一元二次方程根与系数的关系 基础训练
一元二次方程根与系数关系专题训练
一元二次方程根与系数关系专题训练[基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。
解：变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值：（1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。
（2）a 取何值时，方程有两个正根。
（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2，判别式的值为1，则b a 与是多少？例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值。
基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1， 那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定7.设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝ 9．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝11．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5 (2)9x2－6 2 +2=0 (3)x2－x+2=02、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的两个根为 .4、已知3－ 2 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数旳关系习题一、单选题:1.有关x 旳方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根旳状况是（ B ）(A ）有两个相等旳实数根 （Ｂ）有两个不相等旳实数根（C ）没有实数根 （Ｄ)不能拟定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2.设21,x x 是方程03622=+-x x 旳两根，则2221x x +旳值是（ C )(Ａ）1５ （B)12 （C)6 （D ）３21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121==+x x x x ， 623232=⨯-= 3.下列方程中，有两个相等旳实数根旳是( B ）（A ） 2y 2+5=6y(B)x ２＋５=2错误!ｘ(Ｃ）错误!x 2-错误!x+2=０（D)3ｘ2-2错误!x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4.以方程x 2＋2ｘ－３=0旳两个根旳和与积为两根旳一元二次方程是( B )（A ） y ２+5y －6=0 (B ）ｙ2+５y ＋６=０ （Ｃ）ｙ2－５y ＋６=０ (D)y 2－５y-6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴５．如果21x x ，是两个不相等实数,且满足12121=-x x ,12222=-x x ,那么21x x •等于( D )(A)２ （B ）－2 （C ） 1 （D)－1 1212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题:１、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等旳实数根,那么k ＝2±。
专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系(基础检测)(解析版)
专题21.9 一元二次方程的根与系数的关系（基础检测）一、单选题1．已知关于x 的方程x 2+5x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ） A ．3 B ．﹣7 C ．7 D ．﹣3【答案】D【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出125x x +=-，然后求解即可． 【详解】由根与系数的关系可知，125x x +=-， ∵一个根为-2，∴另一根为()52523---=-+=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．2．已知12,x x 是方程2270x x --=的两根，则2112x x x -+的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A【分析】利用12bx x a +=-，12c x x a⨯=，解答即可. 【详解】解：.∵12,x x 是方程2270x x --=的两根， ∴122x x +=，12x x =7，211270x x --= ∴21127x x =+∴2112x x x -+=21x +7-1x +2x =127x x ++ =2+7 =9.【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.3．如果1x 、2x 是方程2540x x -+=的两个根，那么12x x ⋅等于（ ） A ．5 B ．5-C ．4D ．4-【答案】C【分析】直接利用根与系数的关系求解即可求得答案． 【详解】解：∵x 1，x 2是方程2540x x -+=的两个根，1a =，5b =-，4c =，∴12441c x x a ===． 故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系．注意12x x 、是方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 4．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则m +n 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2C ．﹣5D ．5【答案】B【分析】根据根与系数的关系即可得到2m n +=． 【详解】解：m ，n 是方程2250x x --=的两个实数根， ∴2m n +=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．设m 、n 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【分析】由于m 、n 是方程x 2+x -2021=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n =-1，并且m 2+m -2021=0，然后把m 2+2m +n 可以变为m 2+m +m +n ，把前面的值代入即可求出结果． 【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+x -2021=0的两个实数根， ∴m +n =-1，且m 2+m -2021=0， ∴m 2+m =2021，∴m 2+2m +n =m 2+m +m +n =2021-1=2020．故选C ．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．设关于x 的方程()210x a b x ab -++-=的两个实数根为1x 、2x ，现给出三个结论：①22x x ≠；②12x x ab <；③222212.x x a b +<+则正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可. 【详解】①∵方程 x 2−(a+b)x+ab−1=0 中，△=（a+b ）2﹣4（ab ﹣1）=（a ﹣b ）2+4＞0， ∴x 1≠x 2；故①正确；②∵x 1x 2=ab ﹣1＜ab ；故②正确； ③∵x 1+x 2=a+b ，即（x 1+x 2）2=（a+b ）2； ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2 =（a+b ）2﹣2ab+2=a 2+b 2+2＞a 2+b 2， 即x 12+x 22＞a 2+b 2；故③错误； 综上所述，正确的结论的个数是：2， 故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，完全平方公式，解题的关键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.二、填空题7．方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2的值为_____． 【答案】2【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x 1+x 2的值． 【详解】解：∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2． 故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12bx x a +=-，12c x x a=”． 8．若,a b 是一元二次方程2230x x --=的两个根，则ab =________． 【答案】3-．【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求出． 【详解】解：,a b 是一元二次方程2230x x --=的两个根，3ab ∴=-，故答案为：3-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握一元二次方程的根与系数关系．9．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a =____【答案】1【分析】直接利用根与系数的关系得到a 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，∴2x x x ⋅=a =1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根时，12b x x a +=-，2x cx x a⋅=．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，则代数式m 3+4n 2﹣19的值为_____． 【答案】0．【分析】把m 与n 代入方程得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根， ∴m 2﹣m ﹣3＝0，n 2﹣n ﹣3＝0，即m 2＝m +3，n 2＝n +3，m +n ＝1， 则m 3+4n 2﹣19 ＝m 2•m +4n 2﹣19＝m （m +3）+4（n +3）﹣19 ＝m 2+3m +4n +12﹣19 ＝m +3+3m +4n ﹣7＝4（m +n ）﹣4，把m +n ＝1代入得：原式＝4﹣4＝0． 故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 11．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则321x ﹣2x 1﹣x 2的值＝_____． