2018年高考数学专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件热点题型和提分秘籍理

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高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ．例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案必要不充分解析因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案充分不必要条件解析当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案充要条件解析若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、选择题1．答案 D2．答案 A解析解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．二、填空题9．答案必要不充分解析设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y，所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

2018高考数学核心考点专题演练02命题及其关系、充分条件与必要条件

2018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件考点 2命题及其关系、充足条件与必需条件【考点分析】一．明确要求1.认识命题的观点，会分析原命题及其抗命题、否命题与逆否命题这四种命题的互相关系．2.理解必需条件、充足条件与充要条件的意义.二．命题方向1.本部分主要考察四种命题的观点及其互相关系，考察充足条件、必需条件、充要条件的观点及应用；2. 题型主要以选择题、填空题的形式出现．常与会合、不等式、几何等知知趣联合命题.三．规律总结一个差别否命题与命题的否认是两个不一样的观点：①否命题是将原命题的条件否认作为条件，将原命题的结论否认作为结论结构的一个新的命题；②命题的否认不过否认命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)抗命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充足条件、必需条件的判断方法(1) 定义法：直接判断“若p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并注意和图示相联合，比如“p? q”为真，则 p 是 q 的充分条件．(2) 等价法：利用p ?q与q?p， ? 与p?q，?q与q?p的等价关系，关于条件或结论能否认式q p p的命题，一般运用等价法．(3)会合法：若 A? B，则 A 是 B 的充足条件或 B 是 A的必需条件；若 A＝ B，则 A是 B 的充要条件．【方法总结】1. 正确的命题要有充足的依照，不必定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思想方式，也是两种不一样的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，两者相同重要．2.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断抗命题的真假，而后依据等价关系确立否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不好判断，那就第一判断其逆否命题的真假．3. 判断p是q的什么条件，需要从双方面分析：一是由条件p 可否推得条件q，二是由条件q 可否推得条件p.关于带有否认性的命题或比较难判断的命题，除借助会合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、抗命题和否命题的等价性，转变为判断它的等价命题．1 / 82018 高考数学核心考点专题操练 02 命题及其关系、充足条件与必需条件【真题操练】1. 【2017 天津，理 4】设R ，则“ |π | π”是“ sin1 ”的（）12122（ A ）充足而不用要条件（ B ）必需而不充足条件（ C ）充要条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 |π | ππsin1 ，但0,sin 1π π2 ，不知足 ||，所以是充足不1212621212必需条件，选 A.2. 【2017 山东】已知命题p ： x R ,x 2x 1 0 ; 命题 q ：若 a 22, 则 a b以下命题为真命题的是b < .A ． p q B.pqC.p qD.pq【答案】 B【分析】由 x0 时 x 2 x 1 0 建立知 p 是真命题 , 由 12 ( 2)2,12 可知 q 是假命题 , 所以 pq 是真命题 ,应选 B.3. 【2016 浙江理数】命题“x R ， nN * ，使得 n x 2 ”的否认形式是（）A ． x R ， n N * ，使得 n x 2B ． x R ， n N * ，使得 nx 2 C ． xR ， nN * ，使得 nx 2D ． xR ， n N * ，使得 nx 2【答案】 D【分析】的否认是，的否认是， nx 2 的否认是 n x 2 ．应选 D ．考点：全称命题与特称命题的否认．4. 【 2016 山东理数】已知直线 a ，b 分别在两个不一样的平面 α，β内.则 “直线 a 和直线 b 订交 ”是 “平面 α和平面 β订交”的（）（ A ）充足不用要条件（ B ）必需不充足条件（ C ）充要条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 “直线 a 和直线 b 订交”“平面和平面订交”，但“平面和平面订交”“直线 a 和直线 b订交”，所以“直线 a 和直线 b 订交”是“平面和平面订交”的充足不用要条件，应选A ．