例说解析几何圆问题的几何处理办法

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九年级数学圆几何题小妙招

九年级数学圆几何题小妙招一、了解圆的基本概念在解决九年级数学圆几何题时，首先要掌握圆的基本概念，包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。

这些基本概念是解决圆几何题的基础，只有熟练掌握这些概念，才能更好地分析问题和解决问题。

二、善于运用性质定理圆的性质定理是解决圆几何题的重要工具，包括弦长定理、切割线定理、相交弦定理、同弧所对的圆周角相等等。

在解题过程中，要善于运用这些定理，将复杂的问题转化为简单的问题，从而提高解题效率。

三、明确题目要求在解决九年级数学圆几何题时，要明确题目的要求，包括求解什么、已知什么条件等。

只有明确了题目要求，才能有针对性地进行分析和解答。

同时，要注意审题，避免因为看错题目而出现错误。

四、画图辅助解题在解决九年级数学圆几何题时，画图是一种非常有效的解题方法。

通过画图，可以将抽象的问题具体化，从而更好地分析问题和解决问题。

画图时要尽量准确，遵循题目的条件，不要随意添加或减少条件。

五、分类讨论在解决九年级数学圆几何题时，有时候需要对问题进行分类讨论。

例如，当涉及到弦与直径的关系时，可以分为弦是直径的情况和非直径的情况；当涉及到圆周角与圆心角的关系时，可以分为圆周角等于圆心角的情况、圆周角大于圆心角的情况和圆周角小于圆心角的情况等。

通过分类讨论，可以更好地解决问题。

六、利用对称性在解决九年级数学圆几何题时，可以利用对称性简化问题。

例如，当涉及到两个圆的位置关系时，可以考虑将其中一个圆关于另一个圆的直径进行对称，从而将问题转化为求解一个圆上的几何问题；当涉及到多个圆的位置关系时，可以考虑将多个圆进行适当的旋转和平移，使得问题变得简单。

七、利用代数方法在解决九年级数学圆几何题时，有时候可以利用代数方法简化问题。

例如，当涉及到弦长和半径的关系时，可以利用勾股定理求解；当涉及到弧长和半径的关系时，可以利用弧长公式求解；当涉及到角度和弧度的关系时，可以利用角度制和弧度制的转换公式求解等。

