二次函数与根的判别式的关系
二次函数与根的判别式的关系
没有交点
没有实数根
结合前面的问题填表：
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac &g个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
(1)抛物线与x轴有 一 个
交点，它们的横坐标
是2
；
y x 2 4x 4
(2)当x取交点的横坐标 时，函数是 0 ；
(3)所以方程x 2 4x 4 0的根是
x1=x2=2 .
2.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交 点，求k的取值范围.
解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－ 7 ． 4
观察判断下列图象哪个有可能是函数y x2 2x 3 的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（3）何时小球离地面的高度
是60m？你是如何知道的？
解 : 令h 60 5t2 40t 60 t2 8t 12 0 (t 2)(t 6) 0 t/s t1 2，t2 6
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》这一节的内容，主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握判别式的计算方法，并能运用判别式判断二次方程的根的情况。
内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的形成过程，又培养了学生的动手操作能力、归纳推理能力、数学语言表达能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的相关知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但根与判别式的关系这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生通过观察、操作、归纳等方法，理解并掌握根与判别式之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次方程的根与判别式之间的关系，能运用判别式判断二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、归纳等方法，让学生体会数学知识的形成过程，培养学生的动手操作能力和归纳推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：理解判别式的计算方法和运用判别式判断二次方程的根的情况。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、归纳，发现二次函数的根与判别式之间的关系。
3.讲解法：在学生理解的基础上，进行讲解，使学生掌握知识。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备一些有关二次函数与根的判别式的练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用生活实例引入二次函数的概念，让学生回顾二次函数的图象和性质。
2.提出问题：二次函数的根与判别式之间有什么关系？呈现（10分钟）1.利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的根与判别式之间的关系。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于零的x值。
而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。
一、二次函数的根二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。
为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式。
求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。
1. 一般形式的二次函数对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来求解其根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。
求根公式中的判别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。
2. 标准形式的二次函数对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可以通过移项和开平方的方式求解其根。
具体步骤如下：1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。
二、二次函数的判别式二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
判别式的值可以分为三种情况：1. 判别式大于0（Δ > 0）当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有两个不同的实数解。
2. 判别式等于0（Δ = 0）当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有且仅有一个实数解。
3. 判别式小于0（Δ < 0）当判别式小于0时，二次函数没有实根。
也就是说，方程f(x) = 0没有实数解。
三、二次函数根与判别式的关系二次函数的根与判别式之间存在着紧密的关系。
二次方程与根的关系
二次方程与根的关系二次方程是一个数学概念，通常表示成 ax^2 + bx + c = 0 的形式，其中 a、b、c 是已知的实数系数，而 x 是未知数。
二次方程在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
二次方程的一条重要性质是它与根的关系。
根是指使方程成立的解，即满足方程的 x 的值。
二次方程的根可能有两个、一个或没有，具体取决于方程的判别式（b^2 - 4ac）的值。
当判别式大于零时，二次方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个开口向上或向下的抛物线与 x 轴相交于两个不同的点。
