解决问题的方法是将方程y-2x-2=0转化为一次函数y=2x+2，然后根据函数图象与x、y轴交点坐标确定正确答案.

解：由已知得一次函数y=2x+2，因为该函数图象经过(0,2)和(-1,0),故选C.

点评：本题主要考查二元一次方程与一次函数的关系,涉及到二元一次方程组和一次函数的关系,解决此题可体验二元一次方程和一次函数之间的内在联系.

点评:本题比较简单,解决问题的关键是理解二元一次方程组的解与相应的一次函数图象交点坐标的内在联系.

二、一次函数与一次不等式相结合

一次函数与不等式相结合的考题是一类重要类型题，在各地的中考试题中时常出现.多数考题以选择题形式出现.

例3直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图2所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为．

分析:观察图象可知,直线y=k1x+b与直线y=k2x的交点坐标为(-1,3),这说明当x=-1时,两个函数的函数值相等;观察图象还可以知道,当x<-1时, y=k2x对应的函数值都比y=k1x+b对应的函数值大,即kx2>k1x+b.由此可得到不等式kx2>k1x+b的解集为x<-1.

一次函数一次方程和一元一次不等式基础知识讲解

一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、一次函数与一元一次方程

一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值.

要点二、一次函数与一元一次不等式

由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

要点三、一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.

一次函数与一元一次方程、不等式

19.2.3 一次函数与方程、不等式

第1课时一次函数与一元一次方程、不等式

基础题

知识点1 一次函数与一元一次方程

1．(1)一元一次方程－2x＋4＝0的解是；

(2)函数y＝－2x＋4，当x＝时，函数值y＝0；

(3)直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标是；

(4)由上述问题可知，一元一次方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b当y＝0时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数y＝ax＋b的图象与轴交点的．

2．已知关于x的方程mx＋n＝0的解为x＝－3，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标是．3．如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是．

4．如图所示，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－b＝1的解是．

5．若一次函数y＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)中x 与y的部分对应值如下表，则方程ax＋b＝0的解是( )

x －2 －1 0 1 2 3

y 6 4 2 0 －2 －4

C．x＝2 D．x＝3

6．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx ＋b的图象可能是( )

A B C D

7．已知关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( )

A．(3，0) B．(7，0)

C．(3，7) D．(7，3)

知识点2 一次函数与一元一次不等式(组)

8．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，(0，3)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是( ) A．x>2

B．x<2

C．x≥2

一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系

例1 如图是一个一次函数的图像，请根据图像回答问题：（1）求出直线对应的一次函数的表达式；（2）当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝；当y=4时,x= .
1 （3）一元一次方程 x 2 0 2 1 和一次函数 y x 2 2
有什么联系？
例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）当2<y<16时,x的取值范围.
随堂演练
1、p32页练习。 2、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ； 3、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时，函数y=3x+2的值小于0。 4、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。时，
5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象，观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (2)x取何值时，-2x+8>0? (3)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (4)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象与X轴所围成的三角形的面积吗？
例3某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨. (1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式； (2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？ (3)预计多少天后会把煤烧完？

一次函数与一元一次方程、不等式

1 知识小结
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标．即“形”题用“数பைடு நூலகம்解，“数”题用“形”解，充分体现了数形结合的思想．
总结
利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为ax＋b＝0的形式，然后通过观察直线y＝ax ＋b与x轴的交点坐标确定方程的解，此求解对作图的准确性要求较高．
思考下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从
函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ (1)3x＋2＞2; (2) 3x＋2＜0； (3) 3x＋2＜－1.
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
一次函数与一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变
形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
3、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一，要想成功，首先必须建立起自信心，而你若想在自己内心建立信心，即应像洒扫街道一般，首先将相当于街道上最阴湿黑暗之角落的自卑感清除干净，然后再种植信心，并加以巩固。信心建立之后，新的机会才会随之而来。

一次函数、一元一次方程和一次一元不等式

6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式一、知识点归纳

一次函数相对来说不是很难，但是对于初次接触一次函数题目的同学来说因为是首次用数形结合来解决问题，对坐标轴不是很熟悉，所以一时找不到解题方法。不过不用担心，随着数形结合题目练习量的增加，肯定会掌握这种方法，而且能掌握这种方法，到时就会觉得一次函数还是比较简单的。

