拓展资源：高次方程求根公式的故事

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高次方程求根故事

高次方程求根的故事源远流长，涉及到多个数学家和学派的发展。

以下是关于高次方程求根的几个关键故事：1. 塔尔塔利亚与卡丹的故事：塔尔塔利亚（Tartaglia）是意大利人，他在1535年发现了三次方程的一般解法，被称为“塔尔塔利亚公式”或“卡尔丹公式”（Cardano's formula），尽管公式实际上是由塔尔塔利亚发现的，但他的名字并未被广泛认可。

这个公式的发表对于数学的发展有重要影响，它解决了长久以来三次方程求解的难题。

2. 霍纳方法与鲁菲尼方法的争议：1819年，英国人霍纳（Horner）在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，被称为“霍纳方法”。

这一方法在数学界引起了轰动，但由于当时数学界对高次方程求解的理解有限，该方法并未立即被广泛接受。

意大利数学界一度要求将其命名为“鲁菲尼方法”，但这一提议并未得到广泛支持。

3. 费罗的贡献：在文艺复兴时期，意大利数学家费罗（Scipione del Ferro）也对三次方程的解法做出了贡献。

他可能是第一个找到三次方程一般解的人，但遗憾的是，他的方法并未公开，直到塔尔塔利亚独立发现了同样的方法。

4. 高次方程求解的困境：尽管数学家们对于三次和四次方程的求解方法有了突破，但对于五次及以上方程的求解，他们遇到了巨大的困难。

在长达两个世纪的时间里，数学家们尝试了各种方法来求解五次方程，但都未能成功。

这其中包括了诸如莱布尼茨等天才数学家的努力。

最终在19世纪初，挪威数学家阿贝尔（Abel）证明了五次及以上方程无法用根式求解，这一结论标志着高次方程求解问题的一个重要转折点。

这些故事展示了高次方程求根历史的复杂性和多样性，也反映了数学家们在面对难题时的坚韧和创造力。

杨辉高次方程

杨辉高次方程
杨辉是中国古代著名的数学家，他在数学领域的贡献非常突出，其中
最为著名的是杨辉三角。

除此之外，杨辉还研究了高次方程，提出了
一种解法，被称为“杨辉法”。

高次方程是指次数大于等于3的方程，例如x³+2x²-3x+1=0。

在古代，人们对高次方程的解法一直很感兴趣，但一直没有找到有效的方法。

直到杨辉提出了自己的解法，才让人们对高次方程有了更深入的认识。

杨辉的解法基于“求根公式”，即通过求出方程的根来解决问题。

他
首先将高次方程化为一个新的形式，然后通过一系列的变换，将其转
化为一个低次方程。

最后，通过求解低次方程的根，得到高次方程的解。

杨辉的解法虽然比较繁琐，但却是一种非常有效的方法。

他的方法不
仅适用于一般的高次方程，还可以用于解决一些特殊的高次方程，例
如“降次法”和“代换法”。

杨辉的研究成果对于中国古代数学的发展起到了重要的推动作用。

他
的方法不仅被广泛应用于数学领域，还被应用于其他领域，例如物理
学和工程学等。

杨辉的贡献被后人称为“中国数学史上的一座丰碑”。

总之，杨辉是中国古代数学领域的杰出人物，他的研究成果对于中国数学的发展起到了重要的推动作用。

他提出的“杨辉法”为解决高次方程提供了一种有效的方法，被广泛应用于数学和其他领域。

杨辉的贡献将永远被人们铭记。

高次方程的求解历史

这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是中作变量代换后把方程化为（1）它不再含有平方项了，设，这里m和n是两个待定的数，则有如果取m, n满足则对应的y值必满足（1）式。

另一方面，由可得所以，当取时，并令，就得原三次方程的一个根它的另两个根是这里（其中）是的两个不是1的根。

在三次方程求根公式发明过得中，有一个十分有趣的故事，四百多年前，意大利盛行数学竞赛，竞赛的一方是菲俄（Fior，十六世纪前半叶），他是意大利波洛那（Bologna）数学学会会长费罗（Ferro，1465——1526）的学生。

另一方面是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚（Taritalia，1500——1557），他小时候就受伤后“口吃”，从小学拉丁文，希腊文，酷爱数学，与费罗一样，对求解三次方程很有研究，在1530年，塔尔塔里亚曾解决了另一个挑战者科拉(Colla)提出的以下两个三次方程求解问题：。