通过代数方法，可以更快地解决问题。

如何利用圆解决初中几何问题

如何利用圆解决初中几何问题几何问题在初中数学中占有重要地位，其中对于圆的应用更是应该引起我们的注意。

圆作为几何形状的一种特殊情况，具有独特的性质和应用，能够帮助我们解决很多几何问题。

本文将介绍如何利用圆解决一些常见的初中几何问题。

一、圆的基本性质在利用圆解决几何问题之前，我们首先要了解圆的一些基本性质。

圆是由同心圆及其直径或弦组成的，有以下基本性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。

2. 圆上任意两点之间的弧长相等的充要条件是这两点所对的圆心角相等。

3. 圆上的任意一条弦所对的圆心角等于其所对的弧所对的圆心角的一半。

4. 圆上的任意一条弧所对的圆心角等于其所对的弦所对的圆心角的一倍。

二、利用圆解决问题的基本方法1. 利用圆的对称性圆具有对称性，通过利用圆的对称性可以简化一些几何问题的解决过程。

例如，在证明两个角相等时，我们可以通过连接角的顶点和圆心，利用圆的对称性来简化证明过程。

2. 利用圆的切线和割线性质对于与圆相切或相割的直线，有一些重要的性质可以帮助我们解决几何问题。

例如，对于与圆相切的直线，切点与切线的两条线段相互垂直；对于与圆相割的直线，相交部分的弧长成等分线段所对的圆心角。

通过利用这些性质，我们可以解决一些线段和角的关系问题。

3. 利用圆的弧长和扇形面积圆的弧长和扇形面积是圆的重要性质之一，也是解决几何问题常用的手段。

例如，在求解弧长或扇形面积的问题时，我们可以利用角度与弧长或面积之间的关系，根据已知条件进行计算。

4. 利用圆锥曲线的性质圆锥曲线是圆的一种特殊情况，具有独特的性质和应用。

例如，利用椭圆的焦半径性质可以解决椭圆的平移、旋转和伸缩问题；利用双曲线的对称性可以解决双曲线的焦点和直角位置问题。

三、应用实例现在，让我们通过一些具体的几何问题来演示如何利用圆解决初中几何问题。

1. 如何利用圆解决正六边形的问题？已知正六边形的顶点均在一个圆上，可以通过绘制圆的中心到顶点的连线，利用圆心角和扇形面积的关系来解决正六边形的问题。

一个解析几何问题的思维展示

一个解析几何问题的思维展示
解决几何问题需要运用分析、推理、探究等多种思维方式。

下面是一个解析几何问题的思维展示：
问题：已知两个圆，其中一个圆的圆心坐标为(1, 2)，半径为3，另一个圆的圆心坐标为(5, 7)，半径为4。

求这两个圆的位置关系。

解题步骤：
1.确定目标：求两个圆的位置关系。

2.分析问题：根据圆的性质，我们知道，两个圆的位置
关系可能为内含、相离、相切、相交。

3.构建模型：由于题目中给出的是两个圆的圆心坐标和
半径，因此可以画出这两个圆的图形。

4.进行推理：根据图形的形状，可以判断两个圆的位置
关系。

如果图形的形状表明两个圆相交，则两个圆的
位置关系为相交；如果图形的形状表明两个圆相离，
则两个圆的位置关系为相离，以此类推。

5.得出结论：根据推理的结果，可以得出两个圆的位置
关系。

6.加强理解：可以尝试自己画出两个圆的图形，并进行
自测，加深对问题的理解。

解决圆形的问题

解决圆形的问题圆形在我们的生活中经常出现，解决与圆形相关的问题是数学中的基本任务之一。

本文将探讨解决圆形的问题的方法和技巧。

1. 圆的定义和性质圆是由一条固定距离（半径）与平面上所有点构成的集合。

圆的性质包括：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。

2. 圆的面积和周长计算计算圆的面积和周长是解决圆形问题的基础。

圆的面积公式为：S= πr²，其中，S为圆的面积，r为圆的半径。

圆的周长公式为：C = 2πr，其中，C为圆的周长。

3. 圆与直线的关系圆与直线有着多种关系，包括：相切、相交和相离。

解决圆与直线相关的问题，需要掌握切线与半径的性质，以及相切直线与圆的判定方法。

4. 弧度制与度度量制的转换解决圆形问题中，常常需要进行弧度制与度度量制之间的转换。

弧度制是以弧长所对应的圆心角的大小为度量单位，度度量制是以直角为90度，全圆为360度进行度量。

5. 圆的投影问题当一个圆沿着不同方向进行投影时，投影的形状和性质也会发生变化。

解决圆的投影问题，需要通过几何投影的理论来分析和计算。

6. 圆的切线问题圆的切线是过圆上某一点且与圆相切的直线。

解决圆的切线问题，需要了解切线与半径的性质，并掌握切线与圆的切点的计算方法。

7. 圆的平行线问题通过圆心和圆上一点可以确定一条切线，从而可以得到一组平行线。

解决圆的平行线问题，需要利用切线与半径的性质，并结合平行线的定义进行分析。

8. 圆锥曲线问题圆锥曲线是由平面上一动点与两定点之间的距离之比构成的图形。

解决圆锥曲线问题，需要掌握圆锥曲线的基本性质，如椭圆、双曲线和抛物线等。

9. 圆的旋转问题圆的旋转问题是指图形围绕圆心旋转一周产生的问题。

解决圆的旋转问题，需要运用旋转变换的相关知识，并结合圆的性质进行分析和计算。

综上所述，解决圆形的问题需要掌握圆的定义和性质，计算圆的面积和周长，了解圆与直线、圆的投影、切线、平行线、圆锥曲线以及圆的旋转等相关的知识和技巧。

通过运用这些方法和技巧，我们可以更好地解决与圆形相关的问题，并应用到实际生活和学习中。

几何题解圆的技巧

几何题解圆的技巧1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：① 利用垂径定理；① 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；① 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2.遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形3.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直径4.遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；①据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5.遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）；作用：利用切线的性质定理可得OA①AB，得到直角或直角三角形。

常常添加连结圆上一点和切点；作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。

作用：若OA=r，则l为切线。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA①l，则l为切线。

（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线。

7.遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到① 角、线段的等量关系① 垂直关系① 全等、相似三角形8.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；① 内心到三角形三条边的距离相等。

9. 遇到三角形的外接圆时连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

9.遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；①利用解直角三角形的有关知识。

圆几何题目解题技巧

圆几何题目解题技巧
1. 哎呀，遇到圆几何题目不要慌！要仔细观察图形啊！比如看到一个圆里有几条线交叉，那不是就像一团乱麻等你去理顺嘛！这时候就得找关键信息啦。

2. 嘿，解题时要善于利用已知条件呀！就像搭积木，一块一块堆起来，你看那个给的角度，不就像给了你个提示让你往那个方向走嘛！比如已知一个圆心角，那能求出好多东西呢！
3. 哇塞，别忘了那些定理啊！圆的定理就像是秘密武器！就好比圆周角定理，多好用啊，一用一个准！比如知道个弧所对的圆周角，马上就能找到圆心角啦！
4. 呀，要学会转化问题呀！把难的变成简单的，这多妙啊！就像走迷宫，找个简单的入口进去。

比如要求弧长，先把半径和圆心角搞定不就好啦！
5. 哈哈，多画画辅助线呀！这就像给题目开了扇窗，一下子就亮堂啦！有的时候一条线就能让你豁然开朗呢！例如连接圆心和某个点，说不定就有新发现！
6. 哟，记得多角度思考问题呀！别在一棵树上吊死！想想不同的方法，就像找钥匙，多试几把说不定就开了！比如可以从角度入手，也可以从线段入手嘛！
7. 唉，可别死脑筋呀！灵活一点！就跟跳舞似的，要跟着节奏来。

像那种看似复杂的图形，换个角度也许就简单了呢！
8. 总之，解决圆几何题目就是一场有趣的挑战！要细心、要动脑、要勇敢尝试！只要你掌握了这些技巧，还怕什么难题呢！。

巧用圆的平面几何性质处理解几问题

与方向相反，・一ＩｉＯｌ３则郦Ｏ・Ｑ＝．ＰＩ一
４巧用圆心角、周角等的性质．圆
例５设直线Ｌ：ｘ４＋０圆Ｃ：ｙ＋一ｙ０交于Ｐ：３＋ｙｍ＝与．＋ｘ２＝￣ｘ、
分析：Ｃ为圆上的动点，设出Ｂ、的坐标，进角参Ｂ、都若Ｃ引
数，导致繁复的运算．果注意到由“ 径定理 ” 知Ｏ上将如垂可Ｍ
１
Ｂ（为原点）再结合ＣＢ９。ＩＩＢ＝Ｍ＝ＢＩＣ０，Ａ＝０，Ｍ＝ＭＩＣＩ÷Ｉ，ＡＩＩＣ即
Ｚ
Ｏ点，当Ｉ为何值时，Ｐ上Ｏ两则ｎＯＱ？
可迅速解题．解：Ｍ（，）连接ＯＯＭＡ，设ｘＹ，Ｃ，Ｍ，则由“ 径定理 ” 垂，Ｍ为Ｂ的中点Ｃ
‘ 。
解：如图２因圆ｃ：ｙｘ２＝过原点０，ＬＰＱ，－一ｙ０＋＋则Ｏ是圆ｃ
的圆周角，为直角．据 “ 中９。圆周角所对的弦是直且根圆０的
径 ” 知Ｐ可Ｑ￣ＩＣ的直径，直线３＋ｙｍ＝过圆，。一１￥。Ｉ即ｘ４＋０ＬＣ（
…
９
４
‘
Ｐ２Ｆ为钝角时，横坐标的取值范围是— 点Ｐ
图１
—
．
，一
２巧用 “ 割线长定理 ” ．切
例２已知直线ｙｍ（：＝ｘｍ∈Ｒ）圆Ｃ：‘ｖ一ｘ５０交于两与ｘ＋‘６＋＝相