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得321x ﹣x 1﹣1＝0，x 1+x 2＝13，那么321x ＝x 1+1，再将它们代入321x ﹣2x 1﹣x 2，计算即可．【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2， ∴321x ﹣x 1﹣1＝0，x 1+x 2＝13， ∴321x ＝x 1+1，∴321x ﹣2x 1﹣x 2＝x 1+1﹣2x 1﹣x 2＝﹣（x 1+x 2）+1＝﹣13+1＝23．故答案为23． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．12．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣kx +3＝0的两根，且满足x 1+x 2﹣x 1x 2＝4，则k 的值为_____． 【答案】7【分析】根据两根关系列出等式,再代入第二个代数式计算即可． 【详解】∵x 1、x 2是方程x 2﹣kx +3＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝3． ∵x 1+x 2﹣x 1x 2＝k ﹣3＝4， ∴k ＝7． 故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程的两根关系,关键在于熟练掌握基础知识,代入计算．13．若1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则1211+x x 的值是__________． 【答案】56【分析】利用根与系数的关系得出125b x x a+=-=，126cx x a ==，再将1211+x x 通分为1212x x x x +，再代入求出即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根， ∴125bx x a+=-=， 126cx x a==， ∵1212121156x x x x x x ++==， 故答案为：56． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．已知关于x 的一元二次方程2220x x a --=有两个不相等的实数根12,x x ，则12x x +=________；若21118x x +=-，则a =________． 【答案】2 12±【分析】根据根与系数的关系可得12x x +和12x x ，再根据21118x x +=-得到21128x x x x =+-，代入即可求出a 值．【详解】解：由题意可得：12221x x -+=-=，212x x a =-， ∵122112118x x x x x x ++==-， ∴21128x x x x =+-，∴()228a =-⨯-，解得：12a =±， 故答案为：2，12±．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到12x x +和12x x ．三、解答题15．已知关于x 的方程x 2+2x +a –2=0的一个根为1. (1)求a 的值;(2)求此方程的另一个根． 【答案】（1）a =-1；（2）-3.【分析】(1)把1x =代入已知方程即可求得a 的值； (2)利用根与系数的关系即可求得方程的另一根． 【详解】（1）将x ＝1代入方程22?20x x a ++=得：12?20a ++=，解得：1a =-；（2）方程为：22?30x x +=， 设方程的另一根为1x ， ∴112bx a+=-=- ∴13x =-即此方程的另一个根为：3-．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将x ＝1代入原方程求出a 的值是解题的关键． 16．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222120x k x k -+++=的两实根，且()()12118x x ++=，求k 的值． 【答案】k 的值为1.【分析】由题意先根据根与系数的关系得到()1221x x k +=+，2122x x k =+，再变形已知条件得到()221218k k ++++=，解得123,1k k =-=，然后根据判别式的意义确定k 的值．【详解】解：由已知定理得：()1221x x k +=+，2122x x k =+，∴()()()()212121211121218x x x x x x k k ++=+++=++++=，即2230k k +-=，解得：1231k k =-=，，当13k =-时，△=()()222414244110k k +-+=-⨯<，∴13k =-舍去；当21k =时， △=()()()22241424430k k +-+=--⨯>，∴k 的值为1．【点睛】本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若1x 、2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212bc x x x x a a+=-=，． 17．已知关于x 的方程()22210x m x m +++-=，当m 为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】m =-2；12x x ==【分析】先由两根互为相反数得出两根之和为0，即()20m -+=，据此可得m 的值，代入方程，求变形方程的根即可．【详解】解：∵关于x 的方程()22210x m x m +++-=两根相互为相反数，∴()20m -+=， 解得 2m =-，∴方程变形为250x -=，解得12x x =【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．18．已知关于x 的一元二次方程：2(2)(3)0x x p ---=.（1）小明说：“不论p 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.”他的说法正确吗？为什么？（2）若方程：2(2)(3)0x x p ---=的两个实数根α，β满足：111αβ+=，请求出P 的值.【答案】(1)小明的说法正确;(2)p 的值为±1【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可以得到5αβ+=，26p αβ=-，再把111a β+=进行变形可得265p -=，然后代入计算即可求解．【详解】解：（1）方程2(2)(3)0x x p ---=可化为22560x x p -+-=，∵()22(5)416p ∆=-⨯⨯-2225244140p p =-+=+>，∴对于任意实数p ，方程都有两个不相等实数根，小明的说法正确， （2）方程22560x x p -+-=由根与系数的关系得：5αβ+=，26p αβ=-∵111a β+=， ∴1a a ββ+= ∴2516p=-，变形得265p -= ∴1p =±，即p 的值为±1.【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 19．己知关于x 的一元二次方程2(5)4(1)0x m x m -+++=． （1）求证:该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该一元二次方程的两个实数根分别为12,x x ，且127n x x =+-，判断动点(,)P m n 所形成的函数图象是否经过点(1,1)A -，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）经过，理由见解析．【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根即可得出答案． （2）根据121257x x m n x x +=+=+-，，表示出n ，再把点(1,1)A -代入，即可得出答案． 【详解】（1）证明：22[(5)]44(1)(3)0m m m ∆=-+-⨯+=-∴该一元二次方程总有两个实数根； （2）121257x x m n x x +=+=+-，2n m ∴=-当1m=时，=121n -=-∴动点(,)P m n 所形成的函数图象是经过点(1,1)A -．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．20．若m 为实数，关于x 的方程2420x x m -+-=的两个非负实数根为a 、b ，求代数式22(1)(1)--a b 的最大值． 【答案】9【分析】根据根的判别式和根与系数的关系进行列式求解即可；【详解】∵420=16-4(2)0+=⎧⎪⋅=-≥⎨⎪∆-≥⎩a b a b m m ，()2016420m m -≥⎧∴⎨--≥⎩，26∴≤≤m ， 22(1)(1)--a b ， 222=(ab)()1-++a b ，22=(ab)()21⎡⎤-+-+⎣⎦a b ab ，2=(m-2)162(2)1-+-+m ，当2m =时，原式=-15，m=时，原式=9，当6∴代数式22a b的最大值为9．(1)(1)--【点睛】本题主要考查了一元二次方程的知识点，准确应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．。
一元二次方程的根与系数的关系同步训练含答案解析
2016年苏科新版九年级数学上册同步测试：1.3 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题（共11小题）1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=03．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣34．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．25．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．126．设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．307．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣38．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．169．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=010．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．411．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．10 B．9 C．7 D．5二、填空题（共18小题）12．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=．14．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=．15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是．16．