勾股定理与旋图

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勾股定理

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3：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系： a +b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）二、经典例题精讲题型一：勾股定理和逆定理并用—— 例题 3 如图 3，正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上的中点，
第十八章一．基础知识点： 1：勾股定理
勾股定理
直角三角形两直角边 a、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即： a +b ＝c ）要点诠释：
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勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， a c 2 b2 ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
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题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E，将△ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.

弦图证明勾股定理

弦图证明勾股定理勾股定理（又译作“勾股论”或“勾股弦”），是古希腊数学家勾股在公元前三世纪时发现的三角形的一个定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直边的平方之和。

：两条直边的平方等于斜边的平方。

勾股定理可以证明有限多边形的公式以及圆形的面积与周长的关系等，是几何学的重要定理，也是三角形讨论的基础。

在上述定理称之为“勾股论”之前，有关数学家都是用弦图来证明勾股定理的，因此，有关勾股定理的证明也被称之为“弦图证明勾股定理”。

弦图证明勾股定理，是几何中最为强有力的证据之一，具有普遍性、精确度和易于演示的优点。

该证明的基本流程如下：首先，将一个正方形的边长放缩到其中的一条直边，就能得到一个直角三角形；其次，将正方形的边长复制到另外一条直边，从而得到另外一个直角三角形；最后，将两个直角三角形的两条直角相连合并，就能得到一个新的正方形，这正是斜边的平方等于两条直边的平方之和的勾股定理。

以上就是弦图证明勾股定理的基本流程，从而可以以图形的形式证明勾股定理，示范性更强而又更加易于理解。

弦图证明勾股定理可以证明有限多边形的公式，并能够证明圆形的面积和周长的关系。

这种特殊的弦图，称之为“等腰三角形弦图”。

其弦图的基本组成是一个等腰三角形的弦图。

在等腰三角形的弦图中，一条从外部接触点指向顶点的弦图是“等腰三角形弦图”的特殊形式。

通过改变三角形的边长，可以得出不同的等腰三角形，并将它们组合成一个正方形。

由于这种组合在改变边长时所形成的正方形是斜边的平方也等于两条直边的平方之和的勾股定理的定理，因此，这种组合方式可以用来证明勾股定理。

经过上述分析，我们可以清楚地看到，弦图是一种有着极大几何意义的图形，它可以用来证明各种形状的面积以及周平等两条边的公式，并且可以用它来证明勾股定理，它拥有普遍性、精确度和易于演示的几何学特性。

总之，弦图证明勾股定理，是几何学中最为强有力的证据之一，具有普遍性、精确度和易于演示的优点。

它不仅可以用来证明一些有限形状的面积公式，还可以证明勾股定理。

勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o. ∴∠HEF=180o ―90o=90o.∴四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c2.∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o. 又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+.∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o ―90o=90o. 又∵AB=BE=EG=GA=c ，∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o. 即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o ，∠BCP=90o ，BC=BD=a.∴BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵∠BCA=90o ，QP ∥BC ，∴∠MPC=90o ，∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90o ，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o ，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o ， ∴∠QBM=∠ABC ，又∵∠BMP=90o ，∠BCA=90o ，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵AF=AC ，AB=AD ，∠FAB=∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，∵ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴矩形ADLM 的面积=2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积=2b .∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 ∴222b a c +=，即222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R.过B 作BP ⊥AF ，垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD=90o ，∠PAC=90o ，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o ，∠BCA=90o ， AD=AB=c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴DH=BC=a ，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA.即PB= CA=b ，AP=a ，从而PH=b ―a.∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA, Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA.∴DH=DG=a ，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90o ，∠DHF=90o ，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o ， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴GF=FH=a.TF ⊥AF ，TF=GT ―GF=b ―a.∴TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP=b ，高FP=a+（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438=ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得=922S S b ++=22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90o ， ∴∠TBH=∠ABE. 又∵∠BTH=∠BEA=90o ，BT=BE=b ， ∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. ∴HT=AE=a. ∴GH=GT ―HT=b ―a.又∵∠GHF+∠BHT=90o ，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB ―ED=b ―a ，∠HGF=∠BDC=90o ， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC.即27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o ，可知∠ABE =∠QAM ，而AB=AQ=c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM.又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM.即58S S =.由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM=AE=a ，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90o ，∠BAE+∠CAR=90o ，∠AQM=∠BAE ， ∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90o ，QM=AR=a ，∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC.即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC=a ，AC=b ，斜边AB=c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵AB=DC=c ，AD=BC=a ， AC=BD=b ，∴222AC BC AB +=，即222b a c +=， ∴222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知AD AB AC ∙≠2，或者BD AB BC ∙≠2.即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A=∠A ，∴若AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B=∠B ， ∴若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB=90o ，∴∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+=22c ab +.∴22222c ab ab b a +=++, ∴222c b a =+.。