5. 【 2016 天津理数】设 {a n }是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则“q<0”是 “对随意的正整数 n ，a 2 n- 1+a 2n <0”的（）（ A ）充要条件（B ）充足而不用要条件（ C ）必需而不充足条件（ D ）既不充足也不用要条件2 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件【答案】 C【分析】由题意得，a2 n 1 a2n 0 a1 (q 2n 2 q2n 1) 0 q2( n 1) (q 1) 0 q ( , 1) ，故是必需不充足条件，应选 C.6. 【2015 重庆，理4】“”是“( x 2) 0”的（）x 1 log12A、充要条件B、充足不用要条件C、必需不充足条件D、既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 log 1 (x 2) 0 x 2 1 x 1 ，所以选 B.27.【2015 新课标1，理 3】设命题p：n N , n2 2n，则p 为( )（ A）n N, n2 2n （ B）n N, n2 2n（ C）n N, n2 2n （D）n N , n2=2n【答案】 C【分析】p :n N , n2 2n，应选 C.8. 【2015 浙江，理4】命题“n N * , f (n) N *且f (n) n 的否认形式是（）A. n N * , f (n) N * 且 f (n) nB. n N * , f (n) N * 或 f (n) nC. n0 N * , f (n0 ) N *且 f ( n0 ) n0D. n0 N * , f (n0 ) N *或 f (n0 ) n0【答案】 D.【分析】依据全称命题的否认是特称命题，可知选 D.9. 【2015 天津，理4】设x R ，则“x 2 1 ”是“ 2x 2 0 ”的( )x（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】 x 2 1 1 x 2 1 1 x 3,x2 x 2 0 x 2 或x 1，所以“x 2 1 ”是“x2 x 2 0 ”的充足不用要条件，应选 A.10. 【2015 湖北，理5】设 a1 , a2 , , a n R ，n 3 . 若 p： a1 , a2 , , a n成等比数列；q： (a12 a22 a n2 1)( a22 a32 a n2 ) (a1a2 a2 a3 a n 1a n )2，则（）A． p 是 q 的充足条件，但不是q 的必需条件B． p 是 q 的必需条件，但不是q 的充足条件C． p 是 q 的充足必需条件3 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件D． p 既不是 q 的充足条件，也不是q 的必需条件【答案】 A【分析】对命题p： a1 , a2 , , a n成等比数列，则公比q a n (n 3) 且 a n 0 ；a n 1对命题 q ，① 当a n0时，(a12 a22 a n2 1)( a22 a32 a n2 ) ( a1 a2 a2 a3 a n 1a n )2建立；②当 a n 0 时，依据柯西不等式，等式(a12 a22 a n2 1 )( a22 a32 a n2 ) ( a1a2 a2 a3 a n 1a n )2建立，则 a1 a2 an 1，所以 a1 , a2 , , a n成等比数列，所以p 是 q 的充足条件，但不是q 的必需条件.a2 a3 a n11. 【2015 四川，理8】设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“a b log a 3 log b 33 3 3 ”的（）”是“（ A）充要条件（ B）充足不用要条件（ C）必需不充足条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】若3a 3b 3 ，则a b 1 ，进而有 log a 3 log b 3 ，故为充足条件. 若 log a 3 log b 3不必定有 a b 1 ，比方.a 1,b 3 ，进而 3a 3b 3 不建立 .应选 B. 312．【2015 安徽，理3】设p :1 x 2,q : 2x 1 ，则p是q建立的（）（A）充足不用要条件（ B）必需不充足条件（C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】由 q : 2x20，解得 x 0 ，易知，p能推出q，但q不可以推出p，故p是q建立的充足不用要条件，选 A.13. 【2015 湖南理 2】设A，B是两个会合，则“ A B A ”是“ A B ”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 C.【分析】由题意得， A B A A B ，反之， A B A B A，故为充要条件，选 C.【考点定位】 1.会合的关系； 2.充足必需条件 .14. 【2017 北京，理13】可以说明“ a b c是随意实数．若a b c a+b c” a，设，，＞＞，则＞是假命题的一组整数b， c 的值挨次为 ______________________________ ．【答案】 -1 ，-2 ， -3 （答案不独一）【分析】 1 2 3,12 3 3 相矛盾，所以考证是假命题.4 / 82018 高考数学核心考点专题操练02 命题及其关系、充足条件与必需条件15. 【2015 山东，理12】若“x0,, tan x m ”是真命题，则实数 m 的最小值为.4【答案】 1、所以答案应填：1。

