复习精品函数的单调性与最大(小)值

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函数的单调性与最大(小)值

A．(－∞，－3]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)D．[－1，＋∞)
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.

函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习

1
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结单调递增
论当函数 f(x)在它的定义域上单调当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、经典例题
的最大值为（）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2

高一数学复习考点题型专题讲解14 单调性与最大(小)值

高一数学复习考点题型专题讲解第14讲单调性与最大（小）值一、单选题1．下列四个函数在(),0∞-是增函数的为（）A ．()24f x x =+B ．()12f x x =-C ．()21f x x x =--+D ．()32f x x=- 【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【解析】对A ，()24f x x =+二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(),0∞-是减函数，故A 不对．对B ，()12f x x =-为一次函数，0k <，在(),0∞-是减函数，故B 不对．对C ，()21f x x x =--+，二次函数，开口向下，对称轴为12x =-，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是增函数，故C 不对．对D ，()32f x x=-为反比例类型，0k <，在(),0∞-是增函数，故D 对．故选：D2．函数1()f x x=的单调递减区间是（）A ．(,0),(0,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【解析】解：因为1()f x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，故函数的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞；故选：A3．定义域为R 的函数()f x 满足:对任意的12,R x x ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->，则有（）A ．(2)(1)(3)f f f -<<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(3)(2)(1)f f f <-<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【解析】定义域在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2x R ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->，可得函数()f x 是定义域在R 上的增函数，所以(2)f f -<（1）f <（3）．故选：A ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【解析】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B5．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（）A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x ≠ 【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -，与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B ，D 都正确. 若12x x >，则()()12f x f x >，故选项C 不正确. 故选：C.6．若()f x 是R 上的严格增函数，令()()13F x f x =++，则()F x 是R 上的（） A ．严格增函数B ．严格减函数C ．先是严格减函数后是严格增函数D ．先是严格增函数后是严格减函数【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【解析】解：因为()f x 是R 上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，()+1f x 也是R 上的严格增函数，所以()()13F x f x =++是R 上的严格增函数.故选：A.7．若函数()()2318f x x mx m =-+∈R 在()0,3上不单调，则m 的取值范围为（）A ．02m ≤≤B ．02m <<C ．0m ≤D ．2m ≥ 【答案】B【分析】要想在()0,3上不单调，则对称轴在()0,3内【解析】()()2318f x x mx m =-+∈R 的对称轴为32mx =，则要想在()0,3上不单调，则()30,32m∈，解得：()0,2m ∈ 故选：B8．若函数2()21f x x mx =+-在区间(1,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A ．(,4]-∞-B ．[4,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞- 【答案】B【分析】根据二次函数的性质可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，即可解出．【解析】依题意可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以14m-≤-，解得4m ≥．故选：B ．9．函数s ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【解析】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数s (][),30,-∞-⋃+∞，又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，又函数0)y t =≥为增函数，所以s (],3-∞-．故选：D10．函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．103B ．152C ．3D ．4 【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【解析】设1t x =+，则问题转化为求函数()41g t t t =+-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数()g t 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，所以()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭．故选：B11．已知函数()f x 在[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(](,01,2022)-∞⋃B ．(](,00,2022)-∞⋃C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．()(),00,1-∞⋃ 【答案】A【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.【解析】当a =0时，()f x =.当a >0时，设2022t ax =-，则函数y =2022t ax =-在区间[]0,1上单调递减，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10? 20220a a ->⎧⎨-≥⎩，解得12022a <≤.当a <0时，2022t ax =-在区间[]0,1上为增函数，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10?202200a a -<⎧⎨-⨯≥⎩，解得a <0.综上，a 的取值范围为(](,01,2022)-∞⋃.故B ，C ，D 错误. 故选：A.12．若函数()()2,12225,1a x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪+-<⎩在R 上单调递增，则实数的取值范围为（）A ．81,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．81,5⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]1,2-D ．()1,2-【答案】B【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.【解析】由题意122201232a a aa ⎧≤⎪⎪+>⎨⎪⎪-≥-⎩，解得815a -<≤，故选：B二、多选题13．（多选）下列函数中，满足“1x ∀，()20x ∞∈+，，都有1212()()0f x f x x x -<-”的有（）A ．()1f x x =-B ．()31f x x =-+C ．()243f x x x =++D ．()2f x x=【答案】BD【解析】由题设条件可得()f x 应为()0,∞+上的增函数，逐项判断后可得正确的选项. 【解析】因为1x ∀，()20,x ∈+∞，都有1212()()0f x f x x x -<-，故()f x 应为()0,∞+上的减函数.对于A ，当1x > ，()1f x x =-，则()f x 在()1,+∞上为增函数，故A 错误. 对于B ，()31f x x =-+在()0,∞+上为减函数，故B 正确.对于C ，对称轴20x =-<，故()243f x x x =++在()0,∞+上为增函数，故C 错误.对于D ，()2f x x=在()0,∞+上为减函数，故D 正确. 故选：BD ．14．（多选）若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是（）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分0a >和0a <两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【解析】依题意，当0a >时，1y ax =+在2x =取得最大值，在1x =取得最小值，所以()2112a a +-+=，即2a =；当0a <时，1y ax =+在1x =取得最大值，在2x =取得最小值，所以()1212a a +-+=，即2a =-．故选AB ．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.15．（多选）已知函数()()22101x x f x x x -+=≥+，则（）A ．()f x 最小值为12B ．()f x 在[]0,1上是增函数C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 无最大值【答案】AC【分析】分0x =和0x ≠两种情况，把函数转化为()111f x x x=-+，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.【解析】()2221111x x xf x x x -+==-++，当0x =时，()1f x =；当0x >时，()111f x x x=-+，此时()f x 在()0,1是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以()()min 112f x f ==，故A 正确，B 错误；当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，所以11012x x<≤+，所以11112x x≤-<1+，此时()112f x ≤<，又0x =时，()1f x =，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 16．设函数()21,21,ax x af x x ax x a-<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（） A ．2B ．-1C ．0D ．1 【答案】BC【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【解析】解：当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值，若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值，若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数，则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题17．若函数()22f x x x =-，则()1f 、()1f -、f 之间的大小关系为______．【答案】()()11f f f <<-##()()11f f f ->>【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.【解析】因为()()22211f x x x x =---=，因为()f x 开口向上，所以()1f 最小，又()1110,1--=∈，所以()1f f->，所以()()11f f f <<-.故答案为：()()11f f f <<-18．已知函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=，则()1a b -的最大值为______.【答案】94##214##2.25【分析】依题意可得4a b +=，再根据函数的定义域求出a ，b 的取值范围，则()239124a b a ⎛⎫- ⎪⎭-=-+⎝，[]1,2a ∈，根据二次函数的性质计算可得.【解析】解：∵函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=， ∴()232130a b -+--=，可得4a b +=，[]1,2a ∈-，[]0,3b ∈，又4b a =-，∴[]1,2a ∈，则()()2391324a b a a a -=-=--⎫ ⎪⎭+⎛⎝，[]1,2a ∈，所以当32a =时，()max 914a b ⎡⎤⎣⎦-=，即32a =，52b =时，()1a b -取得最大值94. 故答案为：9419．