这引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米兰市大教堂公开竞赛，双方各出三十个三次方程。

结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲俄却交了白卷。

1541后，塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法，准备在译完欧几里得和阿基米德的著作后，自己写一本书公开他的解法。

此时，卡丹出场了。

他再三乞求塔尔塔里亚给一首语句晦涩的诗。

这首诗写得很蹩脚，但的确把解法的每一步骤都写进去了，他本人说：“本诗无佳句，对此我不介意，为记这一规则，此诗堪作工具”。

卡丹在得到这一切后，却背信弃义，于1545年把这一解法发表在《大法》这本书中，并断定塔尔塔里亚的方法是费罗的方法，这是与菲俄竞赛时得知的。

这引塔尔塔里亚的极大愤怒，并向卡丹宣战。

双方各出31题，限定15于交卷。

求根公式的由来

求根公式的由来在我们学习数学的过程中，求根公式可是个相当重要的家伙。

那它到底是怎么来的呢？这可得好好说道说道。

还记得我上初中那会，有一次数学课上，老师在黑板上写下了一个一元二次方程，然后就开始给我们讲怎么求解。

当时我心里就犯嘀咕：“这咋整啊？”可当老师一步步推导出求根公式的时候，我就像突然被点亮了一盏灯，那种感觉真的太奇妙了。

咱们先来说说一元二次方程，一般形式是 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。

为了找到它的根，咱们就得想办法把 x 给弄出来。

最早的时候，人们尝试用各种方法来解决这类问题。

就像在黑暗中摸索，一点点试探。

后来，经过无数数学家的努力，终于找到了求根公式这个神奇的东西。

咱们来实际推导一下，先配方：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）两边同时除以 a 得到：x² + (b/a)x + c/a = 0然后配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a = 0变形得到：(x + b/2a)² - (b² - 4ac) / 4a² = 0接着：(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²然后开方：x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a最后：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a这就是求根公式啦！其实，这个过程就像是搭积木，一块一块地拼凑，直到最后呈现出一个完整漂亮的建筑。

在实际应用中，求根公式可太有用了。

比如说，要计算一个果园里果树的种植数量，或者计算一个物体的运动轨迹，都可能用到一元二次方程和求根公式。

有一次，我去朋友家的果园帮忙。

朋友想知道按照一定的种植间距，在一块特定面积的土地上能种多少棵果树。

我们就列出了一个一元二次方程，然后用求根公式算出了答案。

专题讲座二从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论根据古埃及的草片

专题讲座二从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论根据古埃及的草片文书记载，早在公元前1700年左右，人们就发现，当a≠0时，ax= b有根x = b/a，随着岁月的流逝，数学的发展，到了公元前几世纪，巴比伦人实际上已经使用过配方法得知（当a≠0时）有根当时，人们只承认现在称之为正实根才是根，零，负数，无理数和复数的概念和理论迟至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。

根据巴比伦文书记载，当时已解决了二次方程：得出的解答是：这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是：在中作变量代换后把方程化为（1）它不再含有平方项了，设，这里m和n是两个待定的数，则有如果取m, n满足则对应的y值必满足（1）式。

另一方面，由可得所以，当取时，并令，就得原三次方程的一个根它的另两个根是这里（其中）是的两个不是1的根。

这引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米兰市大教堂公开竞赛，双方各出三十个三次方程。

结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲俄却交了白卷。

1541后，塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法，准备在译完欧几里得和阿基米德的著作后，自己写一本书公开他的解法。

一元高次方程的求解

一元高次方程的求解求解一元高次方程曾是数学史上的难题。

让你去求解一个一元一次，二次方程方程或许是简单的，但三次，四次或更高次的方程呢？为了解决这一问题，数学家们奋斗了几个世纪。

让咱们一路来看一下数学尽力的功效。

n 次方程的一样表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。

当系数01,,a a 1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。

若是存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中第一证明了“代数大体定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

依照代数大体定理能够推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。

这一结论也能够用多项式的因式分解语言来表达：“复数域上任何n 次多项式都能够分解成n 个一次式的乘积。

”代数大体定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方式。

要求得n 次方程的根，一样是希望取得n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ①的求解公式，如二次方程20(0)++=≠②的求根公式那样。

众所周知，方ax bx c a程②的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学高作中，都有不同的表述方式。

