第一章 随机事件与概率
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概率论第一章随机事件及其概率
1.1.2 随机事件及其运算
1.随机事件 可能发生、也可能不发生的事件 随机事件是随机试验结果（样本点）组成的 集合，一般用字母A、B、…表示。 三个特殊的随机事件： 基本事件：仅由一个样本点组成的集合
必然事件：全部样本点组成的集合，即Ω
不可能事件：不包含任何样本点的集合，即
2. 事件的关系与运算
反之，对一个事件的概率人们也 直观地从频率的角度去理解。 如某个硬币抛出正面的概率是0.4，即…
4.概率的数学定义
定义1.2(概率的公理化定义) 设E是随机试验， Ω 是它 的样本空间，如果对每个事件 A 赋予一 个实数 P (A) ，如果集合函数满足P (· ) 满足下 列条件
(1) (非负性) 对任意事件 A，有 P (A) ≥ 0 ； (2) (规范性) 对必然事件 S，有 P (S) = 1 ； (3) (无穷可加) 对任意两两不相容的随机事件 A1，A2，· · · ，都有： P ( A1＋A2＋· · · ) = P (A1)＋P (A2)＋· · · 则 P (A) 称为事件 A 的概率。
2. 随机抽样模型
例1.15 如果某批产品中有a件次品，b件好品。今 从中不放回地（有放回地）两种方式任取n件，则 其中恰有k（k ≤ a）件次品的概率是多少？
(2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。
第一章 随机事件及其概率
例如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到 丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城 共有 32 6 条旅游线路.
（2）加法原理 如果某件事可由 k 类不同办法之一
去完成，在第一类办法中又有 m1 种完成方法，在第
二类办法中又有 m2 种完成方法，…，第 k 类办法中
又有 mk 种完成方法，那么完成这件事共有
定义1 在一个随机现象中，用来表示任一个随机
事件 A发生可能性大小的实数(即比率)称为该事件
的概率，记为 P( A) ，并规定:
(1)非负性公理:对任一事件 A ，必有 P(A) 0; (2)正则性公理:必然事件的概率 P() 1; (3)可加性公理:若 A1 与 A2 是两个互不相容事件
A3 ={次品，正品}， A4 ={次品，次品}.
例2 为了检查一批产品的质量情况，从中随机抽取 100件来检查，结果所产生的基本事件共有多少个？
解 基本事件数为101个，分别为： A0 ={没有次品}， A1 ={有1件次品}， A2 ={有2件次品}，… A100={有100件次品}.
或统一表示为：
种方法.
m1 m2 mk
例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:车、 火车和飞机.而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞
机有2个班次，那么从甲城到乙城共有 5 3 2 10
个班次供旅游者选择.
（2）加法原理 如果某件事可由 k 类不同办法之一
去完成，在第一类办法中又有 m1 种完成方法，在第
二类办法中又有 m2 种完成方法，…，第 k 类办法中
又有 mk 种完成方法，那么完成这件事共有
定义1 在一个随机现象中，用来表示任一个随机
事件 A发生可能性大小的实数(即比率)称为该事件
的概率，记为 P( A) ，并规定:
(1)非负性公理:对任一事件 A ，必有 P(A) 0; (2)正则性公理:必然事件的概率 P() 1; (3)可加性公理:若 A1 与 A2 是两个互不相容事件
A3 ={次品，正品}， A4 ={次品，次品}.
例2 为了检查一批产品的质量情况，从中随机抽取 100件来检查，结果所产生的基本事件共有多少个？
解 基本事件数为101个，分别为： A0 ={没有次品}， A1 ={有1件次品}， A2 ={有2件次品}，… A100={有100件次品}.
或统一表示为：
种方法.
m1 m2 mk
例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具:车、 火车和飞机.而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞
机有2个班次，那么从甲城到乙城共有 5 3 2 10
个班次供旅游者选择.