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．17．已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．19．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于．20．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为．21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为．22．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=．23．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．24．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为．25．已知x=4是一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根，则另一个根为．26．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=．27．）若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则+=．28．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2=．29．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=．三、解答题（共1小题）30．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．2016年苏科新版九年级数学上册同步测试：1.3 一元二次方程的根与系数的关系参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）•（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结．2．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0【考点】根与系数的关系．【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是具体点关键．3．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．19 B．25 C．31 D．30【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+6=31．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．7．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：x1•x2=﹣3．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．8．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=﹣10．故选：A．【点评】此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．9．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0【考点】根与系数的关系．【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．【解答】解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．【点评】验算时要注意方程中各项系数的正负．10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据韦达定理得x1•x2=1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．11．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（）A．10 B．9 C．7 D．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．二、填空题（共18小题）12．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为0．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2=25．【考点】根与系数的关系．【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个根，∴m+n=4，mn=﹣3，则m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=16+9=25．故答案为：25．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=2026．【考点】根与系数的关系．【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．15．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是2．【考点】根与系数的关系．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x2﹣6x+k=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，+===3，解得：k=2，故答案为：2．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．16．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为3．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．17．已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是1．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．【解答】解：设方程的另一个根是x2，则：3+x2=4，解得x=1，故另一个根是1．故答案为1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．【考点】根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；新定义．【分析】①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0或4m+n=0于是得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，∴=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，∴x2=2x1，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，∴设x1=2x2，∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴x===，∴x1+x2=5，∴x2+2x2=5，∴x2=，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．19．已知方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于﹣2．【考点】根与系数的关系．【分析】根据两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数作答即可．【解答】解：∵方程2x2+4x﹣3=0的两根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数是解题的关键．20．若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为16．【考点】根与系数的关系；矩形的性质．【分析】设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．【解答】解：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x+y=8；所以矩形的周长=2（x+y）=16．故答案为：16．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了矩形的性质．21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为﹣1或﹣3．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=﹣（m+3），x1•x2=m+1，而x12+x22=4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，∴（m+3）2﹣2m﹣2=4，∴m2+6m+9﹣2m﹣6=0，m2+4m+3=0，∴m=﹣1或﹣3，故答案为：﹣1或﹣3【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．22．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=﹣．【考点】根与系数的关系．【分析】由m≠n时，得到m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．【解答】解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．23．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是﹣4．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．24．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为27．【考点】根与系数的关系．【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，故答案为：27．【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．25．已知x=4是一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根，则另一个根为﹣1．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．【解答】解：设另一个根为t，根据题意得4+t=3，解得t=﹣1，即另一个根为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．26．