高等数学B(二)2009-2010(A)

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0910高等数学B( 二)试题答案济南大学

一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1．过点 M 0 (3,0, 1)且与平面 3 x 7 y 5 z 12 0 垂直的直线方程为为；
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出，则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题（每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1

n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1

3
n
,
vn

3
n
.
因为 limsin
n

3
n

3
n
1

3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算

D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则

同济大学2009-2010学年高等数学(B)下期末考试试卷(A)(2021年整理)

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2009—2010学年第二学期考核试卷(A 卷）《高等数学B 》 2010—7-3一. 填空题（每小题4分，满分32分）()._____624211____2,212132.1222-+=-=-=++z y x z y x 处的法线方程为－，在点曲面 ()()().______52251_____2,1212ln .22为的方向导数处沿方向，在点函数-=+=l y x z ()()()._______,sin ,cos _____,,,,.32010210102222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰----πρρϕρϕρρρϕdz z f d d dz z y x f dy dx z y x f x y x x 坐标积分形式为柱面的则三次积分为连续函数，设 ()()()()()()._____12____,10.42222++=+++=⎰x x x f dy y x yf dx y xyf x f L 关，则在整个平面上与路径无若曲线积分具有一阶连续导数，且设函数 ().0,4_____32______4.5222≥≤++∑=+⎰⎰∑z z y x dS xz ：其中曲面积分π()()()._____32____,ln .61,1,1222=++=gradu div z y x u 则设函数 ()()._____3,1____12-.710--=∑∑∞=∞=的收敛区间为处发散，则幂级数在点若幂级数n n n n n n x n a x x a()()().____21____5,01202],(2.8-=⎩⎨⎧≤<+≤<--=-πππππππ收敛到处的付里叶级数在点则上的表达式为为周期函数，它在是以设x x f x x x x x f x f二．解答题（需写出具体解答过程）()()()()()()()()()()().00,0,0,01,lim ,)(.0,0,0,0,00,0,,8.92031623不连续，所以在点令证明：处不连续在点证明函数分≠≠+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=→k f kk y x f kx y y x y x y x xy y x f x ()[][][].1sin 1cos cos cos sin sin sin sin .,sin 10.1010101010102-=-+-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ydy y y y dy y y y dx y y dy dxdy y y x y x y D dxdy yy y y DD 解：所围成的闭区域与曲线是由直线其中计算二重积分分()()()()().2451251255242424.1,2410.11102102=-=-==-+=-+=-+=++Ω-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩΩΩdz z z dz z z zdv zdv zdv zdv zdvydv xdv dv z y x z y x dv z y x 由对称性得解：三坐标面围成的闭区域与是由平面其中计算三重积分分()()().2,2,1,,,..124,10.1212022221222222222222222ππϑπ-=-===+-=+-==+'=--=+=+-==++-⎰⎰⎰⎰'I I d y x ydx xdy y x ydx xdy I y x L P y x x y Q y x x Q y x y P y x L y x ydx xdy L L y x L ：在曲线内部做圆所以积分与路径无关，则解：按顺时针方向绕行为椭圆其中计算曲线积分分()()()()()()().872647231631634.,4010.13402020222122222111ππππσρρρθπ=+-=+-=++-=++++-=-==∑≤≤+=∑++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑∑Ω∑∑zD zd dz d d zdv dxdy y x dv z y I z z y x z dxdy z y x dydz z y x I 上下侧，：取解：取上侧为曲面其中计算曲面积分分 ()()()()()()()()()()()()().3113121(1131112113111312111212111211231.123110.14011010122<<----=-----=-+--+=+-+=++=++=-++=∑∑∑∞=++∞=+∞=+x x x x x x x x x x x x x f x x x x f n n n n n n n n n n n n n 解：成立范围的幂级数，写出展开式展开成将函数分()()()()()()()().32!11242!11242!12!112!212!12)!1(112!12!!21.,,0lim ,!21!!21.!1!!21101502220201201002021220022e S n n e x x x n x x x n x n x n x n x n n x n x n n x n n x S R a a n n n n a n n x n n n x n n n n n n n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n ==+∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+∞∞-+∞=⇒=+=+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=+∞→∞=∞=记收敛域为解：的和由此求级数的收敛域及和函数，并求幂级数分。

2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.

