第1讲-柱坐标系和球坐标系
坐标系柱坐标系与球坐标系简介
坐标系柱坐标系与球坐标系简介pptxx年xx月xx日contents •引言•坐标系柱坐标系•坐标系球坐标系•柱坐标系与球坐标系的比较•如何选择合适的坐标系•坐标系在科学领域的应用及发展目录01引言描述物体位置和运动的基本工具为定量描述提供基础应用于不同领域如物理、地理、工程等坐标系在科学领域的重要性坐标系基本概念及分类直角坐标系极坐标系Array基于距离和角度基于三个互相垂直的坐标轴圆柱坐标系球坐标系基于距离、角度和高度基于距离、角度和极角本次报告的主要内容比较两种坐标系的优缺点和适用范围举例说明在物理学和工程学中的应用柱坐标系与球坐标系的定义、性质和应用02坐标系柱坐标系1柱坐标系基本概念23是三维坐标系的一种，利用长度、角度和高度来描述点的位置。
柱坐标系以长度为r、角度为θ、高度为z三个参数来表示点的位置。
圆柱坐标系以球半径R、角度θ和 φ来表示点的位置，其中θ表示经度，φ表示纬度。
球面坐标系通过将直角坐标系的x、y坐标值分别替换为r和θ角度值，将z 坐标值保持不变即可实现转换。
直角坐标系转换为柱坐标系需要将r、θ和z三个参数转换为x、y、z三个方向的坐标值，其中x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，z=z。
柱坐标系转换为直角坐标系柱坐标系与直角坐标系转换1柱坐标系应用举例23在地球物理学中，柱坐标系常被用于描述地球表面和内部的结构和特征。
在电磁学中，柱坐标系常被用于描述圆柱形导体中的电场和磁场分布。
在流体力学中，柱坐标系常被用于描述管道内的流体流动和传热等物理现象。
03坐标系球坐标系球坐标系是三维坐标系的一种，由一个原点、一个在原点正上方的北极点以及一条从原点出发，指向北极点的极轴构成。
球坐标系基本概念定义径向距离、角度和高度。
三个基本元素在球坐标系中，点的位置由径向距离、角度和高度三个参数确定。
坐标表示直角坐标系转换为球坐标系通过将直角坐标系的三个轴分别投影到球坐标系的三个元素上，可以得到球坐标系表示的点。
柱坐标与球坐标的区别
柱坐标与球坐标的区别在数学和物理学领域中，柱坐标和球坐标是描述空间中点位置的两种常见方法。
它们在表示和计算上有一些重要的区别，下面将介绍柱坐标和球坐标的基本概念以及它们之间的不同之处。
柱坐标柱坐标系统是三维笛卡尔坐标系的一种扩展，通常用来描述平面内的点的位置。
柱坐标系由三个坐标$(r, \\theta, z)$组成，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
具体而言，$(r, \\theta,z)$可以通过以下关系转换为笛卡尔坐标(x,y,z)：$$ \\begin{align*} x &= r\\cos(\\theta),\\\\ y &= r\\sin(\\theta),\\\\ z &= z.\\end{align*} $$球坐标球坐标系统是另一种表示三维空间中点的方法，通常用来描述球面坐标或空间点的位置。
球坐标系也由三个坐标$(r, \\theta, \\phi)$组成，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点到z轴正方向的夹角。
球坐标系转换为笛卡尔坐标系的关系如下：$$ \\begin{align*} x &= r\\sin(\\phi)\\cos(\\theta),\\\\ y &=r\\sin(\\phi)\\sin(\\theta),\\\\ z &= r\\cos(\\phi). \\end{align*} $$ 区别与比较柱坐标和球坐标之间的主要区别在于坐标系的选择和坐标值的表示。
柱坐标主要适用于描述轴对称的物体或问题，如圆柱体或旋转体问题；而球坐标更适合描述球对称的问题，如球体或球壳问题。
柱坐标中的极角$\\theta$通常是一个平面内的角度，而球坐标中的两个角度$\\phi$和$\\theta$则涉及到空间的倾斜和旋转角度。
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
2019版三维方案数学同步人教A版选修4-4 第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介
束
四
柱坐标系与球坐标系简介
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结
束
1．柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一 点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用 (ρ， θ)(ρ≥0,0≤ θ＜ 2π) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序 数组 (ρ，θ，z) (z∈ R)表示，这样，我们建立了空间的点与 有序数组(ρ， θ， z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关 系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱 坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中
即 ρ2＝ 12＋( 3)2＝ 4，∴ ρ＝ 2. y tan θ＝ ＝ 3，又 x＞ 0， y＞ 0. x
π π ∴ θ＝ ，∴点 A 的柱坐标为2， ， 5. 3 3