小学奥数-勾股与弦图

勾股与弦图定义：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么a b ，c ．222a b c +=中， ,则Rt ABC △90C ∠=︒222a b c +=直角三角形中常用数：⑴ 整数边：；；；；；()345，，()6810，，()51213，，()72425，，()81517，，等；()94041，，⑵ 如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k 为正数） ()a b c ，，()ak bk ck ，，勾股定理的使用常常会联系弦图，如下图分别为外弦图和内弦图：外弦图内弦图cba C B A【例1】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．【例2】如图，以三角形ABC的三边为边长向外作三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积.【例3】如图，是由一个直角边都是1的直角三角形向外作直角三角形得到，形成一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边是多少？【例4】如图所示，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，最大正方形的边长是7，问：除最大正方形外的所有正方形的面积之和是多少？【例5】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．【例6】下图是学校一个正方形花圃的设计图，图中阴影部分是花圃，空白部分是草坪。

求花圃的面积是多少平方米？【例7】如图，是由四个完全相同的长方形拼成，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是16平方分米，则每个长方形的面积是多少平方分米，长方形的短边是多少分米？【例8】如图，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积.【例9】如下图所示，两个正方形ABCD 和DEFG 的边长都是整数厘米，点E 在线段CD 上，且CE<DE,线段CF=5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于多少平方厘米？FGDECB A【例10】如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是多少厘米？。

勾股定理的九种证明方法(附图)

勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。

作CD⊥AB，垂足为D。

则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ×AB。

②我们发现，把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。

它利用了相似三角形的知识。

四、古人的证法：CABD如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。

即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。

勾股定理-课件

2.理解“勾股定理”应该注意什么问题？
3.你觉得“勾股定理”有用么？作用在哪里？
老师寄语
希望你们好好学习！
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多像 “勾股定理”那样的知识等待着我们去探索，等待着我们去发现……
a
c
b
语言表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
解决实际问题：应用列举
例1、如下图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底部3米处，这棵树折断前有多高？
A 4米
B 3米 C
解：在直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2 AB2 BC2 42 32 25
C A
B
图1-3
3．三个正方形A，B， C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：一个直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
4．你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流．
面积关系：SA+SB=SC
三边关系：a 2 + b2= c 2 5．分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．第4 题中的关系式对这个三角形仍然成立吗？
作业快餐
作业一
•完成课本习题18.1（１、2、 3）（必做）
作业二
作业三
•课后小实验：如图,分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么? （必做）

勾股定理

我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“玄”，于是勾股定理课叙述为：勾方加股方等于a
动手操作折一折，验证定理
练一练
• 1..在Rt△ABC中，∠C=90°
• ①若a=5，b=12，则c=___________；
• ②若a=15，c=25，则b=___________； • ③若c=61，b=60，则a=__________； • ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。 • 2直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
勾股定理
13教育学
赵露
创设情境，导入新课
小区里有一块空地将要被改成下图所示的绿地花园，其中绿色的地方种草，红色的地方种花，你能用几种方法求这块花园的面积？
5
13 12
a
b c
5 13 12
a
c
b
S=?
5 13 12
a c
b
5 12
3
a
c
b
5 12
3
a
c
b
勾股定理
勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
• 3..已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
• A、25 B、14 C、 7 D、7或25
• 4..等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） • A、56 B、48 C、40 D、32

旋转与勾股定理的三种题型ppt课件

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变式3：如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。变式4：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC= 1：2：3，求∠APB的度数。
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下课了!
诲 •悟性的高低取决于有无悟“心人 ”,其实,人与人的差别就在于你不是否去思考, 去发现，去总结。倦
由勾股定理的逆定理知∠APPl=90o
∠APB=∠APPl+∠BPPl=900+600=1500
10
变式1：如图，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
变式2：如图1，P是正三角形ABC内的一点，且 PA=3a，PB=4a，PC=5a，求∠APB的度数。
7
（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
8
例3
如图，点P是等边△ABC内一点，且PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数。
23
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选C．
24
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2 由弦图记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1， S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.

勾股定理(PPT)4-2.

命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c。那么a2+b2=c2
两千多年来，人们对这个命题的证明颇感兴趣。因为这个命题太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，因此不断出现新的证法。你能对命题1加以验证吗？
看书P73-74，再画一画，剪一剪，你能发现什么？
生树种的有元宝枫、栎类、桦木、侧柏等。木材富含松脂，耐腐，适作建筑、家具、枕木、矿柱、电杆、人造纤维等用材。树干可割取松脂，提取松节油，树皮可提取栲胶，松节、针叶及花粉可入药，亦可采松脂供工业用。栽培技术编辑、整地作床：在整地前，先施硫酸亚铁斤，然后用锨深翻厘米，再耧平作床，畦宽.米，长至米，打埂做畦，种植厘米左右的苗按.米×.米的株行距定点挖穴，每畦一行，每亩栽株。、挖穴栽苗：栽植油松时，每畦一行，定点在畦的中央，穴为×厘米，下留松土4至厘米，若是草绳包装的土球，可以不解开；若是尼龙绳和塑料包装的，必须解下，免得造成栽死苗的恶果。将苗栽好后，平好畦面，就可以浇灌。若苗叶发黄，是缺铁，需施硫酸亚铁。 [] 培育管理、油松栽上后，在一周内施两次水，以后可松土、保墒，到五月初再浇一次，以后天气不旱不浇，到六月可施一次肥，八月施一次硫酸亚铁。在株边挖坑点施。在松土锄草上，可天进行一次，要求认真细致，一般深达4至厘米，要求锄匀，土松无坷垃，草锄净、拾净。、油松整形和换头：油松在管理过程中，需注意整形和换头工作，油松在生长过程中，有的重枝，头会损坏或处于弱势，须用强健的侧技拉上、捆好，以后成为中心优势，这个过程就是换头。 ①、油松整形：.疏去过密的枝；.回缩过长的枝；.补充偏冠的缺枝。整形修剪整形修剪是以保证油松树形优美、整齐一致、生长良好、不影响城市的公益设施建设和人们的生活为目的的必要管理技术。应采取哪些措施,要视绿化场所、位置、占用空间及艺术造型等具体目的而定。一般都离不开去除冗枝、病虫枝、疏除生长方向不合适的旺长枝。油松塔状的树形属性一般来说适当保证中心领导干的顶端优势较低为合适,对于塑造工艺型枝还

