浙教版八年级数学上册第二章知识点注意点经典例题
浙教版八上数学期末复习-第二章 特殊三角形
课题：第二章特殊三角形一、等腰三角形分类讨论1.1等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为：1.2等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．等腰三角形的腰长为：1.3.等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于：钢架问题2.1.如图1，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝图1 图2 图3 图4 图52.2如图2钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…恰能加8根钢架，且P1A=P1P2，求∠A范围．2.3如图3，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为：性质应用3.1如图4，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，求AC的长3.2如图5，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．3.3如图6，等腰△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE作图：4直线L上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线L上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个二、等边三角形性质应用1.1如图7，等边三角形ABC，BC＝2，D是AB的中点，作DF⊥AC于点F，作EF⊥BC于点E，BE的长为：图6 图7 图8 图9 图10 图111.2.如图8，等边△ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。
∠AFE=______面积法：2.1如图9，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求PE+PF的值。
新版浙教新版数学八上知识点汇总及典型例题
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
5、三角形的角与角之间的关系：
（1）三角形三个内角的和等于180。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计 算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。
典例分析
例1如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（
例21、在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A =（度）
（3）全等变换
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 中考规律盘点及预测
例3如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
例4如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）
=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DC
∠B=∠C，BD=DC
（4）直角三角形的两个锐角互余.
6、三角形的稳定性： 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点
浙教版-8年级-上册-数学-第2章《特殊三角形》分节知识点一、轴对称要点一、轴对称图形1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：（1）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2、轴对称与轴对称图形的区别与联系（1）轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质1、轴对称、轴对称图形的性质（1）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、等腰三角形性质定理要点一、等腰三角形的定义1、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2、等腰三角形的作法（1）已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1、作线段BC=a；2、分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3、连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3、等腰三角形的对称性（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，AD为底边上的中线.（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4、等边三角形（1）三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.（3）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.（4）等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．（2）推论：等边三角形的各个内角都等于60°.（3）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2、等腰三角形的性质的作用（1）证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3、尺规作图：已知底边和底边上的高（1）已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1、作线段BC=a.2、作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三、等腰三角形的判定定理要点一、等腰三角形的判定定理1、等腰三角形的判定定理（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2、等边三角形的判定定理（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形它的高是，面积是.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．（2）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：（1）每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理（1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立．（2）当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．四、直角三角形要点一、直角三角形的概念（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：（1）三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.（2）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.要点三、直角三角形判定（1）两个角互余的三角形是直角三角形.（2）在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．五、勾股定理要点一、勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）利用勾股定理，作出长为的线段.六、勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理（1）如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：（1）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题（1）如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：（1）原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数（1）满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.（1）熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；七、直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法（1）由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.要点三、角平分线的第二个性质定理（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.要点诠释：（1）这个性质定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置，运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.。