2018版高考一轮数学文科：第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件ppt课件

第2讲 PART 01 命题及其关系、充分条件与必要条件
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
教学参考
考情分析
考点命题的四种形式充要条件的判断充要条件的应用
[ 解析 ] A 根据数量积的定义，a· b＝ a· bcos θ，由 a· b＝ a· b可得 cos θ ＝1，根据向量所成角的范围得到 θ＝0，所以 a∥b；若 a∥b，可得向量 a 与向量 b 共线，即所成的角为 0 或π，所以 a· b＝± a· b，故选 A.
真题在线
■ [2016－2015]其他省份类似高考真题
1．[2015· 山东卷] 设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 )
常用结论 1．充分条件、必要条件的两个结论： (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件； (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 q 是綈 p 的充分不必要条件．
课前双基巩固
2．充分条件、必要条件与集合的关系 p 成立的对象构成的集合为 A，q 成立的对象构成的集合为 B p 是 q 的充分条件 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 A⊆B B⊆A A B B A A＝B

02命题及其关系充分必要条件(经典题型+答案)

命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。

三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．抓住关键词：大必小充。

即大范围推小范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件。

例1：|x|>1是x>1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件解： |x|>1⇔x>1或x<－1，故x>1⇒|x|>1，但|x|>1 x>1，∴|x|>1是x>1的必要不充分条件．另解：根据大必小充原理，容易判断|x|>1是大范围，x>1是小范围，故|x|>1是x>1的必要不充分条件．例2：下列命题是真命题的为 ( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2 解：由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误． 3．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 解：写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．答案D 。

高考文科数学热点题型02 命题及其关系、充分条件与必要条件

1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0/⇒ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.答案：A3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则－1＋a≥1，1＋a≤4，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝log 2x ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.答案：B6．已知p ：x ≥k ，q ：x ＋13<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：∵q ：x ＋13<1，∴x ＋13－1<0，∴x ＋12－x<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B. 答案：B7．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(ax ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C8．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1，则a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab <1＋2ab ＋(ab )2，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，所以a ＋b <1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab >a ＋b 成立，但a 2＋b 2<1不成立，所以“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件，故选C.答案：C9．在△ABC 中，设p ：sinB a ＝sinC b ＝sinA c；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C10．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b.③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，∠A<∠B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A<∠B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R 为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sin B，故∠A<∠B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题．选C.答案：C11．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.12．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案：B解析：否命题既否定条件又否定结论．13．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题答案：A解析：设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A.14．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则a 1<b 1”的逆否命题答案：A15．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分答案：C解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系，命题p ：“若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格”的逆否命题是“若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分”．故选C.16． “x 1>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：∵x 1>1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1. ∴“x 1>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．17．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A18．若“x>1”是“不等式2x>a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案：A解析：若2x>a －x ，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.19．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：p ⇒q ，而q p ，∴选A.20．若不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－34，21] B ．[－21，34] C ．(－∞，21) D ．(34，＋∞) 答案：B解析：由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，所以≤m ＋1，1且等号不能同时取得，解得－21≤m ≤34，故选B.21．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A22．已知集合A ＝{x|a －2<x<a ＋2}，B ＝{x|x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．答案：0≤a ≤2解析：A ∩B ＝∅⇔a －2≥－2a ＋2≤4，⇔0≤a ≤2.23．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．解析：可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．答案：必要不充分24．集合A ＝<0x －1，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．答案：(－2,2)25．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|3x ＋y －6≤0x≥0，}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．解析：设3x ＋y －6≤0x≥0，所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝21×4×1＝2.答案：226．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程m －1x2＋2－m y2＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由m －1x2＋2－m y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <23，即命题q ：1<m <23. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 23或，3解得31≤a ≤83，所以实数a 的取值范围是[31，83]．答案：[31，83]。

