第1讲-柱坐标系和球坐标系

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第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

人教A版数学 ·选修4－4
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01 课前自主梳理
02 课堂合作探究
03 课后巩固提升
课时作业
人教A版数学 ·选修4－4
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[自主梳理]
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135° ，∠yOz＝90° ，这就是空间直角坐标系．有序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
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2．点的空间坐标的互相转化公式
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设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z) 柱坐标 (ρ，θ，z) 球坐标 (r，φ，θ) 转换公式
ρcos θ ， x＝_______ ρsin θ ， y＝_______ z＝z
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π 3 的直角坐标为 4，4，4π，则它的直角坐标为 ________ ，它的柱坐标为
答案：(－2,2,2 2)
2
3 2， π，2 2 4
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探究一直角坐标与柱坐标的互化 [例 1] 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：

高中数学第1讲坐标系第3节柱坐标系与球坐标系省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

∴y＝ρsin θ＝ 2sin π4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求．
21/48
[规律方法] 点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面xOy中实际为极坐标系，且ρ≥0,0≤θ<2π，在竖直方向上z为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直角坐标(x，y，
z)，需要运用xy＝＝ρρcsions
解析：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为端点且与零子午线相交射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度80°处，可知θ＝80°.由航天器位于纬度75°处可知 φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 _ _ _平_ _面_ 极_ _坐_ _标_ _系_ _ 及 _空__间__直__角__坐__标__系_____中一部分建立起来．
9/48
3．球坐标系建立如图所表示空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹角为φ.设P在Oxy 平面上射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过 _ _ _最_小_ _正_角_ _ _ 为 θ . 这么点 P 位置就能够用有序数组 _(_γ_，__φ_，__θ_)_____ 表示．

人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件

∴点 N 的直角坐标为(0,1,1)．
∴MN 的中点坐标为21，1，2. 在直角坐标系中，由两点间的距离公式得 MN 的长度为|MN
1－02＋1－12＋3－12＝ 5.
例3
分析：利用空间设点直M角的直坐角坐标标为与(1Байду номын сангаас1,柱 3)，坐求它标的柱的坐标变．换公式．
2019/7/8
最新中小学教学课件
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2019/7/8
最新中小学教学课件
变式训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式训练
变式训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为

2，π4，3 ，点
N
的球坐

2，π4，π2，求 MN 的中点的直角坐标及 MN 的长度．
分析：先把点 M，N 的坐标化为直角坐标，按直角坐标求的长度．
分析：本题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来．
解析：如上页图所示，点 C1 的(x，y，z)分别对应着 CD、 BC、CC1，点 C1 的(ρ，θ，z)分别对应着 CA、∠BAC、CC1，点 C1 的(r，φ，θ)分别对应着 AC1、∠A1AC1、∠BAC.所以点 C1 的空间直角坐标为 (6 3 ， 6,12) ，点 C1 的柱坐标为 12，π6，12，点 C1 的球坐标为（12 2，π4，π6）.

2020版高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4

Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一题型二题型三题型四题型五
【变式训练 1】已知点 M 的柱坐标为 4, π ,4 , 求它的直角坐标.
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
π
1
�� = 4cos 3 = 4 × 2 = 2,
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO

柱坐标系与球坐标系课件

44 C.(2, 5 , )
44
B.(2, , 5 )
44 D.(2, 3 , )
44
当堂检测：
1.设M点的直角坐标为 (1, 3, 3)
求它的柱坐标.
(2, 4 , 3)
3
2.设M点的直角坐标为 (1, 1, 2 )，那么它的球坐标是
当堂检测：课本P8，习题：T4.
课后作业：课本P8，习题：T5，T6.
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
地球的纬度
地球的纬度与经度：
球坐标系
r 0
0 0 2
z P
r
y
o
θQ
x
将球坐标转化为直角坐标： z
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r 0
x
0
P(r, , )
r
o
y
θ
Q
0 2
练习
1.设Q点的球坐标为 (2, 3 , 3 ) ，
问题提出 1.平面直角坐标系和极坐标系分别是怎样建立的？
平面直角坐标系：由两条互相垂直的有向直线建立的；平面极坐标系：由一点引一条射线建立的.
2.空间直角坐标系是怎样建立的？由三条两两互相垂直的有向直线建立的.
空间直角坐标系下一点的坐标表示：
z P(Px , y , z)

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

【解】
π ∵点 M 的柱坐标为( 2，4，3)，根据柱坐标与直角
坐标的互化公式，得 π cos ＝1， x＝ 2· 4 π y＝ 2sin4＝1， z＝3.
∴点 M 的直角坐标为(1,1,3)． π π ∵点 N 的球坐标为( 2，4，2)，根据球坐标与直角坐标的互化公式，得 π π x＝ 2sin cos ＝0， 4 2 π π y＝ 2sin sin ＝1， 2 4 π z ＝ 2cos ＝1. 4 ∴点 N 的直角坐标为(0,1,1)．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝， 6
π θ＝，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
柱坐标系
柱坐标球坐
最小正角
(r，φ，θ)
3.ρcosθ rcosφ
rsinφcosθ
rsinφsinθ
思考探究 1 三种空间坐标系与点的坐标有什么特点？提示柱坐标系与球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系在平面 xOy 内构造平面极坐标系，球坐标系是构造点 P 到原点的距离|OP|＝r 与射线 Oz 构成极坐标系，且 OP 在平面 xOy 内的射影与射线 Ox 也构成平面极坐标系．点 P 的直角坐标是有序实数组(x，y，z)，柱坐标是含有一个极角的有序数组(ρ，θ，z)，球坐标是含有两个极角的有序数组(r，φ，θ)．

第1章 3 柱坐标系和球坐标系

§3 柱坐标系和球坐标系

1.柱坐标系

(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，

θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.