一个n次方程①的求根公式是指，①的根通过其系数经由加、减、乘、除和乘方、开方的表示式，也称这种情形为方程有根式解。

三次和高于三次的方程是不是有根式解？也确实是说，是不是有求根公式？通过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当及其助手才前后给出了三次和四次方程的根式解。

高次代数方程求根

[科目] 数学[关键词] 多项式/方程[文件] sxbj103.doc[标题] 高次代数方程求根[内容]高次代数方程求根P n(x) = a0x n+a1x n+．．．+a n-1x+a n=0上式的左边为多项式的方程，称为n次代数方程，或多项式方程。

而当中n=1,2,．．．,a k是实系数或复系数，但a0不等于0。

当n>1的时候，P n(x)则称为高次代数方程，而它的次数就是n。

以上的多项式中的零点就是对应代数方程的根。

人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解法的问题。

如巴比伦泥板中的平方表和立方表，它们可被用作解某些特殊的二次和三次方程。

在中国古代，人们已相当系统地解决了高次方程求解的问题：《九章算术》以算法形式给出求二次方程和正系数三次方程根的具体计算程序。

7世纪，王孝通也找出了求三次方程正根数值解法。

11世纪，贾宪《黄帝九章算法细草》创：「开方作法本源图」，是以「立成释锁法」解三次或三次以上的高次方程式。

同时，他亦提出了一种更简便的「增乘开方法」。

13世纪，由秦九韶《数书九章》完成了「正负开方术」，更提供了一个用算筹布列解任何的数字方程的可行可计算的算法，可以求出任意次代数方程的正根。

除中国外，阿拉伯人对高次代数方程亦有所研究，在9世纪，花拉子米是第一个给出二次方程的一般解法，而在1100年，奥玛‧海亚姆给出了些特殊的三次方程式解法。

1541年，塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法。

1545年，卡尔达诺的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法。

1736年，在牛顿的《流数法》一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解法。

1690年，J.拉福生亦提出了类似的方法，而它们的结合就成为现代常用的方法──牛顿法，亦称为切线法。

这是一种广泛用于高次代数方程和方程组求解的迭代法，一直为数学界所采用，并不断创新，如修正牛顿法及拟牛顿法等。

1797年，高斯给出了「代数基本定理」，证实了高次代数方程根的存在性。

灭数中国古代高次方程求解

灭数中国古代高次方程求解
"灭数"是中国古代数学中的一个术语，它指的是求解高次方程的方法。

在中国古代，数学家们发展出了一套独特的高次方程求解方法，这些方法在当时的数学著作中有所记载。

高次方程是指未知数次数大于1的方程。

在中国古代，数学家们使用了一种称为"天元术"的方法来求解高次方程。

天元术是一种代数方法，它使用代数符号来表示未知数，并通过代数运算来求解方程。

在天元术中，未知数被称为"天元"，而方程的解则被称为"元"。

数学家们通过设立方程，然后使用代数运算来求解这个方程，从而得到未知数的值。

除了天元术外，中国古代数学家还发展出了其他求解高次方程的方法，如"增乘开方法"和"正负开方法"等。

这些方法都是基于代数运算和逻辑推理，通过逐步推导来求解高次方程。

需要注意的是，中国古代的高次方程求解方法与现代数学中的方法有所不同。

现代数学中，我们通常使用代数、微积分等数学工具来求解高次方程，而中国古代的方法则更多地依赖于代数运算和逻辑推理。

总之，"灭数"是中国古代数学中的一个重要概念，它代表了求解高次方程的方法和技巧。

这些方法在当时的数学著作中有所记载，并对后来的数学发展产生了深远的影响。

求根公式法解方程

求根公式法解方程解方程对于很多同学来说，就像是一场神秘的冒险。

在这场冒险中，求根公式法就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多方程的神秘之门。

咱们先来说说啥是求根公式。

求根公式啊，就像是数学世界里的一个魔法咒语，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a\neq0$），它的求根公式就是$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

我记得有一次给学生们讲这个求根公式的时候，有个特别可爱的小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这个公式是怎么来的呀？”我就笑着跟他说：“这就像是一个宝藏的密码，咱们得一步步解开。

”其实求根公式的推导过程就像是搭积木，咱们先把方程移项变成$ax^2 + bx = -c$，然后两边同时除以$a$得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。

接下来就是关键的一步，咱们要配方，在等式两边加上$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x +\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$。