这两个实根可以通过求解二次方程来得到，公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中 "±" 表示加号或减号，表示两个不同的解。
当判别式等于零时，二次方程有一个实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个与 x 轴相切于一个点的抛物线。
这个实根可以通过求解二次方程来得到，公式为：x = -b / (2a)当判别式小于零时，二次方程没有实根。
这意味着方程在坐标平面上表示的是一个没有与 x 轴相交的抛物线，也就是抛物线在 x 轴上方或下方。
在这种情况下，解是虚数，表示为 a+bi 或 a-bi 的形式，其中a 和b 都是实数，而 i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二次方程与根的关系在数学和实际应用中都非常重要。
它们帮助我们解决许多问题，例如找出物体在重力影响下的运动轨迹、计算交通工具的加速度以及确定经济模型中的最优解等。
二次方程还与二次函数紧密相连，可以用来研究函数的性质和图像。
除了与根的关系，二次方程还有其他一些重要特性。
例如，二次方程的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过将二次方程转化为顶点的标准形式来获得。
二次方程还有极大值或极小值，这些值对应于抛物线的顶点。
在实际问题中，我们经常需要解决二次方程的一些特定情况。
分析二次函数的根与判别式
分析二次函数的根与判别式二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据二次函数的一般表达式，我们可以推导出二次函数的判别式：Δ = b^2 - 4ac其中，Δ代表判别式。
在讨论二次函数的根的情况时，判别式起到了关键作用。
接下来，我们将分析二次函数的根与判别式之间的关系。
1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
在这种情况下，判别式Δ大于0，意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数方程f(x) = 0有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的抛物线与x轴相交于两个不同的点，图像呈现出凹向上的形状。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点，这意味着函数方程f(x) = 0有两个相等的实根。
此时，二次函数的抛物线在x轴上切于一个点，图像呈现出一种特殊的情况，即对称轴与x轴重合。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根。
如果判别式Δ小于0，那么二次函数的图像与x轴没有交点，函数方程f(x) = 0没有实根。
这种情况下，二次函数的抛物线完全位于x轴的上方或下方，图像呈现出凹向上或凹向下的形状。
通过分析二次函数的根与判别式，我们可以更好地理解二次函数的图像特征和解析特点。
判别式Δ的正负性决定了二次函数的根的情况，进而影响了函数的图像形状。
在应用中，我们可以利用二次函数的根与判别式来解决实际问题，如求解方程、优化问题等。
总之，判别式Δ在二次函数中的作用是决定了函数的根的情况，从而影响了函数的图像以及解析特征。
通过分析判别式Δ的正负性，我们可以准确地得知二次函数的根的情况，为进一步的数学研究和实际应用提供了便利。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数在数学中占据着重要的地位，在各种实际问题中都有广泛的应用。
而要了解二次函数的性质和解法，首先需要了解二次函数的根以及与之相关的判别式。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及应用。
一、二次函数的根二次函数是一种形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状，而二次函数的根即为使得函数值等于零的x值。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的根可以通过求解方程f(x) = 0来得到。
根据一元二次方程的求解公式可知，二次函数的根的计算公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取值可能性，√表示开平方根。
根据这个公式，我们可以计算出二次函数的根，进而对二次函数在坐标轴上的位置和特性进行进一步的分析。
二、二次函数的判别式为了更好地了解二次函数的性质，我们引入判别式的概念。
二次函数的判别式是一个用来判断二次函数根的性质的参数，通过判别式的值可以判断二次函数的根的情况。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的判别式D的计算公式为：D = b² - 4ac根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；3. 当D < 0时，二次函数没有实根，但可能有复数根。
通过判别式，我们可以进一步了解和分析二次函数的根的情况，从而更好地解决实际问题。
三、二次函数根与判别式的应用二次函数的根与判别式在应用中具有重要的作用。
以下是一些相关的应用场景：1. 求解方程：通过计算二次函数的根，可以解决各种与二次函数相关的方程问题。
2. 几何性质：通过分析二次函数的根和判别式，可以得到二次函数在坐标轴上的位置和形态。
二次函数与根的判别式的关系6
4.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，
x2=
5，那么二次函数
3
y=
3
x2+x－10与x轴的交点坐标
是＿(-＿2，＿0＿) ＿( ＿＿，＿0. )
5.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2x2 － 4x － 5
6、如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平 距离x（m）之间的函数关系式y=－ 1 x2+ 2 x+ 5 ，则
12 3 3
该运动员此次掷铅球的成绩是___1_0_____。
总结提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑？说给老师或同学听听. ①二次函数与一元二次方程的关系. ②二次函数与一元二次方程根的情况之间的 关系. ③事物是普遍联系的，运用方程知识可以解
写成点的坐标.
