隔板法解决排列组合问题高高三
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍拓展隔板法拓展隔板法是一种在数学解题中常用的技巧，通过将问题转化为排列组合的形式来解决。
在高中数学中，拓展隔板法被广泛应用于各种代数和几何问题中。
通过灵活运用拓展隔板法，可以简化复杂的计算过程，提高解题效率。
拓展隔板法的基本思想是将待解问题分解成若干个小问题，然后通过排列组合的方式进行求解。
通过设立虚拟的“隔板”，可以将问题中的元素进行分组，从而简化计算过程。
这种方法既简单又高效，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
在高中数学课程中，拓展隔板法被广泛运用于组合数学、概率论、代数和几何等方面。
通过掌握这一技巧，学生可以更快速地解决各种复杂的数学问题，提升他们的数学解题能力和思维能力。
深入理解和掌握拓展隔板法对高中数学学习至关重要。
通过不断练习和应用，学生能够在数学解题中游刃有余，取得更好的成绩。
1.2 阐述高中数学解题中的重要性在高中数学教学中，引导学生掌握拓展隔板法是非常重要的。
通过深入理解和练习拓展隔板法，学生不仅可以提高数学解题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和创新思维。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用将为学生打开一扇通往成功的大门，让他们在数学学习中游刃有余，取得更好的成绩。
2. 正文2.1 拓展隔板法在代数解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中非常有用的方法，特别在代数解题中更是发挥了重要作用。
通过拓展隔板法，我们可以更快更准确地解决各种代数方程和不等式问题，提高解题效率和准确度。
在代数解题中，拓展隔板法可以用来求解各种未知数之间的关系，尤其是在多元方程组中应用广泛。
通过将未知数之间用隔板隔开，我们可以清晰地看到它们之间的联系，从而更容易推导出正确的解法。
拓展隔板法在解代数方程组、求根式、化简分式等问题中都能起到关键作用。
在解决一个包含多个未知数的代数方程组时，我们可以利用拓展隔板法将各个未知数分开，逐步求解，最终得到所有未知数的具体数值。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
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[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
隔板法的应用
隔板法在解决排列组合问题中的应用（一）：问题提出：在解决排列组合问题时常常会遇到这样一类问题；例如：例1：某校高二年级有三个班级，现要从中选出五人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
解（一）：用常规解法，分类；第一类：有一个班三人，其余两班各一人；共有13c 种方法；第二类：有两个班各两人，剩下一个班一人；共有23c 种方法；综上：共计13c +13c =6种方法。
解（二）：分析：此题就是把五个名额要分配到三个班中去，可以看作要把五个无差异的元素分成三组，那么只需将五个元素分隔开来即可，即就是从四个空中找出两个把五个元素分成三组即可。
共24c =6种方法。
例2：某校高二年级有10个班级，现要从中选出18人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
分析：若用常规解法，分类则比较麻烦；若把此题看作要把18个无差异的元素分成10组，即就是从17个空中找出9个把18个元素分成10组即可。
解起来则比较简单。
解：共917c 种方法。
例3：有90枝玫瑰花，要分给10个人，每人至少一支，不同的方法有多少种。
分析：把此题看作要把90个无差异的元素分成10组，即就是从89个空中找出9个把90个元素分成10组即可。
解：共989c 种方法。
（二）：结论：我们可以看到，以上三个问题有一个共同特点：就是要把n 个无差异的元素分到m 个不同的组中去，要求（1） n ≥m ；（2） 每组至少分到一个元素；（3） 每组都不相同；这样的问题我们都能看作是：把n 个无差异的元素分成m 组，即就是从n-1个空中找出m-1个把m 个元素分成n 组即可。
就像在n-1个空中插入m-1个隔板把m 个元素分成了n 组。
共计11--m n c 方法； 我们把它形象的称为就是隔板法。
（三）：应用：例4：某公司有7个车队，每个车队至少4辆车，现从中抽出10辆，每个车队至少一辆组成运输队，则不同的方法有多少种。