(完整版)浙教版初中数学八年级上册知识点及典型例题
数学八年级上册知识点及典型例题第一章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角所截，构成了八个角。
如图：直线l , l被直线l321L3 a3L1 14a12358L2 a267的同旁，并且分别位于直线l , ll 的相同一侧，这样的一51. 观察∠1与∠的位置：它们都在第三条直线231对角叫做“同位角”。
2. 观察∠3与∠5的位置：它们都在第三条直线l的异侧，并且都位于两条直线l , l 之间，这样的一对213角叫做“内错角”。
3. 观察∠2与∠5的位置：它们都在第三条直线l的同旁，并且都位于两条直线l , l之间，这样的一对角231叫做“同旁内角”。
想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角）确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）复习画两条平行线的方法：A A L12L1o抽象成几何图形（图形的平移变换）L1oL B2B．21）怎样用语言叙述上面的图形？提问：（1 被AB所截）（直线l，l 21（2）画图过程中，什么角始终保持相等？2）（同位角相等，即∠1＝∠位置关系如何？，3）直线ll （21）l∥l （21（4）可以叙述为：2∵∠1＝∠）（∥∴ll ？ 1 2。
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单地说：同位角相等，两直线平行。
21＝∠几何叙述：∵∠l∥l（同位角相等，两直线平行）∴ 2 1想一想c a21b若a⊥b,b⊥c则a c2在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
平行线判定方法的特殊情形：2）1．2 平行线的判定（CDAB与＝180°，则AB与CD平行吗？②若∠2+∠4图中，直线AB 与CD被直线EF所截，①若∠3＝∠4，则平行吗？E1A B432 C DF°42+∠＝180°，∠2+∠3＝180 ，∠①∵∠3＝∠41＝∠4 ②∵∠＝∠4 ∴∠3 1∴∠＝∠3）（）∴AB∥CD （∥∴ABCD内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。
[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。
★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。
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21D CB ADCBA第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、掌握三角形全等的判定方法 知识点概要1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边。
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。
相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．2、三角形的分类： (1)按角分类：(2)按边分类：3、三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形D CB A注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边。
【浙教版】八年级数学上第二章 特殊三角形 章末复习(含答案)
章末复习（二） 特殊三角形01 基础题知识点1 轴对称图形与轴对称1.下列四个手机APP 图标中，是轴对称图形的是（C ）2.（萧山区期中）下列图案中，是轴对称图形的有（B ）A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2 等腰三角形的性质与判定3.（丽水岭头中学月考）已知a .b .c 是△ABC 的三边长，且满足c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为（C ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.（杭州青春中学期中）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（C ）A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定5.如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝120°，CE 平分∠ACB ，AD ∥EC ，交BC 的延长线于点D .（1）求∠BCE 的度数；（2）试找出图中的等边三角形，并说明理由.解：（1）∵∠ACB ＝120°，CE 平分∠ACB ， ∴∠BCE ＝12∠ABC ＝60°.（2）△ACD 是等边三角形，理由：∵∠BCE ＝60°，AD ∥EC ， ∴∠BCE ＝∠D ＝60°. ∵∠ACB ＝120°， ∴∠ACD ＝60°.∴△ACD是等边三角形.6.（杭州下城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AE＝BC，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.（1）若CE＝12，求BC长；（2）求∠ECD的度数.解：（1）∵ED垂直平分AC，∴AE＝EC.∵AE＝BC，∴BC＝CE＝12.（2）∵AE＝CE＝BC，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠CEB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠BEC＝∠A＋∠ECA＝2∠A，∴设∠A＝x，则∠BEC＝∠B＝∠ACB＝2x.∴5x＝180°，x＝36°.∴∠ECD＝∠A＝36°.知识点3逆命题与逆定理7.命题：“平行四边形是中心对称图形”的逆命题为具有中心对称的图形是平行四边形.知识点4直角三角形的性质与判定8.如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝60°，则∠1的度数等于（D）A.75°B.60°C.45°D.30°第8题图第9题图9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BD 平分∠ABC ，P 点是BD 的中点，若AD ＝8，则CP 的长为（C ）A.3B.3.5C.4D.4.510.（萧山区期中）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明.解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形； 为真命题；已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，AD ＝12BC .求证：△ABC 是直角三角形.证明：∵AD 是BC 边的中线， ∴BD ＝CD ＝12BC .∵AD ＝12BC ，∴AD ＝BD ＝CD . ∴∠1＝∠B ，∠2＝∠C . ∴∠1＋∠2＝∠B ＋∠C ， 即∠BAC ＝∠B ＋∠C .∵2∠BAC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形. 知识点5 勾股定理11.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（C ）A.4 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm12.（平阳县校级月考）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树高AB ＝13米，另一棵树高CD ＝7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10米.13.（金华月考）已知，在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，a 3＝b 4＝c5，2c －b ＝12，求△ABC 的面积.解：∵a 3＝b 4＝c5，∴设a ＝3k ，则b ＝4k ，c ＝5k . ∵2c －b ＝12， ∴10k －4k ＝12. ∴k ＝2.∴a ＝6，b ＝8，c ＝10. ∵62＋82＝102， ∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为直角三角形. ∴△ABC 的面积为：12×6×8＝24.知识点6 直角三角形全等的判定14.如图，∠ACB ＝∠CFE ＝90°，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：AD ＝CF .证明：∵∠ACB ＝∠CFE ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°. 在Rt △ACB 和Rt △DFE 中， AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴Rt △ACB ≌Rt △DFE （HL ）. ∴AC ＝DF .