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=﹣1．【考点】根与系数的关系．【专题】判别式法．【分析】根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．【解答】解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．27．若一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，则+=﹣1．【考点】根与系数的关系．【分析】欲求+的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再代入数值计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=1，x1x2=﹣1，∴+===﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．28．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2=10．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故答案是：10．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．29．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=4．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，∴由韦达定理，得，解得，．∴ab=1×4=4．故答案是：4．【点评】本题考查了根与系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．三、解答题（共1小题）30．已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a +b=1，ab=﹣1， ∴+===﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．第8课时一元二次方程的解法习题课主备人刘爱国 审核 班级 学生姓名学习目标1.了解一元二次方程的各种解法。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系一．选择题:1.若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）A ． x 2+3x ﹣2=0B ． x 2﹣3x+2=0C ． x 2﹣2x+3=0D ． x 2+3x+2=0 2．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ． ﹣4B ． ﹣1C ． 1D ． 43．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ）A ． m =0时成立B ． m =2时成立C ． m =0或2时成立D ． 不存在4．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）A ． 10B ． 9C ． 7D ． 55若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ）A ． ﹣10B ． 10C ． ﹣6D ． ﹣16．关于x 的方程x 2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）A ． ﹣1或5B ． 1C ． 5D ． ﹣17．（2014•攀枝花）若方程x 2+x ﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）8．方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ）A ． ﹣2或3B ． 3C ． ﹣2D ． ﹣3或29．若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A ． 2B ． 1C ． ﹣1D ． 010.设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）A ． 2012B ． 2013C ． 2014D ． 201511．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）A ． ﹣6B ． 6C ． 3D ． ﹣312．已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）A ． 19B ． 18C ． 15D ． 1313．已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1 B ． a =3，b=1 C ． a=﹣，b=﹣1 D ． a=﹣，b=1 14．已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）A ． ﹣1B ． 9C ． 23D ． 2715．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ． a =1B ． a =1或a=﹣2C ． a =2D ． a =1或a=216.已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ． 4B ． 3C ． ﹣4D ． ﹣317．已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A ． 9 B ． ±3 C ． 3 D ． 5A ． α+β=﹣1B ． αβ=﹣1C ． α2+β2=3D ． +=﹣118．如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a 的值为（）A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1319．若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10 二．填空题20．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________．21．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________．22．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．23．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k 的值是_________．三．解答题24．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．25．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．27．已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．。
人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习
《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．22．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．03．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣24．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+3＝﹣m，然后解关于m的方程即可，【解答】解：根据题意得﹣1+3＝﹣m，所以m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．0【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1•x2＝＝0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．3．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣2【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．【解答】解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，解得x2＝5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．4．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根【分析】利用判别式的意义进行判断．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．∴方程没有实数解．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，将其代入a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，∴a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab＝2018﹣2﹣2018＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解的定义得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，再代入（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2），计算即可得出结论．【解答】解：∵α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，∴α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，∴（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2是解题的关键．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，把x12+x22+3x1x2变形为（x1+x2）2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，然后分别求出b、c的值，再计算bc的值．