(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .

2.球坐标系

(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM

→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，

这里P 为点M 在xOy 平面

上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；

φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·

高中数学1-4柱坐标系与球坐标系简介(选学)

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课堂讲练互动
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π ∴点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，柱坐标为 2， 4 π 标为 3，φ，，其中 tan φ ＝ 2，0≤φ≤π . 4
，1，球坐
【反思感悟】化点 M 的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(ρ，θ，z)或 x＝ρcos θ ，球坐标 (r ， φ ， θ) ，需要对公式 y＝ρsin θ，以及 z＝z x＝rsin φ cos θ， y＝rsin φ sin θ，进行逆向变换， z＝rcos φ ρ＝ x2＋y2， r＝ x2＋y2＋z2， y 得到tan θ＝（x≠0），以及 z x cos φ ＝r， z＝z
x＝rsin φcos θ y＝rsin φsin θ 转化为三角函数的求值与运算． z＝rcos φ
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【变式2】根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
π (1)2， 4 7π 5π 5π ；(2)3，，， . 4 6 3
将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：
5π π 2π ；(2)6，， . ， 4 3 3
3π (1)2， 4
x＝rsin φcos θ， [思维启迪] 解答本题直接利用公式 y＝rsin φsin θ，计 z＝rcos φ 算即可．

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析

1．柱坐标系

柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为

Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用

有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .

由公式求出ρ，再由tan θ＝y

求θ.

由公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z ，

得ρ2＝x 2＋y 2

，

即ρ2

＝12

＋(3)2

＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x

＝3，

又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π

，

∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π3，5.

已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan

θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，π3，8，

求它的直角坐标．

直接利用公式求解．

由变换公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z

得

x ＝4cos π3

＝2，y ＝4sin π3

＝23，z ＝8.

∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．

已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式

柱坐标系与球坐标系

1、柱坐标系

设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，

用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标，

点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示.

把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞

2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系

及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.

空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为：

3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标.

解得ρ= ，θ=

点在柱坐标系中的坐标为

（

，，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。练习：

1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标.

注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系：

r 为常数圆柱面

半平面

平面

P(ρ,θ,Z) Q θ 4π⎪⎩

⎪

⎨⎧===z z y x θρθρsin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z 1sin 1cos 1θρθ

ρ224

∙)

,,(z y x M ),(θr P ∙θr

x y

z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)

4π求它的直角坐标。

的柱坐标为、设点),7,6

,2(2π

M (3,1,7)为常数θ为常数z

球坐标系 1，球坐标系：

设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.

第1章 1.5 柱坐标系和球坐标系

1.5 柱坐标系和球坐标系

1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系

1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)

2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)

[基础·初探]

1.柱坐标系 (1)柱坐标

设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1-5-1所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，θ，z )称为空间中点M 的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数.

图1-5-1

(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式

空间点M (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧

x ＝ρcos θ

y ＝ρsin θ

z ＝z

2.球坐标系 (1)球坐标

设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0.

图1-5-2

如图1-5-2所示，设z 轴的正向与向量OM →的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0→

的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标.若设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.

(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式

空间点M (x ，y ，z )与球坐标(r ，θ，φ)之间的变换公式为⎩⎨⎧

第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解

堂
互
课
动探
x＝ρcos θ，
究坐标，利用公式y＝ρsin θ，求出 ρ，θ 即可．
时作业
z＝z，
菜单
新课标 ·数学选修4-4
(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式
课前自
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ，
求出 x，y，z 即可．
当堂双
主导
z＝z，
课堂互动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空课
动
时
探究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的

柱坐标系和球坐标系课件

z＝z
z＝rcos φ
行逆向变换，
r＝ x2＋y2
源自文库
得到tan
θ＝xyx≠0
z＝z
r＝ x2＋y2＋z2，
以及 cos
φ＝zr.
提醒在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．
若本例中条件不变，求点 C、D 的柱坐标与球坐标．【解】结合图形知点 C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为( 2，4π，0)，球坐标为( 2，π2，4π)，同样点 D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，2π)．
2．在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0(r0 为不等于 0 的常数)，θ＝θ0，z＝z0 分别表示什么图形？
【提示】在空间的柱坐标系中，方程 r＝r0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 zOx 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行于 xOy 坐标面的平面，如图所示．
常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
3．在空间的球坐标系中，方程 r＝r0(r0 为正常数)，θ＝ θ0(0≤θ0＜2π)，φ＝φ0(0≤φ0＜π)，各表示什么图形？
【提示】在空间的球坐标系中，方程 r＝r0(r0 为正常数)，表示球心在原点，半径为 r0 的球面；

高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4

x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ，解：由变换公式y＝ρsin θ，得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2，故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2，又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐来自百度文库系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.