(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题02 命题及其关系_充分条件与必要条件(含解析)文

考点02命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念.2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例1 （2017年高考北京卷）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________. 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．1．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．()4,+∞ B ．(]0,4 C ．(],4-∞D ．[)0,4典例2 命题“0,0a ab ==若则”的逆否命题是 A ．0,0ab a ≠≠若则 B ．0,0a ab ≠≠若则 C ．0,0ab a =≠若则D ．0,0ab a ==若则【答案】A【解析】原命题的逆否命题为“若0ab ≠，则0a ≠ ”，故选A.【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．下列说法正确的是A ．命题：“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题.B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b <-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论）典例3 （2017年高考天津卷）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤，因为{}{}022x x x x ⊂≤≤≤≠，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．3．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例4若条件:1p x ≤，且p ⌝是q 的充分不必要条件，则q 可以是 A ．1x > B ．0x > C ．2x ≤D ．10x -<<【答案】B【技巧点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．4．命题:e,ln 0p x a x ∀>-<“”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≥D ．1a >考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.典例5 已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A ． B ． C ．D ．1．已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是 A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则2．设m ∈R ，命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题是A ．若0m >，则20x x m +-=没有实根B ．若0m <，则20x x m +-=没有实根C ．若0m ≤，则20x x m +-=有实根D ．若0m ≤，则20x x m +-=没有实根 3；命题乙：30α≠且150α≠，则甲是乙的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件4．“若，则，都有成立”的逆否命题是A ．有成立，则B ．有成立，则C ．有成立，则D ．有成立，则5．“240x x -<”的一个充分不必要条件是 A ．04x << B ．02x << C ．0x >D ．4x <6．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1x =”的充分不必要条件B ．“x =2时,x 2－3x +2=0”的否命题为真命题C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12l l ∥的充要条件是D ．命题 “若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题7．已知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知,m n 是两条互相垂直的直线，α是平面，则n α∥是m α⊥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设,a b 都是非零向量，下列四个条件，使A ．=a bB ．2=a bC ．∥a b 且D ．∥a b 且方向相同10:p ”，条件:q”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 A ．()3,5 B ．[]3,5 C ．()2,4D ．[]2,41．（2017年高考浙江卷）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2016年高考天津卷）设0>x ，y ∈R ，则“y x >”是“||y x >”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2016年高考上海卷）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年高考四川卷）设p :实数x ，y 满足1x >且1y >，q : 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．【答案】C【解析】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故选C ． 2．【答案】B3．【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】B【解析】由题意得()min ln ,e,ln 11a x x x a <>∴>∴≤,因为()(],1,1,⊂-∞-∞≠因此命题p 的一个充分不必要条件是1a <,选B. 5．【答案】B 【解析】由条件,解得或;因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，有，故选B.1．【答案】C【解析】依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若，则”的逆否命题“若，则”是真命题，故应选C.2．【答案】D【解析】命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题为“若0m ≤，则20x x m +-=没有实根”.故选D ． 3．【答案】A【解析】因为30150α=︒︒或是30α≠且150α≠的充分不必要条件，选A.4．【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是 “有成立，则”.本题选D.5．【答案】B【解析】因为()2404004x x x x x -<⇒-<⇒<<，充分不必要条件是其真子集，所以只有02x <<满足条件，故选B.6．【答案】D7．【答案】C【解析】考查充分性：因为120x x +>，且函数()f x 是R 上的单调递减函数，则：()()121211,22x xf x f x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1212112x x f x f x +⎛⎫⋅=< ⎪⎝⎭，即()()121f x f x ⋅<，充分性成立；以上过程可以逆向推倒，即必要性满足.综上，“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的充分必要条件.本题选C. 8．【答案】D【解析】若,m n n α⊥∥，则,m α可能垂直、平行、相交或m 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行或n 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的必要条件，所以n ∥α是m ⊥α的既不充分也不必要条件.故选D.9．【答案】 D 表示与a 方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D ．10．【答案】A【解析】s所以()[]3,5f x ∈，又当时，()()2,2f x m m ∈-+，若p 是q 的充分不必要条件，则23{25m m -<+>，所以35m <<，故选A.1．【答案】C 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么c o s 1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.3．【答案】C【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，所以必要性成立，故选C.4．【答案】A【解析】2211,11a a a a >⇒>>⇒>或1a <-，所以是充分不必要条件，故选A ．5．【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．。