左边就变成了一个完全平方式$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}$。

再开方，就得到了求根公式。

学会了求根公式，那咱们就得实战一下。

比如说方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，这里$a = 1$，$b = 2$，$c = -3$，把这些值代入求根公式，$x =\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4×1×(-3)}}{2×1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} =\frac{-2 \pm 4}{2}$，所以$x_1 = 1$，$x_2 = -3$。

方程的求根公式范文

方程的求根公式范文方程是数学中一个重要的概念，它帮助我们解决各种各样的问题，例如求解未知数、找出等式成立的条件等。

方程的求根公式是一种用于求解一元二次方程的方法。

一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

下面我将详细介绍方程的求根公式。

求根公式起源于古希腊，但它的完整形式是由16世纪意大利数学家乔瓦尼·毕达哥拉斯提出的。

求根公式可以解决任何一元二次方程，而且其结果可以分为三种情况：实根、重根和虚根。

下面我将逐一阐述这三种情况。

首先，考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的情况。

利用求根公式，我可以得出方程的两个根x1和x2的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是方程的求根公式。

下面我们来看一些具体的例子。

例1：求解方程x^2+2x-3=0。

首先，我们可以将方程与我们的求根公式进行比较。

我们可以看出a=1，b=2，c=-3、将这些值代入求根公式，我们可以计算出方程的两个根：x1=(-2+√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2+√(4+12))/2=(-2+√16)/2=(-2+4)/2=2/2=1x2=(-2-√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2-√(4+12))/2=(-2-√16)/2=(-2-4)/2=-6/2=-3所以，方程x^2+2x-3=0的两个根分别是1和-3接下来，我们来看一种特殊情况，即方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0的情况。

这种情况下，方程只有一个根，称为重根。

例2：求解方程4x^2-8x+4=0。

来看一下方程的判别式D的值：D=(-8)^2-4*4*4=64-64=0我们可以看到判别式D等于0。

那么，我们应用求根公式计算方程的根。

x1=(-(-8)+√((-8)^2-4*4*4))/(2*4)=(8+0)/8=8/8=1所以，方程4x^2-8x+4=0只有一个根1最后，我们来看一种判别式D小于0的情况。

求根公式的推导过程

求根公式的推导过程从古至今，数学领域的发展可以说是一步一个脚印，从古代到现代都有着不少重要的突破。

其中之一，毋庸置疑地是求根公式的出现。

多少年以来，求根公式一直受到学术界的关注，推导出求根公式的过程也一直令学者们兴奋不已。

下面，就让我们一起来看看，求根公式的推导过程有着怎样的精彩。

首先，需要简单介绍一下求根公式是什么。

求根公式，又叫做求解方程的根的公式，是指利用给定的各项系数，当等式的次方只有一项的时候，可以求解这个等式的根的公式。

求根公式由古希腊数学家凯撒（Caesar）提出，但是最早的记载是来自于印度古代数学家施蒂文蒂巴米耶拉斯（Sidhant Bhaskaras）的书籍《什么是求根公式》，被誉为“科学史上最伟大的发现”。

求根公式的推导过程可以通过椭圆和双曲线的数学研究来完成。

我们知道，椭圆和双曲线都是椭圆论的重要组成部分，椭圆论又被称为“椭圆穴论”。

可以说，椭圆论是求根公式的论据。

为了推导出求根公式，我们需要先对椭圆论和双曲线做一定的探索。

接下来，就让我们从研究椭圆开始吧。

椭圆是一种等式f(x, y)=0的曲线，其等式可以描述为：f(x, y)=ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0（其中a, b, c, g, h, f均为系数）以上就是椭圆的一般形式。

而椭圆的点(x0, y0)满足f(x0, y0)=0，或者说，在椭圆上所有点都满足这个式子。

显然，椭圆上的点可以由以下方程求出：x=(f2-be2)x0/ae2+(2gh-bf)y0/ae2y=(e2-af2)y0/be2+(2gf-ah)x0/be2而椭圆的长轴和短轴长度则分别为：L1=2a(b2-ah2e2)1/2L2=2b(a2-bh2e2)1/2根据以上的椭圆及其属性，我们可以将椭圆的等式重新推导如下： (x-x0)2/L12+(y-y0)2/L22=1这就是椭圆的标准方程，由此我们可以推导出一般椭圆的系数a, b, c, g, h, f, x0, y0, L1, L2关系式。