已知函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，则实数a 的值为___________. 【答案】6【分析】去绝对值将()3f x x a =-+转化为分段函数，再根据单调性求解a 的值即可.【解析】因为函数()3,33,3a x a x f x a x a x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故当3a x ≤时，()f x 单调递减，当3a x >时，()f x 单调递增. 因为函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，所以23a =，所以6a =. 故答案为：6.20．已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论： ①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x xx=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题21．指出下列函数的单调区间：（1）13y x =-；（2）12y x=+；（3）21y x =+；（4）21y x x =-+-.【答案】（1）单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，；（4）单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）根据一次函数的单调性，由30-<，可得出函数的单调区间；（2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间；（3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间；（4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.【解析】解：（1）函数13y x =-的定义域为()-∞+∞，，因为30-<，所以13y x =-在()-∞+∞，上单调递减，所以13y x =-单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间；（2）函数12y x=+的定义域为()()00-∞∞，，+，因反比例函数1y x=在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，所以12y x=+单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间；（3）因为函数21y x =+的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为0x =，所以21y x =+的单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，；（4）函数21y x x =-+-的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为12x =，所以21y x x =-+-的单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 22．（1）在定义域[],a b 上单调递减的函数()f x ，最大值是多少？（2）若()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增，最小值是多少？【答案】（1）()()max f x f a =；（2）()()min f x f u =. 【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【解析】（1）因为()f x 是定义域[],a b 上单调递减的函数，所以()()max f x f a =；（2）因为()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增，所以()()min f x f u =.23．设a 为实数，已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>，求a 的取值范围. 【答案】()1,+∞【分析】直接根据函数的单调性可得12a a +<，从而可得出答案.【解析】解：因为函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>，所以12a a +<，解得1a >，所以a 的取值范围()1,+∞. 24．已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【分析】∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得. 【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2， f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x + =1212-(2)(2)x x x x ++，因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.25．设函数()f x 的定义域为()4,5-，如果()f x 在()4,0-上是减函数，在()0,5上也是减函数，能不能断定它在()4,5-上是减函数？如果()f x 在()4,0-上是增函数，在[)0,5上也是增函数，能不能断定它在()4,5-上是增函数？【答案】见解析【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【解析】取()3,405,05x x f x x x -+-<≤⎧=⎨-<<⎩，则()f x 在()4,-0上是减函数，在()0,5上也是减函数，但()()0.2 3.2,0.01 4.99f f -==，()()0.20.01f f -<，因此不能断定()f x 在()4,5-上是减函数. 若取()5,403,05x x f x x x +-<<⎧=⎨+≤<⎩，则()f x 在()4,-0上是增函数，在[)0,5上也是增函数，但()()0.2 4.8,0.01 3.01f f -==，()()0.20.01f f ->，因此不能断定()f x 在()4,5-上是增函数.26．已知函数f (x )=[](],0,24,2,4x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩；（1）在图中画出函数f (x )的大致图象.（2）写出函数f (x )的单调递减区间. 【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象；（2）根据图象观察可得答案.【解析】（1）函数f (x )的大致图象如图所示.（2）由函数f (x )的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].27．函数()f x ，()(),,x a b b c ∈⋃的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说函数()f x 在定义域上是增函数；乙说函数()f x 在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数()f x 的增区间有两个，分别为(),a b 和(),b c .请你判断他们的说法是否正确. 【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误. 【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.若取120x b x c <<<<（如上图），则12y y >，与甲的说法矛盾，故甲的说法是错误的；由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是(),a b 和(),b c ， ∴丙的说法是正确的.28．画出函数2()1f x x x =-++（11x -剟）的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当12112x x -<剟时，比较()1f x 与()2f x 的大小；（2）是否存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-？【答案】（1）()1f x ＜()2f x ；（2）不存在.【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解；（2）根据函数的最小值判断得解. 【解析】（1）函数的图象如图所示，当12112x x -<剟时，由于函数单调递增，所以()1f x ＜()2f x ；（2）由图得当1x =-时，函数取到最小值1-，所以不存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-.29．若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围【解析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数，∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.30．已知函数()()a f x x a R x=+∈(1)当1a =，证明函数在()0,1上单调递减；(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14a =【分析】(1)利用证明函数单调性的定义()12,0,1x x ∀∈，由1201x x <<<，()()120f x f x ->，可证明函数在()0,1上单调递减.(2)通过讨论参数a ，分别求出0a =，0a <，0a >时()f x 的值即可. （1）证明：若1a =，则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈，1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- ()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+= 当()120,1x x ∈时，1201x x <<，所以()()12121210x x x x x x -->所以，函数在()0,1上单调递减. （2）①当0a =时，()f x x =，不满足条件；②当0a <时，易知函数()f x 在定义域内单调递增，则满足：112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不满足条件；③当0a >时，令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=- 所以()()12f x f x >，函数在(上单调递减；同理可证，函数在)+∞上单调递增，所以，函数()f x最小值应在x =当102<时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得14a =，符合条件；当3<函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ，所以()31f =，解得6a =-，不符合条件；当132≤时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f，所以1f =，解得：14a =，不符合条件；综上，14a =.31．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()()f x f x =-；(2)试判断()f x 在(0,)+∞的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<- 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数；证明见解析(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)()2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解. （1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f = 再令121,x x x x ==，则1()()(1)0f x f f x+== 所以1()()f x f x =- （2）()f x 在(0,)+∞上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x > 所以11221()()()0xf x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =- 所以1221()()()f x f f x x >-= 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =，又因为11(2)()22f f =-=，所以11()22f =-，所以1(1)(1)2f x f x -++<-⇔21(1)()21010f x f x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩由上可知，()f x 是定义在(0,)+∞上为增函数所以，原不等式⇔21121010x x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩，解得1x <<. 32．已知函数ty x x=+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]4,3--． (2)32a =【分析】（1）令21t x =+，[]1,3t ∈，将()f x 化为()48h t t t =+-，由对勾函数的单调性可得()f x 的单调区间和值域（2）由题意可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得()g x 的值域，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围（1）()2412342182121x x y f x x x x --===++-++．设21u x =+，[]0,1x ∈，则48y u u =+-，[]1,3u ∈．由已知性质，得当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．由()03f =-，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1113f =-，得()f x 的值域为[]4,3--．（2）因为()2g x x a =--在[]0,1上单调递减，所以()[]12,2g x a a ∈---．由题意，得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，所以12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩，所以32a =．。