∴AC －AF ＝DF －AF ，即AD ＝CF . 02 中档题15.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.若α＝10°，则β的度数是（B ）A.40°B.50°C.60°D.不能确定第15题图第16题图16.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（D）A.72B.52C.80D.7617.如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（A）A.10B.8C.5D.4第17题图第18题图18.（下城区校级期中）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使P A＋PE最小，则这个最小值是（C）A.2B.2 2C.2 5D.419.（萧山区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD＝∠B；②CH＝CE＝EF；③AC＝AF；④CH＝HD.其中正确的结论为（B）A.①②④B.①②③C.②③D.①③第19题图第20题图20.（台州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D.E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为（B）A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm21.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13.求BC边上的高AD.解：设BD ＝x ，则CD ＝14－x . ∵AD 是△ABC 中BC 边上的高，∴在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，由勾股定理，得 AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，即152－x 2＝132－（14－x ）2，解得x ＝9. ∴AD ＝152－92＝12.22.已知：如图，△ABC 为等边三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等边△ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC ，CD ，CE 三条线段的长度有何关系？试写出证明过程.解：CE ＝AC ＋CD .证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°. 又∵△ADE 为等边三角形， ∴AD ＝AE ，∠DAE ＝60°.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE . 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴BD ＝CE . ∵AC ＝BC ，∴BD ＝BC ＋CD ＝AC ＋CD ，即CE ＝AC ＋CD .23.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：（1）CF ＝EB ； （2）AB ＝AF ＋2EB .证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ， ∴DE ＝DC .在Rt △CDF 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DB ，DC ＝DE ， ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ）. ∴CF ＝EB .（2）在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝DE ，AD ＝AD ， ∴Rt △ADC ≌Rt △ADE （HL ）. ∴AC ＝AE .∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .24.已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点.（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由.解：（1）证明：∵点D 是AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠CAD ＝∠CBD ＝45°. ∴∠CAE ＝∠BCG .∵BF ⊥CE ，∴∠CBG ＋∠BCF ＝90°. 又∵∠ACE ＋∠BCF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBG . 又∵AC ＝CB ，∴△AEC ≌△CGB . ∴AE ＝CG .（2）BE ＝CM .理由：∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ， ∴∠CMA ＋∠MCH ＝90°，∠BEC ＋∠MCH ＝90°. ∴∠CMA ＝∠BEC .又∵AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBE ＝45°， ∴△CAM ≌△BCE . ∴BE ＝CM . 03 综合题25.如图1，△ABC 中，CD .BE 分别是AB .AC 边上的高，M .N 分别是线段BC .DE 的中点. （1）求证：MN ⊥DE ；（2）连结DM ，ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC ，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.解：（1）证明：连结DM ，ME ，∵CD .BE 分别是AB .AC 边上的高，M 是BC 的中点， ∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC .∴DM ＝ME . 又∵N 为DE 中点， ∴MN ⊥DE .（2）在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ， ∵DM ＝ME ＝BM ＝MC ，∴∠BMD ＋∠CME ＝（180°－2∠ABC ）＋（180°－2∠ACB ） ＝360°－2（∠ABC ＋∠ACB ） ＝360°－2（180°－∠A ） ＝2∠A .∴∠DME ＝180°－2∠A .（3）结论（1）成立，结论（2）不成立.理由如下：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠A）＝360°－2∠A.∴∠DME＝180°－（360°－2∠A）＝2∠A－180°.。
浙教版八上第二章：特殊三角形知识点复习
类型之一轴对称及轴对称图形1．下列图形中，是轴对称图形的为()A B C D2．如图2－1，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD 的周长为____．（第2题图）（第8题图）（第9题图）类型之二等腰三角形的性质与判定3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是．4．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长_____ 5．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为．6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______．7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．8．如图2－3，在△ABC中，△ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则△C的度数是()A．21°B．19°C．18°D．17°9．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE△AC于点E，过E作EF△BC于点F，过F作FG△AB于点G.当G与D重合时，AD的长是()A．3 B．4 C．8 D．910．如图，点C ，E 和点B ，D ，F 分别在△GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF.若△A ＝18°，则△GEF 的度数是 ．11．如图，在等腰△ABC 中，△ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE △DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F .若AE ＝4，FC ＝3，则EF 的长为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG△CD 于点G ，则△FAG ＝ ．13．△ABC ，△CDE 均为等边三角形，BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P .求证：△AOB ＝60°.14．已知：在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，BE △AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .求证： (1)△MED 为等腰三角形； (2)△EMD ＝2△DAC .