09质点动力学方程

三.动力学分类: 质点动力学 质点系动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
θ
F n a mg τ M
θ
物块A、B放在半径为R处于静 止的水平圆盘的边缘，两者间的静 滑动摩擦因数为 fs，物块的质量分别 为mA > mB，将物块视为质点。圆盘 以角速度ω＝αt 绕铅垂轴转动。
A
B
问题1：圆盘转动一段时间后会出现什么现象？ 问题2：确定初始时物块相对圆盘滑动趋势的方向 问题3：确定物块开始滑动的时间
当 θ = θ 0时, FN = 0, 解得
g n = 9 .549 cos θ 0 R
g 当 n ≥ 9.49 时,球不脱离筒壁 。 R
例9-4 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O, o 并与铅直线成 θ = 60 角。如小球在水平面内作匀 速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。 已知: m = 0 .1kg , 求:
第一类问题：已知运动，求力。 运动方程
微分
速度
微分
加速度
牛二
力
第二类问题：已知力，求运动。 力
建立
微分方程
积分 初始速度
速度
积分 初始位置
坐标方程
混合问题：第一类与第二类问题的混合。 解除约束
主动力 初始条件
运动规律
求解
未知约束力
6、求解动力学问题的基本步骤
① 对研究对象进行受力分析，画其受力图 ② 根据运动的特点，选取坐标系 ③ 建立相应的微分方程 ④ 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微分方 程），并写出相应的初始条件。 ⑤ 求解微分方程（积分或数值解） ⑥ 分析讨论数学结果的物理含义。
[例2] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解：已知力是位置的函数，属第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用
mM Q mg = G R2 dx 2 建立质点运动微分方程 m 2 dt dv x mgR 2 d2x =− mv x ( 2 = 即： 2 dx x dt mM F = −G x2 mgR 2 ∴F =− x2 mgR 2 =− x2 dv x dv x dx v x dv x = ⋅ = ) dt dx dt dx
第9章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
9.2 质点的运动微分方程
1、矢量形式
ma = ∑ Fi 或 d 2r m 2 = FR dt
x z
FR r
O
a
2、直角坐标形式
y
ma x = ∑ Fxi , ma y = ∑ Fyi , ma z = ∑ Fzi & = FRx , m& & = FRy , m& & = FRz m& x y z
3、自然坐标形式
由 a = atτ + an n , ab = 0,
v2 有 mat = Ft , m = Fn , 0 = Fb ρ
4、极坐标形式
a = ar r + aϕϕ
& 2 ) = Fr , m( rϕ && + 2r & ) = Fϕ &ϕ m( & r& − rϕ
5 、质点动力学的两类基本问题
⑤求解未知量 刹车时 ϕ = 0 由(2)式解得 2 v0 FT = m + mg 为最大拉力 l 静拉力
动拉力 附加动拉力
FT
mg
减小绳子拉力的方法： 减小跑车速度或者增加绳子长度。
由(1)式，有
&&l + m sin ϕ = 0 ϕ
& dϕ & dϕ dϕ && = & ϕ =ϕ dϕ dt dϕ (3)
OA= r , 例9-1 曲柄连杆机构。曲柄OA以匀速转动， AB= l ，当 λ = r l 比较小时，滑块B的运动方程可近似
写为 λ2 λ x = l1− + r cosωt + cos2ωt 4 4 π 求: 当 ϕ = ωt = 0和 时，连杆AB的受力。 2 动力学第一类问题
例9-3
粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平
轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为 了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 θ =θ0 时才 掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。 已知:匀速转动。 θ =θ0 时小球掉下。 求:转速n. 动力学第二类问题
解：研究铁球
v2 m = FN + mg cosθ R πn 其中 v = ωR = R 30
解：对滑块B做受力分析，如图 & = −rω2 (cosωt + λ cos2ωt ) ax = & x
max = −F cosβ
ωt = 0时， β = 0,
π l −r ωt = 时， cosβ = , 2 l
2 2
F = mrω2 (1+ λ) F =− mr2ω2 l 2 − r2
[习题9-7] 桥式起重机跑车，吊挂一质量为m的重物，沿水平横 梁作匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。因故突 然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力 和最大摆角。
第 三 篇 动力学
引
言
一.研究对象： 研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
A : m& y & = − mg − cy &2
2 B : m& y = − mg + c y & &
O
mg
x
C : m& y & = + mg − cy &2 D : m& y & = + mg + cy &2
A
B
问题：质点M用两个等长的绳索 吊起，绳索与铅垂线的夹角为θ 。 若剪断绳索BM后的瞬时，绳索 AM的拉力与未剪断绳索BM时相 比，是增大了还是减小了？ θ ＝ 多少时绳索AM的拉力不变？ mg 剪断前： F = 2 cos θ 剪断后： F = mg cos θ
Fs ,max
ω,α
Fsn
Fst
A
ω =α t Fs,max = f s mg Fst = mαR
n 2 s 2 s ,max
B
Fsn = mω 2 R
t 2 s
(F ) = (F ) − (F )
第 9章 作 业
• P240： 习题 1、11、18 与第10章作业一起交
F + FN + FI = 0
第9章 质点动力学
第9章 质点动力学的基本方程
§9–1 动力学的基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
9.1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律(力与加速度之间关系的定律)
ma = F
重力 P = mg , g = 9.8 m s 2
l = 0 .3m , θ = 60 o
匀速
v, F
动力学混合问题
解：研究小球，
v m = F sin θ ρ 0 = F cosθ − mg
2
其中 ρ = l sin θ , 解得
mg F= = 1.96 N cosθ v= Fl sin 2 θ = 2.1 m s m
思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比 y v
第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是等值、反向、共线, 且同时分别作用在这两个物体上。
第一定律 (惯性定律): 指出物体保持静止或匀速直线运动的状态， 是物体的属性，这种属性称为惯性。 第二定律(力与加速度之间关系的定律) 指出质量是物体惯性的度量。 在相同外力作用下，质量愈大的物体加速度愈小， 即保持惯性运动的能力愈强。 第三定律 (作用与反作用定律): 第二定律只适用于单个质点，而第三定律给出了质点系中各质点 间的相互作用，从而把质点动力学理论推广到质点系动力学。 适用牛顿定律的参考系称为惯性参考系。
mgR 2 dx ∴ ∫ mv x d v x = ∫ − 2 v0 R x
v x
(t = 0时 x = R , v x = v0 )
2 0
2 gR 2 则在任意位置时的速度 v = ( v − 2 gR ) + x
v=
(v
2
0
2 gR 2 − 2 gR ) + x
可见，v 随着 x 的增加而减小。
2 v0 &0 = 2 ,ϕ 0 = 0 初始条件 ϕ l 2 v 2g 2 0 对(3)式积分，ϕ 得 & = 2 + (cos ϕ − 1) l l 2 v 2g 0 & ϕ = 0 当 时，取得最大摆角 2 + (cos ϕ − 1) = 0 l l 2 v0 cos ϕ = 1 − 解得 2 gl
• 第9章 质点动力2 − mv1 = F t
d M O ( mv ) = M O ( F ) • 第11章 动量矩定理 dt