3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版

问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想证明运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;

高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性

3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课后巩固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号．出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同．的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数．并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。

函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值

建筑结构设计
02
在建筑结构设计中，利用极值定理可以确定建筑物的最大抗力
和最小截面尺寸，提高建筑物的抗震性能和稳定性。
电子产品设计
03
在电子产品设计中，利用极值定理可以确定电子产品的最大工
作电压和最小工作电流，提高产品的可靠性和稳定性。
最值在生活中的应用
01
物流运输
在物流运输中，利用最值定理可以确定最优运输路径和最小运输成本，提高运输效率。
函数最小值
函数在某区间上的最小值是指在该区间上所有函数值中最小的的一个，即对于任意$x in (a, b)$，有$f(x) geq f(x_{0})$，其中$x_{0} in (a, b)$。
求函数最大(小)值的方法
代数法
通过函数的解析式，利用代数运算求出最大值或最小值的$x$值，再代入解析式求出最大值或最小值。
04 导数在研究函数中的应用
导数与函数单调性的关系
判断单调增函数
如果函数断单调减函数
如果函数在某区间的导数小于0，则该函数在此区间单调减。
单调性与导数符号
函数的单调性与其导数的符号变化密切相关，导数的符号决定了函数的增减性。
导数与函数极值的关系
单调性的数学符号表示
如果函数在某个区间上单调递增，则可以用$f'(x) geq 0$来表示；如果函数在某个区间上单调递减，则可以用$f'(x) leq 0$来表示。
判断函数单调性的方法
导数判断法
如果函数在某个区间内的导数大于0，则函数在这个区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在这个区间内单调递减。
二阶导数测试
当一阶导数为0，二阶导数大于0时，该点为极小值点；当一阶导数为0，二阶导数小于0时，该点为极大值点。

3.2.1单调性与最大(小)值

概念学习
PART 2
知识点一增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容请在此输入内容
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，

3.2.1函数单调性与最大(小)值-第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

故选 D.
1
3．函数 f(x)＝，x∈[ 1,2] ，则 f(x)的最大值为________，
x
最小值为________．
【答案】1 ,

1
【解析】∵f(x)＝在区间[ 1,2] 上为减函数，
x
1
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即 ≤f(x)≤1.
2
二、知识回顾
函数最大值与最小值
最大值
最小值
＝
.
x1x2
x1x2
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理 f(x)在[ 2,4] 上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
题型三函数最值的实际应用
【规律方法】
解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量
的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取
值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
【跟踪训练】
3．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这
1
D. ，2
2
【答案】C
【解析】由图可知，f( x)的最大值为 f( 1)＝2，f(x) 的最小
值为 f(－2)＝－1.
2．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)(
)
A．有最大值
B．有最小值

高中数学知识点总结：函数单调性与最大(小)值

高中数学知识点总结：函数单调性与最大（小）值
单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()
y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为减．
（2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在
[、上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M
满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是
y
x
o
函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．。

2.2____函数的单调性与最大(小)值

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当x1<x2时,都有
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 )>f 说函数f 在区间D 说函数f（x）在区间D 上是减函数
定义
f（x1 ）<f(x2 ) ，那么就说函数f 么就说函数f(x)在区间D上是增函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 ___________
3 , 2 ( x + 1) 3 > 0, a>0, 2 ( x + 1)
求导数得 f ' ( x) = a x ln a +
>1,∴当 ∵a>1,∴当x>-1时，axln
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， ′(x)>0在 +∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 1,+∞）上为增函数. 对于给出具体解析式的函数，探究提高对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解. 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之. 数则可以利用导数解之.
金太阳新课标资源网 2 2
ax − a − 2ax − a(1 + x 2 ) = = . 2 2 2 2 ( x − 1) ( x − 1) >0时 1<x 当a>0时，∵-1<x<1,
− a (1 + x 2 ) ∴ 2 < 0, 2 ( x − 1) ′(x)<0,此时此时f 上为减函数. 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.

函数的单调性与最大(小)值PPT课件

∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1

2023年一轮复习《单调性与最大(小)值》提升训练(含解析)