球坐标系和柱坐标系

球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用

来描述三维空间中的点的位置和方向。本文将介绍球坐标系和柱坐标

系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。

一、球坐标系

球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。它

由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。径向距离r表

示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。

在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。坐标变换公式如下：

```

x = r * sinθ * cosφ

y = r * sinθ * sinφ

z = r * cosθ

```

球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很

多问题的求解过程。在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置

和运动轨迹。

二、柱坐标系

柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的

问题。柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。极径

ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的

夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。

柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。坐标变换公式如下：```

x = ρ * cosθ

y = ρ * sinθ

z = z

```

柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。在

工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够

更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。在流体力学中，柱坐标

柱坐标系和球坐标系

四：柱坐标系和球坐标系

一：基础知识梳理：

1．柱坐标系

在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．

设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的______，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.

特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的______；

θ＝常数，表示的是过z 轴的______；

z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的____．

显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝，y ＝，

z ＝z .

2. 球坐标系

设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r

为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，

x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如

图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的______，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，

特别地，r ＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．

点M 的直角坐标与球坐标的关系为

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|OP |cos θ＝，y ＝|OP |sin θ＝，

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M 的直角坐标．【解】设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
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5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φ sin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 . 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4，－ 4 ，－ 2 )．
【提示】空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一
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个是距离． 2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？【提示】 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
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一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
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点的柱坐标与直角坐标互化
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(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标． (2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
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空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ
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.
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1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，底面正方形
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ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示，建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标和球坐标．
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π π 故点 C 的球坐标为( 2，， )． 2 4
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柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3，， )，P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6，，1)，求|P1P2 |. 6
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2 π 由 z＝rcos φ，∴cos φ＝，φ＝ 2 4 y π 又 tan θ＝＝1，∴θ＝4， x π π 从而点 C1 的球坐标为(2，4，4)
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1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
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建立了空间的点与有序数组 (ρ，θ，z)
之间的一
种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，
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其中 ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别
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有哪些？
【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以
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将点的球坐标化为直角坐标
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3 3 已知点 M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角坐标．
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φ sin θ，【思路探究】球坐标 ――――――――――――――→ z＝rcos φ 直角坐标
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 x＝ρcos θ，坐标，利用公式y＝ρsin θ， z＝z，
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求出 ρ，θ 即可．
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(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式
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(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ，则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π. x＝πcos π，得y＝πsin π， z＝π，
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图 1－4－3
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【思路探究】先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．【自主解答】点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)．
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设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π，由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ，得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2.
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x＝rsin φcos θ，坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ. θ，φ.
求出 r，
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y z 2．利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝，cos φ＝ .特别注意由 x r
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四
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柱坐标系与球坐标系简介
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课标解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题.
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球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
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3．空间直角坐标与柱坐标的转化
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空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系
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π x＝ρcos θ＝ 2cos4＝1， (2)y＝ρsin θ＝ 2sinπ＝1， 4 z＝5. 故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
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x＝rsin φcos θ，用公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ.
转化为三角函数的求值与运算．
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5 5 若例 2 中“点 M 的球坐标改为 M(3，6π，3π)”，试求点
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求 ρ；
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y 也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝，求 θ，在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
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根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ，求出 x，y，z 即可． z＝z，【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
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1＝ρcos θ，则由1＝ρsin θ， z＝1，
π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4.
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π 因此，点 M 的柱坐标为( 2，4，1)．
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【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z)． x＝2sin3πcos3π＝2× 2×－ 2＝－1， 4 4 2 2 3 3 2 2 则y＝2sin πsin π＝2× × ＝1， 4 4 2 2 3 2 z＝2cos4π＝2×－ 2 ＝－ 2. 因此点 M 的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
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1．柱坐标系
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图 1－4－1 如图 1－4－1 所示，建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空间任意一点．它在 Oxy 平面上的射影为 Q ，用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
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2．球坐标系
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图 1－4－2
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建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记 |OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.
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2 2 2 2
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．
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若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标．【解】易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
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设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2.
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因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
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1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 x＝ρcos θ， M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ， z＝z，
2 2 2
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设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q， Ox 轴按逆时针方向旋转
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到 OQ 时所转过的最小正角
为 θ.这样点 P 的位置就可以
用有序数组(r，φ，θ) 表示．这样，空间的点与(r，φ，θ) 之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做
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5π π (1)(2， 6 ，3)；(2)( 2，4，5)．
【解】设点的直角坐标为(x，y，z)． 5π x＝ρcos θ＝2cos 6 ＝－ 3， 5π (1) y＝ρsin θ＝2sin 6 ＝1， z＝3，因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
【思路探究】
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y 又 tan θ＝＝1， x π ∴θ＝4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2，4，0)．
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(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. z ∴cos φ＝＝0， r π ∴φ＝ . 2
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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz， Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运