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结
束
x＝ ρcos θ， (2)由变换公式y＝ ρsin θ， z＝ z π π 得 x＝ 4cos ＝ 2， y＝ 4sin ＝ 2 3， z＝ 8. 3 3 ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3， 8)．
结
束
柱坐标与直角坐标的互相转化
[例 1] (1)设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标．
π 的柱坐标为4， ，8，求它的直角坐标． 3
(2)已知点 P
[思路点拨]
直接利用变换公式求解．
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结
束
[ 解]
x＝ ρcos θ， 2 2 2 y ＝ ρ sin θ ，得 ρ ＝ x ＋ y ， (1)由变换公式 z＝ z，
球坐标和柱坐标的转换
球坐标和柱坐标的转换球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们和直角坐标系是相互转换的。
本文将介绍球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法。
球坐标球坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（r）、极角（θ）和方位角（φ）来描述点的位置。
半径（r）表示点到坐标系原点的距离，极角（θ）表示点与z轴的夹角，方位角（φ）表示点在xy平面的投影与x轴的夹角。
球坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (r * sinθ * cosφ, r * sinθ * sinφ, r * cosθ)柱坐标柱坐标系是一种描述空间中点的坐标系，它用半径（ρ）、极角（θ）和高度（z）来描述点的位置。
半径（ρ）表示点到柱坐标系极轴的距离，极角（θ）表示点与柱坐标极轴的夹角，高度（z）表示点在z轴上的坐标。
柱坐标的坐标表示为：(x, y, z) = (ρ * cosθ, ρ * sinθ, z)球坐标转换为柱坐标球坐标系和柱坐标系之间的转换是通过数学公式进行的。
球坐标转换为柱坐标的公式如下：ρ = r * sinθz = r * cosθ柱坐标转换为球坐标柱坐标转换为球坐标的公式如下：r = √(ρ^2 + z^2)θ = arctan(ρ / z)总结球坐标和柱坐标是三维空间中常用的坐标系，它们的转换可以通过数学公式进行。
球坐标由三个参数（半径、极角和方位角）表示，柱坐标由三个参数（半径、极角和高度）表示。
通过球坐标转换为柱坐标，可以得到柱坐标系中的坐标值，同样地，通过柱坐标转换为球坐标，可以得到球坐标系中的坐标值。
以上是球坐标和柱坐标的定义以及它们之间的转换方法的介绍。
了解球坐标和柱坐标的概念及其转换方法，有助于我们更好地理解和应用三维空间中的坐标系统。
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
柱坐标系与球坐标系简介
极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度. -15-
四 柱坐标系与球坐标系简介
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练3】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
2.球坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP, 记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设点P在Oxy平面上的射影 为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. (2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系
的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样,我
们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系.把建立
上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点P的柱
坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式
3
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则由互化公式可得,
柱坐标与球坐标转换
柱坐标与球坐标转换在三维几何学中，坐标系扮演着十分重要的角色。
柱坐标系和球坐标系是常用的坐标系之一，它们分别适用于不同的几何描述需求。
本文将介绍柱坐标与球坐标之间的转换关系。
柱坐标系（Cylindrical Coordinates）柱坐标系是一种以某一点为起点的坐标系，其中包含r、$\\theta$和z三个坐标参数。
其中，r代表点到z轴的距离，$\\theta$代表点在x−y平面上与x轴正方向之间的夹角，而z表示点在z轴上的高度。
柱坐标系通常用于描述圆柱体或柱体上的几何特征。