9高次方程的求根

2 3 2
3
初等数
3
学专题研究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲高次方程的求根对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能寻求它的近似解。本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初等数学专题研究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0

求根公式的演变与发展

求根公式的演变与发展一、三次多项式（方程）的求根公式三次多项式（方程）的求根公式，在1545年由意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia ）和卡当（H.Cardano ）给出。

对于特殊的三次方程，设3()f x x px q 的三个根为(1,2,3)i i 令 23322,cos sin (1)42733q p i 则有331233223333222222q q qq q q对于一般的三次式32(0)ax bx cx d a ，只要令3b y x a ，则可化为3y py q ，再套上述公式，其中2322322927,327ac b b abc a d p q a a 。

二、四次多项式（方程）的求根公式四次多项式（方程）的求根公式，由卡当的学生意大利数学家费拉里（L . Ferrari ）给出。

设4320x ax bx cx d 配方得2222()()22ax a x b x cx d 两边加上22()24ax t x t ，得 22222()()()()22424axt a at t x b t x c x d (1)适当选择t 使右边二次式的判别式为0，即222()4()()0244at a t c b t d (2)这时式(2)是关于t 的三次方程,可由卡当公式求t ，设0t 是式(2)的任一根,代入式(1)后，得22222000()()2244t t axa x b t x d (3)将式(3)移项分解因式，可得两个二次方程： 222000222000()()02424()()02424t t a a xb t x d t t a a x b t x d ……（4）解方程组(4)，即可得原四次方程的 4 个根。

三、五次以上的多项式（方程）的求根公式对于一般的五次以上的多项式（方程），1824年由挪威数学家阿贝尔(Abel)首先证明不存在求根公式；1828年法国数学家伽罗华(Galois)彻底解决了这个问题，他不仅证明了所有n (≥5)次多项式都适用的求根公式不存在，而且给出了具有求根公式的具体的n (≥5)次多项式所应满足的条件。

九年级数学拓展资源：高次方程求根公式的故事

高次方程求根公式的故事1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。

事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。

21塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。

他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。

他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。

有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。

结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。

塔尔塔利亚大获全胜。

后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。

尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。

可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。

六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。

他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。

塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。

我找到了几种证法。

证法很难，我把它叙述如下。

”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。

卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。

但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。

卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。

高中数学拓展知识一解方程的历史

最有价值的科学书籍是作者在书中明白地指出了他所不明白的东西的那些书，遗憾地，这还很少被人们所认识；作者由于掩盖难点，大多害了他的读者。

Evariste Galois解方程的历史在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

巴比伦时代人们已经知道用配方法解二次方程。

公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法。

1500年左右，波洛尼亚（Bologna ）的费罗（Ferro ）解出了x 3+mx =n 类型的三次方程。

公元1541年意大利数学家塔尔塔利亚（Tartaglia ）给出了三次方程的一般解法。

公元1545年意大利数学家卡丹(Jerome Cardan )的名著《重要的艺术》一书中，把塔尔塔利（Tartaglia ）的解法加以发展，并记载了费拉里（Lodovico Ferrari ）的四次方程的一般解法。

公元1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程解不存在的猜想。

公无1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。

公元1828年，法国天才数学家伽罗华巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。

虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等。

在卡丹(Jerome Cardan )发表的方法中，他以2063=+x x 为例。

为了解法的一般性，我们考察n mx x =+3，其中m ，n 为正数。

卡丹引入另外两个量，令3，27t u n,m tu -=⎧⎪⎨=⎪⎩① 所以原方程变形为3x t u +=-而33-t u -===2[+=3+，因此，x解①关于t ，u 的二次方程，得到，2，2n t n u ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩② 这里我们也和卡丹一样取正根，求出t ，u 后，就可以求出方程的一个根。

数学史：方程求解的趣味故事

数学史：方程求解的趣味故事金庸先生的武侠相信大家都看过，书中关于武林中故事情节一定记忆犹新，读来让人回味无穷，荡气回肠。

其实在数学的发展历史中，也成出现过这种类似的故事，甚至比武侠故事更让人回味，今天我就给大家分享一下。

学生时代我们都学习过一元一次方程和一元二次方程求解，那你知道人类是何时会求解这些方程的吗？一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。

