第4章扩散方程的数值解法及其应用
扩散方程的数值差分解法
扩散方程的数值差分解法作者：刘浩庭来源：《价值工程》2019年第29期摘要：扩散现象是其初始密度不均匀分布引起的，它会对物质粒子的分布状态产生影响，最终达到物质在空间均匀分布状态。
本研究通过分离变量法对给定条件的粒子浓度在一维空间分布下的扩散现象的解析解进行计算，同时结合使用欧拉法利用计算物理的方法对扩散过程进行了数值模拟。
通过对比理论数据与模拟实验数据对等离子体一维扩散现象进行阐释与讨论。
Abstract： The diffusion phenomenon is caused by the difference of the initial density. It affects the motion of the particles and finally make all the particles into the uniformly distribution. In this study， the analytical solution of the diffusion phenomenon of a given particle concentration in a one-dimensional space is calculated by using the method of separation of variables， and the diffusion process is simulated numerically by using the computational physics method combined with Euler's polygonal arc method. The one-dimensional plasma diffusion phenomenon is explained by comparing the theoretical data with the simulated experimental data.關键词：一维扩散;分离变量法;欧拉法Key words： one-dimensional diffusion;the method of separation of variables;Euler's polygonal arc method中图分类号：O122.2; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 文章编号：1006-4311（2019）29-0272-041; 简介受控热核聚变是受世人瞩目的前沿重要课题，其目的便是探索清洁可持续的新能源。
热流问题的数值计算
整理，得
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
rP r aE (x) e / e
rP r aW (x) w / w
0 P
rn x aN (y ) n / n
rs x aS (y ) s / s
( c) P V a t
0 0 0 a P a E aW a N a S a P S P V b S C V a P TP
aE , aW , aS , aN 都是相邻两节点间导热热阻的倒
0 a 数， 具有热惯性意义， P热惯性越大，上一
时层的温度对下一时层的影响越大。
4.3 源项及边界条件的处理
离散方程为：
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
r aE re ( ) e / e
r aW rw ( ) w / w
0 P
rn aN (r ) n / n
rs aS (r ) s / s
( c) P V a V 0.5(rn rs )r t
经整理，得
dT dT e Ae ( ) e w Aw ( ) w ( S C S p TP ) AP(3) x 0 dx dx
令
Ae e aE (x) e
Aw w aW (x) w
b S C AP x 则式（3）变为：
a P a E aW S P AP x
因为离散方程都可表示为
a PTP anbTnb b
aP anb S P V
线性代数方程迭代求解收敛的一个充分必 要条件是对角占优，即：
一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式
一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式一维非稳态对流-扩散方程描述了在一维空间中同时存在对流和扩散过程的物理现象。
这个方程在很多工程和科学领域都有广泛的应用，如热传导、质量传输和流体力学等。
对方程进行数值求解可以得到物理现象的定量解，进而对系统行为进行预测和优化。