经典概率论与数理统计第1章随机事件与概率
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
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例1.1.1 掷一颗均匀的骰子 基本事件：{出现k点}, k=1，2，……，6 复杂事件：A={出现偶数点}， B={出现奇数点}，…… 必然事件：Ω={出现小于7的点} 不可能事件：φ={出现大于6的点} 例1.1.2 观察某天到某商场购物的顾客数。 令={来到k个顾客}，k=0，1，2…… 则Ω={：k≥0} 例1.1.3 在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿 命. Ω={t｜t≥0}；
A={(1,2)(1,3)(1,4) (3,1)(3,2)(3,4)} B={(1,3) (2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)} C={(1,3) (3,1)}
故
P(A)=1/2，P(B)=1/2，P(C)=1/6 。
例1.2.2 有10个电阻,其电阻分别为1Ω,2Ω,……， 10Ω，从中任取出三个，以A表示“取出的三个电阻恰 好一个小于5Ω，一个等于5Ω，一个大于5Ω”这一事件， 求P(A). 解
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当T=60，t=20时，概率P=5/9
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例1.2.9 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数 的乘积小于1/4的概率 解 设在（0，1）内任取两个数为x,y 0＜y＜1 0＜x＜1,
令A表示“两个数乘积小于1/4” A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率
自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：
一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象，
另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象.
随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件
一、随机试验与样本空间
我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：
E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；
£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；
£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；
£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；
£：记录某超市一天内进入的顾客人数；
&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：
（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；
（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；
%
（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：
n, ={w,T}；
1第一章随机事件与概率
单的结果 ，称为基本事件.
在E5中，“0环”,“1环”, ...“10环”，这 些都是基本事件.
复合事件——由若干个基本事件组成. 在E5中，“5环以上”，“8环以下”， 这些都是复合事件.
样本空间或基本事件空间 :
随机试验E的全体基本事件组成的集合.
写出上面5个试验的基本事件空间 E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、
哪一个结果会出现.
则称为随机试验，简称试验.
随机试验用E表示. 例如：
E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、 反面的情况.
E2： 将一硬币抛两次，观察出现正面、 反面的情况.
E3：在一批灯泡中，任取一只测试它的寿命.
E4： 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5： 某人向100米外的靶子射击，观察击中
4) 对偶律:(De Morgan 律)
A B A B A B AB
_________
________
A B A B ; A B A B
推广：对于有限个事件恒有
n
n A i
Ai ,
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
注: 两事件对立 两事件互不相容 因为，两事件A与B 对立 ：
Ai
i1
4 互不相容(互斥)
若事件A与B 不能同时发生，即
在E5中，“0环”,“1环”, ...“10环”，这 些都是基本事件.
复合事件——由若干个基本事件组成. 在E5中，“5环以上”，“8环以下”， 这些都是复合事件.
样本空间或基本事件空间 :
随机试验E的全体基本事件组成的集合.
写出上面5个试验的基本事件空间 E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、
哪一个结果会出现.
则称为随机试验，简称试验.
随机试验用E表示. 例如：
E1： 抛一枚均匀的硬币，观察出现正面、 反面的情况.
E2： 将一硬币抛两次，观察出现正面、 反面的情况.
E3：在一批灯泡中，任取一只测试它的寿命.
E4： 抛一颗骰子，观察出现的点数. E5： 某人向100米外的靶子射击，观察击中
4) 对偶律:(De Morgan 律)
A B A B A B AB
_________
________
A B A B ; A B A B
推广：对于有限个事件恒有
n
n A i
Ai ,
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
注: 两事件对立 两事件互不相容 因为，两事件A与B 对立 ：
Ai
i1
4 互不相容(互斥)
若事件A与B 不能同时发生，即
第一章 随机事件与概率
[ a , b ) = (- ∞ , b ) - (- ∞ , a ), 其中 a , b 为任意实数。
●再把闭区间、单点集、左开右闭区间，开区间扩展进来：
[a, b] =
∩ [a, b +
n =1
+∞
1 ),{b} = [ a , b ] − [ a , b ), n
( a , b ] = [ a , b ] − { a }, ( a , b ) = [ a , b ) − { a }.
6
§1.2 有关概率论的测度论介绍
从概率的形成和发展来看，它虽起源比较早（可以追溯到 17 世纪 30 年代） ，但直到 20 世纪 30 年代，原苏联科学家柯尔莫哥洛夫在集合和测度论的基础上建立了概率模型的公理 化体系，在这个体系中，他把概率看作在整个空间 Ω 上取值为 1 的测度，并借助测度论为概 率论的发展打下了坚实的理论基础， 这才使概率论有了比较严格和完整的理论体系。 自此以 后，概率论的理论和应用在广度和深度上都有了迅速的发展。现在，测度论已经成为概率论 （特别是随机过程论） 的理论基础。 概率统计中的很多概念和结果离开测度论是很难从理论 上讲清楚的。因此，要使概率统计知识的学习有质的飞跃，就需要学习与概率论有关的测度 论基础。 在这一节，我们将简要介绍与概率论有关的测度论的基本知识。
∪ A ∈F
i i =1
第一章随机事件及其概率
21
从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律 性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或 观察中呈现出来.这种规律性称为随机现象的统计规 律性.
