二次函数与根的判别式的关系

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二次函数与根的判别式的关系

观察判断下列图象哪个有可能是函数y x2 2x 3 的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
Owk.baidu.com
y
√D.
O
x
x
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（3）何时小球离地面的高度
是60m？你是如何知道的？
解 : 令h 60 5t2 40t 60 t2 8t 12 0 (t 2)(t 6) 0 t/s t1 2，t2 6
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0.
又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ 7 ，即k≥－ 7 且k≠0
4
4
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0； ②有交点，所以应为△≥0．
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（1）h和t的关系式是什么？
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程
t/s
-5t2+40t=0

二次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 222

4()24b b ac

x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则

①0∆>⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

有两个不相等的实数根1,2x =．

②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0∆<⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．

若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；

若∆

为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情

二次函数的根与判别式

二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于

零的x值。而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。

一、二次函数的根

二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。为了求解二次函数的根，我们可以使

用求根公式。求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。

1. 一般形式的二次函数

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来

求解其根：

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。求根公式中的判

别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。

2. 标准形式的二次函数

对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可

以通过移项和开平方的方式求解其根。具体步骤如下：

1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；

2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。

二、二次函数的判别式

二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。判别式

的值可以分为三种情况：

1. 判别式大于0（Δ > 0）

当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。也就是说，方程f(x) = 0

二次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 222

4()24b b ac x a a -+=，显然只有当

40b ac -≥时，才能直接开平方得：22

424b b ac

x a a -+=±．也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则

①0∆>⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac

x a -±-=．

②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0∆<⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．

若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；

若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程

有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．

分析二次函数的根与判别式

二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为：

f(x) = ax^2 + bx + c

其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。根据二次函数的一般表达式，我

们可以推导出二次函数的判别式：

Δ = b^2 - 4ac

其中，Δ代表判别式。在讨论二次函数的根的情况时，判别式起到

了关键作用。接下来，我们将分析二次函数的根与判别式之间的关系。

1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。

在这种情况下，判别式Δ大于0，意味着二次函数的图像与x轴

有两个交点，即函数方程f(x) = 0有两个不相等的实根。这意味着二次

函数的抛物线与x轴相交于两个不同的点，图像呈现出凹向上的形状。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。

当判别式Δ等于0时，二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点，这意味着函数方程f(x) = 0有两个相等的实根。此时，二次函数的抛物

线在x轴上切于一个点，图像呈现出一种特殊的情况，即对称轴与x

轴重合。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根。

如果判别式Δ小于0，那么二次函数的图像与x轴没有交点，函

数方程f(x) = 0没有实根。这种情况下，二次函数的抛物线完全位于x

轴的上方或下方，图像呈现出凹向上或凹向下的形状。

通过分析二次函数的根与判别式，我们可以更好地理解二次函数的

图像特征和解析特点。判别式Δ的正负性决定了二次函数的根的情况，进而影响了函数的图像形状。在应用中，我们可以利用二次函数的根

与判别式来解决实际问题，如求解方程、优化问题等。

总之，判别式Δ在二次函数中的作用是决定了函数的根的情况，从

二次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 222

4()24b b ac x a a -+=，显然只有当

40b ac -≥时，才能直接开平方得：22

424b b ac

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则

①0∆>⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac

x a -±-=．

②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0∆<⇔方程2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．

若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；

若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程

有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．

二次函数与根的判别式的关系6

写成点的坐标.
y=x2+2x与x轴交点（-2，0）和（0，0）
y=x2-2x+1与X轴的交点（1，0）
y=x2-2x+2与x 轴无交点
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
议一议、取长补短
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式y=－ 1 x2+ 2 x+ 5 ，则
12 3 3
该运动员此次掷铅球的成绩是___1_0_____。
总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听. ①二次函数与一元二次方程的关系. ②二次函数与一元二次方程根的情况之间的关系. ③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
例1.判断二次函数y=x2-2x-1与x轴的交点情况解： a=1 b=-2 c=-1
∵ Δ=b2－4ac＝(-2)2－4×1×(－1)=8＞0
∴函数与x轴有两个交点练习1.不画图象判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由． (1) y=x2-4x+3 (2) y=x2-6x+9

二次函数的根与判别式

二次函数是数学中常见的一类函数形式，可以表示为

$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\neq0$。在解析几何和代数学中，研究二次函数的根和判别式是非常重要的内容。本文将系统地介绍二次函数的根的概念、求根公式以及判别式的含义和应用。

一、二次函数的根的概念

在解析几何中，我们说 $x_0$ 是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的根，是指当 $x=x_0$ 时，函数的值 $y=ax_0^2+bx_0+c$ 等于零。换句话说，$x_0$ 是函数图像与 $x$ 轴的交点的横坐标。

二次函数的根可以分为以下三种情况：

1. 当判别式 $D=b^2-4ac>0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实根；

2. 当判别式 $D=b^2-4ac=0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相等的实根；

3. 当判别式 $D=b^2-4ac<0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实根，但有两个虚根。