公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解特殊的一元二次方程了。

公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解一元二次方程。

一元二次方程的解决就促使人们进一步的思考，一元三次方程是否能找到求根公式呢？然而，对更高次的一元三次方程的求解，却让很多数学家都陷入了困境。

经历了两千多年的漫长岁月。

，一元三次方程的解法始终没有定论。

数不清的数学家付出了一生的精力去探索三次方程，却以失败告终。

但这并没有让数学家停止对一元三次方程求根公式的寻找。

时间来到了16世纪的意大利，一个叫费罗的数学家终于找到了x+mx=n一类的缺项三次方程的求解公式。

然而，费罗却没有将自己的成果公布出来，而是秘而不宣，犹如武侠小说里面，某某懂得某种高深的武功，自然是不会教给别人的。

费罗凭借这一独门功夫，称霸意大利的数学江湖多年。

直到1526年费罗临终之际，才将自己的成果记录在了笔记本上，传给了自己的弟子菲奥尔。

自然费奥尔也没有将其公布于众。

（塔尔塔利亚）但不久之后，有一个叫尼科洛·塔尔塔利亚的数学家对外声称自己也会求解一元三次方程（塔尔塔利亚找到了缺少一次项的正系数三次方程“x^3+px^2=q”的一般解法）。

菲奥尔听说塔尔塔利亚会解三次方程后很是愤怒，发表公开声明，强调自己才是武林正宗，只有自己掌握三次方程的解法。

塔尔塔利亚听说后当然不干了，一场口水撕逼大战爆发。

最终塔尔塔利亚给菲奥尔下了挑战书，两人约定1535年2月22日在米兰的圣玛利亚大教堂进行公开比赛，两个人各自带30道题过去，在公证人面前交换题目，以50天为期，谁解出的题目越多谁就获胜，华山论剑就此开始。

求根公式的历史与应用

求根公式的历史与应用求根公式是一种数学工具，用于解决多项式方程的根的问题。

它在数学领域具有重要的历史渊源和广泛的应用。

本文将通过探索求根公式的历史，并重点介绍其在代数学、物理学和工程学等领域中的应用。

一、求根公式的历史求根公式最早可以追溯到古希腊时期。

古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了求解一次方程的方法，但对于二次及更高次方程仍然没有有效的解法。