另外一个难点是出现了字母常量，即不仅仅局限于数字的运算，要逐渐熟悉字母的运算，这也是应该重点掌握的，中考大题难题都会用到字母运算。在此再简单概括一下。

例1：已知一次函数的表达式为y kx b =+，求该一次函数与x 轴和y 轴的交点坐标。解：设一次函数与x 轴的交点为（x ，0），根据题意得 0k x b +=， ∴kx b =-，b

x k

， ∴一次函数与x 轴的交点为（b

，0）。设一次函数与y 轴的交点为（0，y ），根据题意得

0k b y ⨯+=

∴b y =，

∴一次函数与y 轴的交点为（0，b ）。

这个结论一定要记住，推导过程也要熟练掌握。

另外还有数形结合的题目，这里就不举例了，还是看真题吧，真题也有详细的讲解。能把下面的题目和讲解看懂就行了，慢慢就会独立解这类题目了。

二、练习与提高

1. （2015江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数x y 4

=与一次函数7+-=x y 的图像交于点A . （1）求点A 的坐标；

（2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），

分别交34y x =和7+-=x y 的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =5

一次函数与一元一次方程、一次不等式

函数y= kx+b(k，b
是常数且k≠0）的图象与 x 轴交点
的横坐标．
1、直线y=3x+12与x轴的交点坐标为（ -4，0 ），所以相应的方程3x+12=0的解是x= -4 .
2、已知方程4x-b=0的解为x=3，那么一次函数 y=4x-b的图像与x轴的交点坐标是（ 3 , 0 ).
已知一次函数y=ห้องสมุดไป่ตู้x+6和它的图像，根据图象求一元一次不等式2x+6>0的解集；
同桌之间相互说说他们之间的联系。
同学们，提出问题高于解决问题！
成就
人生的舞台
努力
一次函数与一次方程，一次不等式
1、解方程：2x+6=0
2、画一次函数y=2x+6的图像，问x取什么值时y=0？
y=2x+6
（直线y=2x+6与x轴交点坐标为（_-_3__,___0__），方
程2χ＋6＝0的解是 x=_____）
一次函数与一元一次方程的关系
方程kx+b=0(k≠0) 的解．
从“函数图象”看
分析： 2x+6>0
y>0
y=2x+6
图像位于x轴上方的部分
x>-3
不等式2x+6<0的解集呢？
分析：y<0 图像位于x轴下方的部分

一次函数与一元一次方程、不等式

例3 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x ( km )之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：（1）油箱最多可储油多少升？（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？（3）摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油？（4）油箱中的剩余油量小于1 L时，摩托车将自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
归纳
例2
已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时， (1)y1＞y2； (2)y1＝y2； (3)y1＜y2.
解：
方法一：代数法． (1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2； (2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2； (3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2. 所以当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝－2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
一次函数与一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．

一元一次不等式与一次函数一元一次方程的关系

一元一次不等式与一次函数一元一次方程的

关系

一元一次不等式与一次函数一元一次方程有着密切的关系。一元一次不等式的形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知常数，x是未知数。一般情况下，一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像来解决。而一次函数的一元一次方程则可以写成ax + b = 0的形式，其中a和b是已知常数，x是未知数。可以将求解一元一次不等式的过程转化为求解一次函数一元一次方程的过程，从而通过图像或求根的方式来找到不等式的解。同时，对一次函数的图像进行分析也可以帮助我们判断一元一次不等式的解的情况，如判定不等式解集的开闭、有界无界性等。因此，一元一次不等式与一次函数一元一次方程之间存在着密切的联系。

八年级下册数学一次函数与不等式

课题:13.3 一次函数与一次方程、一次不等式

教材：沪科版数学八年级上

授课人：

教学目标：

一.知识与技能

通过图象理解一次函数与一次方程一次不等式之间存在的关系并能利用图象求一

次方程的解,以及求一次不等式的解集

二.方法与过程

1. 通过动手操作画图,探索并验证,归纳得出一次函数与一次方程的关系

2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系，每一部分知识并不是孤立的。

三.情感态度与价值观

通过学习,使学生领会相关事物之间存在的普遍联系,培养辨证观点,同时体验,感

受数学知识相融贯通的美感.

教学重点：借助一次函数图象领会一次函数,一次不等式之间的关系,并能利用这种关系解决问题.

教学难点：利用一次函数图象求一次不等式的解集

教学准备：投影仪，多媒体课件

教学过程：

一.创设情景,引入新课

1、我们学习了平面直角坐标系，请同学们回顾一下:对点P(x,y)，当y=0、y>0 、y<0时,点P位于坐标平面内什么位置？

①当y=0时：点P在x轴上。Array

②当y>0时：点P在x轴上方。

③当y<0时：点P在x轴下方。

2、观察 y=2x+6的y是可以变化的。

若令y=0，则y=2x+6就会变成一元一次方程2x+6=0，

若令y 为正数或负数，则2x+6=y 就会形成两个类型的一元一次不等式：2x+6>0或2x+6<0.那么,一元一次方程2x+6=0,一元一次不等式2x+6>0, 2x+6<0一次函数y=2x+6有关系吗? 又有怎样的关系呢?这就是我们本节课所要讨论的内容:（板书课题）

二.师生互动,探究新知

中考数学《不等式》考点：一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系

中考数学《不等式》考点：一元一次不等式、一元一次方程与

一次函数的关系

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中考数学《不等式》考点：一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的关系

1.一元一次不等式ax+b>0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值>0的情形;

