高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 3.1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
6.
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ， AD⊥BC 于 D，点 E 是 AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于 F. AB DF 求证：AC＝AF.
证明：∵E 是 Rt△ADC 斜边 AC 上的中点， ∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又∵AD⊥BC 且∠BAC＝90° ， ∴∠BAD＝∠C. ∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， DB DF ∴AD＝ AF. AB DB 又在 Rt△ABD 与 Rt△CBA 中，AC＝AD， AB DF ∴AC＝ AF.
点击下图进入应用创新演练
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD. 又∵点 F 在 BA 的延长线上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. CD DE 由△CDE∽△FAE，得 FA ＝AE. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似
三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定义，掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法．2．会证明三角形相似，并能解决有关问题．1．相似三角形(1)定义：对应角____，对应边成____的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形______的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例．③相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上，这一点与全等三角形是一致的；例如△ABC和△DEF相似，若点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点D对应，则记为△ABC∽△EF D．【做一做1】已知△ABC∽△A′B′C′，下列选项中的式子，不一定成立的是( ) A．∠B＝∠B′ B．∠A＝∠C′C．ABA′B′＝BCB′C′D．ABA′B′＝ACA′C′2判定三角形相似的三种基本图形(1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：【做一做2－1】如图所示，在△ABC 中，FD ∥GE ∥BC ，则与△AFD 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个【做一做2－2】如图所示，DE 与BC 不平行，当AB AC＝__________时，△ABC ∽△AE D ．3．直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个____对应相等，那么它们相似； (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成____，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形的____和一条____边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别与原三角形相似． 在证明直角三角形相似时，要特别注意利用直角这一条件． 【做一做3】在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝90°，AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∠B ＝35°，则∠C ′＝__________.答案：1．(1)相等 比例 对应边【做一做1】B 很明显选项A ，C ，D 均成立．因为∠A 和∠C ′不是对应角，所以∠A ＝∠C ′不一定成立．2．相交 相似 相等 相似 比例 相等 比例 第三边 比例 【做一做2－1】B ∵ FD ∥GE ∥BC ， ∴△AFD ∽△AGE ∽△ABC ，故与△AFD 相似的三角形有2个．【做一做2－2】AE AD△ABC 与△ADE 有一个公共角∠A ，当夹∠A 的两边对应成比例，即AB AC ＝AEAD时，这两个三角形相似． 3．(1)锐角 (2)比例 (3)斜边 直角 【做一做3】55° ∵∠A ＝∠A ′＝90°， ∴△ABC 和△A ′B ′C ′均是直角三角形．又AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. ∴∠C ′＝∠C ，又∠B ＝35°，∴∠C ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°，∴∠C ′＝55°.同一法证明几何问题剖析：当直接证明一个几何问题比较困难时，往往采用间接证明的方法．“同一法”就是一种间接证明的方法．应用同一法证明问题时，往往先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题的已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立.例如，如图所示，已知PQ ，T R 为⊙O 的切线，P ，R 为切点，PQ ∥R T.证明PR 为⊙O 的直径．证明：如图，延长PO 交R T 于点R ′，∵PO ⊥PQ ，∴PR ′⊥PQ .∵PQ ∥RT ，∴PR ′⊥RT ，即OR ′⊥RT . 又∵TR 为⊙O 的切线，R 为切点， ∴OR ⊥RT ，∴点R ′与点R 重合， ∴PR 为⊙O 的直径．由上例可以看出，同一法证明几何问题的步骤：(1)先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；(2)根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；(3)说明已知图形符合结论．题型一 判定三角形相似 【例题1】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE .分析：由于已知AB AD ＝AC AE ，得AB AC ＝ADAE，则要证明△ABD ∽△ACE ，只需证明∠DAB ＝∠EAC 即可．反思：(1)本题中，∠DAB 与∠EAC 的相等关系不易直接找到，这里用∠BAC ＝∠EAD ，在∠BAC 和∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC ，间接证明．(2)判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就能推导出结论．题型二 判定直角三角形相似【例题2】如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .分析：由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可． 反思：直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法判定，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中，可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法．题型三 证明线段成比例【例题3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，求证：AB AC ＝CDBC.分析：所要证明的等式中的四条线段AB ，AC ，CD ，BC 分别在△ABC 和△BCD 中，但这两个三角形不相似，由题意可得BD ＝CD ，这样AB ，AC ，BD ，BC 分别在△ABC 和△ABD 中，只需证明这两个三角形相似即可．