中国数学文化

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中国传统数学的萌芽—— ——先秦时期
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中国传统数学框架的确立
春秋至东汉中期的数学
诸子百家与数学
一、儒家与九教
二、墨家与数学
一、《九章算术》的内容 二、《九章算术》的体例和 编纂 三、《九章算术》规范了传 统数学
《九章算术》
墨子
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中国传统数学理论体系的完成
《张丘建算经》和百鸡问题
《张丘建算经》，古代汉族数学 著作。（约公元5世纪）现传本 有92问，比较突出的成就有最 大公约数与最小公倍数的计算， 各种等差数列问题的解决、某些 不定方程问题求解等。「百鸡问 题」是《张丘建算经》中的一个 著名数学问题，它给出了由三个 未知量的两个方程组成的不定方 程组的解。百鸡问题是：「今有 鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买 鸡百只，问鸡翁母雏各几何。」 依题意即解
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祖氏数学世家
祖冲之（公元429年4月20日-公元500年）是我国南北朝时 祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式 期杰出的数学家、科学家。汉族人，字文远。生于刘宋文 刘徽原理（不可分量原理）与“牟合方盖 ” 帝元嘉六年，卒于萧齐昏侯永元二年。。祖父祖昌曾任刘 宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中 做官。祖冲之从小接受家庭环境的熏陶，学习家传的科学 祖暅，祖冲之 之子，同其父祖冲之一起 知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任 圆满解决了球面积的计算问题，得到正 过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山 确的体积公式。现行教材中著名的“祖 市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在 暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世 数学、圆周率，天文历法和机械四方面。为中国乃至世界 祖暅原理图示 界杰出的贡献。祖冲之之子祖暅总结了 文明的进步作出了卓越贡献。 刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积 不容异”，即等高的两立体，若其任意 高处的水平截面积相等，则这两立体体 积相等，这就是著名的祖暅公理（或刘 刘徽原理：用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为 π：4， 祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了 于是得到V球:V牟=π：4 即 球= （π/4） 牟。 刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在 西方直到十七世纪才由意大利数学家卡 瓦列利﹝BonaventuraCavalieri﹞发现， 比祖暅晚一千一百多年。
主讲：唐巨惠
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中国有数学文化吗？
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以前有，现在没 基本不了解
中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学 中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌。 根据它本身的特点，可以分为五个时期：(1)先秦 萌芽时期；(2)汉唐奠基时期；(3)宋元全盛时期； (4)西学输入时期；(5)近现代数学发展时期。
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《九章算术》其作者已不可考。一般认为 它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为 开方术---减根变换法 现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做 盈不足术 实质上是一种线性插值法 方程术---- 线性联立方程组的解法 过增补和整理，其时大体已成定本。最后 成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是 正负术---- 正、负数的加减运算法则 在三国时期魏元帝景元四年（ 263年），刘 更相减损术---求最大公约数方法 徽为《九章》所作的注本。 同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正 它是中国汉族学者在古代第一部数学专著， 之，其异名相除，同名相益，正无入正之，负 “可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 是《算经十书》中最重要的一种，成于公 无入负之。 以少减多，更相减损，求其等也。以等 数约 元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统 之。” 同名、异名即同号、异号；相益、相除指二数 总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同 （91 ，49）= ？ 绝对值相 正数：红筹加相减。前四句减法法 时，《九章算术》在数学上还有其独到的 则， ，27759 后四句加法法则。 负数： （10227 ） =？ 成就，不仅最早提到分数问题，也首先记 黒筹 录了盈不足等问题，《方程》章还在世界 数学史上首次阐述了负数及其加减运算法 则。它是一本综合性的历史著作，是当时 世界上最简练有效的应用数学，它的出现 标志中国古代数学形成了完整的体系。 重庆大学汽车工程学院
东汉末期至唐中叶的数学 刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏 徐岳（？——南北朝的数学著作 220），字公河，东莱人，东汉时期著名数学 晋期间伟大的数学家，中国古典数学 理论的奠基人之一。 东汉末期至唐中叶，尤其是魏晋时期，是中国传统数学理论体系形成的时期。 赵爽，又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代 家、天文学家。汉灵帝时，著名天文学家刘洪“按数术成 是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章 魏晋尽管时间跨度不长，在中国数学史上的地位却极其重要，不仅大大超过 吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平 算”创造了乾象历，授于徐岳。徐岳潜心钻研晦、朔、弦、 《孙子算经》、《夏侯阳算经》、 算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘 秦汉数学，而且在此登上了世界数学发展的高峰，特别是理论高峰。数学家们的 不详，约生活于公元3世纪初。 望、日月交食等历象端委，进一步完善了“乾象历”，后 徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中 《张丘建算经》、《缀术》（祖冲之 业绩主要在数学方法、数学证明和数学力量方面。 又把该历法传授给吴中书令阚泽，“乾象历”遂在吴国实 国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的 和祖暅）…… 行。历法的钻研为徐岳以后从事算学研究打下了坚实基础。 人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低 他搜集我国先秦以来大量数学资料，撰写出《数术记遗》、 下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌 《算经要用》等具有历史意义的数学著作。《数术记遗》 的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。 隋至唐中叶的数学著作 以与刘洪问答的形式，介绍了14种计算方法，“未满百言， 而骨削质奥，思纬淹通，依然东京风骨。”