对于一维非稳态对流-扩散方程的数值解法中，中心差分格式是一种常用的方法。
中心差分格式是基于中心差分近似的方法，该方法精确地处理了对流和扩散效应，并适用于广泛的问题。
其中，隐式格式是一种特殊的中心差分格式，它在处理高度非稳态情况下的数值解具有优势。
在一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式中，我们假设空间网格的节点为x_i，时间步长为Δt。
方程的解u(x,t)在网格节点x_i处的近似值为u_i^n，其中n表示时间步数。
根据对流和扩散项的中心差分近似，方程可以离散为如下的格式：(u_i^{n+1}-u_i^n)/Δt=α(u_{i-1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i+1}^{n+1})/(Δx^2)-β(u_{i+1}^{n+1}-u_{i-1}^{n+1})/(2Δx)其中，α表示扩散系数，β表示对流系数，Δx表示空间步长。
在隐式中心差分格式中，时间步n+1的解u_i^{n+1}是未知的，我们将其视为待求解的值。
通过将方程的右侧扩散和对流项全部取为n+1步的值，从而得到一个关于u_i^{n+1}的线性方程。
因此，我们可以得到如下的表达式：u_i^{n+1}=(αΔt/(Δx^2)-βΔt/(2Δx))u_{i-1}^{n+1}+(1-2αΔt/(Δx^2))u_i^{n+1}+(αΔt/(Δx^2)+βΔt/(2Δx))u_{i+1}^{n+ 1}这个方程可以用矩阵的形式表示为：AU^{n+1}=BU^n其中，U^{n+1}是一个列向量，包含了所有网格节点i处的解u_i^{n+1}；U^n是一个列向量，包含了所有网格节点i处的解u_i^n；A和B是相关系数矩阵，具体的表达式为：A=[1-2αΔt/(Δx^2),αΔt/(Δx^2)+βΔt/(2Δx),0, 0[αΔt/(Δx^2)-βΔt/(2Δx),1-2αΔt/(Δx^2),αΔt/(Δx^2)+βΔt/(2Δx), 0[0,αΔt/(Δx^2)-βΔt/(2Δx),1-2αΔt/(Δx^2), 0...[0,...,0,αΔt/(Δx^2)-βΔt/(2Δx),1-2αΔt/(Δx^2)]B = identity matrix通过求解这个线性方程组，就可以得到隐式中心差分格式下的数值解。
上海交通大学 材料科学基础ppt ch4
• 考虑三维情况：则扩 ∂ρ ∂2 ρ ∂2 ρ ∂2 ρ 散第二定律的普遍式 = D( 2 + 2 + 2 ) ∂t ∂x ∂y ∂z 为：
上述扩散均是由于浓度梯度引起的，通常称为 上述扩散均是由于浓度梯度引起的， 化学扩散。 化学扩散。 假设扩散是由于热振动而产生的称为自扩散， 假设扩散是由于热振动而产生的称为自扩散， 自扩散系数的表达式为： 自扩散系数的表达式为：
重点与难点
概述
扩散(diffusion) 扩散 (diffusion) (diffusion)——原子或分子的迁移现象 原子或分子的迁移现象 称为扩散。 称为扩散。 物质的迁移可以通过对流和扩散两种方式进行， 物质的迁移可以通过对流和扩散两种方式进行， 气体和液体中物质的迁移一般是通过对流和 扩散来实现的。 扩散来实现的。 扩散的本质是原子依靠热运动从一个位置迁移 到另一个位置。 到另一个位置。 扩散是固体中原子迁移的唯一方式。 扩散是固体中原子迁移的唯一方式。
分析：碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时， 分析：碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时，圆 筒内各处碳浓度不再随时间而变化， 筒内各处碳浓度不再随时间而变化，为稳态扩散 单位面积中碳流量，即扩散通量： 解：单位面积中碳流量，即扩散通量： J=q/（At）=q/（ πrlt） J=q/（At）=q/（2πrlt） 圆筒总面积， 园筒半径及长度， A ： 圆筒总面积 ， r 及 l ： 园筒半径及长度 ， q ： 通过 圆筒的碳量 根据Fick第一定律又有： Fick第一定律又有 根据Fick第一定律又有： J=q/（At）=q/（ πrlt） J=q/（At）=q/（2πrlt） /dr） =-D（ dρ/dr） 解得： πlt） /dlnr） 解得： q =-D （2πlt） （ dρ/dlnr） 式中， 可在实验中测得， 式中 ， q 、 l 、 t 可在实验中测得 ， 只要测出碳 含量沿筒径方向分布（ 通过剥层法测出不同r 含量沿筒径方向分布 （ 通过剥层法测出不同 r 处的 碳含量） , 则扩散系数D 可由碳的质量浓度ρ 对 lnr 碳含量 ） 则扩散系数 D 可由碳的质量浓度 ρ 作图求得。作图结果见P132－ 作图求得。作图结果见P132－4.1.