反思：证明线段成比例，常把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，再证明这两个三角形相似即可，若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边，则利用相等线段进行转化，如本题中把CD 转化为B D ．题型四 证明两直线平行【例题4】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC ，AB 于F ，E 两点．求证：EF ∥B C ．分析：要证明EF ∥BC ，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理．在作平行线时，要充分考虑到中点D 的应用．反思：常利用引理来证明两条直线平行，如本题中的三种证法，其关键是证明其对应线段成比例，这样又转化为证明线段成比例，其证明方法有：利用中间量，如本题证法一；转化为线段成比例，如本题证法二；既用中间量，又转化为线段成比例，如本题证法三．答案：【例题1】证明：因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE .所以∠BAC ＝∠EAD ，∠BAC －∠DAC ＝∠EAD －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE，所以△ABD ∽△ACE . 【例题2】证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BCPC ＝4.又BC ＝2DQ ，∴DQCP＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .【例题3】证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠DBA ＝12∠ABC ，又∠ABC ＝2∠C ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝∠C ， ∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACB 中， ∠A ＝∠A ，∠DBA ＝∠C ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝BD BC ，∴AB AC ＝CDBC.【例题4】证法一：延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG ，如下图所示．∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．∴EC ∥BG ，FB ∥CG .∴AE AM AB AG =，AF AMAC AG =， ∴AE AF AB AC=.∴EF ∥BC . 证法二：过点A 作BC 的平行线，与BF ，CE 的延长线分别交于G ，H 两点，如图所示．∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD ，∴AH DC ＝AGBD .∵BD ＝DC ，∴AH ＝AG .∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AGBC .∵AH ＝AG ，∴AE EB ＝AFFC.∴EF ∥BC .证法三：过点M 作BC 的平行线，分别与AB ，AC 交于G ，H 两点，如下图所示．则GM BD ＝AM AD ，MH DC ＝AMAD ，∴GM BD ＝MH DC. ∵BD ＝DC ，∴GM ＝MH .∵GH ∥BC ，∴EM EC ＝GM BC ，FM FB ＝MHBC .∵GM ＝MH ，∴EM EC ＝FMFB.∴EF ∥BC .1如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上一点，AF 交DE 于G ，则与△ADG 相似的是( )A ．△AEGB ．△ABFC ．△AFCD ．△ABC2如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，则图中与Rt△ADE 相似的三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3如图所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝__________(用a ，b 表示)．4如图所示，O 是△ABC 内一点，且AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′.求证：AC ∥A ′C ′.5如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD 2＝DC ·A C ．答案：1．B 在△ABF 中，DG ∥BF ，则△ADG ∽△ABF .2．D 题图中Rt△CBA ，Rt△CAD ，Rt△ABD ，Rt△DBE 均与Rt△ADE 相似．3．b 2a 由题意，可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD，∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a.4．证明：∵AB ∥A ′B ′，∴OA ′OA ＝OB ′OB.又∵BC ∥B ′C ′，∴OB ′OB ＝OC ′OC.∴OA′OA＝OC′OC.∴AC∥A′C′.5．分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，所以∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB＝CD∶BC.∴BC2＝AB·CD.又BC＝AD，AB＝AC，∴AD2＝AC·CD.。
相似三角形的判定完整版课件
相似三角形的判定完整版课件一、教学内容1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定两个三角形相似的方法，包括：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、AA（两角对应相等）。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质；2. 学会使用SSS、SAS、AA三种方法判定两个三角形相似；3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、量角器；2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中相似三角形的例子（如：电视屏幕与实际画面、三角形放大镜等），引导学生观察并思考相似三角形的特点。
2. 例题讲解：（1）讲解相似三角形的定义及性质；（2）通过例题讲解SSS、SAS、AA三种判定方法；3. 随堂练习：（1）让学生独立完成教材课后练习题；（2）针对学生完成情况进行讲解，纠正错误，巩固知识点；（3）拓展练习：给出一些实际生活中的相似三角形问题，让学生运用所学知识解决。
六、板书设计1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定方法：SSS、SAS、AA；3. 例题解题步骤及思路；4. 课后练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF的周长；（2）已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为2：3，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值。
2. 答案：（1）三角形DEF的周长为18cm；（2）三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值为9：4。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。
在今后的教学中，应注重引导学生运用性质解决实际问题。
高中数学1-1相似三角形的判定及有关性质课件
AD AE 等. AB AC
∴BC=6,∴DC=4,∴S△BDE∶S△BCA=DE2∶AC2=1∶9.