分析：此题看作要把10个无差异的元素分成4组；（1）10≥4；（2）每组至少分到一个元素；（3）每组都不相同；解：方法总数为3c。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．【答案】126【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为59987612624C ⨯⨯⨯==， 故答案为：126．例2．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为26C =15，故选： D例3．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项【答案】D 【解析】()112x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=．构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法213C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()112x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()112x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为213131278 2C⨯==项．故选：D。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法排列组合题目
隔板法排列组合题目排列组合是数学中的一个重要概念，通过排列和组合运算，可以计算出不同元素间的全排列和部分排列数量。
其中，隔板法是一种常用的求解排列组合问题的方法。
本文将通过一个具体的题目，介绍隔板法的应用。
一、题目描述及要求假设有一堆相同的小球，现在要将这些小球分成若干组，每组中小球的数量可以不同。
要求：1. 求出将 n 个小球分成 k 组的方法数量；2. 每组中至少有一个小球。
二、隔板法的应用隔板法是一种解决将对象划分成多个部分的方法。
对于题目中的要求，我们可以使用隔板法进行求解。
思路如下：1. 假设有 n 个小球和 k-1 个隔板，将 n 个小球和 k-1 个隔板排成一排；2. 每个小球都可以选择在哪个隔板前放置，而每个隔板将小球分为一组；3. 每个隔板前放置的小球数量就是该组的小球数量。
三、计算方法根据隔板法的思路，我们可以通过计算小球和隔板的排列组合数量来求解题目。
1. 小球和隔板一共有 n+k-1 个位置，其中 n 个位置放置小球，k-1 个位置放置隔板；2. 我们只需要确定放置小球的位置，即可确定每个隔板前的小球数量；3. 可以使用组合数学中的排列组合公式计算，即 C(n+k-1, n)。
四、题目求解按照上述计算方法，我们可以得出将 n 个小球分成 k 组的方法数量为 C(n+k-1, n)。
其中，C(m, n) 表示从 m 个元素中选择 n 个元素的组合数。
接下来，以一个具体的例子来进行求解。
假设有 6 个小球，要将其分成 3 组。
根据上述计算公式，我们有：C(n+k-1, n) = C(6+3-1, 6) = C(8, 6) = 28。
因此，将 6 个小球分成 3 组的方法数量为 28。
五、总结通过隔板法的应用，我们可以轻松求解排列组合问题，特别是将对象划分成多个部分的情况。
我们可以使用排列组合公式计算出将 n 个小球分成 k 组的方法数量，进而解决具体的问题。
隔板法不仅可以应用于数学领域，也可以在实际问题求解中发挥巨大的作用。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
解排列组合问题的利器之一：“隔板法”
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例３ ２ ０个相同的小球放入 编号为 １ 、 、 号 ２号 ３号的三 个盒子里 ， 要求每个 盒 内的球数 不小 于盒 子 的编 号数 ， 问有
多少种放法 ？ 解 析 ： 放 入 １号 、 设 ２号 、 ３号 的 三 个 盒 子 里 的球 的 个 数
两端 ）７个空 隙中选 出 ３个分别 插入 ３个“＋” ８个 １ ， ， 被分
成 ４组 ， 每种插入方 法对 应着 方程 的一 个解 ， 方程正 整数 此
解的个数为 Ｃ ＝ ５ ； ３．
例 ２ 把 ８个 相 同 的 篮 球 任 意 分 给 甲 、 、 、 四 所 学 乙 丙 丁 校 ， 多少 种 不 同 的 分 法 ？ 有
分另 为 ｌ ２ ， Ｕ ， ，３
分法．
校， 每所学 校至少一个 ， 多少种不 同的分法 ？ 有 解析 ： 可把 ８个相同 的篮球排 成一列 ， ０ ０ ０ ０ ８ 即 ０ ０ ０ ０， 个篮球 中间有 ７个空隙 （ 不包括两端 ） 用 ３个隔板分别插 在 ，
７个 空 隙 中 ， ８个 篮 球 分 成 ４组 ， 如 ０ １０ １ １ ０依 次 把 例 ００ ０００ 分 配 给 甲 乙 丙 丁 四所 学 校 的 篮 球 数 为 ２ ３ １２ 所 以 每 一 种 、、、，
排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全