（第13题图）（第14题图）（第11题图）（第10题图）（第12题图）类型之三 勾股定理的应用1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2，3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 2．若一个三角形的三边长a ，b ，c 满足(a ＋c )(a －c )＝b 2，则该三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能3．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 4．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 95．四个全等的直角三角形按图2－7的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH .己知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM ＝22EF ，则正方形ABCD 的面积为( ) A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S6．在△ABC 中，BC ＝42，AB ＝9，AC ＝7，则△C ＝_____．7. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm ，其周长为24 cm ，则此三角形的面积是____cm 2. 8．若三角形的三边长分别为n ＋1，n ＋2，n ＋3，当n ＝____时，这个三角形是直角三角形． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝12，则BC 边上的中线AD ＝_____．10．△ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，CD 是AB 边上的高线，则CD ＝_____．11．一张三角形纸片ABC ，△C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于____cm.（第11题图）（第9题图）（第10题图）（第5题图）（第3题图）（第4题图）12．如图是一块地的平面示意图，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，△ADC ＝90°，则这块地的面积为__ _m 2.13．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P 开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高线，BC ＝2，CD ＝3，AC ＝2 3.求证：△ABC 是直角三角形．15．如图，已知AC △BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝____； (2)求线段DB 的长度．16．如图△，一架梯子AB 长2.5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图△所示，测得BD ＝0.5 m ，求梯子顶端A 下滑的距离．类型之四 直角三角形（第13题图）（第12题图）1．在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三角形具有的判定方法是( ) A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL 2．如图，用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △DEF 全等的条件可以是（ ） A ．AC ＝DF ，BC ＝EF B ．△A ＝△D ，AB ＝DE C ．AC ＝DF ，AB ＝DE D ．△B ＝△E ，BC ＝EF3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD△△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．△BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．△B ＝45°4．如图，P 是AD 上一点，PE △AC 于点E ，PF △AB 于点F .若PE ＝PF ，△CAD ＝20°，则△BAD 为( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°5．已知点P 在△BAC 的角平分线OD 上,且PE △AB 于点E,PF △AC 于点F .若PE =3cm,则PF = cm. 6．如果Rt△ABC △Rt△DEF ,AC =DF =4,AB =7, △C =△F =90°，则DE = ,EF = ．7．如图，AB ＝AC ，CD △AB 于点D ，BE △AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O ，图中有 对全等的直角三角形．8．如图，CA △AB ，垂足为点A ，AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm ，射线BM △AB ，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2 cm /s 的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 运动 秒时，△DEB 与△BCA 全等．9．如图，Rt △ABC 中，△ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，求证：CD △BE ．10．在Rt△ABC 中，△A ＝90°，D 为斜边BC 上一点，且BD ＝BA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E .求（第2题图）（第4题图）（第3题图）（第8题图）（第7题图）（第9题图）证：点E在△ABC的平分线上．11．如图，在△ABC中，AB＝CB，△ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.（1）求证：Rt△ABE△Rt△CBF；（2）若△CAE＝30°，求△ACF的度数．（第11题图）12．(1)如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数；(2)如图△，在Rt△BAD中，△BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且△MAN＝45°.将△ABM 绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；专项训练：思想方法荟萃名师点金：本章涉及的数学思想方法有：(1)分类讨论思想：在等腰三角形中，当角没确定是底角还是顶角时，当边没确定是底边还是腰时常用分类讨论思想；(2)方程思想：在解决有关等腰三角形边角问题时常通过设适当的边或角为未知数，列方程求解；(3)数形结合思想：在解决有关实际问题时，常从实际问题中抽象出几何图形，借助几何图形来解决；(4)转化思想：证线段的和，差关系时，通常将分散的线段转化到同一条线段上，使复杂的问题简单化．分类讨论思想1．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为____________．2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为()A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10方程思想3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．4．如图，P是等边三角形ABC边AB上任一点，AB＝2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FQ⊥AB 于Q，设BP＝x.(1)用含有x的式子表示AQ；(2)当x等于多少时，点P和点Q重合？数形结合思想5．上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行，10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离．转化思想6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．。
浙教版八年级数学上册第二章勾股定理复习
程进行求解；对于设计平方关系的等式 证明，可根据勾股定理进行论证。
一、勾股“树”模型
c③ ① ab
②
a2 b2 c2
S1 S2 S3
方法
B
C
E
P
A
D
变式练习
如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE ＝1，BD＝8，设CD＝x. ⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长； ⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
A
B
D
C
E
⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式 x2 4 (12 x)2 9 的最小值
1、如图在△ABC中AB=4,BC=2,BD=1,CD= 3
判断下列结论是否正确，并说明理由.