答案：(1)∠ADE=∠B(或∠AED=∠C或 AD AE )(答案不唯一)
AB AC
（2）4
1∶9
4.直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边上 射影 与 斜边 的比例中 项.
答案：（1）3
（ 2） 1 m
2
2.平行线分线段成比例定理 (1)定理
三条平行线截两条直线，所得的 对应 线段成比例.
(2)推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延
长线）所得的对应线段 成比例 .
【即时应用】
(1)如图，AD∥BE∥CF,且AB∶BC=2∶3,
则EF∶DF=_______.
定理2
定理3
两边对应 成比例 且夹角 相等 ，两三角形相似.
三边对应 成比例 ，两三角形相似.
（4）直角三角形相似的判定
两个直角三角形有一个锐角对
应相等
两个直角三角形的两条直角边
对应成比例 一个直角三角形的斜边和一条
相似
直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例
(5)性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
（2）AC、AB在斜边BC上的射影为DC、DB， 由射影定理得：AC2=CD·BC, AB2=BD·BC, ∴CD∶BD=AC2∶AB2=1∶4. 答案：(1)
9 5
(2)1∶4
平行线分线段成比例定理
【方法点睛】
1.平行线等分线段定理的理解及应用 平行线等分线段定理及推论1、推论2是证明线段相等或求线段 长度的重要理论依据之一,在应用这个定理时一定要看清条件 中是否是一组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理.
高中数学 1.2 第一讲 相似三角形的判定及有关性质课件
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达
直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， l2，l3于D，E，F，则BACB＝DEFE.
(2)教材中就
AB BC
为有理数时给出了证明，实际上当
AB BC
为无
理数时定理也成立．
变式1 如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，BC＝3，则
DE DF
＝
________.
解
因为l1∥l2∥l3，所以
AB BC
＝
DE EF
，所以
DE EF
＝
5 3
，所以
DED＋EEF＝5＋5 3，所以DDFE＝58.
【例2】 如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线 分别于E，F，D三点，且AD＝BE.
求证：EF FD＝CA CB.
【证明】 证法一：如图，过D作DK∥AB交EC于点K， 则FEDF＝BEKB，ACDA＝BBCK，即CBCA＝ABDK.
∵AD＝BE，∴CBCA＝BBKE， ∴FEDF＝CCAB.
证法二：如图，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.
∵AB∥EP，∴CBEB＝CAPA， 即CCAB＝ABPE. 在△DPE中，∵AF∥PE， ∴FEDF＝AADP. ∵AD＝BE，∴BAEP＝AADP，∴CCAB＝FEDF.
(1)求证：AC∥BD； (2)如果PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC明：∵平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD.又 α∥β，∴AC∥BD.
提示 利用比例性质可以得到多条平行线截两条直线所得 对应线段成比例．平行线等分线段定理在空间仍成立．
思考探究2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长 线)所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线是否平 行于三角形的第三边？
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
相似三角形的判定课件优秀课件
ABBCACK 注意 要把表示
AB BC AC
对应角顶点的
则△ABC 与△A1B1C1 相似， 字母写在对应
记作△ABC ∽ △A1B1C1。 的位置上。
相似的表示方法
如 何
△ABC ∽ △A1B1C 1 符号：∽
证
读作：相似于 明
相似比
A1
两
A
个
三
B
C B1
C1
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为
反馈练习
DE
1．如图，ED∥BC，AB=6， A AC=8，AD=2，求AE的长．
B
C
2．已知 AE 与 CD 相交于点 B ，
∠A =∠E ，CB=4，AB 2 ,求CD 的
长．
BE 3
反馈练习
3．如图，DE∥BC，判断下列各式是否正确：
A.