解析几何中的隐圆问题

解析几何中的隐圆问题在直线与圆的综合考查中，有时题设条件并没有直接给出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现圆的方程或圆的定义，从而可以利用圆的知识来求解，这类问题常被称为“隐圆”问题．此类问题在高考中出现的频率比较高，通过对以往考题的分析与研究，可以总结为如下的几种题型．1．利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）可确定隐圆题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，则可以得到点的轨迹为圆．例1 已知圆22:1O x y +=，圆22:()(4)1M x a y a −+−+=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围为________．解由题意得，圆心()4M a a −，在直线40x y −−=上运动，则动圆M 是圆心在直线40x y −−=上，半径为1的圆．又因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使60APB ∠=︒，所以2OP =，即点P 也在224x y +=上，记为圆E ，则圆E 与圆O 一定有公共点．于是2121−≤+，即13≤≤，所以实数a 的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 2．利用圆的性质（动点到两定点的夹角为直角）可确定隐圆题目中若动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆．例2 在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:20l x ky +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为_______．解法1 直线12l l ，分别经过定点()()0220A B ，，，，且12l l ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．则圆C 的圆心为()11C ，，半径r =因为圆心C 到直线:40l x y −−=的距离为d =所以，点P 到直线l的距离的最大值为d r +=．解法2 当0k =时，点()22P ，到直线40x y −−=的距离为当0k ≠时，解方程组2020kx y x ky −+=⎧⎨+−=⎩，，得两直线交点P 的坐标为22222211k k k k −+⎛⎫⎪++⎝⎭，，所以，点P 到直线40x y −−==，显然当k 为正数时取得最大值，则有211112k k k k=≤++，34⨯≤= 综上可知，点P 到直线l的距离的最大值为d r += 3．已知两定点A ，B ，动点P 满足⋅PA PB 为定值可确定隐圆已知两定点A ，B ，动点P 满足PA PB ⋅为定值的轨迹为圆．例3 已知点()()1010A B −，，，，若圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的取值范围是________．解设()M x y ，，因为3MA MB ⋅=所以()()113x y x y −−−⋅−−=，，，即224x y +=，表示圆．又因为点M 在圆22(1)(2)1x a y a −++−−=上，所以两圆必有交点，2112−+，即27(21)9a −≤+≤，解得21a −≤≤．4．已知两定点A ，B ，动点P 满足22+PA PB 为定值可确定隐圆已知两定点A ，B ，动点P 满足22PA PB +为定值的轨迹是圆．例4 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +−=及点()()1012A B −，，，．在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由．解圆C 的标准方程为22(2)4x y −+=，所以圆心()20C ，，半径为2．假设圆C 上存在点P ，设()P x y ，，则22(2)4x y −+=，又222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++−+−+−=，即22(1)4x y +−=，是圆心为()01，，半径为2的圆．因为2222−<+，所以圆22(2)4x y −+=与圆22(1)4x y +−=相交，所以点P 的个数为2．5．给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)=>≠，AP λBP λλ的关系可确定隐圆若给定两定点A ，B ，动点P 满足(01)AP BP λλλ=>≠，的关系，则P 点的轨迹为隐圆，我们称为阿波罗尼斯圆．例5 已知O 为原点，()()2010A B −，，，，若MA =，则MB 的最大值为_______．解设()M x y ，，由MA =，得()2222(2)2x y x y −+=+，即22(2)8x y ++=，记为圆C ．所以M 的轨迹的圆心为()20C −，，半径为又1BC =，所以1max MB BC r =+=+6．利用轨迹法确定圆所谓轨迹法就是通过设点，根据题目中所给的条件得到轨迹方程．常见求轨迹的方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法．例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1050A B −，，，，若圆22:(4)()4M x y m −+−=上存在唯一点P ，使得直线PA PB ，在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．解设点()00P x y ，，则直线PA 方程为()0011y y x x =++，它在y 轴上的截距为001y x +，同理PB 在y 轴上的截距为0055y x −−，由截距之积为5，得00005551y y x x −⋅=−+，化简得()220029x y −+=，又()()1050A B −，，，满足()220029x y −+=，所以点P 的轨迹是以()20，为圆心，半径为3的圆．由题意P 的轨迹应与圆M 恰有一个适合题意的点，则：①若A ，B 不在圆M5=，解得m =1=，m 无解；②若A 或B 在圆M 上，把点A 代入圆M 可知不合题意，把点B 代入圆M ，解得m =经检验也成立．综上可知，m =m =例7 若实数x 、y满足x −=x 的取值范围是________．解析：令a b ==0a ≥，0b ≥．则()22x y x y a b =+−=+．方程x −=可化为2242a b a b +−=，即()22(2)(1)500a b a b −+−=≥≥，，如图1，在aOb 平面内，点()a b ，的轨迹是以()21C ，00a b ≥≥，的部分，即圆弧ADB 与原点O 的并集，其中，A 、B 分别为圆弧ADB 与x 轴、y 轴的交点，又因为222x a b =+=的几何意义是点()a b ，与原点O 两点的距离的平方．易知{}20⎡⎣，所以22x a b =+的取值范围是[]{}4200，．例8 函数y =________．解析：设函数()f x =，令y =()M x y ，位于一个单位圆x 轴的上半部分，如图3所示．将函数()f x =改写为()()02y f x x −=−−，它表示定点()20A −，与点()M x y ，所连直线MA 的斜率．直线MA 与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA 中，1230MO OA MAO ==∠=︒，，，所以30MA k tan =︒=．又0AO k =，所以()0f x ⎡∈⎢⎣⎦．即函数2y x =+的值域为0⎡⎢⎣⎦．7. 当两个定点到某直线的距离分别确定时的隐圆.例9 若点()10A ，和点()40B ，到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有______条．解析：如图1，分别以A ，B 为圆心，1，2为半径作圆依题意知，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条（2条外公切线，1条内公切线）．故满足题意的直线有3条．评注：本题已知条件中虽然没有直接出现圆，但由题意并数形结合，把原问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题．8. “四点共圆”模型我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形的这两个性质，若题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，则构造四点共圆．例10 向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=−，()()12m p n p m p n p −⋅−=⋅−⨯−，则p最大值为（）A ．2BC ．1D ．4解析因为2m n ==及2m n ⋅=−，所以m ，n 的夹角为120︒．因为()()12m p n p m p n p −⋅−=−⨯−，所以m p −与n p −的夹角为60︒．设OA m OB n OC p ===，，，则m p CA n p CB −=−=，，于是12060AOB ACB ∠=︒∠=︒，．