C
(1) CD ⊥AB; (2) AC⊥BC
解(1)∵12 + ( 3 )2=4
A
DB
即BC2=BD2 +CD2 (2)由（1）得AC2=AD2+CD2
∴∠CDB=90° 3 =32+（ ）2=12
∴CD⊥AB
BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．
D A
B
C
变式练习
如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°， AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝
则该四边形的面积是_______. E
A B
C
D
3、已知△ABC的三条边长分别为a、b、 c，且满足关系：
浙教版八年级上册数学第二章重点难点及建议
重点和难点本节的重点是等腰三角形的有关概念，等腰三角形是轴对称图形是本节教学中的难点. 说明和建议：1. 由于等腰三角形的概念在小学中已学过，课本直接给出等腰三角形的定义。
教学中可以通过课本中做一做，加深学生对等腰三角形的定义，以及腰、顶点、底角、底边等概念的理解.2. 通过学生动手操作发现等腰三角形的基本性质，认识等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是他的对称轴.课本中的例题加深对这一性质的理解.3. 淡化几何定理的证明格式，通过生活中的实际情境来加深定理的理解.2.2 等腰三角形的性质重点和难点本节的重点是等腰三角形的性质.例2的几何作图是难点.说明和建议：1. 由于上节课作了充分的准备，学生对等腰三角形的性质不会觉得难以理解.2. 课堂中的例题重点放在分析思路，突出等腰三角形性质的应用上.例1较简单，例2根据已知条件作等腰三角形，为分散难点，可作如下分析：从已知底边BC=a和底边BC上的高为h出发，要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶角的顶点A，等腰三角形顶角的顶点在哪里?根据等腰三角形三线合一的性质，A在底边BC 的垂直直平分线上. 因此，先作BC，再作BC的垂直平分线L交BC于点D，然后在L上截取DA=h，连结AB，AC就得到所求作的等腰三角形.2.3 等腰三角形的判定重点和难点本节的重点是等腰三角形的判定方法，例2的说理过程是本章的难点.说明和建议1. 通过学生动手操作发现两个角相等的三角形是等腰三角形.2. 例1直接应用等腰三角形的判定方法. 例2是等腰三角形的性质和判定的综合应用. 可按以下步骤分析：(1) 等腰三角形底边上的高又是什么线?(2) 两直线平行可得什么结论?(3) 由上知，哪些角相等?这样可根据等腰三角形的判定方法知△BDE是等腰三角形.2.4等边三角形重点和难点本节的重点是等边三角形的性质.难点是等边三角形性质的探索过程.说明和建议：本课例题是等边三角形性质的应用，教师可补充等边三角形的判定方法.重点和难点本节的重点是直角三角形性质和判定方法.难点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.说明和建议：1. 直角三角形内角的特点和用角判定三角形是直角三角形，学生容易理解.课本引出特殊直角三角形即等腰直角三角形.2. 例2有承上启下的作用，既运用直角三角形两锐角互余的性质，又为下节直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作铺垫.3. 例3是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用.先应把实际问题转化为数学问题.通过分析讲解.最后可告诉学生在直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半.2.6 探索勾股定理重点和难点本节的重点是勾股定理及逆定理.难点是用面积证明勾股定理.说明和建议：1. 通过学生动手操作发现直角三角形三条边长的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.然后探索勾股定理的正确性.课文中用四个全等的直角三角形拼成一个正方形.用面积说明勾股定理的正确性，教师可视学生的实际情况用别的拼图方法介绍说明勾股定理.2. 通过课内练习要求学生在数轴上作出无理数.3. 通过学生动手操作发现：勾股定理的逆定理.这个逆定理只要求学生熟悉，会运用即可.2.7 直角三角形全等的判定重点和难点本节的重点和难点是直角三角形全等的判定方法.说明和建议：1. 探索直角三角形的判定方法.用等腰三角形的性质和三角形全等说明直角三角形全等的判定方法.2. 课本中例题用直角三角形全等的判定方法说明角平分线的另一个性质.。
浙教版八年级上册数学第二章知识点
浙教版八年级上册数学第二章知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是整理的浙教版八年级上册数学第二章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
浙教版八年级上册数学第二章知识点实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
R表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
实数有什么范围在实数范围内,是指对于全体实数都成立,实数包括有理数和无理数,也可以分为正实数,0和负实数,不只是大于等于0,还包括负实数。
整数和小数的集合也是实数，实数的定义是：有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数。
所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。
实数的性质1.基本运算：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：交换律：a+b=b+a，ab=ba结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分配律：a(b+c)=ab+ac2.实数的相反数：实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。
浙教版八年级上册数学第二章知识点
浙教版八年级上册数学第二章知识点浙教版八年级上册数学第二章知识点在我们平凡无奇的学生时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
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实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
R表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
实数有什么范围在实数范围内,是指对于全体实数都成立,实数包括有理数和无理数,也可以分为正实数,0和负实数,不只是大于等于0,还包括负实数。
整数和小数的集合也是实数，实数的定义是：有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数。
所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。
实数的性质1.基本运算：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：交换律：a+b=b+a，ab=ba结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分配律：a(b+c)=ab+ac2.实数的相反数：实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的`相反数。