北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。

本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。

2. 微分方程的特解可设为________________________________________。

3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。

4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。

5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。

6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。

7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。

8.交换二次积分I=的积分顺序，则。

9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。

10. 幂级数的收敛半径为。

二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。

九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。

十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。

十三、（4分）设发散，又，证明收敛。

09高数(B)II试卷(A)答案

2009 --2010学年第二学期《高等数学（B ）Ⅱ》试卷一、试解下列各题（共20分每题4分）1．计算极限xt e x t x sin d lim 002⎰→． 2．计算广义⎰∞+13d 1x x． 3．设yye x z 2=，求y x z ∂∂∂2．4．判别级数∑∞=+1)]1[ln(1n nn 的敛散性． 5．求微分方程034=+'-''y y y 的通解．二、试解下列各题（共30分每题51．计算积分x x x d )cos( 0 2⎰π． 2．求由方程z e yz x x =-+222所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂．（2分）3．计算二重积分⎰⎰D xy y x xe d d ，其中D 是由x 轴，y 轴，直线1=y 及1=x 所围成的闭区域．4．判断级数∑∞=110n nn ！的敛散性． 5．判别级数∑∞=+-12)12()1(n n n 的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 6．求微分方程xx y x y sin 1=+'的通解．三、试解下列各题（共30分每题61．计算积分x xe xd 1⎰-．2．设vue z =，而y x u +=，xy v =，求x z ∂∂，y z ∂∂． 3．计算二重积分⎰⎰+D y x y x d d )(，其中D 是由2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域．4．求幂级数∑∞=-13)1(n n n nx 的收敛半径及收敛域. 5．求微分方程0134=+'-''y y y 的通解.四、（8分）设销售收入R (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用y x ,(单位:万元)之间的关系为 yy x x R +++=101005200，利润额相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金为25万元,问如何分配两种广告费用可使利润最大?（用拉格朗日乘数法求解）五、（6求由曲线xy 1=与直线x y =、2=x 所围成图形的面积．六、（6设⎰-=xx f t t f 021)(d )(，且1)0(=f ，求)(x f ．。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷

2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 5 页
Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1

C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1

福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 1 页
A.
2 an
n 1

B.
(an 1)
五（10 分）求级数
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时 120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件．5．当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2．函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ；３．D ；４．C ；５．C 三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3．令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =．由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

MK_09-10(2)高数A(二)、B(二)试卷

安徽大学2009—2010学年第二学期院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）题号一二三四五总分得分阅卷人一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）得分1．点(2到平面的距离为 ,1,1)10x y z +−+=.2．极限222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠ .3．交换积分次序 /2sin 0 0d (,)d xx f x y y π=∫∫.4．设()f x 是周期为2的函数，它在区间(1,1]−上的定义为则32,10,(),01,x f x x x −<≤⎧=⎨<≤⎩()f x 的Fourier 级数在1x =处收敛于.5．函数u x 在点处沿方向的方向导数为 yz =(1,1,1)(2,2,1).得分二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6. 二元函数(,)f x y =(0处（） ,0)A. 连续，但偏导数不存在； B ．不连续，且偏导数不存在；C ．不连续，但偏导数存在；D ．连续，且偏导数存在.7．设第二类曲面积分1d d SI xyz z x =∫∫，22d d SI xy z z x =∫∫，其中为的上半部分,方向取上侧．若为在第一卦限部分，且与方向一致，则（）S 2221x y z ++=1S S S A ．； B. 120I I ==10I =，1222d S d I xy z z x =∫∫；C. 112d S d I xyz z x =∫∫，1222d S d I xy z z x =∫∫； D. 112d S d I xyz z x =∫∫，.20I =8. 设为中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω3\ΩΩ的曲面，函数在Ω内连续可导．若曲线积分只依赖于曲线,,P Q R d d d LP x Q y R z ++∫L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（）A ．对Ω内任意光滑闭曲线，曲线积分C d d d CP x Q y R z 0++=∫v ；B. 存在Ω上某个三元函数，使得(,,)u x y z d d d d u P x Q y R z =++；C. 等式,,P Q R P Q Ry x x z z y∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂在开区域Ω内恒成立； D. 等式0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂在开区域Ω内恒成立. 9. 设函数(,)f x y 在开区域内有二阶连续偏导数, 且D 0000(,)(,)0x y f x y f x y ==．则下列为(,)f x y 在点00(,)x y 处取极小值的充分条件的是（）A. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−><><B. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−C. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−D. . 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−10. 设函数具有二阶连续偏导数，则(,,)u f x y z =div f =grad ( )A. xx yy zz f f f ++；B. x y z f f f ++；C. (,,)x y z f f f ；D. (,,)xx yy zz f f f .三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）得分11. 设平面：通过曲面Π0x ay z b +−+=2z x y 2=+在点处的法线(1,1,2)L ，求的值． ,a b12. 计算第二类曲线积分22d d Ly x x yx y −+∫v ，其中L 为正方形边界||，取顺时针方向．||1x y +=院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．计算第一类曲面积分222d z S x y z Σ++∫∫，其中Σ为圆柱面222x y R +=)(0R >介于平面与0z =z h =（）之间的部分． 0h >.14．将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=−+∑的和．15．设函数()f u 具有二阶连续导数，且.(sin )x z f e y =(1) 求2222,.z z x y∂∂∂∂（2）若函数满足方程(sin )xz f e y =22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求函数().f u四、应用题（本大题共两小题，其中第16题10分，第17题6分，共16分）得分------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段，一段围成一个圆，另一段围成一个长方形．求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法．17. 已知一条非均匀金属线L 放置于平面上，刚好为抛物线Oxy 2y x =对应于01x ≤≤的那一段，且它在点(,)x y 处的线密度为(,)x y x ρ=，求该金属丝的质量．院/系专业姓名学号答题勿超装订线得分五、证明题（本大题共两小题，其中第18题6分，第19题4分，共10分）18．证明级数11(1)ln n n n n ∞=+−∑条件收敛．19．设空间闭区域可表示为{(Ω,,)|01,1,}x y z x x y x z y ≤≤≤≤≤≤.若()f t 在[0上连续，且.试证明：,1](,,)()()()F x y z f x f y f z =1301(,,)d d d [()d ]6F x y z x y z f t t Ω=∫∫∫∫.。

