数学习作A_综合演练

第1章综合演练一、单选题（每题7分，共28分）( (D) )1. 若θ为第三象限角，P（x﹐y）为θ终边上一点，OP＝3，则下列何者可表示P点的y坐标？(A)sinθ(B)cosθ(C)3sin（θ－180°）(D)3sinθ(E)3sin（180°＋θ）解由定义知P（3cosθ﹐3sinθ），故y坐标为3sinθ故选(D)( (B) )2. 若a＝sin10°，b＝cos20°，c＝tan30°，d＝sin80°，e＝tan85°，试比较大小关系，下列哪一个是正确的选项？(A)a＞b＞c(B)d＞b＞c(C)e＜c＜a(D)a＜b＜c(E)a＝d＞e解a＝sin10°b＝cos20°＝cos（90°－70°）＝sin70°＞sin60°＝2c＝tan30°＞tan10°＞sin10°d＝sin80°e＝tan85°＞tan45°＝1又sin在第一象限为递增函数可知tan85°＞1＞sin80°＞sin70°sin10°故tan85°＞sin80°＞cos20°＞tan30°＞sin10°即e＞d＞b＞c＞a故选(B)( (C) )3. 已知A[2﹐50°]与B[3﹐k°]为极坐标上两点，若O为原点，则当k为下列哪一个整数值时，△OAB 的面积最大？ (A)80(B)90(C)180(D)190(E)200解 因为△OAB 面积＝12× OA × OB × sin ∠AOB ＝3sin ∠AOB 且∠AOB ＝k °－50° (A) 3 sin 30° (B) 3 sin 40°(C) 3 sin 130°＝3 sin 50° (D) 3 sin 140°＝3 sin 40° (E) 3 sin 150°＝3 sin 30° ∵sin 50°＞sin 40°＞sin 30° 故选(C)( (E) )4. 如下图，先作△ABC 的外接圆O 1，再以AB 长为直径作另一圆O 2，若∠ACB ＝60°，则圆O 1与圆O 2的面积比为何？ (A)9：4(B)5：4(C)3：2(D)2：1(E)4：3解 设圆O 1与圆O 2的半径分别为R 1与R 2由正弦定理可知sin60AB ︒＝2R 1 ⇨ R 1＝2sin60AB︒AB又圆O 2直径为AB ⇨ R 2＝12AB 故圆O 1面积：圆O 2面积＝R 12π：R 22π＝R 12：R 22＝2AB ⎛⎫：22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝13：14＝4：3故选(E)二、多选题（每题10分，错一个选项得6分，错两个选项得2分，其余不给分，共20分） ( (A)(B)(D) )5. 如下图，边长为1的正三角形APQ 内接于矩形ABCD ，且∠DAQ ＝θ。

请问下列哪些叙述正确？ (A)∠P AB ＝30°－θ (B)∠CPQ ＝60°－θ(C)QC ＝cos30°cos θ＋sin30°sin θ (D)PB ＝sin30°cos θ －cos30°sin θ(E)若在此矩形所在的平面上，以A 为极点，AQ 射线为极轴，建立极坐标系，则P 的极坐标为[1﹐60°]解 (A)○：∠P AB ＝90°－60°－θ＝30°－θ(B)○：∠APB ＝90°－∠P AB ＝90°－（30°－θ）＝60°＋θ，则∠CPQ ＝180°－∠QP A －∠APB＝180°－60°－（60°＋θ）＝60°－θ(C)×：QC ＝QP sin ∠CPQ ＝1×sin （60°－θ）＝sin60°cos θ－cos60°sin θ ＝cos30°cos θ－sin30°sin θ(D)○：PB ＝PA sin ∠P AB ＝1×sin （30°－θ）＝sin30°cos θ－cos30°sin θ (E)×：P 的极坐标为[1﹐－60°]＝[1﹐300°] 故选(A)(B)(D)( (B)(E) )6. △ABC 中，已知AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则下列哪些选项是正确的？(A)△ABC 为钝角三角形 (B)△ABC 为锐角三角形 (C)sin B ＞sin C ＞sin A(D)cos A ＞cos C ＞cos B(E)tan B ＞tan A ＞tan C解 (A)×：三角形有大角对大边性质，故由边长可知∠B 为最大角由余弦定理可知cos B ＝222678267⋅⋅＋－＝2184＝14＞0⇨∠B 为锐角又最大角为锐角，则三个角均为锐角 ⇨△ABC 为锐角三角形 (B)○：同(A)(C)×：由正弦定理可知sin A ＝2a R ＝72R ，sin B ＝2b R ＝82R ，sin C ＝2c R ＝62R因为82R ＞72R ＞62R，所以sin B ＞sin A ＞sin C (D)×：因为大角对大边，又已知AC ＞BC ＞AB （即b ＞a ＞c ）所以∠B ＞∠A ＞∠C ，且∠A ，∠B ，∠C 均为锐角（第一象限角） 而cos 在第一象限为递减函数，角度越大值越小 故cos B ＜cos A ＜cos C (E)○：由(D)可知∠B ＞∠A ＞∠C又tan 在第一象限为递增函数，故tan B ＞tan A ＞tan C故选(B)(E)三、填充题（每格8分，共32分）7. 已知sin 44° ≈ 0.6947，sin 44°10′ ≈ 0.6967，若180°＜θ＜270°且sin θ ≈－0.6953，则θ＝ 224°03′ 。

