2019年广西柳州市中考数学专题训练06：分类讨论思想(精品解析)

专题训练(六)
[分类讨论思想]
1.[2017·聊城] 如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接PA ,PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( )
图ZT6-1
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
2.[2017·义乌] 如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M ,N 在边OA 上,OM=x ,ON=x+4,点P 是边OB 上的点,若使P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个,则x 的值是 .
图ZT6-2
3.[2017·齐齐哈尔] 如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC 中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是 .
图ZT6-3
4.[2017·绥化] 在等腰三角形ABC 中,AD ⊥BC 交直线BC 于点D ,若AD=BC ,则△ABC 的顶角的度数为
12
.
5.[2018·安徽] 矩形ABCD 中,AB=6,BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足△PBE ∽△DBC ,若△APD 是等腰三角形,则PE 的长为 .
6.[2017·眉山] 如图ZT6-4,抛物线
y=ax 2+bx-2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,已知A (3,0),且M 1,-是抛
83物线上一点.
图ZT6-4
(1)求a ,b 的值;
(2)连接AC ,设点P 是y 轴上任一点,若以P ,A ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P 点的坐标;
(3)若点N 是x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O ,A 重合),过点N 作NH ∥AC 交抛物线的对称轴于点H.设ON=t ,△ONH 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式.
7.[2017·烟台] 如图ZT6-5①,抛物线y=ax 2+bx+2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,AB=4.矩形OBDC 的边CD=1,延长DC 交抛物线于点E.
图ZT6-5
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作
PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l 的最大值.
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
图ZT6-6
(1)如图ZT6-6①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
2
(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
参考答案
1.B [解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B 为直角顶点构成等腰直角三角形的点P 有2个,以点A 为直角顶点构成等腰直角三角形的点P 有1个,∴满足条件的有3个.
2.0或4-4或4<x<422
3.10或4或2　[解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC 上的高是AD ,1373∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,
121
2∴AD==8.
102-62∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:
(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,
则这个平行四边形较长的对角线的长是10.
(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,
则这个平行四边形较长的对角线的长是 =4.
82+12213(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,
则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.
62+16273综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.
13734.30°或90°或150°　[解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A 是顶角,如图①,AD=BC ,则AD=BD ,底角为45°,
1
2所以顶角为90°;(2)若角A 不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD 中,AD=BC=AC ,所以顶角为
121
230°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.
5.3或　[解析] 由题意知,点P 在线段BD 上.(1)如图所示,若PD=PA ,则点P 在AD 的垂直平分线上,故点P 为
6
5BD 的中点,PE ⊥BC ,故PE ∥CD ,故
PE=DC=3;1
2
(2)如图所示,
若DA=DP ,则DP=8,在Rt △BCD 中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE ∽△
BC 2+CD 2
DBC ,∴==,∴PE=CD=.
PE DC BP BD 15156
5综上所述,PE 的长为3或.
656.解:(1)由题意,得{9a +3b -2=0,a +b -2=-83,
解得{a =23,b =-43.
(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=x 2-x-2,当x=0时,y=-2,∴C (0,-2).
2343∵以P ,A ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况
:
①若AC=AP (如图①),
由AO ⊥CP ,得OP=OC=2,∴P 1(0,2);
②若CA=CP (如图②),
∵AC===,
OA 2+OC 232+2213∴P 2(0,-2+),P 3(0,-2-);
1313③若AP=PC (如图③),设点P 的坐标为(0,m ),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP 2=OP 2+OA 2,∴(m+2)2=m 2+32,解得m=,
5
4
∴P 40,.
54
综上所述,符合条件的点P 有4个,坐标分别为P 1(0,2),P 2(0,-2+),P 3(0,-2-),P 40,.
131354(3)设抛物线的对称轴交x 轴于点D ,交AC 于点E ,
∵抛物线y=x 2-x-2的对称轴为直线x=1,
234
3∴D (1,0).
又∵tan ∠OAC==,
DE DA OC OA ∴=,
DE 22
3∴DE=.
4
3∵NH ∥AC ,∴△DHN ∽△DEA ,∴=,即=,
DH DE DN DA DH 43|t -
1|
2∴DH=|t-1|.
2
3
分两种情况:
①当0<t<1时(如图④),S=·t ·(1-t )=-t 2+t ;
1223131
3②当1<t<3时(如图⑤),S=·t ·(t-1)=t 2-t.
1223131
3
综上所述,S 与t 之间的函数关系式为S={-13t 2+13t (0<t <1);13t 2-13t (1<t <3).7.解:(1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.∴C (0,2).
∵四边形OBDC 为矩形,
∴OB=CD=1.∴B (1,0).
又∵AB=4,∴A (-3,0).
设抛物线的解析式为y=a (x+3)(x-1).
将点C 的坐标代入得-3a=2,
解得
a=-,23∴抛物线的解析式为y=-x 2-x+2.
2343(2)∵点E 在CD 上,∴y E =2.
将y=2代入抛物线的解析式,得-x 2-x+2=2,解得x =0或x=-2.
2343∴E (-2,2).
∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.
∵PG ∥y 轴,
∴∠PGH=∠COE=45°.
又∵PH ⊥OE ,
∴PH=2
2设直线OE 的解析式为y=kx ,将点E 的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1.∴直线OE 的解析式为y=-x.
设点P 的坐标为m ,-m 2-m+2,则点G 的坐标为(m ,-m ).
2343∴PG=-m 2-m+2+m=-m 2-m+2.
23432313
∴l=×-m 2-m+2=-m 2-m+=-m+2+.
2
2231
3232
62231449248∴l 的最大值为.
492
48(3)抛物线的对称轴为直线x=-=-1.设点N 的坐标为(-1,n ),点M 的坐标为(x ,y ).
b
2a ①当AC 为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,解得x=-2.-1+x 20-3
2将x=-2代入抛物线的解析式得y=2.
∴M (-2,2).
②当AM
为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,-3+x 2-1+0
2解得x=2.
将x=2代入抛物线的解析式得
y=-×4-×2+2=-.2343103
∴M 2,-.10
3③当AN 为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=,解得x=-4.0+x 2-1+(-3)
2将x=-4代入抛物线的解析式得
y=-.103
∴M -4,-.
10
3
综上所述,点M 的坐标为(-2,2)或2,-或-4,-.
10
31038.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,
∴△ABC 不是等腰三角形,
∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,12∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC ,∴△BCD ∽△BAC ,
∴CD 是△ABC 的完美分割线.
(2)①当AD=CD 时,如图①,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC ∽△BCA ,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②当AD=AC 时,如图②,∠ACD=∠ADC==66°,180°-48°
∵△BDC ∽△BCA ,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③当AC=CD 时,如图③,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC ∽△BCA ,
∴∠BCD=∠A=48°,
∵∠ADC>∠BCD ,矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD ∽△BAC ,∴=,设BD=x ,BC BA BD BC ∴()2=x (x+2),∵x>0,∴x=-1,23∵△BCD ∽△BAC ,
∴==,∴CD=×2=-.CD AC BD
BC 3-123-1262。