二次根式
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式和立方根式
二次根式和立方根式二次根式和立方根式是数学中常见的一类特殊运算符号，用于表示对一个数进行平方根和立方根运算。
在数学中，它们有着重要的应用和意义。
本文将详细介绍二次根式和立方根式的定义、性质和运算规则。
一、二次根式二次根式是对一个数进行平方根运算的表示形式。
对于一个非负实数a，它的平方根被记为√a，读作"根号a"。
根号a是一个非负实数b，满足b的平方等于a。
即b^2 = a。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
√16 = 4，因为4的平方等于16。
根号0 = 0，因为0的平方等于0。
根号2是一个无理数，因为不存在有理数的平方等于2。
二次根式具有以下性质和运算规则：1. 二次根式与指数运算的关系：√a = a^（1/2）。
例如，√4 = 4^(1/2) = 2。
2. 二次根式的运算法则：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
c) 二次根式的化简：对于任意非负实数a和b，若a > b，则√(a +b) ≠ √a + √b。
二、立方根式立方根式是对一个数进行立方根运算的表示形式。
对于一个实数a，它的立方根被记为³√a，读作"立方根a"。
³√a是一个实数b，满足b的立方等于a。
即b^3 = a。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
³√27 = 3，因为3的立方等于27。
³√(-1) = -1，因为-1的立方等于-1。
立方根式具有以下性质和运算规则：1. 立方根式与指数运算的关系：³√a = a^（1/3）。
例如，³√8 =8^(1/3) = 2。
2. 立方根式的运算法则：a) 立方根式的乘法：³√a * ³√b = ³√(a * b)。
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
二次根式的基本概念
二次根式的基本概念
二次根式是指一个数的平方根形式表示的数，一般形式为√a，其中a为非负实数，称为被开方数。
二次根式中的根号√表示平方根，它是求平方根的数学符号。
二次根式的基本概念包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
2. 被开方数：二次根式中的a被称为被开方数，它表示要进行开方的数。
3. 平方根：二次根式中的√表示平方根，它代表被开方数的非负平方根，即√a的平方等于a。
4. 化简：二次根式的化简是指将二次根式表示为最简形式，即去除根号下的平方因子，并将不能再提取平方根的因子提取出来。
5. 运算规则：二次根式的运算遵循一些规则，如同底数相同就可以直接合并，当两个二次根式相互乘除时，可以将根号下的因子相乘或相除。
二次根式在数学中经常出现，它具有广泛的应用，例如在平面几何中用于求解长度、面积等问题，在代数中用于求解方程、求解二次函数的根等。
掌握二次根式的基本概念能够帮助我们更好地理解和应用相关的数学知识。
二次根式 公式
二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到平方根和根式的运算。
二次根式的一般形式为：
ax2+bx+c其中a,b,c是常数，且a=0。
为了简化二次根式，我们通常会尝试将其转化为最简形式。
这通常涉及到完成平方或使用公式来化简。
1. 完成平方
如果二次根式可以写成完全平方的形式，那么我们可以直接开方。
例如：
x2=∣x∣
2. 使用公式
对于一般的二次根式，我们可以使用公式来化简。
例如，对于形如ax2+bx+c的二次根式，如果b2−4ac≥0，则可以使用求根公式来化简。
求根公式为：
x=2a−b±b2−4ac
3. 二次根式的乘法
当需要计算两个二次根式的乘积时，可以使用以下公式：
a×b=ab
4. 二次根式的除法
当需要计算两个二次根式的商时，可以使用以下公式：
ba=ba
5. 二次根式的加减
对于二次根式的加减，首先需要判断它们是否可以合并。
如果根号下的表达式相同，那么可以进行合并。
例如：
2+2=22
6. 二次根式的有理化
有时，为了简化二次根式，我们可能需要将其有理化。
这通常涉及到乘以共轭式。
例如：21=21×22=22
以上是关于二次根式的一些基本公式和化简方法。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的公式和方法进行化简和计算。
二次根式
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
满足两个条件：一、有二次根号；二、被开方数是非负实数 2.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a23.二次根式的四则运算：（1）乘法：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） （2）除法：ba b a=（a ≥0，b ≥0） 若除得的商的被开方数中含有完全平方数（式），应对其进行化简成最简二次根式，即1、被开方数中不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）加减：先将二次根式化成最简二次根式，对被开方数相同的的二次根式进行相加减（合并同类项）4、常见考点：求平方根、立方根；二次根式的定义；二次根式的性质；二次根式的运算法则；二次根式的化简；二次根式的运算考点1： 平方根、立方根 相关知识：1．任何非负数都有平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a 的平方根表示为a ±；0的平方根为0；负数没有平方根.2．非负数a 的非负平方根叫做算术平方根，表示为a .3．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0. 任何数a 的立方根表示为3a .相关试题1. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）4 的平方根是（ ） A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C2 .