2023年一轮复习《单调性与最大（小）值》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设集合A ={ x |x =k +14,k ∈Z}，B ={ y |y =k2−14,k ∈Z}，则它们之间最准确的关系是( )A. A =BB. A ⊄BC. A ⫋BD. A ⊆B2.（5分）函数f(x)=√(x +1)(3−x)的定义域为( )A. [−1,3]B. [−1,+∞)C. (−∞,3]D. (−∞,−1]∪[3,+∞)3.（5分）若a 、b 、c ∈R ，则“a <b ”是“ac 2<bc 2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（5分）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，则下列叙述中正确的是( )A. “a >b ”是“1a<1b ”的充分不必要条件B. “a >|b|”是“1a <1b ”的充分不必要条件 C. “1a >1b ”是“ln a <ln b ”的必要不充分条件 D. “1a >1b ”是“ab ⋅(b −a)>0”的必要不充分条件 5.（5分）下列大小关系正确的是( )A. cos4 π 7<cos5 π 8B. (23)−0.2<(23)−0.3C. (√2)−12<(√3)−12D. log 12√2<log 13√36.（5分）关于x 的不等式x 2+|2x +m|⩽4在x ∈[0,+∞)有解，则实数m 的取值范围是( )A. [−5,5]B. [−5,4]C. [−4,5]D. [4,5]7.（5分）若cos (α+π12)=√23，则sin (2α−π3)的值为( ) A. −59B. 59C. −79D. 798.（5分）函数y =x +a 与y =xa |x||x|(a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象可能为( )A. B.C. D.9.（5分）以下三个命题中，真命题的个数是()①若a+b⩾2，则a，b中至少有一个不小于1;②存在正实数a，b，使得a+b=ab;③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.A. 0B. 1C. 2D. 310.（5分）已知定义在R上的函数f(x)在区间(−1,0)上单调递减，f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，若α、β为钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系为()A. f(sinα)>f(cosβ)B. f(sinα)<f(cosβ)C. f(sinα)=f(cosβ)D. 以上情况都有可能11.（5分）已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合M={x|−1<x<2}，N={x|y=√x}，则M∪N=()A. {x|x>−1}B. {x|0⩽x<2}C. {x|−1<x<2}D. {x|x⩾0}二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）若集合A={x|x2−x<;0}，B={x|0<;x<;3}，则A∩B=____________________.14.（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有__________种; (2)这三天售出的商品最少有__________种.15.（5分）设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数f(−1)=0，当x >0时，xf ′(x)−f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x 的取值范围为 ______. 16.（5分）已知函数f(x)=x 2−x−1x+1，g(x)=−e x−1−lnx +a 对任意的x 1∈[1,3]，x 2∈[1,3]恒有f(x 1)⩾g(x 2)成立，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知集合A ={x|−1⩽x ⩽m}；命题p ：∃x ∈[1,2]，x 2−2x −a =0. (1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 中a 的取值构成集合B ，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 18.（12分）(1)已知钝角α满足sinα=sin27°cos33°−cos207°sin33°，求α. (2)求值：−tan20°tan40°tan(−60°)+tan20°+tan40°.19.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？ 20.（12分）已知函数f(x)=tanx.(1)若α为钝角，且3f(2α)=4，求sin2α+3cos 2α的值；(2)若α，β均为锐角，且f(α)−f(β)=12cosαcosβ，求sinα+cosβ的取值范围． 21.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值． 22.（12分）已知函数f(x)=x −2x .(1)判断函数的奇偶性并说明理由；(2)用函数的单调性定义证明f(x)在(0,+∞)上为增函数； (3)求函数f(x)=x −2x ，x ∈[−4,−1]的值域．四、多选题（本大题共5小题，共25分） 23.（5分）下列命题正确的是( )A. O 为ΔABC 内一点，且OA →+OB →+OC →=0→，则O 为ΔABC 的重心 B. (x 2−2x 3)5展开式中的常数项为40C. 命题“对任意x ∈R ，都有x 2⩾0”的否定为：存在x 0∈R ，使得x 02<0D. 实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a +b 的最大值为1 24.（5分）已知函数y =11−x−x(x >1)，则该函数( )A. 最大值为−3B. 最小值为1C. 没有最小值D. 最小值为−325.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x+1y 的最小值为4√2B. x 2+y 2的最小值为15C.x−2yx 2+y 2>1 D. 2x+1+4y ⩾426.（5分）下列命题正确的有( )A. A ∪∅=∅B. C U (A ∪B)=(C U A)∪(C U B)C. A ∩B =B ∩AD. C U (C U A)=A27.（5分）已知f(x)=sin 2x +sin 2(x +α)+sin 2(x +β)，其中α，β为参数，若对∀x ∈R ，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是( )A. f(x)=32 B. f(x)=2 C. α+β=πD. 满足题意的一组α，β可以是α=π3，β=2π3答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由集合A得x=4k+14，k∈Z，则A={⋅⋅⋅−74,−34,14,54,94,⋅⋅⋅}，由集合B得y=2k−14，k∈Z，则B={⋅⋅⋅−34,−14,14,34,44⋅⋅⋅}，则A⫋B，故选：C.由集合A与B的元素即可判断两集合的包含关系．此题主要考查元素与集合的关系，属于容易题．2.【答案】A;【解析】解：f(x)=√(x+1)(3−x)，令(x+1)(3−x)⩾0，解得−1⩽x⩽3，所以f(x)的定义域是[−1,3].故选：A.由题意使得函数解析式有意义，列式求解即可．此题主要考查了函数定义域的求解，要掌握函数定义域是使得函数解析式有意义的自变量的取值集合，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B;【解析】解：a、b、c∈R，则“a<b”推不出“ac2<bc2”，反例：c2=0，若a<b，则ac2=bc2，“ac2<bc2”，则c2>0，可以推出“a<b”，故“a<b”是“ac2<bc2”的必要不充分条件．故选：B.根据充分条件和必要条件，判断即可．