y=x2+2x与x轴交点 （-2，0）和（0，0）
y=x2-2x+1与X轴 的交点 （1，0）
y=x2-2x+2与x 轴无交点
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
议一 议、取长补短
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2x²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次方 程根的判别式的关系
y ax2 bx c
一、温故知新
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为 （－2，0 ）
一元一次方程x＋2＝0的根为__X_=_－_2___ （2） 一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为
二次函数的根与判别式知识点总结详细
二次函数的根与判别式知识点总结详细介绍二次函数是高中数学中的重要概念，了解二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。
本文档将详细介绍二次函数的根和判别式的相关知识点。
二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
二次函数的根二次函数的根是函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴的交点，即函数取值为0的$x$值。
根据二次函数的一般形式，我们可以通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来求得二次函数的根。
二次函数根的判别式二次函数根的判别式可以用来判断二次函数的根的情况。
判别式的计算公式为 $D = b^2 - 4ac$。
判别式 $D$ 的值可以分为三种情况：1. 当 $D > 0$ 时，二次方程有两个不相等的实根；2. 当 $D = 0$ 时，二次方程有两个相等的实根；3. 当 $D < 0$ 时，二次方程没有实根，根为虚根。
根的求解公式根据二次函数根的判别式，可以得到根的求解公式：1. 当 $D > 0$ 时，设 $x_1$、$x_2$ 分别为方程的两个实根，则有：- $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$- $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$2. 当 $D = 0$ 时，方程有相等的实根，即 $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$3. 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，根为虚根。
总结二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。
根据根的判别式的值，我们可以判断二次方程的根的情况，进而使用根的求解公式求得根的具体值。
希望本文档对你了解和掌握二次函数的根和判别式有所帮助！。
二次函数与曲线的根的关系求解方法
二次函数与曲线的根的关系求解方法二次函数是一种数学形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
它的图像是一条平滑的曲线，而计算这个曲线的根（也就是方程f(x) = 0的解）是解题过程中的一个重要环节。
本文将介绍二次函数与曲线根的关系以及相应的求解方法。
一、二次函数与线性因式的关系在解析几何中，我们学习到一次函数y = kx + b的图像是一条直线，而二次函数则是一种更为复杂的曲线。
对于二次函数f(x) = a(x - α)(x - β)，其中α和β为二次函数的两个根，则f(x)的图像将与x轴交于两个点(α, 0)和(β, 0)。
在这种特殊情况下，我们可以通过观察函数的因式来确定其根的位置。
示例一：解析二次函数f(x) = 2(x - 1)(x - 3)的根。
根据因式分解，我们可以得知α = 1和β = 3，将这两个数值代入函数中，即有f(1) = 0和f(3) = 0。
这说明二次函数的图像与x轴交于点(1, 0)和(3, 0)，因此1和3就是该二次函数的根。
示例二：解析二次函数f(x) = -4(x + 2)(x - 5)的根。
根据因式分解，我们可以得知α = -2和β = 5，将这两个数值代入函数中，即有f(-2) = 0和f(5) = 0。
这说明二次函数的图像与x轴交于点(-2, 0)和(5, 0)，因此-2和5就是该二次函数的根。
通过以上示例可以看出，二次函数的根可以通过观察函数的因式得到。
然而，并非所有的二次函数都能够通过因式分解得到根的解析表达式。
对于这种情况，我们可以使用其他的求解方法。
二、二次函数的根的求解方法除了通过因式分解观察根的位置外，我们还可以使用求根公式来求解二次函数的根。
求根公式给出了一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0的根的求解方法。
根据求根公式，二次方程的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个不同的根，√表示开方。
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教学设计2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教学设计2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》是北师大版数学九年级下册的教学内容。
这部分内容主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握求解二次方程的根的方法，并能够应用这些知识解决实际问题。
教材通过对二次函数图象与性质的探讨，引导学生发现根的判别式与二次函数图象的关系，从而达到深化对二次函数的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对二次函数有一定的认识和了解。
但学生在求解实际问题时，往往不能灵活运用二次函数的性质和判别式。