勾股定理与旋转问题专题

A
• 求∠BPC
P
B
C
编辑版pppt
6
• 练习1.P是正三角形ABC内一点，且
PA=6,PB=8,PC=10.
A
• 求∠APB
P
B
C
编辑版pppt
7
• 练习2.P是正三角形ABC内一点，且
PA=3a,PB=4a,PC=5a.
A
• 求∠APB
P
B
编辑版pppt
C
8
• 练习3.在四边形ABCD中，∠ABC=30°， ∠ADC=60°，AD=CD.CNP NhomakorabeaBM
A
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• 求：∠CPA的大小？ C
P
A
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B
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• 练习6.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是 AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12， CF=5．求线段EF的长。 B
E A
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D
FC
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• 练习7、如图，在△ABC中，∠B=90°，M为 AB上一点，AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。求∠APM的大小。
• 求证：BD2=AB2+BC2
A
D
B
C
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• 练习4.等腰直角三角形ABC的斜边上取两点 M、N，使得∠MCN=45°
C
• 求证：MN2=AM2+BN2
AM
N
B
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第84讲、勾股定理与弦图---加深版

第84讲、勾股定理与弦图-----加深版知识导引一、基础知识；我国是最早了解勾股定理的国家之一，在直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

二、图形的构造定理；1、勾股定理: 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。

a c 222cb a =+b2、勾理的证明：大家注意到，每个长方形可用一条对角线分为两个同样大小的直角三角形，如下图。

设这个直角三角形的两条直角边为a ，b ，斜边为c ，则4个直角三角形可以拼成一个斜边为c 的正方形。

中间空一格边长为a-b 的小正方形。

显然这个图形是大正方形ABCD 的一部分。

由图中可见。

b2)(b a -证明：ab b a c 214)(22⨯+-= ab b a 2)(2+-=ab b ab a 2222++-= 22b a += =a 2-2ab+b 2+2ab完全平方和公式：2222)(b ab a b a ++=+完全平方差公式：2222)(b ab a b a +-=-知识窗金典例题1.四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长24厘米。

求：每块长方形木板的面积和周长。

CBADABC2. 如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，求四边形ABCD 的面积3、以直角三角形ABC 各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知AC 长3厘米，长4米．则新月形（阴影部分）的面积和是多少平方厘米。

4、同样大小的长方形小纸片摆成了下图所示的图形，已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。

基础入门1、所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D 的面积之和为cm2．B ADBAOBA2、如下图所示，小圆直径与大圆直径在同一条直线上，弦AB=10厘米，弦AB 与直径平行且与小圆相切，求阴影面积。

勾股与弦图

勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a^2+b^2=c^2目录概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理展开编辑本段概述定义在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方。

勾股定理(6张)简介勾股定理是余弦定理的一个特例。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。

（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。

他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

《勾股定理》PPT

综合题：3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求 △ABC的周长．
小贴士
为什么叫勾股定理这个名称呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角形三边的关系，所以叫做勾股定理.
勾
股
勾2+股2=弦2 国外又叫毕达哥拉斯定理
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
当堂练习
1.下列说法中,正确的是
（ C）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
新知应用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
B
（2）若a=1,c=2,求b.
a
解：(1)在Rt△ABC中， ∠C=90°
C
c a2 b2 52 52 50 5 2;
c
A
b
(2)在Rt△ABC中， ∠C=90°
b c2 a2 22 12 3.
注意：1.看好哪个角是直角,选择正确的公式来求边长
C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
AB C
S正方形A S正方形B S正方形C
一直角边2 +
另一直角边2 =
斜边2

六年级几何：勾股定理与旋图【三篇】

六年级几何：勾股定理与旋图【三篇】
导读：本文六年级几何：勾股定理与旋图【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?
有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．
【第二篇】如图12，正方形的边长为10cm，AB=2cm，CD=3cm，求阴影部分的面积。

解答：平行两条线，做平行线。

可知外侧形成四个旋转地小长方形，除去中间的长方形后阴影部分等分。

所以（10×10-2×3）÷2+2×3=53（平方厘米）
【第三篇】几何勾股定理与弦图练习1
答案：
几何勾股定理与弦图练习2。