第4章-均匀反应堆临界理论2014
由于初始通量密度分布0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即
(x) AcosBx
由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(±a/2)=0
因此要求
Bn
n
a
Acos Ba 0 2
n 1,3,5,
或
Bn
(2n
1) a
n 1,2,3,
(4-10)
n (x)
An cosBn x
ka (r, t )
S0 (r, t)
D及 a是对中子能谱平均后的数值； 在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为 裂变中子是反应堆内中子的唯一来源
10
2.均匀裸堆的单群扩散方程的解
无外源无限平板反应堆单群扩散方程
1
( x, t )
t
D2 ( x, t )
a ( x, t )
均匀反应堆的临界理论
主讲：张竞宇
1
Contents
前言 均匀裸堆的单群扩散理论 有反射层反应堆的单群扩散理论 功率分布展平概念
2
一、前言
➢ 在上一章中我们讨论了中子在非增殖介质内扩散 的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步 将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限均 匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。 中心问题是讨论反应堆的临界。
• 当材料曲率大于几何曲率时，反应堆处于 什么状态？
26
例题
• 计算纯铀235金属球的临界尺寸。已知：
u235 19 g / cm3
Nu235 0.0481024 / cm3
f 1.40 b a 1.65 b s 6.8 b 2.6
27
解： f N f 0.0672 / cm
第四章热传导热问题的数值解法
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：
(参考资料)一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
《对流扩散方程》课件
环境科学
描述污染物在大气、水体等环境 介质中的扩散、输移和归宿。
在环境科学中，对流扩散方程用 于模拟污染物在大气、水体等环 境介质中的扩散、输移和归宿过
程。
在环境保护、污染治理等领域， 对流扩散方程具有重要的应用价
值。
化学反应动力学
描述化学反应在流体或固定床 反应器中的传递和反应过程。
在化学反应动力学中，对流 扩散方程用于模拟化学反应 在流体或固定床反应器中的
初始条件
指定在求解开始时刻的解的性质，如 常数、函数等。
03 对流扩散方程的应用
流体动力学
01
描述流体在运动状态下的物质传递和扩散现象。
02
在流体动力学中，对流扩散方程用于模拟流体中的物质传递过
程，如温度、浓度、速度等。
在航空航天、船舶、汽车等领域的流体动力学分析中，对流扩
03
散方程被广泛应用。
应用于多尺度问题
研究对流扩散方程在多尺度问题中的应用，如 微纳尺度流动、大气污染扩散等。
探索新的应用领域
将该方程应用于其他领域，如生物医学、环境科学等。
与其他领域的交叉研究
与流体动力学结合
研究对流扩散方程与流体动力学之间的相互 作用和影响，探索更深入的物理机制。
与偏微分方程理论的交叉
将对流扩散方程的研究与偏微分方程理论相 结合，推动数学理论的发展。
02
03
有限体积法
将连续的求解域离散化为有限个小的 体积，在每个体积上近似函数，将微 分方程转化为代方程进行求解。
有限差分法
向前差分法
将微分方程中的导数项用前一步的函数值近似代替，得到向前差 分方程。
向后差分法
将微分方程中的导数项用后一步的函数值近似代替，得到向后差 分方程。
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
对流扩散方程.
A对流扩散方程的求解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。
但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。
为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。
有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。
对流扩散方程的特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。
由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。
对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。
这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。
如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。
对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。
因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。
扩散方程的数值解法
扩散方程的应用例子
• 多孔介质渗流
• 二维无旋流
• 充分发展的管流 • 电磁场理论
4.1 一维导热
• • • • • • 1. 一维导热问题的通用控制方程 2. 控制容积积分法离散 3. 控制容积界面当量导热系数的确定方法 4. 源项的线化处理 5. 边界条件的引入 6. 线化代数方程组的三对角阵解法
源项
0 0 a (1 f ) a (1 f ) a (1 f ) S A ( x ) T E W P P P P SC AP ( x ) P P
• 显式
aPTP a T a T b
0 E E 0 W W
• 全隐式
aPTP aETE aW TW b
• C-N格式
aE aW aPTP TE TW b 2 2
区别在于系数的表达式不同
稳态一维导热情况：没有时间积分
• 整理为：
aPTP aETE aW TW b
• 其中：
aP aE aW SP AP (x)P , b SC AP (x) P
源项
4.1.3 控制容积界面当量导热系数的 确定方法
木头
铜
(1) 加权平均法：
( x )e ( x )e e P E ( x )e ( x )e
(2) 调和平均法
TE TP 整体 qe ( x )e
e
TE TP qe ( x )e ( x ) e
w e t t
T dx
t
t t
t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
对流扩散方程的数值解法