排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。
例2： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的 出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，又称为“插纸法”、“画线法”、“插缝法”等，是一种解决数学问题的方法，常用于解决排列、组合、概率等问题。
隔板法的应用广泛，尤其在高中数学解题中，能够帮助学生更好地理解和解决各种复杂的问题。
本文将围绕隔板法在高中数学解题中的应用进行介绍和讨论。
我们来看看隔板法在排列组合问题中的应用。
排列组合是高中数学中一个重要的概念，而隔板法在解决排列组合问题中有着很大的优势。
有5个球和3个盒子，问每个盒子至少有1个球的放法有多少种？我们可以使用隔板法来解决这个问题。
我们可以先在5个球之间插入2个隔板，这样就形成了3个区间，每个区间代表一个盒子，隔板的位置就代表了球的分配情况。
这样一来，我们就可以很容易地计算出符合条件的放法的种数。
在概率问题中，隔板法同样有着广泛的应用。
有10个球，其中有3个标有“A”，5个标有“B”，2个标有“C”，问从这些球中任取6个，其中至少有2个“A”的概率是多少？我们同样可以使用隔板法来解决这个问题。
我们在10个球中插入2个隔板，这样就形成了3个区间，分别对应取到“A”的球的个数，取到“B”的球的个数以及取到“C”的球的个数。
这样一来，我们就可以很容易地计算出概率。
除了排列组合和概率问题，隔板法在解决其他类型的数学问题中同样有着重要的应用。
在解决整数分解问题中，隔板法可以帮助学生更容易地理解整数分解的原理，从而更好地解决问题。
在解决质因数分解问题中，隔板法同样有着很大的帮助。
隔板法在高中数学解题中的应用不仅仅局限于排列组合和概率问题，还可以泛化到其他类型的数学问题中。
隔板法的应用不仅仅是帮助学生更好地理解数学问题，更重要的是，它能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过隔板法的应用，学生可以更加直观地理解数学问题的本质，从而更好地解决问题。
隔板法的应用也能够帮助学生锻炼自己的逻辑思维能力，培养学生的思维方式和解决问题的方法。
隔板法的应用在高中数学教学中有着非常重要的意义。
排列组合中隔板法原理解释
排列组合中隔板法原理解释
嘿，咱今天就来讲讲排列组合里超厉害的隔板法原理！你想啊，这
就好比分糖果！比如说有 10 颗糖果要分给 3 个小朋友，那怎么分呢？
这时候隔板法就派上用场啦！
咱假设这 10 颗糖果排成一排，那中间不就有 9 个空位嘛。
现在咱
要把这些糖果分成3 份，不就相当于在这9 个空位里插进2 块隔板嘛！这一插，不就自然而然地把糖果分成 3 堆啦，每堆就是每个小朋友得
到的糖果数呀！这多简单易懂呀！
再举个例子，有 8 个不同的球要放到 3 个盒子里，每个盒子不能为空，这不也能用隔板法嘛！8 个球排好，7 个空位，插进 2 块隔板，嘿，就搞定啦！你说神奇不神奇？
咱仔细想想，隔板法不就是巧妙地利用了这些“空位”嘛！就像我们
走路找路一样，这些空位就是我们的“路径”呀！通过合理地放置隔板，就能找到最合适的分配方法。
哎呀，这隔板法原理是不是很有意思呀！它真的超级实用，能帮我
们轻松解决很多排列组合的问题呢！我觉得吧，学会了隔板法，就像
是掌握了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门！咱可得好好把它
学会，用起来呀！
我的观点就是：隔板法原理是排列组合中非常实用且有趣的方法，
能让我们更轻松地应对一些复杂的分配问题，一定要好好掌握它！。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法。
它主要用于解决组合数学和概率问题，在排列组合、二项式定理、数列问题等方面有广泛的应用。
下面将详细介绍拓展隔板法在高中数学解题中的应用。
拓展隔板法用于排列组合问题中。
在求解排列组合问题时，常常需要将一组物品分成若干个部分。
将10个不同的球分成3组，每组至少有1个球，可以采用拓展隔板法。
我们可以在10个球之间插入2个隔板，即在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个物品之间插入2个隔板，将这11个物品分成3组。
这样，在每两个隔板之间的物品即为一组。
该方法可以使排列组合问题更加直观、具体。
拓展隔板法也可以用于概率问题的解决。
在概率问题中，我们常常需要考虑某些事件出现的可能性。
在一次摸球中，从10个球中摸3个，其中红球、蓝球、绿球至少各有1个的情况数，可以采用拓展隔板法。
我们可以在10个球之间插入2个隔板，将其分成3个部分。
这样，每一部分的球数即为红球、蓝球、绿球的数量。
在计算可能性时，可以根据每个部分球的数量进行排列组合，最后相乘得到总的可能性。
拓展隔板法还可以用于解决数列问题。
在数列问题中，通常涉及到找规律、推导公式等，而拓展隔板法可以帮助我们把数列中的元素进行分类。