《高等数学B(Ⅱ)》课程教学大纲

《高等数学B(Ⅱ)》课程教学大纲课程编号: 90902006学时：32学分：2适用专业：建筑学开课部门：建筑工程学院一、课程的性质与任务高等数学B(Ⅱ)课程是应用型本科院校建筑学等专业的一门专业基础课。

本课程讲多元函数微分学、重积分的基本内容，通过该课程的学习，使学生掌握多元函数微积分的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，为学生解决专业领域的实际问题奠定基础。

三、实践教学的基本要求无四、课程的基本教学内容及要求（七）多元函数微分学教学内容：（1）空间解析几何基本知识；（2）多元函数的基本概念；（3）二元函数的极限和连续；（4）偏导数；（5）全微分；（6）多元复合函数微分法；（7）多元函数的极值；（8）多元函数微分学在最值问题中的应用。

重点与难点重点：多元函数概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数求导法则，多元函数的极值及其求法，多元函数微分学在最值问题中的应用。

难点：偏导数的概念，全微分的概念，多元复合函数求导法则，多元函数的极值及其求法。

课程教学要求：了解空间曲线的一般方程、空间曲面的方程，二元函数的极限和连续性；理解偏导数的概念，全微分的概念，掌握多元函数偏导数、二元函数的极值和条件极值的计算方法；会求空间曲线在坐标面的投影，会用多元函数极值、最值理论解决一些实际问题。

教师介绍多元函数微分学的有关概念，要注意与一元函数微分学的相关概念进行对比。

要突出多元函数最值问题的应用。

（八）重积分教学内容：（1）二重积分的概念与性质；（2）二重积分的计算；（3）重积分的应用举例；（4）广义二重积分。

重点与难点重点：二重积分概念与性质，二重积分的计算，二重积分的应用。

难点：二重积分概念，二重积分的计算，二重积分的应用，广义二重积分。

课程教学要求：了解广义二重积分；理解二重积分的概念和性质；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；会用二重积分解决一些简单的实际问题。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件．5．当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2．函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ；３．D ；４．C ；５．C 三．求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3．令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =．由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)

高数B武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题一、（42分）试解下列各题:1、计算30arctan lim1x x x xe →--. 2、求解微分方程096=+'-''y y y 的通解. 3、计算-+⎰121(1)d x x x 。

4、计算+∞⎰e x 。

5、求曲线⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰11cos d sin d t t ux u u u y u u自1=t 至2π=t 一段弧的长度.6、设2132y x x =++，求()n y 。

二、（8分）已知xyu e =,其中()y f x =由方程22d cos d y x te t t t =⎰⎰确定,求d d u x。

三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1nn nx x n x =+=+，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。