AD AE（ AB AC
）
B. AD AE（ ） BD CE
E l2
B
C
l3
l
l
E
D l1
A
l2
B
C l3
例1、如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解：∵AC=4，EC=1， ∴AE=3.
∵ DE∥BC，
∴
AD AE . AB AC
∴ AD，
∴ BD=0.75.
探究思考
如图, 在△ABC 中, DE//BC,
B
AC DF AB DE
E l4
BC EF , AC DF, C AC DF BC EF
F l5
三条平行线截两条直线，所得的对 应线段的比相等.
思考
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH. 求证：GH∥AB. [思路点拨] GE EH 根据此图形的特点可先证比例式DE＝ EB 成
立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
[证明] ∵DE∥BC， GE AG DG GE CF ∴FC ＝ AF＝ FB ，即DG＝FB. EH CF 又∵DF∥AC，∴HB＝FB. GE EH GE EH ∴DG＝HB.∴ED＝ EB . 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB.
两角 三角形相似，简述为：
对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形
的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形 第三边
证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 3 3.1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41
两三角形相似.
判定 定理 3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条 三边对应成比
边和另一个三角形的三条边__对__应__成__比__例__，那 例，两三角形相
么这两个三角形相似.
似.
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如图 1-3-1 所示，在△ABC 中，FD∥GE∥BC，则与△AFD
相似的三角形有
( ) 【导学号：07370011】
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个 两角对应相等，
角与另一个三角形的两个角__对__应__相__等__，那么 两三角形相似．
这两个三角形相似.
判定 定理 2
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边 两边对应成比
和另一个三角形的两边_对__应__成__比__例__，并且夹 例且夹角相等，
角相等，那么这两个三角形相似
证明两直线平行 如图 1-3-6，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H， 连接 GH.求证：GH∥AB. 【精彩点拨】 结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠EBD 即 可．
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1．本题根据AACB＝BADD，把欲证明的问题转化为证明BADD＝DAFF 是解题的关键．
2．求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑用中 间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后 得证结论．
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[再练一题]
2．如图 1-3-5 所示，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，
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1．如图 1-3-8，锐角三角形 ABC 的高 CD 和 BE 相交于点 O，图中与△ODB 相似的三角形的个数是( )
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
相似三角形的判定全PPT课件
G H I
C
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
第14页/共56页
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1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。 3.如何识别两三角形是否相似?
F
A
B E
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（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
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2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？
∴△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
A E C
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2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE A
AB AC
过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC
D
可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC ∴DE=BF,DE=FC DE 1
B
F
BC 2
AD AE DE 1 AB AC BC 2
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件 a选修41a高二选修41数学课件
1
= 4 , = .
1
所以 16 = 4,即
BM=4.取 BC 的中点 P,
12/8/2021
第七页，共二十七页。
知识网络
专题
(zhuān
tí)一
专题
(zhuān
tí)二
专题归纳
高考体验
专题
(zhuān
tí)三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,
是△CDF∽△AEF,且
=
△的面积
=3,因此
△的面积
答案 9
12/8/2021
第二十二页，共二十七页。
=
2
=9.
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考点
专题归纳
高考体验
考点
(kǎo
diǎn)1
(kǎo
diǎn)
2
4.(2016·江苏高考(ɡāo kǎo))
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点.
diǎn)2
1
考点(kǎo diǎn)1:相似三角形的判定与性质
1.(2013·陕西高考)如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过E作BC的平行线与
AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=
.
解析∠C 与∠A 在同一个☉O 中,所对的弧都是,则∠C=∠A.又
PE∥BC,∴∠C=∠PED.∴∠A=∠PED.又∠P=∠P,∴△PED∽
线DE,交BA的延长线于点E.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它 们相似. 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么它们相似.
4.相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例. 性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的 周长的比都等于相似比. 性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周 长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似 比的平方.
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平 分第三边. 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另 一腰. (2)中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半.
《相似三角形的性质和判定》PPT课件
全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识