（2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.－7 C.±7 D.±7 【答案】Ca （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；3 （2011山东日照，1，3分）(－2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）－2 （D ）2 【答案】A4. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】45. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】36. (2011江苏南京，1，2分)9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A7 .（2011江苏南通，3，3分）计算327的结果是 A ．±33 B. 33 C. ±3 D. 3【答案】D.8. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】29 .（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（ ）A ． 2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．233=± 【答案】B10. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．【答案】2考点2： 二次根式的定义相关知识：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
二次根式性质
二次根式性质
一般地，形如√a的代数式叫做二次根式。
接下来分享二次根式性质 1及运算法则。
二次根式性质 1
1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a 的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为﹣√a，；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零。
3.还有两个负数的平方根。
它们是共轭的。
4.有理根:如果两个有根的代数表达式的乘积不再含有根，那么这两个代数表达式就是互有理根，也称为互有理因子。
二次根式性质 2
1.齐次二次根:一般来说，几个二次根转化为最简单的二次根后，如果它们的根数相同，则这些二次根称为齐次二次根。
2.合并相似二次根:将几个相似二次根合并成一个二次根称为合并相似二次根。
3.加减二次根的时候，可以先把二次根变成最简单的二次根，然后把根数相同的合并起来。
二次根式性质 3
二次方根的乘除，根号的乘除，同根索引，然后结果变成最简单的二次方根。
1.乘法:两个数的算术平方根的乘积等于这两个阶乘乘积的算术平方根。
2.除法:两个数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根。
二次根式性质 4
1.把带分数或小数化成假分数；
2.把开方数分解成质因数或分解因式；
3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
5.约分。
二次根式
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以 为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请 求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第 例4 无论x取任何实数，代数式 取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？ （1）当x取什么实数时， （2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减： 先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为 满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形 状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
初中数学二次根式
初中数学二次根式一、什么是二次根式二次根式是指含有根号的代数式，其中根号下面是不为零的一次或二次整式。
二次根式的一般形式为√a(x²+bx+c)，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、二次根式的化简1. 同底合并：当两个二次根式的根号里相同部分相同时，可以进行合并。
例如√5+√5=2√5。
2. 有理化分母：分母含有二次根式时，一般需要将其有理化。
有理化的方法为将分母乘以其共轭形式。
例如将1/√3有理化分母得到√3/3。
3. 完全平方式：对于有理数a，可以通过开平方将其转化为二次根式。
例如√(a²)=|a|。
三、二次根式的运算1. 加减运算：类似于多项式的加减法，将同类项相加或相减即可。
例如√2+√3=√2+√3。
2. 乘法运算：使用分配律展开运算，并注意化简合并同类项。
例如(√2+1)(√2+2)=2+√2+2√2+2=4+3√2。
3. 除法运算：利用有理化分母的方法，将被除数的分母有理化，并进行分子的乘法运算。
例如(√2+1)/(√2-1)=(√2+1)(√2+1)/(√2-1)(√2+1)=(3+√2)/(1).四、二次根式的简化1. 化简为最简式：当二次根式的根号里不存在平方数时，可以视为最简式，无法进行进一步化简。
2. 提取公因式：若能在二次根式内提取出公因式，则可以简化二次根式的形式。
例如√18=√(9*2)=3√2。
五、二次根式在实际问题中的应用1. 几何应用：二次根式可以用来表示几何图形的边长、面积、体积等。
例如直角三角形斜边的长度可以表示为√(a²+b²)。
2. 物理应用：二次根式可以用来表示物体运动的速度、加速度等相关量。
例如自由落体物体在t秒内下降的距离可以表示为1/2gt²，其中g为重力加速度。