2018高考数学真题文科 1.2考点2 充分条件与必要条件的判断

第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点2充分条件与必要条件的判断（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（文））阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】输入N的值为20，第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，Ni＝10是整数，∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，Ni ＝203不是整数，∴i＝4＜5；第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，Ni＝5是整数，∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴输出T＝2.故选B．【答案】B（2018·北京卷（文））设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bC．所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B．【答案】B。

【高考数学】2018最新版本高考数学复习课件：命题及其关系、充分条件与必要条件(专题拔高特训)

a⊥b的充要条件是
.
解析：a⊥b ⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)=0，即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，
∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.
答案：i⊥j
(
1 1 5． (2009 年湖北 )“sin α ＝ ”是“cos 2α ＝ ”的 2 2 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A.若x≠1或x≠6，则(x－1)(x－6)≠0
B.若x≠1且x≠6，则(x－1)(x－6)≠0 C.若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1或x≠6 D.若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1且x≠6
解析：首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若 q则 p”，
排除A、B，再根据命题“p且q”的否定是“ p或 “p或q”的否定是“ 答案：D q”，命题 p 且 q”，可知C错误，D正确.
没有关系 .
三、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件 2.如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的充要条件 . ；
1.下列命题是真命题的为
A.若 C.若 B.若 D.若
(
)
解析：由
答案：A
得x＝y，A正确，B、C、D错误.
2.命题“若x＝1或x＝6，则(x－1)(x－6)＝0”的逆否命题是 ( )
【答案】 A
6．(2017年陕西)“m＞n＞0”是“方程 mx2 ny2 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 1 2 2 【解析】 mx ＋ny ＝1 焦点在 y 轴上的椭圆＞＞ n m 0⇔m＞n＞0，故选 C.

18高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文

解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③
[由题悟法]
充要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[小题纠偏]
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相同”的________条件．
答案：必要不充分 2．“在△ABC中，若∠C＝90° ，则∠A，∠B都是锐角”
的否命题为：________________．
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ，结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．
2．(2017· 衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p 是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x< －4．∵log2(x－5)<2，∴0<x－5<4，即5<x<9，∴q： 5<x<9，∵{x|5<x<9} {x|x>5或x<－4}，∴p是q的必要不充分条件．故选B．答案：B

【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：2-命题及其关系、充分条件和必要条件

2 ,因为该距离 2
等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选 C.
考点3
考点4
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
4.(2017北京,理13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c” 是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 . 【答案】 -1,-2,-3(答案不唯一) 【解析】答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c, 能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.
考点3
考点4
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
1.(2017广西南宁一模)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若x2=4,则x=2”的否命题为“若x2=4,则x≠2” B.命题“∃x∈R,x2+2x-1<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x-1>0” C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题【答案】 D 一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定, 对于A,只否定结论,未否定条件,故A错;对于B,命题“∃x∈R,x2+2x1<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x-1≥0”,故B错;对于C,命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,所以该命题的逆否命题为真命题,故C错;对于D, 若“p∨q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题是正确的,故选D.
【答案】 C V'= πr3= π
4 3 4 3
4 3 设球半径为 R,缩小后半径为 r,则 V= πR , 3 3 1 1 4 1 �� = × πR3,所以该球体积缩小到原来的 ,故①为 2 8 3 8 1 2 1 2