此题主要考查了充分条件和必要条件，考查了推理能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】解：对于A，当a=1，b=−1时，a>b,11>1−1，即1a>1b，故A错误；对于B，当a=2，b=−1时，a>|b|，但12>1−1，即1a>1b，故B错误；对于C，当a=1，b=−1时，ln b无意义，即ln a<ln b不成立；当ln a<ln b时，得0<a<b⇒1a >1b，则“1a>1b”是“ln a<ln b”的必要不充分条件，故C正确；对于D，1a −1b=b−aab>0⇔ab(b−a)>0，即“1a>1b”是“ab⋅(b−a)>0”的充要条件，故选：C.取特殊值判断AB ；对于C 项，由特殊值以及对数函数的单调性结合不等式的性质判断即可；对于D 项，由不等式的性质证明即可．此题主要考查充分必要条件及基本不等式，考查学生的分析能力，属于中档题．5.【答案】B; 【解析】此题主要考查三角函数的三角函数的性质，对数、指数，幂函数的函数值大小比较，属于基础题. 逐个推导即可.解：A 中，由于y =cos x 在(0,π)递减，故cos4 π 7>cos5 π 8，故错误，B 中，由于y =(23)x在R 上递减，故(23)−0.2<(23)−0.3，故正确， C 中，由于y =x −12在(0,+∞)递减，故(√2)−12>(√3)−12，故错误，D 中，由于log 12√2=log 2−1212=−121log 22=−12，log 13√3=log 3−1312=−121log 33=−12，故log 12√2=log 13√3，故选B.6.【答案】B;【解析】解：原不等式可变形为|2x +m|⩽4−x 2，作出函数f(x)=|2x +m|与g(x)=4−x 2的图象，由题意，在x ⩾0时，至少有一点满足f(x)⩽g(x)，当y =−2x −m 与g(x)=4−x 2相切时，−2x −m =4−x 2，即x 2−2x −4−m =0，由Δ=4+4(4+m)=0，得m =−5，当y =2x +m 过点M(0,4)时，m =4. ∴−5⩽m ⩽4.原不等式可变形为|2x +m|⩽4−x 2，作出函数f(x)=|2x +m|与g(x)=4−x 2的图象，数形结合得答案．此题主要考查一元二次不等式的应用，考查分类讨论、数形结合思想与逻辑思维能力，是中档题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查诱导公式及和差公式、二倍角公式，属于基础题. 解决问题的关键是利用整体方法进行化简求值即可.解：∵cos (α+π12)=√23，∴sin (2α−π3)=−cos [π2+(2α−π3)]=−cos (2α+π6)=1−2cos 2(α+π12)=1−2×(√23)2=59，故选B.8.【答案】D;【解析】此题主要考查了由解析式确定函数图象和函数的性质以及数形结合思想的运用，综合性较强.解答该题的关键利用奇偶性和单调性结合特殊值，排除选项A ，B ，C ，从而选出正确答案. 解：y =xa |x||x|为奇函数，排除选项A;若a >1，当x >0时，y =xa |x||x|=a x 是单调递增的，对于函数y =x +a ，当x =0时，y =a >1，排除选项B ，C; 若0<a <1，当x >0时，y =xa |x||x|=a x 是单调递减的，对于函数y =x +a ，当x =0时，y =a ∈(0,1)，只有D 满足题意. 故选D.9.【答案】D; 【解析】此题主要考查了命题的真假判定以及含有量词的命题的否定，属于基础题．解：假设a<1，b<1，则a+b<2，与条件矛盾，故①是真命题;当a=b=2时，a+b=ab，故②是真命题;“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题.故选D.10.【答案】B;【解析】此题主要考查了函数的性质，考查了三角函数的诱导公式，属于中档题.由函数的单调性与对称性求解即可.解：由已知f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，可得到f(x)关于x=0对称，故函数f(x)是偶函数，因为α,β是钝角三角形中的两锐角，则α+β<π2，0<α<π2−β<π2，即0<sinα<sin(π2−β)=cosβ<1,∵偶函数f(x)在区间(−1,0)上单调递减，∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增.∴f(sinα)<f(cosβ)，故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】A;【解析】解：集合M={x|−1<x<2}，N={x|y=√x}={x|x⩾0}，则M∪N={x|x>−1}.故选：A.先求出集合N，再结合并集的定义，即可求解．此题主要考查并集及其运算，属于基础题．13.【答案】{x|0＜x ＜1}; 【解析】略14.【答案】16;29; 【解析】此题主要考查Venn 图的应用，是中档题.解：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示.由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19−(3−x)−x =16(种).(2)这三天售出的商品有(16−y)+y +x +(3−x)+(6+x)+(4−x)+(14−y)=43−y(种).由于{16−y ⩾0,y ⩾0,14−y ⩾0,所以0⩽y ⩽14.所以(43−y)min =43−14=29(种).15.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）; 【解析】解：令g(x)=f(x)x(x >0)，因为x >0时，xf ′(x)−f(x)<0，所以g ′(x)=f ′(x)x−f(x)x 2<0，故g(x)在(0,+∞)上单调递减，因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，根据偶函数对称性可知，g(x)在(−∞,0)上单调递减，由g(−1)=−f(−1)=0，g(1)=f(1)=−f(−1)=0，因为f(x)<0，所以xg(x)<0，可转化为{x >0g(x)<0或{x <0g(x)>0，解得x >1或−1<x <0，故答案为：(−1,0)∪(1,+∞) 结合已知不等式考虑构造函数g(x)=f(x)x(x >0)，结合导数研究单调性，再由函数的奇偶性可求．此题主要考查了利用单调性求解不等式，函数的构造是求解问题的关键，属于中档题．16.【答案】（-∞，12];【解析】解：函数f(x)=x 2−x−1x+1=x +1+1x+1−3⩾2−3=−1，当且仅当x =0时取等号，所以f(x)min =f(1)=−12．因为g(x)=−e x−1−lnx +a 是[1,3]上的减函数，所以g(x)max =g(1)=−1+a ．因为函数f(x)=x 2−x−1x+1，g(x)=−e x−1−lnx +a ，对任意的x 1∈[1,3]，x 2∈[1,3]恒有f(x 1)⩾g(x 2)成立，所以f(x)min ⩾g(x)max ，所以−12⩾−1+a ，所以a ⩽12．所以a 的取值范围为(−∞,12].故答案为：(−∞,12].利用基本不等式以及函数的单调性求解两个函数的最值，然后结合已知条件列出不等式求解a 的范围即可．该题考查了函数的单调性的应用和函数恒成立条件的转化，考查了转化思想和计算能力，属中档题．17.【答案】解：（1）对于命题p ，令函数g （x ）=x 2-2x-a ，则函数g （x ）=x 2-2x-a 在[1，2]上单调递增，因为命题p 为真命题，所以{g(1)=1−2−a ≤0g(2)=4−4−a ≥0，解得-1≤a≤0．所以实数a 的取值范围为[-1，0]；（2）依题意，可得B=[-1，0]，因为B ⊆A ，A=[-1，m]，所以m≥0，所以实数m 的取值范围为[0，+∞）．; 【解析】(1)令g(x)=x 2−2x −a ，若命题p 为真命题，只要{g(1)=1−2−a ⩽0g(2)=4−4−a ⩾0即可，进而得到实数a 的取值范围；(2)由(1)可得B =[−1,0]，再由B ⊆A 列出不等关系，求出m 的取值范围．此题主要考查了命题的真假判断，方程根的存在性及个数判断，是基础题．18.