并说明此结论的几何意义。

五、(15分)已知函数324x y x+=，求: 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥)上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为112，试求：（1）曲线()y y x =的方程;(2）切点B 的坐标;（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

七、(7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0''>f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0ξ=f .高数B2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案一、（42分)试解下列各题：1、解：323200011arctan arctan 11limlim lim 331x x x x x x x xx x x e →→→---+===- 2、解：方程的特征方程为:2690r r -+=,其特征根为321==r r , 故方程的通解为：xe x c c y 321)(+= 3、解:原式=1202x dx ⎰ =234、解：00022()x tx t t e dx te dt td e +∞+∞+∞=---==-⎰⎰⎰02[]22t t te e dt +∞-+∞-=-+=⎰ 5、解：s =1π=⎰/211ln 2dt t ππ==⎰6、解：1112y x x =-++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+ 二、（8分）解：=()xy du dye y x dx dx+ ,方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=故有222=(2cos )xy y du e y x x e dx-+三、(8分）解:0n x >， 21102x x -=>，因此21x x > 设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n n n x x x x x x -+--=+-+++110(1)(1)n n n n x x x x ---=>++ n x ∴单调增加，且111112211n n n n x x x x ---=+=-<++,故lim n n x →∞存在设lim n n x a →∞=，则: 11a a a=++ 解得a =a 非负,∴lim n n x →∞=四、（8分）证:设函数()f x 在区间(,)a b 内()0f x '>，12,(,)x x a b ∀∈，且12x x <，函数()f x 在12[,]x x 上可导，由拉格朗日中值定理得：212112()()()(),(,)f x f x f x x x x ξξ'-=-∈，由于2121()0,0()()f x x f x f x ξ'>->⇒>由12,x x 的任意性，()f x 在(,)a b 上单调增加。

2009(2)高等数学B2试卷参考答案

2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。

（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。

（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。

（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。

5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）cos y A x C *=+。

（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。

（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。

（D ）sin y B x C *=+。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。

【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。

【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。

【VIP专享】2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷

得分 16．计算 d S , 其中是球面 x2 + y2 z2 + a2 被平面 z = h(0 h < a) 所截出的顶 z
部．
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 5 页共 6 页
四、（本题共 12 分，每小题 6 分）得分 17．已知曲线 y = y(x) 过原点, 且在原点处的切线垂直于直线 x + 2 y 1 0 , y(x) 满足微分方程 y 2 y 5y + ex cos 2x , 求此曲线方程.
: x2 y2 +z2 t 2 (t = 0) 取外侧, 求 f (t) .
高等数学 AII 试卷(A 卷) 第 3 页共 6 页
t
t
得分 13．设 f (x) 为连续函数, F (t) = d y f (x) d x , 求 F (2) .
1
y
得分
2
4 x2
1
14．利用柱坐标计算 I = d x
院(系)
北京科技大学 2009--2010 学年第二学期
高等数学 A(II) 试卷（A 卷）
班级
学号
姓名
考场
试卷卷面成绩
占课
三
四
程考平时
题号
一
二
11
12
13
14 15
16
17
18
小核成成绩计绩占 20%
80%
得
分
评
阅
审
核
说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分；
得分
二、选择题（本题共 20 分，每小题 4 分）
6．已知三平面 1 : x 5y 2z + 1 0, 2 : 3x + 2 y 5z = 8 0, 3 : 4x 2 y 3z + 9 0, 则必