Numerical Methods for Convection-Dominated Diffusion Problems Based on Combining the Method of Characteristics with Finite Element or Finite Difference ProceduresAuthor(s): Jim Douglas, Jr. and Thomas F. RussellSource: SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 19, No. 5 (Oct., 1982), pp. 871-885 Published by: Society for Industrial and Applied MathematicsStable URL: /stable/2156980Accessed: 27/04/2010 00:10Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of JSTOR's Terms and Conditions of Use, available at/page/info/about/policies/terms.jsp. JSTOR's Terms and Conditions of Use provides, in part, that unless you have obtained prior permission, you may not download an entire issue of a journal or multiple copies of articles, and you may use content in the JSTOR archive only for your personal, non-commercial use.Please contact the publisher regarding any further use of this work. Publisher contact information may be obtained at/action/showPublisher?publisherCode=siam.Each copy of any part of a JSTOR transmission must contain the same copyright notice that appears on the screen or printed page of such transmission.JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@.Society for Industrial and Applied Mathematics is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extendaccess to SIAM Journal on Numerical Analysis.。
第4章 扩散方程的数值解法及其应用
，
x 为网格间距
( x)e 设 Lx ( x) 为节点间距比 w
要获得由物理意义的解，各影响系数 均需大于等于零。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意
义的解；推荐使用全隐格式。
22
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
1、三种二维正交坐标系中的全隐离散方程
（1）直角坐标系
（a）二维非稳态导热方程：
（b）控制容积积分： 空间型线与一维问题相同；
时间型线为全隐格式；
界面上热流密度均匀。
4.3.1 非常数源项的线性化处理 4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
4.3.3 附加源项法
4.3.4 两种处理方法的比较
30
4.3.1 非常数源项的线性化处理
1、线性化方法
源项是一个广义量，其代表不能包括在控制方程的非 稳态项、对流项与扩散项中的所有其它各项之和。 线性化表达式：对任意控制容积P其源项表示为：
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E 0 TP0 a P (1 f )aE (1 f )aW (1 f ) S P AP x
SC AP x
0.5 f 1
0 f 0.5
，初值问题格式绝对稳定；
，格式条件稳定：
at 1 2 x 2(1 2 f )
5、一维非稳态导热空间项时间取值的三种常见格式
（1）显式，
f 0
； ；
（2）全隐式，
f 1
（3）C-N格式， f
0.5 ；
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2 T 2TP TW TP TP0 a E t x 2
第4章 扩散方程数值解法
e
E N-1 N
第4章 扩散方程的数值解法及应用
8
aPTP aETE aW TW b
aE Ae ( x) / (d x e P (d x e E
从i=2到N-1，遍历所有控制容积，得线性代数方程组：
(
aW Aw ( x) / (d x w P (d x e W
aPP aEE aW W b
aE e Ae / (d x e , aW w Aw / (d x w
aP aW aE SP AP Dx , b Sc AP Dx
到此为止，只剩下界面物性λe，λw取值问题了。
2013-7-10 第4章 扩散方程的数值解法及应用 4
MODULE CASEDATA USE PARAM REAL H,D REAL*8 GAM(NI),SP(NI),SC(NI),AF(NI) END MODULE
SUBROUTINE GRID USE MESH ! ----------控制容积界面位置-----------DX=XL/(N-2.) ! 控制容积的宽度 XU(2)=0 ! The first CV面编号为2 DO I=3,N XU(I)=XU(I-1)+DX ENDDO !------- 节点坐标计算 -----------X(1)=XU(2) DO I=2,N-1 X(I)=0.5*(XU(I)+XU(I+1)) ENDDO X(N)=XU(N) END SUBROUTINE
2013-7-10
第4章 扩散方程的数值解法及应用
12
SUBROUTINE COEF USE COEFDATA; USE MESH; USE CASEDATA INTEGER P,E Real*8 gamw,afw,dltax_w,RE,AFE,DIFF,CV GAMW=GAM(1) Afw=AF(2) Dltax_W=X(2)-X(1) AW(2)=GAMW*Afw/Dltax_W ! 第1个内节点的西界面总传导系数 DO I=2,N-1 P=I ; E=P+1 Re=(XU(E)-X(P))/(GAM(P)+1.0e-30)+(X(E)-XU(E))/(GAM(E)+1.0e-30) ! 热阻 计算 DIFF=AF(E)/Re AE(P)=DIFF ; AW(E)=DIFF CV= 0.5* (XU(E)-XU(P)) * ( AF(P)+AF(E)) AP(P)=AE(P)+AW(P)-SP(P)*CV CON(P)=SC(P)*CV ENDDO END SUBROUTINE
第4章扩散方程的数值解法及其应用
T T T c S t x x y y
非稳态项：
s
n
e
t t
w t
T c dxdydt c P TP TP0 xy t