球坐标系（Spherical Coordinates）球坐标系是另一种常用的三维坐标系，以球心为原点。
球坐标系中包含r、$\\theta$和$\\phi$三个坐标参数。
其中，r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上与x轴正方向的夹角，$\\phi$表示点在球坐标系中与z轴之间的夹角。
球坐标系通常用于描述球体或球面上的几何特征。
柱坐标与球坐标转换柱坐标系与球坐标系之间存在一定的转换关系，通过以下公式可以进行相互转换：1.球坐标系转换为柱坐标系：$r = \\sqrt{r^2 + z^2}$$\\theta = arctan(r/z)$z=z2.柱坐标系转换为球坐标系：r=r$\\theta = \\theta$$\\phi = arctan(\\sqrt{r^2 + z^2}/z)$通过以上的转换关系，我们可以方便地在柱坐标系和球坐标系之间进行切换，从而更灵活地描述不同几何形状的特征和属性。
这种转换关系在数学建模和物理问题求解中有着广泛的应用。
上文介绍了柱坐标与球坐标之间的转换关系，希望可以为读者对三维空间坐标系的理解提供一定帮助。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的坐标系描述方式，并灵活运用坐标系转换方法，将有助于更好地分析和解决问题。
以上就是本文关于柱坐标与球坐标转换的介绍，希望对读者有所帮助。
球坐标系和柱坐标系
球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。
本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。
一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。
径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。
坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。
物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。
在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。
二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。
柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。
极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。
坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。
在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。
在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。
综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。
它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。
熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系与球坐标变换的区别
柱坐标系和球坐标系是空间中两种常见的坐标系，它们在描述三维空间中的点和表示向量方向时有着不同的应用。
本文将讨论柱坐标系和球坐标系之间的区别。
柱坐标系
柱坐标系是一种通过极径、极角和高度来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（r, θ, z）表示，其中： - r 代表点到 z 轴的距离； - θ 代表点在 xy 平面上的极角； - z 代表点在 z 轴上的高度。
柱坐标系常用于描述旋转对称结构的问题，计算方便，适合于涉及圆柱对称性的问题。
球坐标系
球坐标系是一种通过径向距离、极角和方位角来定位三维空间中的点的坐标系统。
通常用（ρ, φ, θ）表示，其中： - ρ 代表点到原点的距离； - φ 代表点在 xy 平面上的极角； - θ 代表点在 xy 平面上的方位角。
球坐标系常用于描述球面和球对称结构的问题，适合于球对称的物理问题和数学问题。
区别
柱坐标系和球坐标系之间的主要区别在于坐标系的基本参数和应用领域有所不同： 1. 参数区别： - 柱坐标系使用极径、极角和高度作为坐标参数； - 球坐标系使用径向距离、极角和方位角作为坐标参数。
2. 应用领域区别： - 柱坐标系适合于描述旋转对称结构的问题，如圆柱体、圆锥体等； - 球坐标系适合于描述球面和球对称结构的问题，如球体、球壳等。
综上所述，柱坐标系和球坐标系在参数表示和应用领域上有着明显的区别。
选择合适的坐标系，能够更有效地描述和解决不同类型的三维空间中的几何问题。
柱坐标系与球坐标系简介课件
z1＝6×cosπ3＝3. ∴点 M 的直角坐标为323，92，3， 设点 N 的直角坐标为(x2，y2，z2)， 则 x2＝6×sin23π×cosπ3＝323， y2＝6sin23π×sinπ3＝92， z2＝6cos23π＝－3. ∴点 N 的直角坐标为323，92，－3， ∴|MN|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝6.