直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺提出了求解三次方程的方法，称为卡尔达诺方程。

然而，直到公元16世纪末，法国数学家维埃塔提出了关于四次方程的解法，它们解决了过去数学家们长期以来的难题。

然而，对于高于四次方程的求根问题，长期以来一直被认为是不可解的。

直到18世纪，法国数学家欧拉才提出了一个关于五次方程的求根公式，但这个公式过于复杂，难以应用。

直到19世纪，法国数学家伽罗华和挪威数学家阿贝尔独立地证明了五次及更高次方程无一般求根公式。

二、求根公式的应用虽然没有一般的求根公式，但求根公式仍然在数学和其他学科中有着广泛的应用。

1. 代数学中的应用在代数学中，求根公式被广泛应用于多项式的因式分解和根的特征等方面。

通过求根公式，我们可以将多项式分解为一系列一次因式的乘积，从而更好地理解和分析多项式函数的性质。

2. 物理学中的应用求根公式在物理学中也有重要的应用。

许多物理问题可以用方程描述，而求解方程的根则是解决问题的关键。

例如，在牛顿力学中，求根公式可以用来解决抛体运动、振动问题等。

在电磁学中，求根公式可以用来解决电路中的电压和电流分布等问题。

3. 工程学中的应用在工程学中，求根公式以及相关的数值方法被广泛应用于解决各种工程问题。

例如，在控制系统工程中，求根公式可以用来分析和设计控制系统的稳定性和性能。

在结构工程中，求根公式可以用来计算和优化结构的固有频率和振型等。

总结起来，求根公式是一种重要的数学工具，在数学和其他学科中有着广泛的应用。

尽管一般的求根公式已被证明不存在，但通过特定的数值方法和近似解法，我们仍然能够有效地解决多项式方程的根的问题。

古代的高次方程过程

古代的高次方程过程
古代高次方程的解法
在古代，数学是一门非常重要的学科，人们通过研究数学问题来解决各种实际的难题。

其中一个重要的数学问题就是高次方程的解法。

高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程等。

解决高次方程的方法有很多种，但在古代，人们主要使用代数方法和几何方法来解决这些问题。

代数方法是通过符号运算来解决方程，其中代数学家们提出了一些重要的概念和技巧。

他们发现，对于一元n次方程，可以通过多次的因式分解和配凑的方法，将其转化为一元一次方程的形式，从而求得方程的解。

几何方法则是通过图形的性质来解决方程。

古代数学家们发现，对于二次方程，可以通过几何方法来求解。

他们发展出了求解二次方程的几何图形，通过观察图形的性质，可以得到方程的解。

这种几何方法不仅提供了解决方程的一种途径，也丰富了几何学的发展。

以二次方程为例，古代数学家们发现，二次方程的解可以通过求根公式来得到。

这个公式可以用来计算方程的根，并且可以适用于所有的二次方程。

这个公式的推导过程非常繁琐，需要运用代数的知识和技巧。

通过这个公式，人们可以求解各种各样的实际问题，例如求解物体的运动轨迹、求解图形的面积等。

总的来说，古代高次方程的解法涉及到代数和几何两个方面。

通过运用代数的方法和几何的观察，人们可以解决各种各样的高次方程问题。

这些解法不仅为古代人们解决实际问题提供了便利，也为数学的发展做出了重要的贡献。

作为现代人，我们应该向古代数学家们学习，继续发展和探索数学的奥秘。

一元高次方程求根

一元高次方程求根高次方程是指次数大于等于2的方程，而一元高次方程则是只含有一个未知数的高次方程。

求解一元高次方程的根是数学中常见且重要的问题，本文将介绍一元高次方程求根的一些常见方法。

一、二次方程求根二次方程是指次数为2的一元高次方程，一般的二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。

求解二次方程的根有以下两种常见的方法：1.公式法根据二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以直接计算二次方程的根。

其中，根的个数与判别式Δ = b^2 - 4ac的值相关，若Δ > 0，则有两个不相等的实根；若Δ = 0，则有两个相等的实根；若Δ < 0，则没有实根。

例如，对于方程2x^2 + 3x - 1 = 0，根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，代入a = 2，b = 3，c = -1，进行计算即可得到方程的根。

2.配方法对于无法直接使用公式法求解的二次方程，可以通过配方法进行转化，使之变成可以使用公式法求解的二次方程。

常见的配方法包括完全平方和两次平方差公式等。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以通过配方法将其转化为(x -3)(x - 2) = 0，进而得到方程的根x = 3和x = 2。

二、高次方程的迭代逼近法对于三次方程及其以上的高次方程，由于缺乏通用公式，常常采用迭代逼近法进行求解。

迭代逼近法的基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。

常见的迭代逼近法包括牛顿迭代法和二分法等。

牛顿迭代法是一种通过逐次迭代逼近方程根的方法，具体步骤如下：1.选择初始值x0；2.计算当前迭代值xn的函数值f(xn)和导数值f'(xn)；3.根据迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)计算下一个迭代值；4.判断xn+1与xn之间的差值是否达到预设的精度要求，若达到则停止迭代，xn+1即为方程的根；若未达到则继续第2步直至满足精度要求。

高次方程求根公式

高次方程求根公式在代数学中，高次方程是指次数大于等于2的多项式方程。

求解高次方程的根是代数学的一个重要研究课题，可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些常见的高次方程求根公式，其中包括二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。

一、二次方程的求根公式二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。

求解二次方程的根可以使用以下公式：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即x的两个可能取值。

如果b^2-4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果b^2-4ac等于0，则方程有两个相等的实根；如果b^2-4ac小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。

二、三次方程的求根公式三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d 为已知实数且a≠0。

求解三次方程的根可以使用以下公式：x = ∛(-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)) + ∛(-q/2 - √(q^2/4 + p^3/27)) - b/(3a)其中，q = (3ac-b^2)/(9a^2)，p = (3b-9ac)/(27a^2)。

这个公式可以求解三次方程的一个实根，而其他两个根可以通过代入求解得到。

三、四次方程的求根公式四次方程是形如ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为已知实数且a≠0。

求解四次方程的根可以使用以下公式：x = ±√((-b+√(b^2-4ac))/2a) ±√((-b-√(b^2-4ac))/2a)其中，±表示四个解，即x的四个可能取值。

这个公式可以求解四次方程的所有实根，但需要注意的是，四次方程可能有重根或复根。

需要注意的是，除了二次方程、三次方程和四次方程，高次方程的求根公式并不一定存在。

对于五次及以上的方程，一般无法用有限次的加、减、乘、除和开方运算来求解其根。