一元一次不等式ax+b<0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值<0的情形。

2.直线y=ax+b上使函数值y>0(x轴上方的图像)的x的取值范围是ax+b>0的解集;

使函数值y<0(x轴下方的图像)的x的取值范围是ax+b<0的解集。

3.一元一次方程ax+b=0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值=0的情形;

反之，使函数值y=0的x的取值就是方程ax+b=0(a≠0)的解。

一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解

1.什么是一次函数

一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的

函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。一次函数的

图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。

一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图

像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。

2.一元一次方程的求解

等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。解一元一次

方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。

求解一元一次方程的一般步骤如下：

1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；

2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到

$a x=-b$；

3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得

到$x=\f ra c{-b}{a}$；

4.化简得到最终解，即$x$的值。

通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。

3.一元一次不等式的求解

等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。求解一

元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等

式统一变形原则**。

求解一元一次不等式的一般步骤如下：

1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或

$a x+b>c$的形式；

2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；

3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；

一次函数与方程和不等式

(2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0？
从“数”上看从“形”上看
典例学习
整理课件
例3 如图为一次函数y=kx+b的图象，则不等式kx+b＞0的解集_________
y
1
y= kx+b
-2 O x
整理课件
如图1为一次函数y=kx+b的图象，则不等式kx+b＞0的解集________
课堂小结
整理课件
（1）请用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；
（2）请用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系．
Baidu Nhomakorabea
4 y=2x+4
（-2,0）
从“形”的角度看： -2 o
x
一次函数与一元一次方程的关系
整理课件
以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题，请填空：
序号
1
2
一元一次方程问题解方程 3x-2=0
解方程 -3x+6=0
一次函数问题
当x为何值时， y=3x-2的值为0?
当x为何值时， _y=__-_3_x_+_6__的值为0?
如图2为一次函数y=kx+b的图象，则不等式kx+b≤0的解集________
y
y
2

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式

通过解不等式，我们可以找到满足不等式关系的未知数的值，来描述实际问题中的范围和限制。
一元一次方程与一元一次不等式的比较
一元一次方程和一元一次不等式都是一次项的代数表达式，但方程是等式，而不等式则是具有不等关系。方程的解表示使等式成立的未知数值，而不等式的解表示使不等式关系满足的未知数值集合。
一次函数与一元一次方程的关联
类似地，给定一元一次不等式，可以绘制出对应的一次函数图像，并找到使不等式关系成立的区间。
实际问题中的应用举例
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在现实生活中有广泛的应用。
例如，使用一次函数模型可以预测商品的销售量，解决线性规划问题，而一元一次方程和一元一次不等式可以用来计算、规划和优化各类实际场景，如成本估计、收益预测和资源分配。
一次函数与一元一次方程有密切的关联。通过一次函数的图像，可以获得方程的斜率和截距，进而求解方程。
反过来，给定一元一次方程，可以绘制出对应的一次函数图像，并分析函数在不同区间的特点。
一次函数与一元一次不等式的关联
一次函数与一元一次不等式也存在关联。通过一次函数的图像，可以判断不等式在不同区间的解集。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
本次演讲将探讨一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的定义、性质以及它们在实际问题中的应用举例。
一次函数的定义和性质

一次函数与一次方程、一次不等式的关系

一次函数与一次方程、一次不等式

的关系

一次函数与一次方程、一次不等式的关系

随着数学的发展，一次函数、一次方程、一次不等式成为初中数学的重点内容之一，这三者之间的关系也越来越受到人们的重视。本文将从定义、性质和应用等方面介绍一次函数、一次方程、一次不等式之间的关系，以帮助读者更好地掌握这些数学知识。

一、一次函数

在初中数学中，我们通常将形如y=kx+b的函数称为一次函数，其中k和b都是常数。一次函数的图像通常是一条直线，垂直于x轴的是纵坐标常数，垂直于y轴的是横坐标常数。一次函数具有以下性质：

1、函数图像是一条直线；

2、函数值具有线性关系；

3、函数的斜率为常数，代表了函数的变化率。

二、一次方程

一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a和b都是常数，且a≠0。一次方程的解是方程中符合条件的未知量的值，即x=-b/a。一次方程的解法有多种，例如等式两边同时乘除、移项等。一次方程也具有以下性质：

1、方程中只有一个未知量；

2、方程的通解只有一个；

3、方程的解法简单直接。

三、一次不等式

一次不等式是指形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b都是常数，且a≠0。一次不等式的解是满足不等式中的未知量的取值范围。一次不等式的解法需要讨论a 的正负和不等式的方向，可以利用初等代数方法或者图像分析方法求解。一次不等式也具有以下性质：

1、不等式中只有一个未知量；

2、不等式的解可能是区间或者单个值；

3、不等式的解法需要分类讨论和分析。

四、一次函数、一次方程、一次不等式的关系

1、一次函数与一次方程的关系