【答案】解：（1）因为sinα=sin27°cos33°-cos （27°+180°）sin33°=sin27°cos33°+cos27°sin33°=sin(27°+33°)=sin60°=√32，所以钝角a=120°．（2）因为tan （20°+40°）=√3=tan20°+tan40°1−tan20∘tan40∘，所以tan20°+tan40°=√3−√3tan20°tan40°，所以-tan20°tan40°tan （-60°）+tan20°+tan40°=√3tan20°tan40°+tan20°+tan40°=√3．; 【解析】(1)由已知结合诱导公式及两角和的正弦公式进行化简可求； (2)由已知结合两角和的正切公式进行化简即可求解．此题主要考查了两角和的三角公式在求解三角函数值中的应用，解答该题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．19.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少．此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）因为函数f （x ）=tanx ，α为钝角，所以f （α）=tanα＜0，因为3f （2α）=4，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=43，解得：tanα=-2（tanα=12舍去），所以sin2α+3cos 2α=sin2α+3cos 2α1=2sinαcosα+3cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+3tan 2α+1，把tanα=-2代入可得： sin2α+3cos 2α=2tanα+3tan 2α+1=2×(−2)+3(−2)2+1=15；（2）因为f(α)−f(β)=12cosαcosβ，所以tanα−tanβ=12cosαcosβ，所以sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ=12cosαcosβ，即sin(α−β)cosαcosβ=12cosαcosβ，因为α，β均为锐角，所以cosαcosβ≠0，所以sin(α−β)=12，所以α−β=π6，因为{0＜α＜π20＜β＜π2，所以{0＜β+π6＜π20＜β＜π2，所以0＜β＜π3，所以sinα+cosβ=sin(β+π6)+cosβ =sinβcos π6+cosβsin π6+cosβ =√32sinβ+32cosβ =√32sinβ+32cosβ=√3sin(β+π3)，因为0＜β＜π3，所以π3＜β+π3＜2π3，所以sin(β+π3)∈(√32，1]，所以√3sin(β+π3)∈(32，√3]，即sinα+cosβ的取值范围为(32，√3]．; 【解析】(1)先利用二倍角的正切公式求出tanα=−2，再进行弦化切，代入求出sin2α+3cos 2α的值； (2)由f(α)−f(β)=12cosαcosβ求出α−β=π6，把sinα+cosβ消去α，利用三角函数求最值．此题主要考查了三角函数的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，根据T =2π|ω|，得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)，由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22，由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.22.【答案】解：（1）函数f （x ）=x-2x 为奇函数，理由如下：因为函数定义域{x|x≠0}， f （-x ）=-x+2x =-f （x ），故f （x ）为奇函数；（2）证明：设x 1＞x 2＞0，则f （x 1）-f （x 2）=x 1-x 2-2（1x 1−1x 2）=（x 1-x 2）（1+2x1x 2）＞0，所以f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在区间（0，+∞）上是增函数；（3）解：（2）及奇函数的对称性可知f （x ）在[-4，-1]上单调递增，故当x=-4时，函数取得最小值-72，当x=-1时，函数取得最大值1，故函数的值域为[-72，1]．;【解析】(1)先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断； (2)先设x 1>x 2>√22，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断； (3)结合函数的奇偶性及单调性即可求解函数的值域．此题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．23.【答案】ABC;【解析】解：选项A ：取线段AB 的中点M ，则OA →+OB →=2øverrightarrowOM ， ∴OA →+OB →+OC →=2øverrightarrowOM +OC →=0→，所以点O 为三角形ABC 的重心，故选项A 正确；选项B ：展开式的第r +1项为C 5r (x 2)5−r(−2)r (x −3)r ，当展开式为常数项时r =2，此时C 52(−2)2=40，故选项B 正确；选项C ：含有全称量词的否定要将全称量词修改为存在量词，故选项C 正确；选项D ：实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a+b 2⩽√a 2+，∴a +b ⩽√2，故选项D 不正确；故选：ABC .对选项进行逐个分析，依据原则即可判断出答案．此题主要考查了概念的理解，向量的加减法，二项式定理，命题以及不等式，属于基础题．24.【答案】AC; 【解析】解：∵x >1，∴y =11−x −x =−(1x−1+x −1)−1⩽−2√1x−1.(x −1)−1=−2−1=−3，当且仅当1x−1=x −1时，即x =2时取等号，∴函数最大值为−3，无最小值，故选：AC ．y =11−x −x =−(1x−1+x −1)−1，根据基本不等式即可求出．该题考查了考查了基本不等式的用法，考查了学生的逻辑思维能力，是基础题．25.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x+1y=x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D 正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．26.【答案】CD; 【解析】此题主要考查集合的交并补集的混合运算，是容易题，直接由集合的基本运算性质得答案解：对A ，因为A ∪∅=A ，故A 错误;对B ，因为C U (A ∪B)=(C U A)∩(C U B)，故B 错误; 对C ，A ∩B =B ∩A ，故C 正确; 对D ，C U (C U A)=A ，故D 正确. 故选：CD .27.【答案】AD; 【解析】此题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式，以及同角三角函数的关系，属于难题.原函数利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简，根据题意可得等式{cos2α+cos2β=−1sin2β+sin2α=0，平方相加可得2α−2β的值，可以作出选择.解：f(x)=1−cos2x 2+1−cos (2x +2α)2+1−cos (2x +2β)2=12−12cos2x +12−12(cos2xcos2α−sin2xsin2α)+12−12(cos2xcos2β−sin2xsin2β) =32−12[cos2x .(1+cos2α+cos2β)−sin2x .(sin2β+sin2α)] 由题意，{cos2α+cos2β=−1sin2β+sin2α=0两式平方得：{cos 22α+2cos2αcos2β+cos 22β=1sin 22α+2sin2αsin2β+sin 22β=0两式相加得cos (2α−2β)=−12，所以，f(x)=32，2α−2β=2π3+2kπ或−2π3+2kπ，k ∈Z.对于2α−2β=−2π3+2kπ，当k =0，α=π3，β=2π3满足2α−2β=−2π3. 故AD 正确. 故选AD .。