因此，在教学本节课时，需要帮助学生建立起二次函数与根的判别式之间的联系，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握求解二次方程的根的方法。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现二次函数图象与性质之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生积极参与数学学习的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：如何应用二次函数的根与判别式的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提问、引导，让学生发现二次函数的根与判别式之间的关系。
2.案例分析法：教师通过举例，让学生了解如何应用二次函数的根与判别式解决实际问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、例题、习题。
2.学生准备：预习教材，了解二次函数的基本性质和图象。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察并分析二次函数的根与判别式之间的关系。
3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的根与判别式的关系求解二次方程的根，并解释解题过程。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式在学习二次函数的过程中，我们常常需要确定二次函数的根，也就是解二次方程的根。
而判别式则是用来判断二次方程的根的性质。
在本文中，我们将探讨二次函数的根与判别式的相关概念及应用。
1. 二次函数的定义与一般形式二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于零。
该函数在坐标平面上呈现出抛物线的形状，开口方向与a的正负有关。
2. 二次方程与二次函数的关系二次方程与二次函数密切相关，二次方程的一般形式为ax^2 + bx +c = 0，在解二次方程时，我们需要求解方程的根，也就是函数的零点。
因此，二次方程的根即是二次函数的横坐标对应的函数值为零的点。
3. 二次函数的根的求解方法为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式或者配方法来进行计算。
(1) 求根公式：二次函数的根可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 来计算。
其中，±表示两个相反的解，√表示平方根。
(2) 配方法：使用配方法可以将一般形式的二次函数转化为一个完全平方形式的二次函数。
具体步骤为首先将二次函数中的二次项与线性项配成一个完全平方，然后将其他项移至等式的另一边，最后完成平方运算并求解根。
4. 判别式的定义与求解判别式是用来判断二次方程的根的性质的一个重要指标，可以通过判别式的正负和零来分析二次方程的根的情况。
判别式的一般形式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ为判别式，a、b、c分别为二次方程的系数。
(1) 若Δ > 0，则二次方程有两个不相等的实根；(2) 若Δ = 0，则二次方程有两个相等的实根，也称为重根；(3) 若Δ < 0，则二次方程没有实根，但有一对共轭复根。
通过计算判别式的值，我们可以直观地了解二次方程的根的性质，并在解题过程中依据判别式的结果选择适当的解法。
5. 二次函数根与判别式的应用二次函数的根和判别式的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：(1) 求二次方程的根：通过求根公式或配方法计算二次函数的根，可以帮助我们求解实际问题中的未知数。
九年级数学下册《二次函数与根的判别式的关系》优秀教学案例
小组合作是本案例的重要教学策略。教师将根据学生的知识水平、性格特点等因素，合理分组，使学生在小组内相互协作、共同探究。
小组合作过程中，教师引导学生明确分工、互相配合，鼓励学生积极参与讨论，分享自己的观点。通过小组合作，培养学生团队合作精神，提高学生的沟通能力和协作能力。
（四）反思与评价
九年级数学下册《二次函数与根的判别式的关系》优秀教学案例
一、案例背景
在九年级数学下册的教学中，二次函数与根的判别式的关系是学生必须掌握的核心知识点。该部分内容不仅涉及到二次函数的性质，还与一元二次方程的解有着密切联系。为了让学生更好地理解和运用这个关系，本教学案例将结合实际生活中的问题情境，引导学生通过探究、实践，深入掌握二次函数与根的判别式的内在联系。
4.注重反思与评价，提升学生学习效果
本案例强调反思与评价在学生学习过程中的重要作用。教师引导学生对自己的学习过程进行反思，发现不足，从而实现知识的巩固和内化。同时，多元化的评价方式关注学生的知识掌握、思维品质、合作能力等方面，激励学生不断进步。
5.人性化教学，关注学生个体差异
在本案例中，教师以关爱、尊重、鼓励的态度对待每一位学生，关注学生的情感需求。教学过程中，教师充分调动学生的积极性，尊重学生的个体差异，使每个学生都能在课堂上获得成功的体验，增强自信心。
c.探讨二次函数性质与根的判别式之间的关系。
3.各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与根的判别式的关系。
2.教师强调根的判别式在解决实际问题中的应用，如求解最值、确定交点等。
3.学生分享学习心得，提出疑问，教师解答。
（五）作业小结
1.教师布置以下作业：
二次函数的判别式与根的关系
二次函数的判别式与根的关系在学习二次函数时，我们经常会遇到判别式以及它与根之间的关系。
本文将详细探讨二次函数的判别式以及判别式与根之间的关系，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的判别式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个一般形式的二次函数中，判别式D的计算公式为D = b^2 - 4ac。
判别式D的值决定了二次函数的性质，它可以分为三种情况：1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。
此时，二次函数的图像向上开口或向下开口，具体取决于a的正负。
2. 当D = 0时，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点，即有一个实根。
此时，二次函数的图像与x轴相切。
3. 当D < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即没有实根。