发现180AOB ACB ∠+∠=︒，且2AOB ACB ∠=∠，故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2，点C 均在优弧AB 上，结合圆的性质知[]24OC ∈，，所以p 的最大值为4．同步练习1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB ＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的值为．【答案】2或－18【解析】由“圆C 的弦AB 长度为定值AB ＝”知，弦AB 的中点M 的轨迹是以点C 为圆心的圆，由“PA PB OC +=”得2PM OC =，可求得动点P 的轨迹也在圆上，此时直线l 上存在唯一的一个点P 符合要求，故直线l 和动点P 的轨迹（圆）相切．【详解】设AB 的中点为M （x 0，y 0），P （x ，y ），则由AB ＝CM =即点M 的轨迹为（x 0＋4）2＋（y 0－a ）2＝5.又因为PA PB OC +=，所以1,(4,)2PM OC C a =−，即（x 0－x ，y 0－y ）＝(2,)2a −，从而0022x x a y y =−⎧⎪⎨=+⎪⎩，则动点P 的轨迹方程为22(2)()52a x y ++−=，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点Pa ＝2或a ＝－18.故答案为：2或－18【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，结合弦长分析点M 的轨迹，转化成直线与圆相切，充分体现了转化与化归思想.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y −+=与直线2:k 20l x y +−=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y −−=的距离的最大值为 .【答案】【详解】由题意得，直线1:20l kx y −+=的斜率为k ，且经过点(0,2)A ,直线2:20l x ky +−=的斜率为1k−，且经过点(2,0)B ，且直线12l l ⊥所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标(1,1)C，半径为r = 则圆心到直线40x y −−=的距离为d ==所以点P 到直线40x y −−=的最大距离为d r +=3．已知平面上两定点A 、B ，且2AB =，动点P 满足(0)PA PB λλ⋅=<，若点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为．【答案】34−##-0.75【分析】利用解析方法，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到动点P 点的轨迹方程221x y λ+=+，分1λ=−和10λ−<<两种情况讨论，当10λ−<<时，利用两圆的位置关系得到关于λ的不等式，进而求解得到λ的取值范围. 【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()1010A B −，，，．设()P x y ，，且动点P 满足PA PB λ⋅=，即()()11x y x y λ−−−⋅−−=，，，则221x y λ+=+，当1λ=−时，满足题意；当10λ−<<时，点P 为半径的圆上，同时点P 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，即圆221(10)x y λλ+=+−<<与圆221(1)4x y −+=相离或外切内切或内含，112≤112≥，解得314λ−<≤−或54λ≥（舍去），所以负数λ的最大值为34−．故答案为：34−.4．函数()f a =的最大值为．【答案】2x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，，原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题，利用线性规划思想求得最大值.x y ==，则22100x y x y +=≥≥，，， ()f a x ==．原问题可化为在条件22100x y x y ⎧+=⎨≥≥⎩，下，求z x =的最大值问题.将目标函数化为33y x z =−+，其图象是一条与3y x =−平行的直线．当直线y =与圆弧相切时，z 取最大值，此时，由圆心到直线的距离等于半径，易知12z =，得2z =（舍去负值），所以函数()f a 的最大值为2．故答案为：2.5．在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ，，直线:24l y x =−，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】设(,)M x y ，由2=MA MO 得出M 点的轨迹方程，轨迹是圆，由此圆与圆C 有公共点可得．【详解】因为圆心C 在直线:24l y x =−．可设圆心()24C a a −，，则圆C 的方程为()22()[24]1x a y a −+−−=．设()M x y ，，由2=MA MO 化简整理得22(1)4x y ++=，所以点M 在以()01D −，为圆心，2为半径的圆上，由题意得点M 也在圆C 上，所以圆D 和圆C 有公共部分，即 2121CD −≤≤+，13≤≤，解得1205a ≤≤，故圆心C 的横坐标a 的取值范围1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是．【答案】【分析】设BC 的中点为M ，由已知2BC AM =，因此可设(,)M x y ，求出M 点的轨迹方程知M 点轨迹是圆，从而易得AM 的取值范围．【详解】设BC 的中点为(,)M x y ，因为222OB OM BM =+22OM AM =+，所以22224(1)(1)x y x y =++−+−，化简得22113()()222x y −+−=，即点M 的轨迹是以11(,)22所以AM 的取值范围是[]22，从而BC 的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题.7．设x y ∈R 、，则22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的最小值是．【答案】3−【分析】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．利用参数方程思想分别考察,A B 的轨迹，得到在直角坐标系aOb 中，点A 在直线20a b −−=上，点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上．利用点到直线的距离公式和圆的性质求得min ||AB ，然后平方即得所求.【详解】22(1cos )(1sin )P x y x y =+−+−+的几何意义为点()11A x x +−，与点()cos sin B y y −，之间的距离的平方．设11a xb x =+⎧⎨=−⎩，则点A 在直线20a b −−=上；设cos sin a y b y=⎧⎨=−⎩，则点B 在半径1R =的圆22:1O a b +=上．如图，在直角坐标系aOb 中，圆心O 到直线20a b −−=的距离d ==则min ||1AB d R =−=．所以P 的最小值为21)3=−．故答案为：3−.8．已知向量a ，b ，c 为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a −与−c b 所成夹角为60，则c 的最大值为（）A 1BC ．1D 1【答案】A【分析】先根据已知条件求出向量a ，b 的夹角，建立平面直角坐标系，设122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,，设OA a =，OB b =，2OA a '=，根据线性运算可得2c A C a '=−，c b BC −=，60ACB ∠=，结合正弦定理可求出点C 的轨迹，当,,C M O 三点共线时取得最大值，即可求解. 【详解】因为21a b a b ==⋅=，所以2cos 1a b a b ⋅⋅=，可得1cos 2a b ⋅=，因为0180a b ≤⋅≤，所以60a b ⋅=，如图所示：在平面直角坐标系中，122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10B ,，不妨设OA a =，OB b =，延长OA 到OA '使得OA AA '=，则2OA a '=，点C 为平面直角坐标系中的点，OC c =，则2c A C a '=−，c b BC −=，则满足题意时，60ACB ∠=，结合点A '，B 为定点，且A B '= 由正弦定理可得：2sin 60A B R '=，可得1R =，则点C 的轨迹是以322M ⎛ ⎝⎭为圆心，1为半径的优弧上，当,,C M O 三点共线，即点C 位于图中点I 位置时，c 取得最大值，其最大值为11OM R +=，故选：A.9．若2,AB AC =，则ABC S ∆的最大值是 .【答案】【详解】设，则，根据面积公式得，①根据余弦定理得，，将其代入①式得，，由三角形三边关系有，解得，故当时，取得最大值考点：解三角形点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.。

