长春市重点中学市联考2019年数学高二年级上学期期末调研测试题

长春市重点中学市联考2019年数学高二年级上学期期末调研测试题
一、选择题
1．某电子管正品率为34
，次品率为1
4，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正
品的概率是（ ） A ．3
35
34C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．2
25
14C ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．23
25
3144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．32
35
3144C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2．命题“0x R ∃∈，0
2
200log x e x x ≤+”的否定是( )
A ．“0x R ∃∈，0
2
200log x e
x x >+ B ．“0x R ∃∈，0
2
200log x e
x x ≥+
C ．x R ∀∈，2
2log x e x x ≤+ D ．x R ∀∈，2
2log x e x x >+
3．设函数2
1()9ln 2
f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞
B ．(4,)+∞
C ．(1,2]
D ．(0,3]
4．已知抛物线C ：2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为60的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，则AFM 的面积为( ) A
B
．C
．D
．5．经过点()2,4的抛物线的标准方程为（ ） A.2
8y x =
B.2
x y = C.2
8y x =或2
x y =
D.无法确定
6．设随机变量X ～()2,9N ，且()()4P X m P X m >=<-，则m 的值为 A.1
B.2
C.3
D.4
7．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为1
3
的等比数列，则n a =
A.31123
n （
）- B.131123
n --（
） C.21133
n -（
） D.121133
n --（
） 8．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-，若a b +与a b -垂直，则x =（ ） A.-1
B.1
C.土1
D.0
9．已知x ，y 满足约束条件40220x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
－＋＋－，则z ＝x ＋3y 的最小值为 A.0 B.2 C.6
D.8
10．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于1
3
；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于1
4
.其中正确说法的个数是（ ） A.3
B.2
C.1
D.0
11．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有4个落在直线y x =上，则判断框中可填写的条件是（ ）
A.8i >
B.9i >
C.10i >
D.11i >
12．O 为坐标原点，F 为抛物线 2:C y = 的焦点，P 为 C 上一点，若 PF =
POF 的面积为 ( )
A ．2
B ．
C ．
D ．4
二、填空题
13．设a R ∈，若函数,x
y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是_____
14．已知1，，0，，且与垂直，则的值为______．
15．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且
a c -=
, 那么椭圆的方程是 ．
16．()()0
1tan231tan22++=__________．
三、解答题 17．设函数
.
（1）若和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意，
恒成立的概率； （2）若是从区间任取的一个数，是从
任取的一个数，求函数
的图像与轴有交点
的概率.
18．已知点P(3，1)在矩阵变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵．
19．已知函数
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当
时，证明：
．
20．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租
车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时
还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望
21．已知函数.
（1）若，求的最小值，并指出此时的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
22．已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求的参数方程和的普通方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
a<-
13．1
14．
15．
16．2
三、解答题
17．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先确定总事件数，再根据二次不等式恒成立得，根据条件确定事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定矩形面积，再根据二次不等式恒成立得，结合图像求梯形面积，最后根据面积比得几何概型概率.
试题解析：（1）设“对任意，恒成立”为事件，试验的结果总数为种.事
件发生则，∴，从而事件所含的结果有
，，
，，，
共27种.
.
（2）设“函数的图像与轴有交点”为事件，事件发生，则，∴
又试验的所有结果构成的区域如图长方形区域；
事件所含的结果构成的区域为如图阴影部分区域，
.
18．．
【解析】
分析：由列方程求出a和b的值，求得矩阵A,|A|及,由
即可求得.
详解：依题意得
所以
所以A＝．
因为|A|＝＝1×(－1)－0×2＝－1，
所以＝．
点睛：本题主要考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.
19．（1）.（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围；
∵为数列的前项和，为数列的前项和.
∴只需证明即可.
试题解析：
（1）由，得.
整理，得恒成立，即.
令.则.
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
∴函数的最小值为.
∴，即.
∴的取值范围是.
（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.
∴只需证明即可.
由（1），当时，有，即.
令，即得.
∴.
现证明，
即.
现证明.
构造函数，
则.
∴函数在上是增函数，即.
∴当时，有，即成立.
令，则式成立.
综上，得.
对数列，，分别求前项和，得
.
20．（Ⅰ）
（Ⅱ）
数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=
【解析】
（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则
．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．
（2）的可能取值为0，2，4，6，8，
，
，，
分布列如下表：
21．(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义求出的范围即可；
（2）问题转化为当时，，结合函数的性质得到关于的不等式，解出即可.
【详解】
（1），
当且仅当时取等号，
故的最小值为，此时的取值范围是.
（2）时，显然成立，所以此时；
时，由，得.
由及的图象可得且，
解得或.综上所述，的取值范围是
【点睛】
该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，绝对值三角不等式，分类讨
论思想，灵活掌握基础知识是解题的关键.
22．（1）的参数方程为（为参数），的普通方程为;（2）1
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的参数方程的公式可直接写出的参数方程；由曲线的参数方程消去参数可得到的普通方程；
(2先由的参数方程设出点的坐标，由题意知求的最小值即是求点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.
【详解】
解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为.
（2）设，
点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，
因为，其中，
当时，的最小值为1，此时.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.。