高中数学高考02第一章集合与常用逻辑用语 1 2 命题及其关系、充分条件与必要条件

所以“a∥b”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件.
师生共研
题型三充分、必要条件的应用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
解析依题意，可得(－1,4) (2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__3_或__4_. 解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
5.有下列命题：
①“若x＋y>0题；
③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题.
其中正确的是
A.①②③
B.②③④
√C.①③④
D.①④
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∴充分性不成立；
取 α＝3π，β＝136π，sin α>sin β，但 α<β，必要性不成立.
故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件.
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2018高考数学真题理科 1.2考点2 充分条件与必要条件的判断

第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考点2充分条件与必要条件的判断（2018·北京卷（理））设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由|a－3b|＝|3a＋b|，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·B．又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥B．由a⊥b得|a－3b|＝√10，|3a＋b|＝√10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|.所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．故选C．【答案】C（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．【答案】A（2018·天津卷（理））设x ∈R ，则“|x −12|＜12”是“x 3＜1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由|x −12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即 “|x −12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x −12|≥12，即“x 3＜1” ⇏“|x −12|＜12”．所以“|x −12|＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件．故选A ．【答案】A。

2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析 1. 2命题及其关系、充分条件与必要条件

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的关系与真假的判断1、相关链接<1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

b5E2RGbCAP<2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

p1EanqFDPw 注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解读〖例1〗】(1>(2018·苏州模拟>命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.DXDiTa9E3d(2>(2018·岳阳模拟>命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______(3>给出命题：若函数y=f(x>是幂函数，则函数y=f(x>的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.RTCrpUDGiT【解题指导】(1>、(2>先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3>在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解读】(1>逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.5PCzVD7HxA(2>同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.jLBHrnAILg(3>原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x>的图象不过第四象限，则函数y=f(x>是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.xHAQX74J0X答案：(1>若一个数的平方是正数，则它是负数(2>若a≤b，则a-1≤b-1(3>1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解读：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b ＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：LDAYtRyKfE逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可>；Zzz6ZB2Ltk逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”dvzfvkwMI1说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．rqyn14ZNXI二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接<1）利用定义判断①若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要>条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要>条件．EmxvxOtOco②若，则p是q的必要条件；注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除>．SixE2yXPq5ⅱ，即无必然无，可见对于来说必不可少。

2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：命题及其关系、充分条件和必要条件03Word版含答案(共15张PPT)

题型二充分条件、必要条件的判断
6.已知P: x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9,则P是Q 的既不充分又不必要条件. ___________________ 解: 逆否命题是x＝2000或y＝9 ⇒x＋y＝2009不成立，
P¿ Q
显然其逆命题也不成立.
P¾ Q
题型三充要条件的证明
例2.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
1 1 a ≤ 2 , a 2 , 或 a 1 1. a 1 ≥ 1.
从而p是q的充分不必要条件，即 A Ü B. 从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 A Ü B ，
2 2 ]. 故所求实数a的取值范围是 [0, 1 2
解之,得 0 a ≤ 1 , 或0 ≤ a 1 ,
题型四与充要条件有关的参数问题
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
例 3．设命题 p：(4x－3)2≤1；命题 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}， B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x| 1 2 ≤x≤1}， B＝{x|a≤x≤a＋1}. 由 p 是 q 的必要不充分条件，
证明：(2)必要性:因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1,x2均为负，且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2 ( x1 1 ) 2 x1
所以m≥2. 综合(1)(2)知命题得证.
( x1 1)2 ≥ 0, x1
变式 1. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实
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逆否命题：