2．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则
空间直角坐标(x，y，z)
转换公式
柱坐标 (ρ，θ，z)
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ_s_in__θ__， z＝z
球坐标 (r，φ，θ)
x＝_r_s_i_n_φ_c_o_s__θ__ y＝_r_s_in__φ_s_i_n_θ__ z＝ rcos φ
∴(－ 3，1,3)为所求点的直角坐标．
(2)∵(ρ，θ，z)＝
2，π4，5，
x＝ρcos θ＝
2cosπ4＝1，
∴y＝ρsin θ＝ 2sinπ4＝1，
z＝5，
∴(1,1,5)为所求点的直角坐标．
直角坐标与柱坐标的互化
点(ρ，θ，z)是三维空间坐标中的点的柱坐标，在平面 xOy 中实际为极坐标， 且 ρ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上 z 为任意实数．化点的柱坐标(ρ，θ，z)为直
柱坐标系与球坐标系简介
1．空间直角坐标系、柱坐标系与球坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点 O，作两两垂直的三条数轴 Ox， Oy，Oz，使∠xOy＝135°，∠yOz＝90°，这就是空间直角坐标系．有 序实数组 (x，y，z) 叫点 P 的直角坐标．
(2)柱坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面的射影为 Q，用 (ρ，θ) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) 表示．这就是柱坐标系．有序数组 _(_ρ_，__θ_，__z_) _叫点 P 的柱坐标．其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. (3)球坐标系：空间直角坐标系 Oxyz 中，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.P 在 Oxy 平面的射影 为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样 点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这就是球坐标系．有序数组(r，φ，θ) 叫作点 P 的球坐标．其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
柱坐标系和球坐标系
四：柱坐标系和球坐标系一：基础知识梳理：1．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂 直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的______，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的______；θ＝常数，表示的是过z 轴的______；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的____．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ ，y ＝ ，z ＝z .2. 球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的______，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，特别地，r ＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|OP |cos θ＝ ，y ＝|OP |sin θ＝ ，z ＝ .二．课堂练习：1.将点M 的直角坐标化为柱坐标，将点P 的柱坐标化为直角坐标．(1) M (－1，3，2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 求r ，也可以利用r 2＝x 2＋y 2求r ，利用tan θ＝y x求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r ，θ，z 的值代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 即可．2.将点M 的直角坐标化为球坐标，点P 的球坐标化为直角坐标．(1)M (1，3，2)；(2)P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：由点M 的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，c O s φ＝z r.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M 的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x ，y ，z 的值即可．3.设点M 的直角坐标为(1，，9)，则它的柱坐标是( )．A ．π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭4在球坐标系中，Mππ4,,46⎛⎫⎪⎝⎭与Nπ24,,π43⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离是__________．5设点A的柱坐标为π4，则它的球坐标为__________．6用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为Aπ8,,4Aθ⎛⎫ ⎪⎝⎭、B3π8,,4Bθ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这两个截面间的距离．。
4.1.3柱坐标系与球坐标系
小结 数轴
平面直角坐标系
坐标系
平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
课堂小结
• 你能说出球坐标吗？你能将一个点的空间 直角坐标与其球坐标进行相互转化吗？
• 你能说出柱坐标吗？你能将一个点的空间 直角坐标与其柱坐标进行相互转化吗？
6
( 3 ,1, 7)
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1
sin
解得ρ= 2，θ=
4
1 z
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2 ， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
球坐标系的建立：
Z
在空间内任取一个定点O作为极点；
(r, , )
P
从O引两条互相垂直的射线OX、OZ作为极轴；
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
练习、写出棱长为1的正方体的各顶点的球坐标. 变式一：棱长为1的正三棱柱呢？ 变式二：棱长为1的正四面体呢？
拓展延伸
在球坐标系中，下列集合表示的图形的体积是多少？
M (r,,)|2 r 6 ,0 2 ,0 2
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r •M(x,y,z)
z
o
x
A
xy
•
P
y
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
圆柱坐标系和球坐标系
1.8 圆柱坐标系与球坐标系1.8.1 圆柱坐标系（1）建立圆柱坐标系空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。
其中：① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。
这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面；② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。
这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。
为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系e ρ ⨯ e φ = e ze φ ⨯ e z = e ρ （1.8.1） e z ⨯ e ρ = e φ(b )yxye x (平面))ρ =常数(圆柱面y② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随P 点的不同而变化，它们是坐标函数:yx y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+=e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂0000000z z z zzze ,e ,e e ,e e ,e e ,e e ,e φρφρφρφρφφρφρρ矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2)（2）线元矢量、面元和体积元当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3)三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d Vz V d d d d φρρ= （1.8.4）两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的正方向(a )(b )d zd ρρd φPQ d ld zd ρρd φd zρd φd ρd s zd s ρd s φ⎪⎭⎪⎬⎫===φρρρφρφρd d d d d d d d d z S z S z S (1.8.5)（3）圆柱坐标系中的三度表达式对于连续、可微的标量场f (ρ、φ、z )，按多元函数的全微分链式法则表示微增量z zf f f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=φφρρ作改写()z z z z f f f z zff f f e e e e e e d d d 1d d d d ++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=φρφρφρρφρρφφρρ对照梯度定义式 l d d ⋅∇=f f ，得圆柱坐标系下梯度和del 算符的表达式z zff f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇φρφρρ1 )0(≠ρ （1.8.6） zz ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e φρρφρ1 )0(≠ρ （1.8.7） 按∇与z),,(φρF 的运算还可以得出散度和旋度的表达式：0)(1)(1z),,(≠∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ρφρρρρφρφρzF F F zF （1.8.8）),,(z φρF ⨯∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=φρρρρφρρφρφφρF F F z F z F F z z z )(11e e ezzF F F z φρφρρφρρρ∂∂∂∂∂∂=e e e 11(1.8.9)进而可得标量场的拉普拉斯表达式0)(11z),,(z),,(222222≠∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇=∇ρφρρρρρφρφρzff f f f (1.8.10)例1-6 已知z z z e e F -=φρρ),(，试就z =1平面上半径为2的圆形回路及其所围区域，验证斯托克斯定理。
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个是距离． 2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？ 在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？ 【提示】 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱 面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