3-2-1 单调性与最大(小)值(精讲)(解析版)

3.2.1 单调性与最大（小）值（精讲）思维导图考点一定义法判断或证明函数的单调性【例1】（2021·浙江高一期末）已知函数23()1x f x x-=+．（1）判断函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数()f x 在区间[2,9]上的值域．【答案】（1）函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，证明见解析；（2）13[,]32. 【解析】（1）函数()f x 在[0,)+∞上是增函数. 证明：任取12,x x ∈[0,)+∞，且12x x <，()()()()()()()()()()122112121212212312312323111111x x x x x x x x x f x x x x f x -+-+---=-+++++=+- 常见考法()()()1212511x x x x -=++，120x x -<，()()12110x x ++>，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，∴函数()f x 在[0,)+∞上是增函数；（2）由（1）知函数()f x 在区间[2,9]上是增函数，又()22312213f ⨯-==+，()29339129f ⨯-==+，所以函数()f x 在区间[2,9]上的值域为13[,]32.【一隅三反】1．（2021·福建福州市·高一期末）已知函数2()(1)2f x x a x a =--+，且()13f =.（1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在区间(],0-∞上的单调性并用定义证明. 【答案】（1）1；（2）在区间(],0-∞上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）由()13f =，得()1123a a --+=，所以1a =. （2）由（1）知2()2f x x =+，其定义域为R ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减. 证明如下：任取(]12,,0x x ∈-∞，且12x x <，()()12f x f x -221222x x =+-+()()222212122212222222x x x x x x +-++++=+++()()221222122222xx x x +-+=+++2212221222x x x x -=+++()()1212221222x x x x x x -+=+++.因为10x ≤，20x ≤，且12x x <，所以120x x +<，120x x -<2212220x x ++>，则()()120f x f x ->，所以()()12f x f x >，故()f x 在区间(],0-∞上单调递减.2．（2021·云南文山壮族苗族自治州·高一期末）已知函数()2,bf x x c x=++其中,b c 为常数且满足()()14,2 5.f f ==（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在区间(0，1)上是减函数. 【答案】（1）()22f x x x=+；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：()()14,25f f ==，24,452bb c c ∴++=++=解得2,0b c ==，()f x ∴的解析式为()22f x x x=+（2）证明：任取1201x x ，则()()()()211212121212121222122221x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 121212101,?0,10x x x x x x <<<∴-<-< ()()120,f x f x ∴->即()()12f x f x >故函数()f x 在区间(0，1)上是减函数.考法二性质法判断函数的单调性【例2】（1）（2021·全国高一课时练习）函数()1f x x=的单调减区间是（） A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()(),00,-∞⋃+∞D ．(),0-∞和()0,∞+（2）（2021·全国高一课时练习）函数2610y x x =-+在区间(2，4)上（） A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．先增后减【答案】（1）D （2）C【解析】（1）根据题意，函数()1f x x=的定义域为{}0x x ≠，由反比例函数的单调性可知，函数()1f x x=在区间(),0-∞和()0,∞+上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数()1f x x=的单调递减区间为(),0-∞和()0,∞+.故选：D.（2）函数2610y x x =-+图象的对称轴为直线x =3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C 【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）函数11y x =-的单调减区间是（） A ．(),1-∞，()1,+∞ B ．()(),11,-∞+∞C ．{}|1x R x ∈≠D ．R【答案】A 【解析】因为1y x=的减区间为()()-00+∞∞，，，，又11y x =-的图像是将1y x =的图像向右平移一个单位得到，即函数11y x =-的单调减区间是(),1-∞，()1,+∞，故选A.2．（2021·青海西宁市）已知函数()2f x x x =-，则()f x 的单调增区间是（）A ．(),1-∞-和0,B ．0,C ．1,0和1,D ．1,【答案】D【解析】二次函数()2f x x x =-的对称轴为1122x -=-=，并且开口向上则函数()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，即D 选项正确；故选：D 3．（2021·四川省）下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2【答案】C【解析】A 中，因为y ＝x 2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A 不对；B 中，因为y ＝3x在（－∞，0）上为减函数，所以B 不对； C 中，∵y =1+2x 在（－∞，+∞）上为增函数，故C 正确；D 中，∵y ＝－(x ＋2)2的对称轴是x =－2，∴在（-∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D 不对．故选：C考法三分类常数法判断函数的单调性【例3】（2021·鄂尔多斯市第一中学高一期末（理））函数2()1x f x x -=-（） A ．在(1,)-+∞内单调递增 B ．在(1,)-+∞内单调递减 C ．在(1,)+∞内单调递增 D ．在(1,)+∞内单调递减【答案】C【解析】因为2111()1111x x f x x x x ---===----，函数()f x 的图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数()f x 在(1,)+∞内单调递增，故选：C.【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）函数f (x )=1-xx在（） A ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B ．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D ．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减【答案】C【解析】f (x )的定义域为{x |x ≠1}.f (x )=1-x x =11-x -1=-1-1x -1，因为函数y =-1x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得， f (x )在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.2．（2020·全国高一单元测试）函数f (x )＝11xx-+的定义域为___，单调递减区间为____. 【答案】()(),11,-∞--+∞ (),1-∞-和()1,-+∞【解析】函数f (x )的定义域为()(),11,-∞--+∞；任取()12,1,x x ∈-+∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝21122()0(1)(1)x x x x ->++，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f (x )在(－∞，－1)上也为减函数，故()f x 的单减区间为(),1-∞-和()1,-+∞ 故答案为：()(),11,-∞--+∞；(),1-∞-和()1,-+∞3．（2021·河南安阳市）函数21xy x =- A ．在区间()1,+∞上单调递增 B ．在区间()1,+∞上单调递减 C ．在区间(),1-∞上单调递增 D ．在定义域内单调递减【答案】B【解析】因为数21x y x =-，所以()()()222122'011x x y x x ---==<--，因为1x ≠，所以函数21xy x =-在(),1-∞递减，在()1,+∞上递减，故选B. 考点四图像法判断函数的单调性【例4】（2021·广东）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：（1）12x y x -=-；（2）24||y x x =-；（3）2x y x =+；（4）|(1)|y x x =-；（5）12||y x =-.【答案】见解析【解析】（1）11122x y x x -==+--，图象如图所示：函数在(,2)-∞和(2,)+∞为减函数，因为102x ≠-，所以1112x +≠-，故值域为：(,1)(1,)-∞⋃+∞；（2）222(2)4,04(2)4,0x x y x x x x ⎧+-<=-=⎨--≥⎩，图象如图所示：函数在(,2]-∞-和[0,2]为减函数，在[2,0]-和[2,)+∞为增函数，当2x =±时，y 取得最小值4-，故值域：[4,)-+∞；（3）2221222x x y x x x +--===++++，图象如图所示：函数在(,2)-∞-和[0,)+∞为增函数，在(2,0]-为减函数，值域为：[0,)+∞.（4）(1)(1)y x x x x =-=-，图象如图所示：函数在(,0]-∞和1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1,)+∞为增函数，值域为：[0,)+∞；（5）12||y x =-，函数在(,2)-∞-和(2,0]-为减函数，在[0,2)和(2,)+∞为增函数，值域为：1(,0),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【一隅三反】1．（2021·重庆市）如图是定义在区间[]22,-的函数()y f x =，则()f x 的增区间是________.【答案】[2,1]--和[1,2]【解析】由图可知：()f x 在[2,1]--、[1,2]上都单调递增，在[1,1]-上单调递减，故答案为：[2,1]--和[1,2]2.（2021·全国高一）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．增区间是(0,)+∞ B ．减区间是(,1)-∞- C ．增区间是(,1)-∞ D ．增区间是(1,1)-【答案】D【解析】根据题意，函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，当0x <时，22()2(1)1f x x x x =+=+-，在区间(,1)-∞-上为减函数，在区间(1,0)-上为增函数；当0x ≥时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，在区间[)0,1上为增函数，在区间(1,)+∞上为减函数；综合可得：()f x 在区间(,1)-∞-和(1,)+∞上为减函数，在区间(1,1)-上为增函数，故选：D. 3．（2021·安徽）函数f (x )=|x -2|的单调递增区间是_____. 【答案】[2,+∞)【解析】由图象可知,f (x )的单调递增区间是[2,+∞).4．（2021·海南海口市）函数()()3f x x x =--的单调递增区间为__________. 【答案】30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可知，()()3f x x x =--，当0x ≥时，()2239324f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当0x <时，()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，此时函数()f x 恒为减函数，综上所述，函数()f x 的单调递增区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点五根据单调性求参数【例5】（1）（2021·浙江高一期末）函数1()f x x a=+在[1,3]上单调，则实数a 的取值范围（） A ．(3,1)-- B ．(1,3)C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞（2）（2021·云南丽江市·高一期末）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（） A ．[)3,-+∞ B ．[)3,+∞ C ．(],5-∞D ．(],3-∞-（3）．