解 令sin44°x ′ ≈ 0.6953θ sin θ 4400444410'x''︒︒︒ 069470695306967...由内插法可知0100x －－＝06953069470696706947....－－＝0000600020..＝310 ⇨ x ＝3 所以 sin 44°03′ ≈ 0.6953又180°＜θ＜270°⇨－0.6953 ≈－sin 44°03′＝sin （180°＋44°03′）＝sin224°03′ 故θ＝224°03′8. 在坐标平面上，A （3﹐4）与B （4﹐3）为圆O 上两点，则∠AOB 最接近所附的三角函数表中的哪一个度数。

答： 16.3° 。

sin cos 16° 0.2756 0.9613 16.1° 0.2773 0.9608 16.2° 0.2790 0.9603 16.3° 0.2807 0.9598 16.4° 0.2823 0.9593解 OA ＝OB ＝2234＋＝5，令x 轴与OB 所夹之有向角为β，与OA 所夹之有向角为α则sin α＝45，cos α＝35，sin β＝35，cos β＝45故sin ∠AOB ＝sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ＝45 × 45－35 × 35＝16925－＝725＝28100＝0.28（最接近0.2807） 所以sin ∠AOB ≈ 0.2807 ≈ sin 16.3° ⇨∠AOB 最接近16.3°9. 小明站在广场上，他的正北方5公尺处有一A 点，他的正东方10公尺处有一B 点，他的正西方5公尺处有一C 点，试求tan ∠CAB ＝ －3 。

（11 分） 解 如下图，令小明的位置为D 点则tan ∠DAB ＝105＝2tan ∠DAC ＝55＝1因为∠CAB ＝∠DAB ＋∠DAC ，由tan θ的和角公式可得tan ∠CAB ＝tan tan 1tan tan DAB DAC DAB DAC ∠∠∠⨯∠＋－＝21121⨯＋－＝－310. 在极坐标平面上，O 为原点，设A [3﹐13°]，B [6﹐133°]，则△OAB 外接圆半径为。

解 ∠AOB ＝133°－13°＝120°AB 2＝62＋32－2 × 6 × 3 × cos120°＝36＋9－2 × 6 × 312⎛⎫⎪⎝⎭－＝36＋9＋18＝63⇨ AB由正弦定理，sin120AB︒＝2R得R ＝2sin120AB ︒＝四、计算题（每题10分，共20分）11. 地面上有O ，A ，B ，C 四点，且任三点不共线。

在O 点有一垂直地面的尖塔，塔顶为D点，从A ，B ，C 三点测得尖塔顶端的仰角都是60°，已知AB ＝90公尺，∠ACB ＝120°，试求：(1)△ABC 的外接圆半径。

（5 分） (2)尖塔的高度。

（5 分）解 (1)依题意绘图如下，设塔高OD ＝h因为A ，B ，C 三点所测仰角均为60°，所以OA ＝OB ＝OC则A ，B ，C 至塔底O 的距离即为△ABC 的外接圆 半径R由正弦定理可知2R ＝sin AB C ＝90sin120︒︒⇨ R(2)⇨ h ＝90（公尺）12. 设一台风中心为O ，中午12时被测出在A 地南30°西，距A 地公里的海面上，以每小时20公里的速度朝北60°东的方向行进，其暴风半径为100公里，假定这台风半径及行进方向与速度均不变，试问下午何时A 地会进入暴风圈？ 解 〔解法一〕由题意可得下图，设当台风中心走到B 时与A 地的距离为100公里 即AB ＝暴风半径＝100，∠AOB ＝90°－30°－30°＝30°设OB ＝x ，由余弦定理知1002＝（2＋x 2－2‧× x × cos30° 得x ＝100或200由下图可知，在OB＝100时，A地进入暴风圈在OB＝200时，A地脱离暴风圈又每小时走20公里，所以100公里走5小时故中午12时加5小时，即下午5时进入暴风圈〔解法二〕由题意可得下图，设当台风中心走到B时与A地的距离为100公里即AB＝暴风半径＝100，∠AOB＝90°－30°－30°＝30°又∠OAB＝30°＝∠AOB所以△AOB为等腰三角形，得OB＝AB＝100又每小时走20公里，所以100公里走5小时故中午12时加5小时，即下午5时进入暴风圈。