M 的直角坐标． 【解】 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
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5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝ ， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φ sin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 . 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4，－ 4 ，－ 2 )．
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y 又 tan θ＝ ＝1， x π ∴θ＝4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2，4，0)．
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(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. z ∴cos φ＝ ＝0， r π ∴φ＝ . 2
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一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
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点的柱坐标与直角坐标互化
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(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标． (2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别
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有哪些？
【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标， 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以
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将点的球坐标化为直角坐标
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3 3 已知点 M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角 坐标．
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φ sin θ， 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z＝rcos φ 直角坐标
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球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
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3．空间直角坐标与柱坐标的转化
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空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系
求 ρ；
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y 也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝ ，求 θ，在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
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根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
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π π 故点 C 的球坐标为( 2， ， )． 2 4
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柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3， ， )，P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6， ，1)，求|P1P2 |. 6
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x＝rsin φcos θ， 坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ. θ，φ.
求出 r，
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y z 2．利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝ ，cos φ＝ .特别注意由 x r
2 2 2 2
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取 值，才能无误．
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若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
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设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2.
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 x＝ρcos θ， 坐标，利用公式y＝ρsin θ， z＝z，
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求出 ρ，θ 即可．
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(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式
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空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ
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.
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1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什 么限制？
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因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
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1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 x＝ρcos θ， M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ， z＝z，
2 2 2
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，底面正方形
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ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示， 建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标 和球坐标．
单
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1．柱坐标系
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图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系， 首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz， Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运
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2．球坐标系
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图 1－4－2
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建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记 |OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
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x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 求出 x，y，z 即可． z＝z， 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
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1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4.
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π 因此，点 M 的柱坐标为( 2，4，1)．
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(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π. x＝πcos π， 得y＝πsin π， z＝π，
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四
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柱坐标系与球坐标系简介
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课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
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图 1－4－3
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【思路探究】 先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标． 【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)．
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设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2.