圆中问题常见处理策略

圆中问题常见处理策略
在圆的问题中，常见的处理策略包括：
1. 利用垂径定理：垂径定理是圆的基本性质之一，它指出通过圆心并与直径垂直的线段将平分该直径。

这个性质可以用于证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等等。

2. 作弦心距：遇到弦时，可以作弦心距，构造“二分之一弦长、弦心距、半径”所得到的直角三角形。

这个策略常用于证明线段相等和垂直关系。

3. 运用勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，当在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方时，就满足勾股定理。

在圆的问题中，勾股定理常常用于证明线段长度或者证明垂直关系。

4. 利用角平分线性质：角平分线将一个角分为两个相等的部分。

在圆的问题中，角平分线的性质常常用于证明线段相等和垂直关系。

5. 考虑圆的对称性：圆的对称性是圆的基本性质之一，利用它可以简化问题，特别是在处理与圆相关的证明题时。

6. 引入辅助线：有时候为了解决问题，需要在图形中引入一些辅助线。

这些辅助线可以帮助我们更好地理解和解决问题。

7. 归纳总结：在处理圆的问题时，需要对问题进行归纳总结，找出问题的本质和关键点，从而找到合适的处理策略。

以上策略需要根据具体问题来选择使用，灵活运用这些策略可以更好地解决问题。

如何利用解析几何解决平面问题

如何利用解析几何解决平面问题解析几何是数学中的一个重要分支，通过代数和几何的结合，可以解决许多与平面相关的问题。

本文将介绍如何利用解析几何的方法解决平面问题，并提供一些实例来加深理解。

一、直线问题的解析几何方法在平面几何中，直线是最基本的要素之一。

解析几何可以通过使用坐标系来求解直线的问题。

我们需要定义一条直线上的点坐标为(x₁,y₁)和(x₂, y₂)，然后利用直线的斜率和截距的概念来求解。

斜率是指直线上两个点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

可以使用以下公式计算直线的斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。

截距是指直线与y轴相交的坐标点，在解析几何中，截距常用b表示。

可以使用以下公式计算直线的截距：b = y - mx，其中y和x是直线上的一个点的坐标，m是直线的斜率。

通过求解斜率和截距，我们可以得到一条直线的解析表达式，进而解决与直线相关的问题。

二、圆问题的解析几何方法圆是平面几何中的一种重要图形，解析几何提供了计算圆的方程的方法。

给定圆心坐标为(h, k)和半径为r，我们可以得到圆的解析表达式。

圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²。

其中，(x, y)是圆上的一个点的坐标，和(h, k)是圆心的坐标。

通过圆的方程，我们可以计算圆上的点的坐标，判断点是否在圆内或在圆外，进而解决与圆相关的问题。

三、角问题的解析几何方法在解析几何中，角是两条射线的夹角，可以使用解析几何的方法计算和研究角的性质。

常见的角问题包括角度平分线、垂直角和同位角等。

通过使用坐标系和解析几何的方法，可以求解角度平分线的斜率，判断两条直线是否垂直以及计算同位角的值。

四、距离问题的解析几何方法解析几何还可以用来计算平面中两点之间的距离。

给定点A(x₁,y₁)和点B(x₂, y₂)，可以使用以下公式计算点A和点B之间的距离d：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。