高等数学b教材有哪几本

高等数学b教材有哪几本高等数学B是大学本科数学专业的一门基础课程，具有广泛的应用领域和深入的理论基础。

在教学过程中，选择一本合适的教材对于学习效果的提高至关重要。

下面将介绍几本常用的高等数学B教材，以供参考。

1. 《高等数学B（上）》该教材是高等数学B的上册教材，由国内著名数学家编写。

该教材内容全面、系统，包含了高等数学B课程的基本理论、概念和方法。

每一章都有大量的例题和习题，帮助学生理解和巩固所学知识。

该教材注重理论与实际应用的结合，具有很强的教学实用性。

2. 《高等数学B（下）》该教材是高等数学B的下册教材，也由国内著名数学家编写。

与上册相比，该教材更加深入和细致，内容涵盖了高等数学B的高级理论和方法。

教材中的例题和习题更具挑战性，着重培养学生分析问题和解决问题的能力。

同时，该教材还增加了一些应用数学的最新发展成果，帮助学生了解数学在现实生活中的应用。

3. 《高等数学B（辅导教材）》除了教材本身，辅导教材在高等数学B学习中也起到重要的辅助作用。

该辅导教材总结了高等数学B的重点和难点，提供了更多的例题和习题，帮助学生更好地复习和巩固所学知识。

辅导教材还常常给出一些解题技巧和思考方法，帮助学生更好地应对考试和解决数学问题。

4. 《高等数学B（实践教材）》高等数学B是理论与实践结合的课程，教材以理论为主，但实践也不可忽视。

《高等数学B（实践教材）》是一本专门针对高等数学B 实践教学编写的教材。

该教材通过丰富的实例和实践题，帮助学生将高等数学B的理论知识应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。

以上是几本常用的高等数学B教材，每本教材都具有独特的特点和优势。

学生在选择教材时，可以根据自己的学习风格和需要进行选择。

同时，教师也可以结合课程要求和教学内容，选用适合的教材来进行教学。

通过合适的教材，学生能够更好地理解和掌握高等数学B的知识，提高数学素养和解决问题的能力。

青岛科技大学数理学院中德学院2009-2010学年2学期高等数学B下A卷考试试题与答案

2009/2010 2 高等数学B （下）（A 卷）数理学院中德学院相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．向量)4,1,3(=a ，(1,0,2)b =-，则a b ⋅= 。

2．设22z x y =+，则dz = 。

3．设积分曲线L 为圆221x y +=，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰。

4．函数()xf x e =展开为1x -的幂级数是。

5．二次积分21(,)x dxf x y dy ⎰⎰交换积分次序可表示为。

二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数连续是函数在该点存在全微分的 . （A ）充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件。

2．1．方程组2241x y z ⎧+=⎨=⎩在空间表示（）()A 两条直线 ()B 椭圆 ()C 圆 ()D 圆柱面3．若L 是圆周229x y +=的逆时针方向，则曲线积分2Lydx xdy +=⎰（）。

()A 3π ()Bπ ()C 4π ()D 9π4．级数 21(1)nn n ∞=-∑（）. ()A 发散 ()B 绝对收敛 ()C 条件收敛 ()D 以上均不是5．以2π为周期的函数在[,)ππ-上的表达式为22,0(),0x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨≤<⎪⎩，其傅里叶级数的和函数为(),s x 则(0)s =（）。

()A 1 ()B12()C 0 ()D 2. 三、（共21分）课程考试试题学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适用专业:1、（7分）设(,2)z f xy x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。

2、（7分）计算二重积分2(2)Dx xy dxdy +⎰⎰，其中积分区域D 由20,y y x ==和1x =所围。

2009-2010高等数学(A2)- B卷评分标准

∞ 1 n x−2 n = ∑ ( −1) ( ) ( −2 < x < 6 ) x − 2 n=0 4 1+ 4
n ∞ 1 n ⎡ n ⎛1⎞ ⎤ = ∑ ( −1) ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ( x − 2 ) (1 < x < 3) ∴ f ( x) = 2 x + x − 2 n =0 ⎢ ⎝4⎠ ⎦ ⎥ ⎣
∂z y −1 = cos ( xy ) ⋅ y + y (1 + xy ) ⋅ y ∂x
= y ⎡ cos ( xy ) + y (1 + xy ) ⎣
y −1
⎤ ⎦
3分
∂z x ⎤ y ln 1+ xy ⎡ = cos ( xy ) ⋅ x + e ( ) ⎢ln (1 + xy ) + y ⋅ 1 + xy ⎥ ∂y ⎣ ⎦ xy ⎤ y ⎡ = x cos ( xy ) + (1 + xy ) ⎢ln (1 + xy ) + 1 + xy ⎥ ⎣ ⎦
0 0 0
6分 7分
= 2π ⋅
34 243 ⋅3 = π 4 2
九、计算题(4 分)
1 n u = lim n 解: ∵ lim n n →∞ n →∞ 2n
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠
n2
1⎛ 1⎞ e = lim ⎜ 1 + ⎟ = > 1 n →∞ 2∴级数
∑2
n =1
2
4分 6分
四、解: t =
计算题(6 分)
对应曲线上点 (1,1, 0 ) 2 x′ = − sin t + 2 sin t cos t , y ′ = cos t (1 − cos t ) + sin t sin t , z ′ = sin t