10/30
传热与流体流动的数值计算
14/30
传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式
三种坐标系的区别： x-y x-r -r 东西坐标 x x 南北坐标 y r r 通用离散形式：
引入尺度系数SX 引入名义半径R
aPTP aETE aW TW aNTN aSTS b
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续） 扩散项：
t
t t
n
s
t t n e T T dxdydt dxdydt t s w w x y y x e
TE TP TN TP TP TW TP TS e w s yt n xt x w y s x e y n
c P AP x T
t t P
T
t P
t t
t t t
TE TP TP TW w Aw e Ae dt x e x w AP SC SPTP xdt
t
采用全隐格式离散：
cP
TP a a
nb nb
4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。
T b
nb
S P V
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传热与流体流动的数值计算
对流扩散方程有限差分方式
对流扩散方程有限差分方式求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时刻导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就取得了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）假设令 haτλ=，2h vτμ=，那么（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式咱们看到，在新的时刻层1+n 上只包括了一个未知量1+n j u ，它能够由时刻层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分滑腻的解，将1+n j u ，n j u 1+，nj u 1-别离在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u unjn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++ )(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
扩散渗析的工作原理和应用
扩散渗析的工作原理和应用扩散渗析是一种在化学工程中常用的分离技术，通过利用物质在不同相中的扩散性质，实现两个相之间的物质传递。
它的工作原理可以用扩散速率方程和质量守恒方程来描述，其应用广泛，包括离子交换、分离纯化、生物技术等领域。
J=-D*(∂C/∂x)其中，J表示溶质的扩散通量，D是溶质在溶剂中的扩散系数，∂C/∂x表示溶液浓度梯度。
这个方程表示在溶解性和扩散性质相同的条件下，高浓度部分的溶质会自发地从高浓度区域向低浓度区域扩散。
在扩散渗析过程中，通常会有两个相，比如气-液、液-液或固-液。
通过不同相中的溶液与溶剂之间的自发扩散，可以实现物质的分离和传递。
扩散渗析的核心目标是在不同相中实现溶质的传递，使得溶质在两相中的浓度平衡，达到最终的分离目的。
1.离子交换：扩散渗析可以应用于离子交换过程中，用来分离目标离子。
通过合适的选择离子交换树脂和溶液条件，可以实现目标离子的富集和提取。
这在纯化水和工业废水处理中都非常常见。
2.萃取分离：扩散渗析也可以用于物理萃取分离过程中。
在两个不同液相之间，通过扩散渗析实现溶质的传递，并且可以基于差异性实现目标组分的分离纯化。
3.生物技术：扩散渗析在生物技术中也有广泛应用。
例如，在蛋白质纯化中，可以通过选择性吸附或吸附-解吸的方式实现目标蛋白质的纯化。
通过使用合适的吸附剂和调节相间的质量传递，可以实现蛋白质的富集和分离。
4.膜分离：扩散渗析也可以应用于膜分离过程中。
在膜分离中，通过选择合适的膜材料和膜结构，可以实现目标组分的选择性传输。
扩散渗析是膜分离过程中的一种重要手段，可以实现溶质在膜内部的传递，从而实现物质的分离。
总之，扩散渗析是一种重要的分离技术，通过利用物质在不同相中的扩散性质，实现两个相之间的物质传递。
其工作原理涉及质量守恒和扩散速率方程，应用广泛，包括离子交换、分离纯化、生物技术等领域。
在不同的应用中，我们可以根据具体情况选择适合的操作条件和方法，以实现目标物质的富集和分离。
第四章扩散方程的数值求解
非线性代数方程组的求解流程
给定节点上的温度值T* aPTP = aETE + aW TW + b
计算差分方程的系数和源项 a*PTP = a*ETE + a*WTW + b*
求解线性代数方程组，得到新的温度分布T
T → T*
Max T − T * < ε? Y 结束
N
例子
d2T d2x
+
f
(
x)
=
0
x
中国科学院研究生院2010年春季
3
T(K) T(K)
T(K) T(K)
x= 0 ∆x
1
i= 1 2 … i-1 i i+1 … ∆x=1/(n-1)
…
n
中国科学院研究生院2010年春季
500
prediction accuracy solution D-D,T(1)=300,T(100)=500,f(x)=600x
aPTP = aETE + a W TW + b
系数是待 求温度的 函数
线性代数方程组
线性代数 方程组的 求解方法
非线性代数方程组 线化
温度场
假定温度场
中国科学院研究生院2010年春季
非线性代数方程组的求解步骤
1、在所有各个网格节点上，猜测或估计或假定一个T值 2、用这些估计的T值去计算差分方程中的所有系数，从而差 分方程中的所有系数变成了已知量，而使差分方程变成了线性 方程。 3、求解上边的线性方程组，得到各离散点新T值。 4、用新得到的T值去计算差分方程中的所有系数，并返回第 3步求解系数发生了变化的线性差分方程。重复3、4这个过程， 直到重复计算不在引起T值任何有意义的变化为止。
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c
T t
x
T x
y
T y
S
非稳态项：
n s
e w
tt c T dxdydt c
t
t
P
TP TP0
xy
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
扩散项：
tt t
n s
e w
x
T x
dxdydt
t t t
n s
P
E
P
E
根据界面上当量导热系数的含义：
qe
TE TP
x
e
e
调和平均法：
x
exeຫໍສະໝຸດ xeePE
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传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法（续）
算术平均法：
e
P
xe x
E
xe x
e
e
调和平均法优于算术平均法。
导热系数发生阶跃变化时的处理方法：
(1)把阶跃面作为控制容积的分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）