求解Fibonacci数列中第n个数的问题，可以采用拓展隔板法。
我们可以将Fibonacci数列的前n个数分类，将相同的数放在一组内，采用排列组合的思想求解每个组内的可能性，最后得到总的可能性。
这样，我们可以更好地理解数列中元素的分布规律，更快地推导出数列的通项公式。
拓展隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用。
它可以帮助我们处理排列组合、概率、数列等问题，使解题更加直观、具体。
通过运用拓展隔板法，我们能够更好地理解和解决各种数学问题，提高解题的思维能力和技巧。
在高中数学学习中，熟练掌握和灵活运用拓展隔板法是十分重要的。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，即拓展隔板法，在高中数学解题中的应用十分广泛。
它是一种利用排列组合思想解决问题的方法，常被用于解决组合数学、排列组合、概率等问题。
隔板法的应用范围涉及数学、物理、化学等多个学科，其思想灵活、简单易懂，因而备受青睐。
本文将从隔板法的原理、应用及高中数学解题实例三个方面进行探讨，希望能为读者带来一些启发和帮助。
一、隔板法的原理所谓隔板法，是指在一列物体中插入一定数量的隔板，以便将这列物体分成多个子集。
在数学中，我们通常使用这一方法来解决排列组合问题。
具体来说，隔板法适用于以下两类问题：1. 将n个相同的物体分成m份，每份至少一个的分法。
其中第一类问题对应于排列问题，而第二类问题对应于组合问题。
接下来我们通过具体的实例来解释这两类问题的解决方法。
对于这类问题，我们可以设想有n个相同的物体和m-1个隔板，我们需要将这些物体放置在m个容器中。
我们可以将这些容器从左到右编号为1,2,...,m，其中第i个容器表示第i-1个和第i个隔板之间的物体数量。
那么问题就变成了，如何将n个相同的物体和m-1个隔板进行排列，使得满足每一个容器内至少有一个物体。
根据排列数的性质，我们可知，这个问题的解法个数为C(n+m-1, m-1)。
隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用，尤其在排列组合和概率相关的问题中经常能见到。
下面我们通过几个典型的高中数学解题实例来说明隔板法的应用。
1. 高中生在选修课选课时，需要选择4门课程，学校提供了10门可供选择的课程。
请问一共有多少种不同的选课方案？这是一个典型的排列问题，也是一个非常简单的例子。
我们可以使用隔板法来解决这个问题。
这个问题可以看作是将10门可供选择的课程分成4份，每份至少一个的排列问题。
根据隔板法的原理，这个问题的解法个数为C(10+4-1, 4-1) = C(13, 3) = 286种。
2. 有4个红色的球、3个蓝色的球和2个绿色的球，现在需要从这些球中选择3个球，问一共有多少种不同的选择方案？通过以上实例的分析，我们可以看出，隔板法在解决高中数学排列组合问题中的应用非常广泛，而且思路和方法也非常简单。
“隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C=种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C+=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C=由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
隔板拓展法在高中数学排列组合问题中的应用
隔板拓展法在高中数学排列组合问题中的应用发布时间：2022-04-29T09:09:46.350Z 来源：《教学与研究》2022年第1期1月作者：刘合明[导读] 为提升高中生的数学综合能力，本文主要针对高中数学排列组合相关内容展开研究刘合明河北省廊坊市文安县第一中学 065800摘要：为提升高中生的数学综合能力，本文主要针对高中数学排列组合相关内容展开研究，以期在提升学生解题能力的同时，使学生以最高效的速度完成习题的解答。
排列组合相关内容的学习具体从隔板拓展法主要应用原理中展开，采用有传统隔板法的应用实践工作完成基础教学，并在此部分内容的基础上进行复杂性佩列组合知识内容学习，进而逐渐掌握该种思维方式，为之后数学逻辑思维的建立打牢基础。
关键词：隔板托战法；高中数学；排列组合问题前言：高中数学作为学生数学能力提升的最重要阶段，其各部分教学内容都需要重视，数学思维建设的重要性获得了各方的关注。
因此，为提升学生的解题能力及技巧，隔板法的教学及应用就成了教学中重点研究的内容。
该种教学方法对于不相邻组合问题以及追加排列问题的解决来说，能够以替代的形式完成辅助教学工作，学生在习题不断变化的情况下，解题能力、思维能力、解题精准度都随之提升。
一、隔板拓展法的主要应用原理隔板拓展法是排列组合中的一种思维方式，也是最常见的一种应用模型，主要学习目的就是为了提升学生的分配能力、以球盒问题展开分析，通过限制条件减少，变量增多的形式，提升题目的复杂性，完成“球板模型”的转化[1]。