二、求根公式

求解二次函数根的常用方法是利用求根公式。二次函数的求根公式为：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

其中，$\pm$ 表示可以选择取正号或者负号，这取决于具体的方程

和问题。

三、判别式的含义与应用

判别式 $D=b^2-4ac$ 是判断二次函数根的重要指标。它可以用来确

定方程的根的性质，并在实际应用中起到重要的作用。

1. 当判别式 $D>0$ 时，方程有两个不相等的实根。这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，函数在这两个交点处取零值。在实际中，我们可以利用这两个实根来求解问题，例如求解物体运动的时间、距离等。

二次函数的判别式与根的关系

二次函数的判别式与根的关系在学习二次函数时，我们经常会遇到判别式以及它与根之间的关系。本文将详细探讨二次函数的判别式以及判别式与根之间的关系，帮助

读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的判别式

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且

a≠0。在这个一般形式的二次函数中，判别式D的计算公式为D = b^2 - 4ac。

判别式D的值决定了二次函数的性质，它可以分为三种情况：

1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即有两

个实根。此时，二次函数的图像向上开口或向下开口，具体取决于a

的正负。

2. 当D = 0时，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点，即有一

个实根。此时，二次函数的图像与x轴相切。

3. 当D < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即没有实根。此时，二次函数的图像位于x轴上方或下方，具体取决于a的正负。

二、判别式与根的关系

判别式D与二次函数的根之间有着密切的关系。根据判别式D的值，我们可以得出以下结论：

1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点。这时，二次函数必然有两个实根。根的个数与D的正负没有关系，只与D的值的大小有关。

2. 当D = 0时，判别式为零，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点。这时，二次函数有一个实根。

3. 当D < 0时，判别式为负数，二次函数的图像与x轴没有交点。这时，二次函数没有实根。

需要注意的是，判别式D的值仅决定了二次函数是否有实根，而不能确定其根的具体值。要求出二次函数的根，还需要根据具体的函数形式进行求解。

二次函数如何求解二次函数的根及判别式

二次函数如何求解二次函数的根及判别式二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为 f(x) =

ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。在解析几何以及数学建模等领域，求解二次函数的根及判别式是相当重要的技巧。本文将介绍二次函数求解根的方法，并解释判别式在解析二次函数性质时的作用。

一、求解二次函数的根

为了求解二次函数的根，我们需要先了解一些相关的概念和方法。给定二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，我们的目标是找到使得 f(x) = 0 的 x 值，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。

1. 使用求根公式

求根公式是求解二次方程的一种常用方法。根据求根公式，对于一般的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式得到： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

其中√ 表示平方根，±表示两个根的取正负。这里的符号取决于判别式的值，我们将在后面的章节中详细讨论。若判别式为非负数，则方程有两个实根；若判别式为零，则方程有一个实根；若判别式为负数，则方程无实根。

2. 示例演算

为了更好地理解求解二次方程的过程，我们通过一个实例进行演算。考虑方程 x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以比较出 a = 1，b = -4，c = 3。根据

求根公式，我们可以计算出判别式：

Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4

根据判别式的值，我们可以确定方程有两个不同实根。现在我们使

北师大版九年级下册数学 2.5 二次函数与根的判别式的关系 (共23张PPT)

的取值范围
k≥ - 9 16
且 k ≠．0
5．若a＞0,b＞0,c＞0,△＞0,那么抛物线 y=ax2+bx+c经过一、二、三象限．
归纳小结、课后反思
1、二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交
点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系？ 2、本节课你有什么收获？
3、本节课你还有哪些困惑？
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h5t24t0
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程
-5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x 2 + 2 x , y = x 2 - 2 x + 1 , y = x 2 - 2 x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0

二次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到

(x b2b24ac b24ac0

)

4a2，显然只有当时，才能直接开

平方得： x b b24ac．

2a4a2

也就是说，一元二次方程 ax2bx c0( a0) 只有当系数 a 、 b 、 c 满足条件b2 4 ac 0时才有实数根．这里 b 24ac 叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

ax2

在实数范围内，一元二次方程bx c0( a0) 的根由其系数a 、b、 c 确定，它的根的情况(是否有实数根 ) 由b24ac 确定．

判别式：设一元二次方程为ax2bx c0(a 0) ，其根的判别式为： b 24ac 则

①0方程 ax2bx c0(a0) 有两个不相等的实数根x1,2b b24ac ．

②0方程 ax2bx c0(a0) 有两个相等的实数根1

x2b ．

x2a

③0bx c0(a0) 没有实数根．

方程 ax

若 a ， b ， c 为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

若为完全平方式，同时b b24ac 是 2a的整数倍，则方程的根为整数根．

说明 : (1) 用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0;有两个相等的实数根时，0 ;没有实数根时，0 ．

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式b24ac 判定方程的根的情况

(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根) ．当b24ac 0时，方程