此时，二次函数的图像位于x轴上方或下方，具体取决于a的正负。
二、判别式与根的关系判别式D与二次函数的根之间有着密切的关系。
根据判别式D的值，我们可以得出以下结论：1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点。
这时，二次函数必然有两个实根。
根的个数与D的正负没有关系，只与D的值的大小有关。
2. 当D = 0时，判别式为零，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点。
这时，二次函数有一个实根。
3. 当D < 0时，判别式为负数，二次函数的图像与x轴没有交点。
这时，二次函数没有实根。
需要注意的是，判别式D的值仅决定了二次函数是否有实根，而不能确定其根的具体值。
要求出二次函数的根，还需要根据具体的函数形式进行求解。
举例说明：考虑二次函数f(x) = x^2 + 4x + 4。
首先，计算判别式D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(4) = 0。
由于D = 0，可以得出结论二次函数有一个实根。
进一步求解该实根，可以使用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是高中数学中的重要概念之一，它的根与判别式是求解二次方程的重要工具。
在这篇文章中，我将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及应用。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解和运用二次函数的相关知识。
一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c分别是常数，且 a ≠ 0。
它是一个二次方程对应的函数关系，图像是一个抛物线。
二次函数有很多重要性质，其中之一是它的根。
二、二次函数的根二次函数的根是使得函数值为0的x值，即满足f(x) = 0的x值。
由于二次方程是一个二次函数的解析表达式，所以求解二次方程的根和求解二次函数的根是等价的。
根的个数可以通过判别式来确定。
三、二次函数的判别式二次函数的判别式是Δ = b^2 - 4ac，它是判断二次方程有几个不同实根的重要指标。
根据判别式的值，可以分为以下几种情况：1. 当Δ > 0时，二次方程有两个不同实根。
2. 当Δ = 0时，二次方程有两个相等的实根。
3. 当Δ < 0时，二次方程没有实根，但有复数根。
四、计算二次函数的根和判别式求解二次函数的根需要先计算判别式的值，然后根据判别式的值来确定根的情况。
具体的计算步骤如下：1. 计算判别式Δ = b^2 - 4ac。
2. 根据Δ的值判断根的情况：a. 当Δ > 0时，根据求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a，计算两个不同实根。
b. 当Δ = 0时，根据求根公式x = -b / 2a，计算两个相等的实根。
c. 当Δ < 0时，无实根，但可以使用复数形式表示。
五、二次函数根的应用二次函数的根在数学和实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 解决二次方程：利用根的概念和判别式的求解方法，可以解决各种形式的二次方程，从而求得未知数的值。
2. 求解最值问题：通过求解二次函数的根，可以判断该函数的开口方向，从而确定函数的极值点。
二次函数与根的关系掌握二次函数与根的关系解决相关问题
二次函数与根的关系掌握二次函数与根的关系解决相关问题二次函数是高中数学学习中的重要内容之一，它与根（解）的关系密切相关。
在解决相关问题时，我们需要正确理解和掌握二次函数与根之间的关系，才能应用正确的方法解答问题。
本文将从二次函数与根的定义、计算和应用等方面进行详细讨论，帮助读者全面掌握二次函数与根的关系并解决相关问题。
1. 二次函数与根的定义二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
该函数的图像在坐标平面上呈现出抛物线的形状。
根（解）是指二次函数的值等于零的输入变量值，即 f(x) = 0 的解。
二次函数的根可以是一个实数或复数，取决于 b^2 - 4ac 的值。
2. 二次函数的根的计算为了计算二次函数的根，我们可以使用求根公式或配方法。
求根公式是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 解的通用公式，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个解，分别对应加号和减号。
通过代入 a、b、c 的值即可计算出二次函数的根。
配方法是利用二次函数的性质，将其转化为完全平方的形式来求解。
具体步骤为：1) 将二次函数写作 a(x + m)^2 + n，其中 m 和 n 是待定值。
2) 展开得到 a(x^2 + 2mx + m^2) + n。
3) 将展开后的式子与原式进行比较，得到 2am = b 和 am^2 + n = c 两个方程。
4) 解方程组，求出 m 和 n 的值。
5) 将 m 和 n 的值代入 a(x + m)^2 + n，得到二次函数的标准形式。
6) 根据标准形式求根。
3. 二次函数与根的关系二次函数与根之间存在着紧密的联系。
当二次函数的根为实数时，我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。
1) 当判别式大于零时，即 b^2 - 4ac > 0，二次函数有两个不相等的实数根。
二次函数与根与系数关系综合运用
二次函数与根与系数关系综合运用二次函数是数学中一种重要的函数类型，其表达式可以写成：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq0$。
二次函数的图像是一个抛物线，其根的数量取决于判别式$S=b^2-4ac$的正负性。
一、根与系数的关系根据二次函数的定义，我们可以推导出根与系数之间的关系。
1.虚根的情况若判别式$S=b^2-4ac$小于零，则二次函数的图像与$x$轴没有交点，即方程$ax^2+bx+c=0$无实根。
此时，方程的根为复数。
2.重根的情况若判别式$S=b^2-4ac$等于零，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有一个实根。
此时，方程的根为重根。
3.两个不同实根的情况若判别式$S=b^2-4ac$大于零，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点，即方程$ax^2+bx+c=0$有两个不同实根。