通过本文，我们了解了二次根式的概念、化简方法、运算规则和简化原则，并探讨了其在几何和物理中的应用。
掌握二次根式的基本知识，有助于我们在数学学习和实际问题中的应用。
二次根式讲解大全
【知识回顾】1。
二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3。
同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a)2=a（a≥0）；（2）5。
二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除),将被开方数相乘(除),所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．≥0，b≥0）; =(b≥0，a〉0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315;(2）22)-(x例3、在根式1））A．1）2）B．3）4) C．1）3）D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxya（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例5、 （2009龙岩)已知数a ，b ，若2()a b -=b －a,则 ( )A 。
a>b B. a<b C. a ≥b D. a ≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 （ ） A 。
； B 。
－; C 。
－； D 。
例2. 把（a －b)错误!化成最简二次根式例3、计算:例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++,其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例。
初中数学二次根式
初中数学二次根式二次根式二次根式是指满足一个数的平方等于被开方数的数，即x²=a，x称为a的平方根或二次平根。
被开方数a称为二次根式。
最简二次根式指被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，且被开方数因数是整数，因式是整式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
判断方法是：根指数都是2，先化成最简二次根式，被开方数相同。
二次根式的乘法公式是ab=a×b（a≥0，b≥0），除法公式是a/√b=a/√b×√b/√b=a√b/b。
二次根式的重要性质是a²=a，其中a为任意实数。
分母有理化的公式是1/(a+b)=((a-b)/(a+b))×(1/(a-b))=(a-b)/(a²-b²)。
例1中，最简二次根式是23x³。
3π，其他不是最简二次根式。
例2中，化简后的二次根式分别为2√3、4√3、2√7、4√3、5√3、5√3、10√2.例3中，将2m+3和-66m-7化成最简二次根式，得到2√m+3和-2√66m+7，因为它们是同类二次根式，所以2=m+3，-66m-7=-66m-7，解得m=-1.例4中，化简后的二次根式分别为10√2、6√2.例5中，计算结果分别为676、8√3、和.例6中，计算结果分别为529和121.例7中，设宽为x，则长为2x，周长为2(x+2x)=6x，面积为2x×x=2x²，解得x=11，周长为66m。
课堂练：1、和3是同类二次根式的有①45和③12，所以选B。
2、m的平方根是±8，所以m=±8²=64或m=±(-8)²=64，代入m=3n³-17中，解得n=2或n=-2，所以选A。
二次根式知识点整理
二次根式知识点整理
二次根式是高中数学中重要的内容之一。
下面是二次根式的一些知识点整理：
1. 二次根式的定义：形如√a的表示形式，其中a是一个非负实数，被称为二次根式的被开方数。
2. 约束条件：被开方数a必须是非负实数，即a ≥ 0，否则二次根式无意义。
3. 二次根式的化简：当被开方数具备某些特殊性质时，可以对二次根式进行化简。
√4 = 2，√(a^2) = |a|，其中a是任意实数。
4. 二次根式的运算：二次根式可以进行加减乘除的运算。
√a + √b = √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)，(√a) * (√b) = √(a * b)，√a / √b = √(a / b) (当b ≠ 0时)。
6. 二次根式的乘法公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2。
这个公式在二次根式的乘法中非常有用。
7. 二次根式的分母有理化：当二次根式出现在分母中时，需要进行有理化处理。
分
母为√a的有理化形式是√a / (√a * (√a)) =√a / a = 1 / √a。
8. 利用二次根式进行方程求解：二次根式可以用来解决一些特殊的方程，特别是含
有根号的一元二次方程。
9. 二次根式的应用：二次根式在物理学、几何学、工程学等领域中有广泛的应用，
如计算物体的体积、计算三角形的面积等。
以上是关于二次根式的一些基本知识点整理，希望对您有帮助。
二次根式计算法则
二次根式计算法则
一、二次根式的定义
形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式的性质
1. (√(a))^2=a(a≥0)
- 例如(√(3))^2=3。
2. √(a^2)=| a|=cases(a(a≥0) -a(a < 0))
- 当a = 5时，√(5^2)=|5| = 5；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。
三、二次根式的乘法法则
√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)
例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)
四、二次根式的除法法则
dfrac{√(a)}{√(b)}=√(dfrac{a){b}}(a≥0,b > 0)
例如：dfrac{√(8)}{√(2)}=√(dfrac{8){2}}=√(4) = 2