（2021·全国高一课时练习）若f (x )=,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】（1）D （2）D （3）D 【解析】（1）因为函数1()f x x a =+在(,)a -∞-和(,)a -+∞上单调递减，由题意，1()f x x a=+在[1,3]上单调，所以<1a -或3a ->，解得1a >-或3a <-，所以a 的取值范围为(,3)(1,)-∞-⋃-+∞. 故选：D（2）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--，因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D （3）因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，又()f x =,13,1ax x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，所以()af x x=在[1，+∞)上单调递减，即a >0，并且131a a ≤-+，解得12a ≥，综上所述，a 的取值范围为1[,)2+∞.故选：D【一隅三反】1．（2021·广西钦州市·高一期末）函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =-函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-.故选：A.2．（2021·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试）函数2()4(1)3f x ax a x =++-满足条件：对任意的12[2,,)x x ∈+∞，都有()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．0a >C ．12a ≥-且0a ≠ D ．12a ≥-【答案】A【解析】因为对任意的12[2,,)x x ∈+∞，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[2,)+∞上单调递增，当0a =时，()43f x x =-在定义域R 上单调递增，满足条件；当0a ≠时，则()04122a a a >⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，解得0a >，综上可得0a ≥；故选：A3．（2021·全国高一单元测试）如果2()(2)1f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（）A ．(0,1]B ．[0,1)C ．[0,1]D ．(0,1)【答案】C【解析】由题意，当0a =时，可得()21f x x =-+，在R 上是单调递减，满足题意；当0a <时，显然不成立；当0a >时，要使()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则2122a a -≥，解得：1a ≤，∴01a <≤；综上： 01a ≤≤，故选：C ．考点六利用单调性解不等式【例6】（2021·全国高一）已知()223,03,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩,则不等式()()224f x f x -<-的解集为（）A ．()1,6-B ．()6,1-C ．()3,2-D ．()2,3-【答案】C【解析】()f x 的图象如下图所示：由图象可知：()f x 在R 上单调递增，因为()()224f x f x-<-，所以224x x -<-，所以260x x +-<即()()320x x +-<，所以解集为：()3,2-. 故选：C. 【一隅三反】1．（2021·深圳市高级中学）已知函数()f x 是定义在[)2,+∞的单调递增函数，若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,6C ．[)10,2,62⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．()0,6【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义在[)2,+∞的单调递增函数，且()()222544f a a f a a -+<++，所以2222122542242254406a a a a a a a R a a a a a ⎧≤≥⎪⎧-+≥⎪⎪++≥⇒∈⎨⎨⎪⎪-+<++<<⎩⎪⎩或，解得102a <≤或26a ≤<．故选：C ．2．（2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试）已知函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B【解析】因为函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，所以2111211111a aa a ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩,解得213a <<,所以实数a 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B. 3．（多选）（2021·浙江高一期末）已知函数221,1(),1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则下列x 的范围满足不等式()()22333f x x f x ++>-的是（）A ．(2,1)-B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】因为函数221,1(),1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，画出函数图象如图所示：所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，由()()22333f x x f x ++>-得22333x x x ++>-，即2260x x --< 解得322x -<<，故选：B C D ．考点七函数的最值【例7】（1）（2021·全国高一课时练习）函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为（） A ．2 B ．12 C ．13D ．－12（2）（2021·安徽六安市·六安一中高一期末）已知函数()21xf x x =-，则()f x 在区间[]2,6上的最大值为（） A ．125B ．3C ．4D ．5（3）（2021·全国高一课时练习）已知函数2ky x =-（0k >）在[]4,6上的最大值为1，则k 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】（1）B （2）C （3）B【解析】（1）y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x =3时取最小值为12，故选：B .（2）()22211x f x x x ==+--在[]2,6单调递减，()()max 24f x f ∴==.故选：C. （3）当0k >时，函数2ky x =-在[]4,6上单调递减，所以函数2k y x =-（0k >）在4x =处取得最大值，最大值为142k=-，解得2k =．故选：B . 【一隅三反】1．（2021·上海浦东新区·高一期末）已知函数2y x=，[]1,2x ∈，则此函数的值域是____. 【答案】[]1,2【解析】因为函数2y x =在区间[]1,2上为增函数，当[]1,2x ∈时，22221x ≤≤，即212x≤≤. 因此，函数2y x=，[]1,2x ∈的值域为[]1,2. 故答案为：[]1,2.2．（2021·内蒙古通辽市·通辽实验中学高一期末（文））函数()()111f x x x =--的最大值是：（）A ．43B ．34C ．45D ．54【答案】A【解析】∵221331(1)1244x x x x x ⎛⎫--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴4()0,3f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，最大值为43．故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）（多选）函数21x y x +=- (x ≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是（）A ．最小值为74B ．最大值为4C ．无最大值D ．无最小值【答案】BD 【解析】函数23111x y x x +==+--在[2，5)上单调递减，即在x =2处取得最大值4，由于x =5取不到，则最小值取不到．故选：BD 4．（2021·全国）函数11x y x +=-在区间()[),02,5-∞⋃上的值域为_____ 【答案】()31,1(,3]2-⋃【解析】由题：11221111x x y x x x +-+===+---，函数在(),1-∞单调递减，在1,单调递减，可以看成函数2y x=向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：所以函数在,0递减，在[)2,5递减，0,1x y ==-，32,3,5,2x y x y ====，所以函数的值域为()31,1(,3]2-⋃. 故答案为：()31,1(,3]2-⋃5．（2021·上海长宁区·高一期末）已知函数22([0,1])y x ax x =+∈的最小值为-2，则实数a =________. 【答案】32-【解析】222()2()y f x x ax x a a ==+=+-，所以该二次函数的对称轴为：x a =-，当1a ≤-时，即1a ≤-，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递减，因此min 3()(1)1222f x f a a ==+=-⇒=-，显然符合1a ≤-；当01a <-<时，即10a -<<时，2min ()22f x a a =-=-⇒=±，显然不符合10a -<<；当0a -≤时，即0a ≥时，函数2()2f x x ax =+在[0,1]x ∈时单调递增，因此min ()(0)02f x f ==≠-，不符合题意，综上所述：32a =-，故答案为：32-6．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）若函数()2=1x mf x x ++在区间[]0,1上的最大值为52，则实数m =（） A ．3 B ．52C ．2D ．52或3 【答案】B【解析】函数()21x m f x x +=+，即()221m f x x -=++，[]0,1x ∈，当2m =时，()2f x =不成立；当20m ->，即2m >时，()f x 在[]0,1递减，可得()0f 为最大值，即()05012m f +==，解得52m =成立；当20m -<，即2m <时，()f x 在[]0,1递增，可得()1f 为最大值，即()25122m f +==，解得3m =不成立；综上可得52m =．故选：B ．。

高考数学总复习6函数的单调性与最大(小)值

第六讲函数的单调性与最大(小)值
回归课本 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数
自左向右看图象是上升的
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.
【典例2】已知f
x
x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
2求f x的单调区间,并加以证明; 3求f xx 0的最值.
[m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞), 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A. f (x) 1 x
C.f(x)=ex 答案:A
B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

第二节函数的单调性与最大(小)值

(1)当a＝围．
时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范
高考总复习•数学（文科）解析：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
∵f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ (2)(法一)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ 2x＋a>0恒成立． . >0恒成立⇔x2＋
高考总复习•数学（文科）解析：(1) 原函数等价于 y＝作出如下函数图象：
高考总复习•数学（文科）
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)．令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
高考总复习•数学（文科）
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
高考总复习•数学（文科）画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点－1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3，如下图所示．
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
高考总复习•数学（文科）
解析：由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
fK(x)＝2－|x|＝函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．