(完整版)浙教版初中数学八年级上册知识点及典型例题
数学八年级上册知识点及典型例题第一章 平行线1.1同位角、内错角、同旁内角如图：直线l 1 , l 2 被直线l 3 所截，构成了八个角。
1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3 的同旁，并且分别位于直线l 1 , l 2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。
2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的异侧，并且都位于两条直线l 1 , l 2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。
3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l 3的同旁，并且都位于两条直线l 1 , l 2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。
想一想问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？确定前提（三线）寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）复习画两条平行线的方法：oAL 1抽象成几何图形A2L 1提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？ （直线l 1，l 2被AB 所截） （2）画图过程中，什么角始终保持相等？ （同位角相等，即∠1＝∠2） （3）直线l 1，l 2位置关系如何？ （ l 1∥l 2） （4）可以叙述为：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （ ？ ）语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠1＝∠2∴l 1∥l 2 （同位角相等，两直线平行） 想一想12acb若a⊥b,b⊥c则a c平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
1．2 平行线的判定（2）图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，①若∠3＝∠4，则AB 与CD 平行吗？②若∠2+∠4＝180°，则AB 与CD平行吗？①∵∠3＝∠4，∠1＝∠4 ②∵∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180° ∴∠1＝∠3 ∴∠3＝∠4∴ AB ∥CD （ ） ∴ AB ∥CD （ ）① 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。
浙教版数学八上知识点汇总及典型例题
21D CB ADCBA第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、掌握三角形全等的判定方法 知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．2、 三角形的分类： (1)按角分类：(2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形D CB A注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5、 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7、全等三角形 （1）全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
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八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形の轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。
[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称の性质]①关于某直线对称の两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
[轴对称与轴对称图形の区别][线段の垂直平分线]（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。
★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．[等腰三角形の性质]★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形の判定定理]★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．[等边三角形]三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．[等边三角形の性质]★等边三角形の三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形の判定方法]★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．2.5 逆命题和逆定理[逆命题和逆定理]命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。
1. 命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”の形式。
2. 正确の命题叫真命题，不正确の命题叫假命题。
3. 基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确の，不需要再加证明の命题。
4．定理：用逻辑の方法判断为正确并作为推理の根据の真命题。
注意：基本事实和定理一定是真命题。
互逆命题：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题の题设是第二个命题の结论，而第一个命题の结论是第二个命题の题设，那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它の逆命题。
互逆定理：如果一个定理の逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。
其中一个定理叫做另一个定理の互逆定理。
注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。
2.所有の命题都有逆命题，但不是所有の定理都有逆定理。
2.6 直角三角形[直角三角形]有一个角是直角の三角形叫做直角三角形。
[直角三角の性质]★ 1.直角三角形の两个锐角互余.★ 2. 直角三角形斜边上の中线等于斜边の一半。
★ 3. 在直角三角形中，30°角所对の直角边等于斜边の一半.[直角三角の判定]★ 1. 有一个角是直角の三角形是直角三角形★ 2. 有两个角互余の三角形是直角三角形3. 补充：如果三角形中一边上の中线等于这条边の一半，那么这个三角形是一个直角三角形。