五、二次根式的加减法则
1. 先将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
- 例如√(12)=√(4×3)=2√(3)（这里2√(3)就是最简二次根式）。
2. 然后合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
- 例如3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。
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第1课时 21.1二次根式（1）一、教学目标1.知识与技能了解二次根式的概念； 2.过程与方法掌握二次根式的基本性质. 3.情感态度与价值观经历分组讨论，以及交流、归纳、总结，培养合作学习的意识，体会比较分析、分类讨论的数学思想. 二、重难点重点：理解二次根式的概念和性质难点：二次根式有意义时，字母的取值范围。
三、教学过程（一）提纲导学 1.复习，导入新课我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a ，现在请同学们思考并回答下面的问题：a 表示什么？ a 需要满足什么条件？为什么？2、自学导纲（1）什么叫二次根式？怎样判断一个式子是否是二次根式？ （2）二次根式有意义的条件？无意义的条件？（3）二次根式有哪些性质？2)(a 和2a 是一样的吗？（4）要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件：(1)3+x ； (2)52-x . （5）计算：(1) 2)5( (2) 196 (3) 121 (4) 27 (5) 2)8(-3、自学设疑学生自学课本，思考并书面简要回答导纲中的问题，对于有疑问的地方做好标记。
（二）合作互动 1、小组讨论小组交流，对于自学过程中有疑问的问题，小组共同探讨解决。
答案：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.二次根式必须具备以下特点：(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于零.问题2：二次根式有意义的条件？无意义的条件？答案：二次根式有意义的条件:被开方数是非负数；无意义的条件：被开方数小于零。
问题3：二次根式有哪些性质？2)(a 和2a 是一样的吗？答案：二次根式的性质：2)(a ＝a (a ≥0)；⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a问题4.5（略） 3、质疑问难鼓励学生勇于提出疑问，其他同学对提出的疑问进行解答，同时老师强调本节课的重点难点。
（三）、导学归纳 1.什么叫二次根式？你能举例说明吗?2.二次根式有哪两个形式上的特点？ (1)有二次根号；(2)被开方数不能取负值. 3．二次根式有哪些性质？4.本节课的学习知识上有何收获？体现什么数学方法？你还有什么疑问？ （四）拓展训练 1、拓展延伸 （1）计算： (1)(8)2；(2)(9)2； (3)81； (4)100.(5) 2)5( (6) 196 (7) 27 (8) 2)8(-（2）要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件： (1)3+x ； (2)52-x .2、生编题自练 五、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间和右边用于学生展示和教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书导学提纲。
六、教学反思第2课时 21.2二次根式的乘法（一）教学目标 1知识与技能使学生掌握二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算. 2过程与方法使学生掌握积的算术平方根的性质,会根据这一性质熟练地化简二次根式. 3情感态度与价值观培养学生合情推理能力. （二）重难点二次根式的乘法运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘法运算;积的算术平方根的性质,会根据这一性质熟练地化简二次根式. （三）教学过程（一）提纲导学 1.复习，导入新课什么叫做二次根式？下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 2234)6(53)5()4(27)3(130)2(160)1(a a a +-二次根式有哪些性质？计算下列各题：)5()7()5.0(222)4()3(144)2()1(-2、自学导纲（1）试一试 计算：（1）=⨯254 = =⨯254 = （2）=⨯916 = =⨯916 =提问：观察以上计算结果，你能发现什么？)916916,254254(⨯=⨯⨯=⨯ （2）思考 ?3232是否相等与⨯⨯提问：（1）你将用什么方法计算？（2）通过计算，你发现了什么？是否与前面试一试的结果一样？ （3）试用字母概括你得到的结论。
（4）计算：3221)2(67)1(⨯⨯ (3)34)4(12a3、自学设疑学生自学课本，思考并书面简要回答导纲中的问题，对于有疑问的地方做好标记。
（二）合作互动 1、小组讨论小组交流，对于自学过程中有疑问的问题，小组共同探讨解决。
问题3二次根式的乘法运算法则，即b a b a ··=(a ≥0,b ≥0) 问题4解：（1）426767=⨯=⨯ （2）41632213221==⨯=⨯说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如（2）结果不要写成16,而应化简成4. 等式b a b a ··=(a ≥0,b ≥0),也可以写成b a ab ·=(a ≥0,b ≥0) 利用它可以进行二次根式的化简,例如:b a b a b a b a ··)(·22244===.(3)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用积的算术平方根的性质,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简;(4)在化简时,一般先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替,移到根号外,也就是开出方来.3、质疑问难鼓励学生勇于提出疑问，其他同学对提出的疑问进行解答，同时老师强调本节课的重点难点。