【解答】解：根据题意得1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，所以b＝1，c＝﹣2，所以bc＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，利用整体代入的方法得到∴22+m ﹣5+10＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，解得m≤6；（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，∵（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，∴22+m﹣5+10＝0，∴m＝﹣9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）先利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围；（2）由一元二次方程的解的定义得出，x12＝﹣3x1﹣k+3，将它代入x12+2x1+x2+k＝3，得出x1＝x2；那么△＝32﹣4（k﹣3）＝0，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．∵x12+2x1+x2+k＝3，∴x1＝x2；∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，解得k＝．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的解的定义．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．【解答】解：当x＝0时，a2+a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝0．又∵原方程为一元二次方程，∴a＝﹣1，∴原方程为﹣x2﹣5x＝0，∴方程的另一根为﹣﹣0＝﹣5．故a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出a值是解题的关键．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．【分析】（1）当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可得出该方程有解；当二次项系数非零时，由根的判别式△＝（m﹣2）2≥0可得出当m＝0时方程有解．综上，此题得证；（2）根据根与系数的关系可得出α+β＝，αβ＝，结合+＝2即可得出关于m 的方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程为﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴当m＝0时，方程有解；当m≠0时，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴当m≠0时，方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有解．综上：无论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴α+β＝，αβ＝．∵+＝＝2，即＝2，解得：m＝2．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）分二次项系数非零及二次项系数为零两种情况找出方程有解；（2）利用根与系数的关系结合+＝2找出关于m的方程．。
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题（1）一、 填空：1、 如果一元二次方程c b x a x ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += . 11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则（1）1x 2+2x 2= _； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x _ _； （4）)1)(1(21++x x = . 二、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 三、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
一元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系练题（1）一、填空：1、如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.2、如果方程x^2+px+q=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.3、方程2x^2-3x-1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=3/2，x1x2=-1/2.4、如果一元二次方程x^2+mx+n=0的两根互为相反数，那么m=0；如果两根互为倒数，那么n=1.5、方程x^2+mx+(n-1)=0的两个根是2和-4，那么m=-2，n=-7.6、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x^2-(x1+x2)x+x1x2=0.7、以3+1，3-1为根的一元二次方程是(x-4)(x-2)=0，即x^2-6x+8=0.8、若两数和为3，两数积为-4，则这两数分别为-1和-3.9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为1和3.10、已知方程2x^2+3x-4=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=-3/2.11、若方程x^2-6x+m=0的一个根是3-2，则另一根是1，m的值是5.12、若方程x^2-(k-1)x-k-1=0的两根互为相反数，则k=±1，若两根互为倒数，则k=-1.13、如果是关于x的方程x^2+mx+n=0的根是-2和3，那么x^2+mx+n在实数范围内可分解为(x+2)(x-3)=0.14、已知方程x^2-3x-2=0的两根为x1、x2，则（1）x1^2+x2^2=11；（2）x1+x2=3；（3）(x1-x2)^2=25；（4）(x1+1)(x2+1)=-1.二、选择题：1、关于x的方程2x^2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（C）－8.2、已知方程x^2+2x-1=0的两根是x1，x2，那么x1x2+x1+x2=-7.3、已知方程2x^2-x-3=0的两根为x1，x2，那么x1x2=3/2.4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（A）x^2+2x-3=0.5、若方程4x^2+(a^2-3a-10)x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是（D）-2.1、若一个关于x的方程5x2+23x+m=0有一个根为-5，求另一个根和m的值。
一元二次方程(根与系数的关系)专项训练精选
九年级（上）数学 第二章 《一元二次方程》根系关系第1课时 根的判别式与根系关系【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为△= .（1）b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个 实数根，即x 1,2= .（2）b 2-4ac=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即x 1=x 2= .（3）b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两根分别为x 1，x 2那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b 2-4ac ≥0；② 二次项系数a ≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题分析】例一.当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.例二．若关于x 的一元二次方程x 2-2(2-k)x+k 2+12=0有实数根α、β． (1) 求实数k 的取值范围； (2)设t=kβα+，求t 的最小值．例三.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由【实践练习】1．已知α、β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－13.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20094.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ ，(x 1＋1)(x 2＋1)= ________，(x 1－x 2)2＝_______，221212x x x x += 。
一元二次方程根与系数关系专项训
一元二次方程根与系数关系专项训练1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )A.x 2+2x －3=0B.x 2－2x+3=0C.x 2+2x+3=0D.x 2－2x －3=03、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
4、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，求m 的值。
5、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
6、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?7、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0。
(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?8、当m为何值时，方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2，另一个根小于－2?9.关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
10．（09年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 11．（10年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（） A ．1 B ．12C ．13D ．25。
一元二次方程根与系数的关系专题训练
11
x12
x
2 2
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (x21－x22)2
2
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29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列式子的值： x1－x2
A.3x2－2x+3=0
B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0
D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是
()