TP TP0
e Ae
TE TP
x e
w Aw
TP TW
x w
SC SPTP APx
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传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）
e Ae
x e
w Aw
x w
c P
APx t
SP APx TP
e Ae
x
TE
w Aw
x
TW
cP
APx t
TP0
,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs r
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传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式
三种坐标系的区别：
x-y x-r -r 东西坐标 x x
南北坐标 y r r 通用离散形式：
引入尺度系数SX 引入名义半径R
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
其中：
aE
y
x
e
e
, aW
y
x
w
w
aN
x
y
n
n
,
aS
x
y
s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPxy
aP0
c xy P t
b aP0TP0 SCxy
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(2)圆柱轴对称坐标系
c T
t
x
T x
1 r
r
传热与流体流动的数值计算
第4章 扩散方程的数值解法 及其应用
2009年3月6日
1/30
传热与流体流动的数值计算
§4.1 一维导热问题
一、一维导热问题的通用控制方程
1
Ax
d dx
A
x
dT dx
S
0
坐标系 直角 圆柱 球
空间变量x x r r
面积因子A(x) 1 r r2
2/30
传热与流体流动的数值计算
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
(3)极坐标系
c T
t
1 r
r
r
T r
1 r
r
T
S
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
re
r
e
e
, aW
r
rw
w
w
aN
rn
r n
n
,
aS
rs
r s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPV
一、一维导热问题的通用控制方程（续）
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传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式
假设： S SC SPTP（源项线性化）
1
Ax
d dx
A x
dT dx
SC
SPTP
0
e w
d dx
A
x
dT dx
dx
e w
SC
SPTP
A x dx
0
e Ae
dT dx
e
w Aw
线性化处理比假定为常数更合理。
2、线性化处理是建立代数方程所必须的。
3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP<0。
aP anb SPV
4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。
TP
anbTnb b anb SPV
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传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
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传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）
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传热与流体流动的数值计算
§4.3 源项及边界条件的处理
一、非常数源项的线性化处理
S SC SPTP
说明：1、当源项为未知量的函数时，
SC
APx
e
w
令： 得：
aP0
c P
APx t
aPTP aETE aWTW b
其中：aP aE aW aP0 SP APx
aE
e Ae
x
,
aW
w Aw
x
e
w
b aP0TP0 SC APx
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传热与流体流动的数值计算
§4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程
dT dx
w
SC
SPTP
AP x
0
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传热与流体流动的数值计算
二、用控制容积积分法导出离散形式（续）
分段线性插值（中心差分）
e
Ae
TE
x
TP
w
Aw
TP
x
TW
SP APxTP
SC APx 0
e
w
e Ae
x e
w Aw
x w
SP APx TP
e Ae
x e
TE
w Aw
r
T r
S
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
aE
rPr
x e
e
,
aW
rPr
x w
w
aN
rnx
r n
n
,
aS
rsx
r s
s
aP aE aW aN aS aP0 SPV
,
aP0
c V P t
b aP0TP0 SCV , V 0.5rn rs rx
e w
y
T y
dxdydt
e
TE TP
x e
w
TP TW
x w
yt
n
TN TP
y n
s
TP TS
y s
xt
源项：
tt n e
t
s
Sdxdydt
w
SC SPTP
xyt
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）
整理得： aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
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传热与流体流动的数值计算
四、一维非稳态导热方程及其离散化
c
T t
1
Ax
d dx
A x
dT dx
S
c
P APx
T tt P
TPt
t t
t
e Ae
TE TP
x e
w Aw
TP TW
x w
dt
tt
t
AP SC SPTP xdt
采用全隐格式离散：
c APx P t
x w
TW
SC APx
aP aE aW SP APx
aE
aW
b
aPTP aETE aWTW b
aPTP anbTnb b 5/30
传热与流体流动的数值计算
三、界面上当量导热系数的确定方法
根据界面上热流密度连续的原则：
qe
Te TP
xe
TE Te
xe
TE
xe
TP
xe