2.7 勾股定理[勾股定理]一、知识结构[勾股定理の逆定理]如果三角形中两边の平方和等于第三边の平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、勾股定理の应用勾股定理反映了直角三角形三边之间の关系，是直角三角形の重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形の两边求第三边（2）已知直角三角形の一边与另两边の关系。
求直角三角形の另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系の问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证2c与22ba+是否具有相等关系（3）若2c=22ba+，则△ABC是以∠C为直角の直角三角形；若2c≠2b2a+，则△ABC不是直角三角形。
3、勾股数满足22ba+=2cの三个正整数，称为勾股数，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17；（5）7，24，25 （6）9, 40, 412.8 直角三角形全等の判定[直角三角形の判定方法——HL]两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等则两三角形全等[角平分线の性质定理の逆定理]★角の内部，到角两边距离相等の点，在这个角の平分线上。
补充知识：1、三角形中の中位线★连接三角形两边中点の线段叫做三角形の中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新の三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形の中位线平行于第三边，并且等于它の一半。
三角形中位线定理の作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段の倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长の一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等の三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等の平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交の中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线の夹角与这夹角所对の三角形の顶角相等。
（3）摄影定理★在直角三角形中，斜边上の高线是两直角边在斜边上の摄影の比例中项，每条直角边是它们在斜边上の摄影和斜边の比例中项∠ACB=90°BD2=ADCD•⇒AB2=ADAC•CD⊥AB AB2BD=BC•（4）常用关系式由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC三、重点解读1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定の区别，两者不能混淆。
一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用の是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2．等腰三角形の腰是在已知一个三角形是等腰三角形の情况下才给出の名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等の三角形是等腰三角形”；3．直角三角形斜边上の中线不仅可以用来证明线段之间の相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用の辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4．勾股定理反映の是直角三角形两直角边和斜边之间の平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。
不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等の特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形の前提下，此方法才有效，当然，以前学过の“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等の方法对于直角三角形全等の判定同样有效。
切记!!! 两边及其中一边の对角对应相等の两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。
因此在证明全等时千万不要这样做。
本章解题时用到の主要数学思想方法：⑴分类讨论思想（特别是在语言模糊の等腰三角形中）（留意后面の例题）⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面の例题）⑶等面积法E四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。
过O 点作EF, 使EF ∥BC 。
（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF 有什么数量关系，并说明理由。
2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ， 使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。
若BE=5，△ABC の周长为_________。
（二）、角平分线+垂线3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE 。
4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD の延长线于点E ，求证：BD=2CE(三)、直角三角形の一个锐角平分线+斜边上の高线5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.FE ABCM N D BACE（四）、等边三角形の几个基本图形：6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。
∠AFE=_________。
7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE の中点。
说明： △CMN 是等边三角形。
8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC•の距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC の高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样の关系，请写出你の猜想，并简要说明理由．ABCDEMN图1ABC DE MN图2ABCD MN图3（五）、等腰直角三角形の几个基本应用9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB の理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE の理由； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样の等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB の中点。