此时，方程的根为实数。
二、根与系数的综合应用根与系数的关系在实际问题中有着广泛的应用，下面我们来看几个例子：例1：已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像上有两个交点$(1,3)$和$(-2,7)$，求该二次函数的表达式及其判别式。
解：由已知条件可得两个方程：\[a+b+c=3 \quad...(1)\]\[4a-2b+c=7 \quad...(2)\]将(1)式左右两边乘以2，再与(2)式相减可以解得：\[-4b+3a=1 \quad...(3)\]解得$a=\frac{5}{3}, b=-\frac{7}{6}$。
将$a, b$的值代入(1)式或(2)式中，可以解得$c=\frac{7}{3}$。
所以该二次函数的表达式为：\[y=\frac{5}{3}x^2-\frac{7}{6}x+\frac{7}{3}\]判别式$S=(-\frac{7}{6})^2-4(\frac{5}{3})(\frac{7}{3})=\frac{49}{36}-\frac{140}{27}=-\frac{23}{108}<0$。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是一种常见的数学函数形式，具有一般形式为y = ax² + bx + c的特点。
其中，a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
在二次函数中，根是指使函数等于0的x值。
判别式是用来确定二次函数的根的性质的一种方法。
1. 根的定义和计算根是指使二次函数等于0的x值，也是函数图像与x轴的交点。
为了计算二次函数的根，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，b² - 4ac被称为判别式。
2. 判别式的性质判别式的值可以判断二次函数的根的情况：- 当判别式大于0时，即b² - 4ac > 0，二次函数有两个不相等的实根。
- 当判别式等于0时，即b²- 4ac = 0，二次函数有两个相等的实根。
- 当判别式小于0时，即b² - 4ac < 0，二次函数没有实根，但可能有复数根。
3. 根的解释和图像解释根表示二次函数与x轴的交点，因此根的数量和位置对应着二次函数的图像形状。
- 当二次函数有两个不相等的实根时，抛物线与x轴有两个交点，图像开口朝上或朝下。
- 当二次函数有两个相等的实根时，抛物线与x轴有一个交点，图像开口朝上或朝下，且顶点在x轴上。
- 当二次函数没有实根但有复数根时，抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。
4. 根与二次函数参数的关系二次函数的参数a、b、c对于根的性质有着重要的影响。
- 当a > 0时，二次函数开口朝上，根的情况由判别式决定。
- 当a < 0时，二次函数开口朝下，根的情况由判别式决定。
- 当判别式为零时，二次函数有两个相等的实根，顶点在x轴上。
5. 案例分析假设有一个二次函数y = x² - 4x + 4，我们可以分析其根和判别式。
- 将a、b、c的值代入判别式公式中：b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(4) = 0 - 根据判别式等于0，可以推断二次函数有两个相等的实根。
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初三第一学期同步强化-----二次函数的图像与性质 ◆ 核心知识回顾 一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
【例1】若函数y=(m －3)x2920m m -+是二次函数，则m 的值为 ．二、二次函数几种基本形式及其图象和性质1.一般式:2y ax bx c =++ 2. 顶点式 : ()2y a x h k =-+ ( 2y ax =; 2y ax c =+ ;()2y a x h =- )3.交点式 :y=a(x-x 1)(x-x 2)三、研究基本性质：1、开口方向； 2顶点坐标、 3、对称轴； 4、增减性； 5、最大（小）值；6、与坐标轴的交点。
7、与一元二次方程（不等式）的关系8、a ∆、b、c、的符号与抛物线的位置关系◆ 基础夯实【例2】 由二次函数，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线C ．其最小值为1D ．当时，y 随x 的增大而增大【例3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A ．ab ＞0，c ＞0 B ．ab ＞0，c ＜0 C ．ab ＜0，c ＞0 D ．ab ＜0，c ＜0【例4】二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（） A 1 B 2 C 3 D .【例6】已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为4925，则m的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48【夯实训练】填空题1．抛物线c bx ax y ++=2如右图1所示,则它关于y 轴对称的 抛物线的解析式是_____2．抛物线223y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．3．若将二次函数223y x x =--配方为()2y x h k =-+的形式，则y = .4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+52的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则b= 、c= 。
6.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