命题及其关系、充分条件与必要条件-知识点与题型归纳

●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.一、知识梳理《名师一号》P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念（1）充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

（2）必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件 q p ⇒⇔q p ⌝⇒⌝即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)（3）充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、“q 当且仅当p ”等(补充)2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件定义：若 p q⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若q p ⇒/，且p q ⇒/，则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6 特色专题 ①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若B A =，则p 是q 的充要条件（4）若B A ⊂/，且B A ⊃/，则p 是q 的既不必要也不充分条件(补充)简记作----若A 、B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例1.(1) 《名师一号》P4 对点自测1命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C例1.(2) 《名师一号》P5 高频考点例1下列命题中正确的是( )①“若a ≠0，则ab ≠0”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；④“若x－123是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意：《名师一号》P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) 《名师一号》P4 对点自测2(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意：《名师一号》P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．例2．(1)(补充)（2011山东文5)已知a，b，c∈R，命题“若a b c++=3，则222a b c ++≥3”的否命题．．．是（） (A)若a+b+c≠3，则222a b c ++<3(B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a+b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否命题是：“若p ⌝，则q ⌝”例2．(2)(补充)命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否定．．是：________【答案】若0xy =，则0x ≠且0y ≠ 【解析】命题的否定只改变命题的结论。

2018届高考数学黄金考点精析精训考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件文

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件【考点剖析】1.最新考试说明：（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.命题方向预测：（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识. 3.课本结论总结：（1）命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系②四种命题的真假关系逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系. (3)充分条件与必要条件①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件 4.名师二级结论：(1) 常见结论的否定形式(2)充要条件判定方法①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若BA ，则p 是q 必要不充分条件；若A=B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.③利用原命题与逆命题的真假判断若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件 5.课本经典习题：(1)新课标A 版第8 页习题1.1A 组，第2题【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.(2)新课标A 版第12页习题1.2A 组第3题【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性. 6.考点交汇展示：(1)与集合交汇例1设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】由题意得，AB A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C. (2)与不等式交汇例2【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B（3）与函数交汇例3【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. （4）与平面向量结合例4设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．（5）与复数交汇例5已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】(a +bi )2＝a 2－b 2＋2abi ＝2i ，于是a 2－b 2＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A .（6）与立体几何交汇例6【2016高考山东卷】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是 “平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A(7)与数列交汇例7 【2016高考天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. (8)与平面解析几何交汇例8【浙江省温州市2017届高三8月模拟】直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：(2)10m x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】12l l ⊥⇔(2)00m m m m -+=⇒=或1m =，故是充分不必要条件，故选A.【考点分类】热点一命题及其关系1.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）（A ）真，假，真（B ）假，假，真（C ）真，真，假（D ）假，假，假【答案】B【解析】设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B .2.【2017北京卷】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法规律】1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。

2018年高考数学总复习高考达标检测(二)命题及其关系充分条件与必要条件理

高考达标检测（二）命题及其关系充分条件与必要条件一、选择题1．(2017·菏泽一中模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：选D 命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”．2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．(2016·山西太原一模)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件若α≠3，但α＝－3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件．法二：綈p ：cos α＝12，綈q ：α＝π3，则有綈p ⇒/綈q ，綈q ⇒綈p ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p 是q 的充分不必要条件．4．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选A p ：|x |≤2⇔－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.5．(2017·嘉兴质检)命题“对任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1 解析：选B 若“对任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题，则有a ≥(x 2)max ，其中x ∈[1,2]，所以a ≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B.6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝ {(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然CD ，所以B A .于是“x ≠y ”是 “cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2017·南昌调研)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推出tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x ＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：210．(2017·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x≥2； ②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞)12．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件．答案：充要三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题． 14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。