A.x2+2x－3=0
B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3，－2为根的一元二次方程为
，
3 1 3 1
以 2 ， 2 为根的一元二次方程为
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根，则m=
，另一个根为
81、已知m2+m－4=0，
1 n2
1 n
4
0
m
，m，n为实数，且
1 n
m
，则
1 n
=
4
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《一元二次方程根与系数的关系》专题训练（二）
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c 的值。
初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题 附答案详解)
初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（ ）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（ ） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（ ）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（ ）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（ ）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（ ）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。
一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)
同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3． 故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（ ） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6， 故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ）A.54 B.94C.114D.7【解答】 解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（ ） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0， 解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________． 【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________． 【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12， 故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0， 故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2， 故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1， 所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。
元二次方程根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系 1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
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浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．20133．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．04．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．45．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．07．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．38．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．49．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．1311．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．112．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，213．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣515．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则______．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为______．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=______．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为______．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=______．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）基础训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015•永春县自主招生）已知3m2﹣2m﹣5=0，5n2+2n﹣3=0，其中m，n为实数，则|m ﹣|=（）A．0 B．C．D．0或【分析】先分别解方程求m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解．【解答】解：由3m2﹣2m﹣5=0得m1=﹣1，m2=；由5n2+2n﹣3=0得n1=，n2=﹣1．=，①当m=﹣1，n=时，原式=；②当m=﹣1，n=﹣1时，原式=0；③当m=，n=时，原式=0；④当m=，n=﹣1时，原式=．综上所述，=0或．故答案为0或．【点评】此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况，考查学生严谨的思维能力，难度中等．2．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（）A．﹣2012 B．0 C．2012 D．2013【分析】先根据绝对值的意义分类讨论：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x ＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．【解答】解：当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A．﹣4 B．8 C．6 D．0【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，此题有一定的难度．4．（2015•武汉模拟）已知x1，x2是方程x2﹣x+1=0的两根，则x12+x22的值为（）A．3 B．5 C．7 D．4【分析】首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1•x2=1；其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；最后，代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程的两根，∴x1+x2=，x1•x2=1，∴=（x1+x2）2﹣2x1•x2=5﹣2=3．故选A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2015•宝鸡校级模拟）若k＞1，关于x的方程2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0的根的情况是（）A．有一正根和一负根 B．有两个正根C．有两个负根D．没有实数根【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负．【解答】解：方程的△=（4k+1）2﹣4×2（2k2﹣1）=8k+9，∵k＞1，∴△＞17，故方程有两不相等的实数根．∴x1+x2=＞2，x1x2=＞，所以两根为正根．故选B．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=．6．（2015•潍坊校级一模）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．7．（2015•芦溪县模拟）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．3【分析】由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1x2=，然后将其代入变形后的代数式进行求值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．8．（2016•吉安一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是﹣，两根之积是．9．（2015•西湖区一模）△ABC的一边长为5，另两边分别是方程x2﹣6x+m=0的两根，则m的取值范围是（）A．m＞B．＜m≤9 C．≤m≤9 D．m≤【分析】设三角形另两边分别为a、b（a≥b），先利用判别式的意义得到m≤9，根据根与系数的关系得到a+b=6，ab=m，由于a＜b+5，则利用完全平方公式变形得到（a﹣b）2＜25，所以（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，解得m＞，于是可得到m的取值范围是＜m≤9．【解答】解：设三角形另两边分别为a、b（a≥b），根据题意得△=（﹣6）2﹣4m≥0，解得m≤9，a+b=6，ab=m，∵a＜b+5，即a﹣b＜5，∴（a﹣b）2＜25，∴（a+b）2﹣4ab＜25，即36﹣4m＜25，∴m＞，∴m的取值范围是＜m≤9．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了三角形三边的关系．10．（2015•峨边县模拟）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．