其中球为同一类元素，利用隔板将不通透各区域进行分割，可以完成区域的分配集合。
此中需要注意的内容为，若采用插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板之间至少要有一个元素。
二、传统隔板法的应用隔板法作为一种解题思路，主要针对一类排列组合习题知识展开，该种习题的解题方法主要在高中的排列组合内容学习中得以应用，学生通过实践学习掌握该种思维方式，并在之后的解题环节展开中，将这种解析思维融入自己脑中[2]。
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“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图001000010000100隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中
选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11
C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有1
44
C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小
球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21
41166
C C=种;③装入三个盒子，即12个相同
的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32
411
C C=220种;④装入四个盒子，即12个
相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有3
11165
C=种;由加法原理得共有
4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4
个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3
15455
C=种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可
以装在1个盒子或两个盒子，共有12
4410
C C
+=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小
球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3
510
C=
由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？
(2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？
（3）方程1231023x x x x ++++=的非负整数整数解有多少组？
解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有3984C =种，
所以该方程有84组正整数解。
（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，
进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有313286C =种，所
以该方程有286组非负整数整数解。
（3）当10x =时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有311165
C =种。
当11x =时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有19C =9种；所以该
方程有165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知集合{}I =1,2,3,4,5，选择 I 的两个非空子集,A B ，且A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则选择方法有多少种？
解：由题意知,A B 的交集是空集，且,A B 的并集是I 的子集C ，所以C 至少含有两个元素，将C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给A ，后边的给B ，,A B 至少含有1个元素，设C 中有n 个元素，则转化为n 个相同的小球装入2个不同的盒子，则有
1n
C 种装法，故本题有2314151552535449C C C C C C C +++=种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。
若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。