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《孙子算经》是重要的古代汉族数学著作。约成书于 “孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除 四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和 ” 之余二，问物几何？ 今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉、 编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述 兔各几何？答曰：雉二十 三，兔一十二。 孙子问题相当于求解一次同余式组 算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，卷中举例说 术曰：上臵三十五头，下臵九十四足。半其足，得四十七， N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7） 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第 31题，可谓 以少减多，再命之，上三 除下三，上五除下五，下有一除 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 上一，下有二除上二，即得。又术曰：上臵头，下臵足， 解法 ：“孙子歌” “鹤龟算”。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼， 半其足，以头除足，以足除头，即得。 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得 上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四 知。 鸡兔同笼题目 极其解法 句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上 面数，有 35个头；从下面数，有 只脚。求笼中各有 计算过程为： 2× 105. N=70×2+21×3+15×2－94 几只鸡和兔？ 此题被义务教育课程标准实验教科书 今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三； 人教版数学六年级上册选为第七单元教材。 70 =2× 5× 7≡1(mod 3)≡0(mod 5)≡0(mod 7),
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中国传统数学的衰落
明初至清中
明清数学衰落的原因 1. 我国古代数学重视实践，崇尚实用，强调具体和计算， 忽视抽象和逻辑推理论证。如珠算发明，数学理论研究被忽 视。 2. 因为筹算系统的限制，未能适当和系统地使用数学符 号。 3. 明代废弃数学科举考试，实行八股取士制度，不重视 数学。 4. 明前数学发展与天文历法有密切联系，明后减弱。 5. 数学成果缺少必要的交流和传播(闭关锁国)。如战乱 导致一些数学著作遗失。
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《周髀算经》 《九章算术》 《张丘建算经》和百鸡问题 祖氏数学世家 《孙子算经》
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《周髀算经》原名《周髀》，是 算经的十书之一。中国最古老的汉族 天文学和数学著作，约成书于公元前1 世纪，主要阐明当时的盖天说和四分 历法。唐初规定它为国子监明算科的 教材之一，故改名《周髀算经》。 《周髀算经》在数学上的主要成就是 介绍了勾股定理及其在测量上的应用 以及怎样引用到天文计算。《周髀算 经》记载了勾股定理的公式与证明， 相传是在商代由商高发现，故又有称 之为商高定理；三国时代的赵爽对 《周髀算经》内的勾股定理作出了详 细注释，又给出了另外一个证明引。
七七数之，剩二。问：物几 何？答曰：二十三。 21 = 3× 7≡0(mod 3)≡1(mod 5)≡0(mod 7) , 术曰：三三数之，剩二，臵一百四十；五五数之，剩三， 15=3× 5≡0(mod 3)≡0(mod 5)≡1(mod 7) . 臵六十三；七七数之，剩二 ，臵三十。并之，得二百三十 三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则臵七 这个同余组的最小整数解N=23， 十 五；五五数之，剩一，则臵二十一；七七数之，剩一， 则臵十五。一百六以上，以一百五 减之，即得。 物不知数题目 极其解法
《缉古算经》、《周髀算经注释》、 《大衍历》
赵爽
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刘徽 《数术记遗》书影
中国传统数学的高潮
唐中叶至宋元时期 宋元时期中国传统数学达到第三个高潮，学术界通常称为宋元数 学高潮。这段时间，数学成就众多。 1 、贾宪三角：贾宪，北宋中期数学家，撰有《皇帝九章算 3 、李治与《测圆海镜》：李治（ 1192 — 1279 ），亦作李 2 、秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”：秦九韶（约 5 、朱世杰与《四元玉鉴》：朱世杰，元代数学家。字汉卿， 4 、《杨辉算法》：杨辉，南宋后期人，字谦光，钱塘 经细草》九卷、《算法 敩古集》二卷。他总结的“开方作 冶。金元数学家、文学家和史学家 。字仁卿，号敬斋，真 1202 —约1261），字道古，自称鲁郡（今山东曲阜）人。 号松庭，燕（今北京附近）人。著有《算学启蒙》和 （今浙江杭州）人。他著《祥解九章算法》（ 1261）、 法本源”图，今称贾宪三角，早西方相同的帕斯卡三角 600 定栾城（今属河北）人，生于大兴（今北京市）。 1248 年 （ 1299）和《四元玉鉴》（ 1303）。前书包括了从乘除及 生于普州安岳（今属四川）。淳示右七年（ 1247 ）撰《数 《日用算法》（ 1262）、《乘除变通本末》（ 1274 ）、 多年。他创造出的求高次幂的“增乘开方法”，比英国霍 学九章》十八卷，提出“数与道非二本”和“数术之传以 著《测圆海镜》十二卷，集勾股形与圆的各种关系之大成， 其捷算法到增乘开方法、天元术等各方面的内容。《四元 《田亩比类乘除捷法》（ 1275）、《续古摘奇算法》 纳 770年。 就十五种关系提出了 170个求圆径长的问题。发展并论述了 实为体”的思想。“大衍求一术”和“正负开方术”是他 玉鉴》则是中国古代水平最高的数学著作，三卷。全书分 （1819 1275年的早约 ）等，其中后三书合刻称《杨辉算法》，在二阶等 二十四门，共 288题，是用天元术或四元术来解答的。讨论 在数学上的最突出贡献。前者就是现代整数论中的一次同 天元术即一元高次方程解法，是中国现存最早系统使用天 差级数求和、总结民间筹算乘除捷算法、纵横图知识、数 元术的著作，早欧洲同类研究 300年。 余式组解法，最早出自《孙子算经》中的“韩信点兵”问 了高次方程组的消元法；形成了高阶等差级数有限项求和 学教育方面，做出了突出的贡献。 题，他系统论述后正式命名为“大衍求一术”。欧洲获得 问题的完整体系，还有高次差的招差法等重要成就，其招 差公式三百多年后英国的牛顿才研究得出。 相同定理的是瑞士大数学家欧拉（1743）和德国高斯 （1801）。在世界数学界，它被称为“中国剩余定理”。 “正负开方术”是今天所说的高次方程数值解法，今人称 为“秦九韶程序”。