几何问题解决

几何问题解决几何问题是数学中的重要组成部分，它需要我们应用一些几何知识和技巧来解决。

在本文中，我们将探讨几何问题的解决方法，并提供一些实例来加深理解。

1. 角度问题解决角度是几何中常见的概念，解决角度问题通常需要运用一些基本的角度关系和性质。

例如，当我们需要计算两个角的和或差时，可以利用角度的补角或余角关系。

此外，当需要确定两条直线是否平行时，我们可以利用同位角或内错角的性质来加以判断。

2. 直线与线段问题解决几何中，直线和线段的性质也是解决问题的关键。

当我们需要确定两条直线是否垂直时，可以通过判断它们的斜率是否互为相反数来解决。

而当我们需要确定线段的长度时，可以使用勾股定理或相似三角形的关系来计算。

3. 圆问题解决圆是几何中的另一个重要概念，解决与圆相关的问题同样需要一些方法和技巧。

当我们需要确定两条直线是否相切于一个圆时，可以利用切线与半径的垂直关系。

此外，当我们需要计算圆的面积或周长时，可以运用圆的周长公式或面积公式来求解。

4. 相似与全等问题解决在几何中，相似和全等是两个常见的概念，解决与相似全等相关的问题需要我们理解它们的定义和性质。

当我们需要判断两个三角形是否相似时，可以利用它们的对应角相等或对应边成比例的关系来确定。

而当我们需要证明两个三角形全等时，可以使用它们的对应边全等或对应角相等来推导。

综上所述，解决几何问题需要我们熟练运用几何知识和技巧。

在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择适当的方法和公式来进行求解。

通过不断练习和掌握几何的基本概念和性质，我们将能够更加灵活和准确地解决各类几何问题。

本文仅对几何问题解决的一些常见方法进行了介绍，实际上，几何问题解决方法多种多样，需要根据具体问题的要求和条件来灵活运用。

因此，对于几何问题的解决，我们需要不断学习和探索，深化对几何知识的理解，并结合实际问题进行思考和分析。

希望通过本文的介绍和示例，读者能够对几何问题的解决有更深入的认识和理解。

解答解析几何问题的几个措施

解题宝典解析几何问题的运算量较大，解法灵活，常以解答题的形式出现在各类试题中.为了提升解题的效率，我们需熟练掌握一些解答解析几何问题的常用措施.下面结合实例，来谈一谈解答此类问题的三个措施.一、利用平面几何知识解析几何和平面几何之间联系紧密.因此，在解答解析几何问题时，我们可以先明确圆锥曲线的几何特征，根据题意绘制出几何图形，将问题转化为平面几何问题，灵活运用直线、圆、三角形的性质以及相关定理来解题.例1.设圆满足：（1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长为3：1.求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程.解：设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，根据条件（1）（2）易得r 2=a 2+1，r 2=2b 2，消去r 得2b 2-a 2=1.由此可见，圆心(a ,b )在双曲线2y 2-x 2=1上.设l '的方程为x -2y =c ，当直线l '与双曲线2y 2-x 2=1相切时，圆的半径最小.由l '与2y 2-x 2=1相切可得c =±1，所以圆的圆心为(1，1)或（-1，-1），r 2=2.故所求圆方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2.解答本题的关键是运用平面几何中关于切线的一个重要结论：与曲线的切线平行的直线到曲线的距离最短.利用平面几何知识解答解析几何问题，能将复杂的问题简单化，抽象的问题形象化.二、利用参数方程我们知道，每条曲线都有与之相应的参数方程.在解答解析几何中的动点、动直线问题时，可根据曲线的参数方程来设出相应的动点、动直线，将其代入题目条件中进行运算、推理，便能快速求得问题的答案.例2.如图1，已知椭圆x 224+y 216=1，直线l :x 12+y 8=1，P 是l 上的一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.解：由题设知点Q 不在原点，设P ，R ，Q 的坐标分别为（x P ,y P ），(x R ,y R )，(x ,y )，其中x ,y 不同时为零.OP 与x 轴正方向的夹角为θ（θ为参数）.则x P =|OP |cos θ，y P =|OP |sin θ，x R =|OR |cos θ，y R =|OR |sin θ，x =|OQ |cos θ，y =|OQ |sin θ.由|OQ |·|OP |=|OR |2可得ìíîïïïïx P =|OP ||OQ |x ，y P =|OP ||OQ |y ，ìíîïïïïx 2R =|OR ||OQ |x 2，y 2R =|OR ||OQ |y 2，又点P 在直线l 上、点R 在椭圆上，则x P 12+y P 8=1,x 2R 24+y 2R 16=1.将x P 、y P 、x 2、y 2R 分别代入上面两式，化简整理得点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1（其中x ，y不同时为零）.在运用参数方程解题时，要选择恰当的参数，这样便可以借助参数来建立各个量之间的联系，然后合理消去参数，问题便能顺利获解.三、设而不求有些解析几何问题中的点的坐标、直线的方程不方便或者不易求出，此时，我们可以采用设而不求的方法来解题.首先设出点的坐标或者直线的方程，然后将其代入题目条件中进行求解.例3.如图2，已知点A （a ，0）(a >0)和直线l :x =-1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C ，求点C 的的轨迹方程.解：设B （-1，b ）(b ∈R)，则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =-bx .设动点C (x ，y )，则0≤x <a .由OC 平分∠AOB 可得|y |=，(1)又点C 在直线AB 上，则y =-b 1+a(x -a )，(2)由（1）（2）得(1-a )x 2-2ax +(1+a )y 2=0(0≤x <a )，该式即为点C 的轨迹方程.我们直接根据题意设出B 点的坐标，然后将其代入题设中求解，消去参数b ，便能求得点C 的轨迹方程.虽然解析几何问题较为复杂，但是我们只要根据解题需求选择恰当的措施，如利用平面几何知识、参数方程，设而不求等，便能有效地简化问题，优化解题的方案.（作者单位：甘肃省酒泉市瓜州县第一中学）图2图139。

高中数学圆解题技巧

高中数学圆解题技巧在高中数学中，圆是一个重要的几何概念，涉及到许多与圆相关的解题技巧。

本文将介绍几种常见的圆解题技巧，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

一、圆的基本性质在解题过程中，我们首先需要了解圆的基本性质。

圆是由平面上到一个固定点的距离等于一个常数的点的集合。

这个固定点称为圆心，常数称为半径。

根据这个定义，我们可以得出以下重要性质：1. 圆心角的度数等于其所对的弧的度数；2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，且等于半径的两倍；3. 两个相交圆的交点到各自圆心的距离相等。

理解了这些基本性质后，我们可以更好地应用它们来解决各种与圆相关的问题。

二、圆的切线和切点圆的切线是与圆只有一个交点的直线。

在解题过程中，我们常常需要判断一条直线是否为圆的切线，并求出切点的坐标。

这里举一个例子来说明：【例题】已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x + 1，求直线与圆的切点坐标。

解题思路：1. 将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程；2. 判断该二次方程的判别式是否为零，若为零，则直线是圆的切线；3. 求出切点的坐标。

具体解答：将直线的方程代入圆的方程，得到x^2 + (2x + 1)^2 = 4。

化简得到5x^2 + 4x - 3 = 0。

判别式为4^2 - 4 * 5 * (-3) = 64，大于零，所以直线不是圆的切线。

因此，直线与圆的交点坐标需要通过求解方程组来得到。

将直线的方程代入圆的方程，得到x^2 + (2x + 1)^2 = 4。

化简得到5x^2 + 4x - 3 = 0。

解这个方程组，得到x = -1和x = 0.6。

将x的值代入直线的方程，得到对应的y值。

所以切点的坐标为(-1, -1)和(0.6, 2.2)。

通过这个例题，我们可以看到，判断直线是否为圆的切线需要求解二次方程的判别式，而求切点的坐标则需要解方程组。

掌握了这些技巧，能够更好地解决与圆的切线和切点相关的问题。

“圆”的解题方法

“圆”的解题方法李斌【期刊名称】《数学小灵通（5-6年级）》【年(卷),期】2016(000)011【总页数】5页(P4-8)【作者】李斌【作者单位】安徽省庐江县盛桥镇中心小学【正文语种】中文“圆”是小学数学“图形与几何”领域的重要内容之一。

小朋友刚开始学习这种曲线型平面图形时会觉得有点难度。

如果能注意掌握一些“圆”的解题方法，会有利于同学们顺利解决有关“圆”的问题，提高解决问题的能力。

1.观察法通过观察问题中所给的图形，发现图形之间的联系，从而发现隐蔽条件，找到解决问题所需要的条件，然后把问题解答出来。

例1.求下图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）［分析与解］图中阴影部分是一个三角形，但题中没有提供三角形的底和高。

仔细观察题中图形便会发现，阴影部分三角形面积刚好是等底等高平行四边形面积的一半，而平行四边形的底是图中半圆的直径，高是图中半圆的半径。

由此可求出图中阴影部分的面积是10×2×10÷2=100（平方厘米）。

2.综合法有些问题从某个部分或条件去思考不易解决，可以把问题的各个部分或条件综合起来考虑，从而发现解决问题的线索，使问题得到迅速解决。

例2.如下图所示，在三角形内分别以三个顶点为圆心，画三个半径为5厘米的扇形，这三个扇形面积的和是多少平方厘米？［分析与解］通常情况下求三个扇形面积的和，要分别找到三个扇形的半径和圆心角的度数，求出每个扇形的面积，再把结果相加。

本题中没有给出三个扇形的圆心角度数，但由题中条件可知这三个扇形的圆心角刚好是三角形的三个内角，而三角形的内角和是。

如果把这三个扇形合并起来正好是一个半径为5厘米的半圆，所以这三个扇形面积的和是3.14×52÷2=39.25（平方厘米）。

3.割补法割补法是将问题中不规则图形部分切割下来，填补到原图形中，使之成为一个规则图形，便于利用规则图形的计算公式解决不规则图形的问题。

例3.求下图中阴影部分的面积。

高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解

高中数学解题技巧之解析几何中的圆问题求解解析几何是高中数学中的一门重要学科，其中圆问题是解析几何的基础和核心。

在解析几何中，我们经常会遇到求解圆的问题，如圆的方程、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。