13【分析】根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．【解答】解：由方程有实根，得△≥0，即（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．11．（2015•黄陂区校级模拟）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，那么x1+x2=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【分析】根据x1+x2=﹣计算即可．【解答】解：根据题意可得x1+x2=﹣=﹣=3，故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式．12．（2015•遵义模拟）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=﹣1，那么p，q的值分别是（）A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1.2 D．1，2【分析】根据根与系数的关系得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得2+（﹣1）=﹣p，2×（﹣1）=q，所以p=﹣1，q=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．13．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．（2015•湖北模拟）已知一元二次方程2x2+mx﹣7=0的一个根为x=1，则另一根为（）A．1 B．2 C．﹣3.5 D．﹣5【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×t=﹣，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得1×t=﹣，解得t=﹣3.5．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．15．（2015•利川市模拟）若一元二次方程﹣3x2+6x+m=0的一个根为x1=3，则该方程的另一个根是（）A．x2=﹣1 B．x2=﹣3 C．x2=﹣5 D．x2=5【分析】设方程的另一个解为x2，根据根与系数的关系得到3+x2=﹣=2，然后解一次方程即可．【解答】解：由根与系数的关系得3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根方程的另一个解时，x1+x2=﹣，x1x2=，熟记这一关系是解题的关键．二．填空题（共5小题）16．（2015•黄陂区校级模拟）已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，且，则m=1或m=5．【分析】x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可解答．【解答】解：∵方程有两个实数根，由韦达定理知，∵，而由知，x1，x2异号．故=﹣，令x1=3k，x2=﹣2k，则得，从上面两式消去k，得，即m2﹣6m+5=0，解之得m1=1，m2=5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．17．（2015•泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为7．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣a﹣3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴a2﹣a﹣3=0，∴a2=a+3，∴a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，∴a+b=1，∴a2+b+3=1+6=7．故答案为7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．18．（2015•长清区模拟）若a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则a2+b2=10．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴a+b=2，ab=﹣3，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣3）=10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个解为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．19．（2015•滨州模拟）若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为﹣．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1•x2=﹣2，所以x1•x2+x1+x2=﹣2+=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．（2015•东西湖区校级模拟）设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=3．【分析】利用根与系数的关系x1+x2=﹣解答并填空即可．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=3，∴x1+x2=﹣=﹣=3．故答案是：3．【点评】考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=﹣．三．解答题（共8小题）21．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．22．（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【分析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）的值就为一定值．【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，（3）由（1）可知，k＞﹣1时，的值与k无关．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．23．（2015•黄冈校级自主招生）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．【分析】由于x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，利用根与系数的关系可以得到x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，然后把（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）乘开，接着整体代入前面等式的值即可得到关于a的方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，∴5a2+18a﹣99=0，∴a=3或﹣，当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=﹣．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．（2015•黄冈中学自主招生）已知x1，x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1，x2可相等）（1）证明方程的两根都小于0；（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣，再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．【解答】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，∴﹣4≤k≤﹣，∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，∴方程的两根都小于0；（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，∵﹣4≤k≤﹣，∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．25．（2015•蓬溪县校级模拟）已知实数m，n（m＞n）是方程的两个根，求的值．【分析】根据根与系数的关系求得m、n的值，然后将其代入所求的代数式求值．【解答】解：∵方程的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=4，∴x===±1，∴m=+1，n=﹣1；∴+=====4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．26．（2015•湖北校级自主招生）已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根（1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．【分析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．【解答】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m=，n=，∴m＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m﹣=∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m＜0，n＜0，∴+=﹣m﹣n=+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．【点评】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．27．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（3）根据根与系数的关系得到α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，利用α2+β2﹣αβ=6得到（α+β）2﹣3αβ=6，则（2m﹣1）2﹣3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在．根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立．也考查了根的判别式．28．（2015•肇庆二模）设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【分析】欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1•x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。