（三）导学归纳这节课我们学习了以下知识：1． 二次根式的乘法运算法则，即b a b a ..=(a ≥0,b ≥0) (1)2．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即b a ab ·=(a ≥0,b ≥0)…（2） 要特别注意，以上（1）、（2）中，a 、b 必须都是非负数，如果a 、b 中出现了负数，等式就不成立。
想一想，??9·4)9)(4(为什么成立吗--=--３应用（1）、（2）进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质)0(2≥=a a a ，加深了对非负数a 的算术平方根的性质的认识。
（四）拓展训练 1、拓展延伸（1） 计算下列各式，并将所得结果化简： a a 15·3)2(6·3)1( （2）课本第七页 ：做一做 （3）化简：444bc a2、生编题自练 五、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间和右边用于学生展示和教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书导学提纲。
六、教学反思第3课时 21.2二次根式的除法一 教学目标 1. 知识与技能使学生掌握二次根式的除法运算法则,会用它进行简单的二次根式的除法运算. 2. 过程与方法使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式. 3. 情感态度与价值观经历探索二次根式的除法运算法则过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯. 二 重点难点1. 重点:二次根式的除法运算法则以及用它进行简单的二次根式的除法运算;化简二次根式;探索二次根式的除法运算法则过程. 2. 难点:探求二次根式除法运算法则. 三 教学过程（一）提纲导学1. 创设情境，导入新课问题1 上一节课,我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题2 是否也有二次根式的除法法则呢? 问题3 两个二次根式相除,怎样进行呢? 2、自学导纲（1）二次根式的除法中两个二次根式相除和商的算术平方根的运算法则是什么？用公式怎样表示？（2）什么是最简二次根式？ （3）计算(1)324)2(;315 （4）化简:21(要求分母不带根号)3、自学设疑学生自学课本，思考并书面简要回答导纲中的问题，对于有疑问的地方做好标记。
（二）合作互动 1、小组讨论小组交流，对于自学过程中有疑问的问题，小组共同探讨解决。
提问:（1）除了课本中的解答外,是否还有其它解法?如果有,请给出另外解法. (有另外解法.如)5353)3(5·93·33·153152==== （2）哪种方法更简便?（3）化简:21(要求分母不带根号)解:22222·22·121212==== 这说明:二次根式的化简要求满足以下两条:(1) 被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方数不含分母”.(2) 被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.把一个二次根式化简的具体方法是:化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽的因数或因式用它的算术平根代替后移到根号外面.3、质疑问难鼓励学生勇于提出疑问，其他同学对提出的疑问进行解答，同时老师强调本节课的重点难点。
（三）导学归纳本节课，我们学习了二次根式的除法法则,即ba ba =(a ≥0,b>0),并利用它进行计算和化简.化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
具体办法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
化简的具体方法可用于计算。
（四）拓展训练 1、拓展延伸(1)判断:(对的打√,错的打×)a )(21123)(9494=--=--b(2)填空:a 若等式55-=-x x x x成立,则x 的取值范围是 . b 等式33+=+a a a a 成立的条件是 .(3)化简:(1)208)2(51（3 （4 （5 2、生编题自练五、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间和右边用于学生展示和教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书导学提纲。
六、教学反思第4课时 21.3二次根式的加减法运算（一）一 教学目标 1．知识与技能理解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。
2．过程与方法提供问题情境，激发学生的求知欲望，培养学生学习数学的兴趣。
3．情感态度与价值观主动探索，勇于发现，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识和能力。
二 教学重点，难点重点：同类二次根式的识别及合并。
难点：二次根式的化简并合并。
三 教学方法合作交流，多媒体辅助教学 四 教学过程（一）提纲导学 1.复习，导入新课二次根式25x 2 好，我请一个同学试试看。
=2==2= 大家看一下，在上面的这些根式中，有些根式之间有什么联系，或者说有什么共同之处。
可以相互讨论一下。
它们之间有什么关系？ 2、自学导纲(1) 上述几个二次根式化简后，被开方数相同。
我们把这样的几个二次根式叫做同类二次根式，哪个同学能给同类二次根式下个定义？试试看(2)二次根式加减运算的实质是什么？怎样进行二次根式加减？ （3）下列各式中，哪些是同类二次根式？3112a 75,,,3,8ab ,6b.502732b（4）计算a 3322323--+ b 12188++3、自学设疑学生自学课本，思考并书面简要回答导纲中的问题，对于有疑问的地方做好标记。