本文将通过具体的题目，来说明解析几何中圆问题的求解技巧，并给出一些解题思路和方法。

一、圆的方程圆的方程是解析几何中最基本的问题之一。

对于给定圆心坐标为(h, k)和半径为r的圆，我们可以得到圆的方程为：(x-h)² + (y-k)² = r²。

其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标。

举个例子来说明，假设有一个圆心坐标为(2, -3)，半径为5的圆，求其方程。

解题思路：根据圆的方程(x-h)²+ (y-k)²= r²，将给定的圆心坐标和半径代入，得到方程为：(x-2)² + (y+3)² = 25。

通过这个例子，我们可以看出，求解圆的方程需要根据已知条件进行代入运算，最终得到圆的方程。

二、圆与直线的关系圆与直线的关系也是解析几何中常见的问题。

常见的问题有：判断直线与圆的位置关系、求直线与圆的交点等。

举个例子来说明，假设有一个圆的方程为(x-2)² + (y+3)² = 25，直线的方程为2x - 3y + 4 = 0，求直线与圆的交点。

解题思路：首先，将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程：(x-2)² + (-3/2x-3)² = 25。

然后，解这个二次方程，求出x的值。

将求得的x的值代入直线的方程，求出对应的y的值，即可得到直线与圆的交点坐标。

通过这个例子，我们可以看出，求解直线与圆的交点需要将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程，并进行解方程运算，最终求得交点的坐标。