7．已知抛物线y ＝kx 2＋2x －1与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围___________．选择题1. 如果0,0b c >>，那么二次函数2y ax bx c =++的图象大致是（ ）2、如图为二次函数y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的3.若取值范围是（ ） Ａ．1a >Ｂ．1a <Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤4．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示．下列结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＜0；③4a ﹣2b+c ＜0；④（a+c ）2＜b 2其中正确的个数有（ ）A 1 B 2 C 3 D . 4图113 3 y xOxOByCxOyxO DyyxOA强化拓展【例7】二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac ﹣b 2＜0；②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个【例8】.“如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜bC ． a ＜m ＜b ＜nD ． m ＜a ＜n ＜b【例9】.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）一元二次方程02=++c bx ax 的解是 ；（2）02>++c bx ax 时， x 的取值范围是 ； （3）02<++c bx ax 时， x 的取值范围是 ．【例10】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．点P 是AB 上动点，则矩形PNDM 的最大面积是 ．【强化训练】1.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根情况是（ ） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根yxOO2-2.已知二次函数y ax bx c =++2，且a a b c <-+>00，，则一定有（ ） A. b ac 240->B. b ac 240-=C. b ac 240-<D. b ac 240-≤3.不论x 取何值，抛物线c bx ax y ++=2总在x 轴上方，则a ,b ,c 满足的条件是（ ） A.04,02>->ac b aB.04,02<->ac b aC. 04,02>-<ac b aD.04,02<-<ac b a4．若不等式02>++c bx x 的解为－1<x <2，则＝_____，＝______5.如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为B （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是 _________ ．6、如图，一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2的解集为（ ）A 、91≤≤-xB 、91<≤-xC 、91≤<-xD 、1-≤x 或9≥x综合【例11】在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A （1,0）B （3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y 轴交与点C ，它的对称轴与x 轴交与点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式.【例12】如图，正三角形ABC 的边长为3（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''EFPN，且使正方形''''EFPN 的面积最大（不要求写作法）； xy –1–2–3–41234–1–2–3–41234O（2）求（1）中作出的正方形''''EFPN 的边长； （3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．限时检测题（20分钟）1．如图，抛物线的函数表达式是 （ ） A ．22+-=x x y B ．22+--=x x yC ．22++=x x yD ．22++-=x x y2、已知二次函数2y ax bx c =++（其中a ＞0，b ＞0，c ＜0）， 关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限； ③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。
以上说法正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）．x… 1-1 2…y… 1-74- 2-74- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点4.将抛物线C ：y=x ²+3x-10，将抛物线C 平移到C ˋ。
若两条抛物线C,C ˋ关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是 （ ） A 将抛物线C 向右平移52个单位 B 将抛物线C 向右平移3个单位 C 将抛物线C 向右平移5个单位 D 将抛物线C 向右平移6个单位5、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （-1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 1>y 3>y 2C.y 2>y 1>y 3D.y 3>y 1>y 26．在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67、 已知两点),5(1y A -、),3(1y B 均在抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）A ．50->xB ．10->xC ．150-<<-xD ．320<<-x 8.下列关于二次函数的图象与x 轴交点的判断，正确的是（ ）A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y 轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y 轴右侧 9.二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A ．1c >-B ．0b >C ．20a b +≠D ．293a c b +>。