三、圆与圆的关系圆与圆的关系也是解析几何中常见的问题。

常见的问题有：判断两个圆的位置关系、求两个圆的交点等。

例谈求解圆的方程常用方法

例谈求解圆的方程常用方法杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:圆是高考热点ꎬ也是必然考查的内容.主要考查圆的方程㊁直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系以及圆的几何性质等ꎬ但是会求圆的方程是基础.本文从直接法㊁几何性质法㊁待定系数法等五个方面举例说明圆的方程的常用求法ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.关键词:直接法ꎻ几何性质法ꎻ待定系数法ꎻ利用圆的直径式方程ꎻ利用圆系方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１０－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆是简单的二次曲线ꎬ是高中数学的一个基本内容ꎬ也是高考常考的内容ꎬ会求圆的方程才是硬道理.下面举例说明求圆的方程的常用方法ꎬ供参考.㊀㊀一㊁直接法直接法就是根据圆的定义ꎬ利用已知条件ꎬ确定圆心坐标和半径ꎬ直接求出圆的标准方程.例１㊀求满足下列条件的圆的方程:(１)圆心在点Ｃ(３ꎬ－４)处ꎬ半径是５ꎻ(２)经过点Ｐ(５ꎬ２)ꎬ圆心是点Ｃ(４ꎬ－１).分析㊀根据题设条件ꎬ可利用圆的方程的定义来解决.㊀解㊀(１)因为圆心是在点Ｃ(３ꎬ－４)ꎬ半径是５ꎬ所以圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ＋４)２＝５.(２)因为圆的半径是ｒ＝｜ＰＣ｜＝(５－４)２＋(２＋１)２＝１０ꎬ圆心是Ｃ(４ꎬ－１)ꎬ所以圆的方程是(ｘ－４)２＋(ｙ＋１)２＝１０.点评㊀确定圆的标准方程只需要圆心的坐标和圆的半径即可ꎬ因此圆心和半径是圆的两要素.㊀㊀二㊁几何性质法几何性质法就是通过研究圆的性质㊁直线和圆㊁圆和圆的位置关系ꎬ求出圆心坐标与半径ꎬ从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心与切点的连线垂直于切线ꎻ圆心到切线的距离等于圆的半径ꎻ圆的弦的垂直平分线过圆心ꎻ两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.例２㊀求过点Ａ(１ꎬ－１)和Ｂ(－１ꎬ１)ꎬ且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程.分析㊀利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后ꎬ再写出方程.解法一㊀设点Ｃ为圆心ꎬ因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上ꎬ所以可设点Ｃ的坐标为(ａꎬ２－ａ).又因为该圆经过ＡꎬＢ两点ꎬ所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜.所以(ａ－１)２＋(２－ａ＋１)２＝(ａ＋１)２＋(２－ａ－１)２ꎬ解得ａ＝１.所以圆心Ｃ的坐标为(１ꎬ１)ꎬ半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.解法二㊀由已知可得线段ＡＢ中点的坐标为(０ꎬ０)ꎬｋＡＢ＝１－(－１)－１－１＝－１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ－０＝１ˑ(ｘ－０)ꎬ即ｙ＝ｘ.而圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点ꎬ由ｙ＝ｘꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ{得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ{即圆心为(１ꎬ１)ꎬ圆的半径为(１－１)２＋[１－(－１)]２＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.点评㊀一般地ꎬ在解决有关圆的问题时ꎬ有时利用圆的几何性质作转化较为简单ꎬ充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点.本题还可以用待定系数法求解.㊀㊀三㊁待定系数法圆的方程中ꎬ有三个独立系数ꎬ因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆ꎬ确定系数的方法就是待定系数法.待定系数法就是先设出圆的方程ꎬ然后根据条件求出方程中的参数.０１１.设圆的标准方程例３㊀求与ｘ轴交于Ａ(１ꎬ０)和Ｂ(５ꎬ０)两点ꎬ且半径为５的圆的方程.分析㊀可设出圆的标准方程ꎬ再把ＡꎬＢ两点的坐标代入ꎬ用待定系数法求解.解㊀设圆的标准方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.因为ＡꎬＢ在圆上ꎬ所以ＡꎬＢ坐标满足方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.把ＡꎬＢ坐标分别代入该方程再联立ꎬ得(１－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ(５－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ{解得ａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ{或ａ＝３ꎬｂ＝－１.{所以所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝５或(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝５.点评㊀如果由已知条件容易求得圆心坐标㊁半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程问题ꎬ一般采用圆的标准方程ꎬ再用待定系数法求出ａꎬｂꎬｒ.本题还可以用几何性质法求解.２.设圆的一般方程例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点为Ａ(１ꎬ４)ꎬＢ(－２ꎬ３)ꎬＣ(４ꎬ－５)ꎬ求әＡＢＣ的外接圆方程.分析㊀已知三个顶点都在圆上ꎬ可采用圆的一般方程ꎬ利用待定系数法求出圆的方程.解㊀设әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０.因为ＡꎬＢꎬＣ在圆上ꎬ所以将坐标分别代入ꎬ有１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０ꎬìîíïïï解得Ｄ＝－２ꎬＥ＝２ꎬＦ＝－２３.ìîíïïï所以әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０.点评㊀如果已知条件与圆心和半径都无直接关系ꎬ通常采用圆的一般方程ꎬ再用待定系数法求出常数ＤꎬＥꎬＦꎻ本题还可以用几何性质法求解.㊀㊀四㊁利用圆的直径式方程已知一个圆的一条直径的端点是Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则圆的方程可表示为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０ꎬ此方程称为圆的直径式方程.例５㊀求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点ꎬ且面积最小的圆的方程.分析㊀设直线和圆的交点为ＡꎬＢꎬ面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆.故可以利用圆的直径式方程求解.解㊀由２ｘ＋ｙ＋４＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０ꎬ{得交点Ａ(－１１５ꎬ２５)ꎬＢ(－３ꎬ２).因为面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆ꎬ所以所求的圆方程为(ｘ＋１１５)(ｘ＋３)＋(ｙ－２５)(ｙ－２)＝０ꎬ即ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７５＝０.点评㊀求解本题的关键是知道面积最小的圆是以直线和圆的交点为直径的圆ꎬ此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解ꎬ但是用圆的直径式方程求解比较简便.当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解.㊀㊀五㊁利用圆系方程具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系ꎬ含有参数的圆的方程称为圆系方程.常用的圆系方程类型有以下几种:(１)同心圆系①以(ａꎬｂ)为圆心的同心的圆系方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝λ２(λ为参数ꎬλ>０)ꎻ②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０(λ为参数)ꎻ同心圆系图形特点是位置相同ꎬ大小不同.(２)半径相等的圆系方程为(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２＝ｒ２(ｍ㊁ｎ为参数)ꎬ图形特点是大小一样ꎬ位置不同.(３)过直线与圆交点的圆系方程.设直线ｌ:Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交ꎬ则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)＝０(λ为参数)表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程.(４)过两圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０和Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ(ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１ꎬ且不含圆Ｃ２)ꎬ特别提示:①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２ꎬ因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意ꎬ谨防漏解ꎻ②当参数λ＝－１时ꎬ该方程为过两圆交点的一条直线方程:(Ｄ１－Ｄ２)ｘ＋(Ｅ１－Ｅ２)ｙ＋(Ｆ１－Ｆ２)＝０.例６㊀有一圆与直线ｌ:４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ(３ꎬ６)ꎬ且圆经过点Ｂ(５ꎬ２)ꎬ求此圆的方程.分析㊀将点Ａ(３ꎬ６)视为点圆 :(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＝０ꎬ然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解.解㊀根据题意可设所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＋λ(４ｘ－３ｙ＋６)＝０ꎬ把点Ｂ(５ꎬ２)的坐标代入方程ꎬ解得λ＝－１.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０.点评㊀所谓点圆就是半径为０的圆ꎬ所以一个孤立的点Ｃ(ａꎬｂ)的图形可以看成点圆 ꎬ即点Ｃ(ａꎬｂ)的圆的方程可表示为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝０ꎬ在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时ꎬ把切点视为点圆是一个重要方法技巧.本题还可用几何性质法和待定系数法求解.１１例７㊀求以圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程.㊀分析㊀可先求公共弦所在直线的方程ꎬ再利用过两圆交点的圆系方程求解.解㊀联立两圆方程ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０ꎬ{相减得公共弦所在直线的方程为４ｘ＋３ｙ－２＝０.设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋λ(ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１)ꎬ由此可得圆心Ｃ(－１２λ－１２２(１＋λ)ꎬ－１６λ－２２(１＋λ)).因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上ꎬ所以４－(１２λ＋１２)２(１＋λ)＋３－(１６λ＋２)２(１＋λ)－２＝０ꎬ解得λ＝１２.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０.点评㊀一般地ꎬ求过两个圆交点的圆的方程利用圆系方程求解比较简捷ꎬ应学会使用此法.本题还可先求出公共弦的端点坐标ꎬ再得所求圆的方程.㊀㊀参考文献:[１]高杲.圆与方程知识点及常考题型分析[Ｊ].中学生数理化(高一版)ꎬ２０１４(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]２０１９年北京卷文科第１９题的推广与变式刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学㊀２７１４００)摘㊀要:本文给出了２０１９年北京高考文科第１９题在椭圆㊁双曲线及圆中的推广与变式.关键词:椭圆ꎻ双曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１２－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:刘才华(１９６９.１０－)ꎬ男ꎬ山东省泰安宁阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀章建跃先生在«数学教育心理学»中提到:变式就是变更对象的非本质特征的表现形式ꎬ变更观察事物的角度或方法ꎬ以突出事物的本质特征ꎬ突出那些隐蔽的本质特征.这就要求教师在教学过程中ꎬ善于借题发挥 ꎬ一题多变ꎬ 以少胜多 ꎬ引导学生从不同的角度出发ꎬ对题目本身进行相应地理解以及挖掘ꎬ这对于提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养有着极大的帮助.下面对２０１９年北京市文科第１９题进行推广与变式ꎬ供教学参考.试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的右焦点为(１ꎬ０)ꎬ且经过点Ａ(０ꎬ１).(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂ１)与椭圆Ｃ交于两个不同点ＰꎬＱꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭＯＮ＝２ꎬ求证:直线ｌ经过定点.将试题推广到一般的椭圆ꎬ我们得到如下命题１㊀设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂｂ)与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于两个不同点ＰꎬＱꎬＡ(０ꎬｂ)为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭＯＮ＝ａ２ꎬ则直线ｌ经过定点Ｏ.证明㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).由ｙ＝ｋｘ＋ｔꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１{得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２＋２ｋｔａ２ｘ＋ａ２ｔ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｔａ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ｘ２＝ａ２ｔ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬ且Δ>０.直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｙ１－ｂｘ１ｘ＋ｂꎬ令ｙ＝０得ｘＭ＝－ｂｘ１ｙ１－ｂ＝－ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂ.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ２－ｂｘ２ｘ＋ｂꎬ同理得ｘＮ＝－ｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ.则ｘＭｘＮ＝ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ＝ｂ２ｘ１ｘ２(ｋｘ１＋ｔ－ｂ)(ｋｘ２＋ｔ－ｂ).２１。

圆的解题技巧总结

圆的解题技巧总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙0的半径是5cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13cm，PA切⊙0于点A，PA=12cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13cm和15cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P ，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC ，OF⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是()A．180°B．90°C．120°D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是():π:1C．2：1D．3：1例17如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm2B．6π13cm2D．30cm213cm2C．12π⋅例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC=CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB=90°．(1)求∠C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190； (2)A BIC o ∠+=∠2190．例21如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为().A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为()A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O '相切，点O '在CD 上，且AB∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π- 7．折叠法例28如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29如图所示，将半径为2cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝______cm．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN⋅=BCAB⋅BM(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3⊙0的直径AB=2cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。