概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一 门数学学科.
22
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件 1.1.2 随机试验与事件、样本空间 对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各
随后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace) 又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原 始形式.
拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分 析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并 在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推 向一个新的发展阶段.
8
19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚 普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限 定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到 的许多随机变量近似服从正态分布.
27
例3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次 数，这是个随机试验.
它的基本事件(记录的结果)是一个非负的整数， 由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间
S={0,1,2,…}
例4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿 命，这是个随机试验.
设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.
从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律 性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或 观察中呈现出来.这种规律性称为随机现象的统计规 律性.
概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一 门数学学科.
22
第一章 随机事件及其概率
1.1 随机事件 1.1.2 随机试验与事件、样本空间 对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各
随后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace) 又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原 始形式.
拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分 析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并 在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推 向一个新的发展阶段.
8
19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚 普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限 定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到 的许多随机变量近似服从正态分布.
27
例3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次 数，这是个随机试验.
它的基本事件(记录的结果)是一个非负的整数， 由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间
S={0,1,2,…}
例4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿 命，这是个随机试验.
设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
1.交换率： A∪B=B∪A， AB=BA 2.结合率：（A∪B）∪C=A∪（ B∪C），
（AB）C=A（BC）； 3.分配率：（A∪B）C=（AC）∪（BC），
（AB）∪C=（A∪C）（B∪C）； 4.对偶原则（德—摩根律）：
A B AB AB A B
n
n
Ai Ai
i1
3． ABC ABC ABC
4．A、B、C中有不多于一个事件发生； 5．A、B、C中有不多于两个事件发生。
4．ABC ABC ABC ABC AB AC BC,
（4）的对立事件是（2） 5．等价于A、B、C 至少有一个发生，
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
排列、组合的几个简单公式
1、排列: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同排列总数为：
Ank
n(n 1)(n 2)
(n k
1)
n! (n k)!
k = n时称全排列
Ann pn n(n 1)(n 2) 2 1 n!
从n个不同元素取 k个（允许重复）
B3 A1A2 A3
第一、三枪至少有一枪击中目标= A1 A3 仅第一枪击中目标= A1 A2 A3 至少有一枪击中目标=A1 A2 A3
恰有一枪击中目标= A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
（AB）C=A（BC）； 3.分配率：（A∪B）C=（AC）∪（BC），
（AB）∪C=（A∪C）（B∪C）； 4.对偶原则（德—摩根律）：
A B AB AB A B
n
n
Ai Ai
i1
3． ABC ABC ABC
4．A、B、C中有不多于一个事件发生； 5．A、B、C中有不多于两个事件发生。
4．ABC ABC ABC ABC AB AC BC,
（4）的对立事件是（2） 5．等价于A、B、C 至少有一个发生，
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
排列、组合的几个简单公式
1、排列: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同排列总数为：
Ank
n(n 1)(n 2)
(n k
1)
n! (n k)!
k = n时称全排列
Ann pn n(n 1)(n 2) 2 1 n!
从n个不同元素取 k个（允许重复）
B3 A1A2 A3
第一、三枪至少有一枪击中目标= A1 A3 仅第一枪击中目标= A1 A2 A3 至少有一枪击中目标=A1 A2 A3
恰有一枪击中目标= A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
随机事件与概率
{HH , HT ,TH ,TT}
第1次 第2次
HH
H
HT
H
TH
T
H
在每次试验中必
T
有一个样本点出
H
现且仅有一个样 本点出现 .
TT
T
T
随机事件：在随机试验中，有可能发生也有可能不发 生的结果，称之为随机事件，简称为事件， 常用大写字母 A, B,C …表示.
注：随机事件实际上是样本空间的一个子集，即 是由样本点所构成的集合.
（3）C 出现0次正面
出现正面的次数不少于1次 B
{1次，2次，3次} C
7、完备事件组（***）
设 A1, A2 ,, An 满足: ⑴ Ai Aj ，（i j）即两两互不相容； ⑵ A1 A2 An 即它们的和为必然事件. 则称 A1, A2 ,, An 为完备事件组
事件运算满足如下规律
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件B 的发生吗？ 会 2、事件 B 发生会导致事件 A的发生吗？ 不会
事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 B 包含事件 A，也称事件 A 包含 于事件 B. 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
AB
注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说 法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生；
第1章 随机事件与概率
确定性现象的特征
条件完全决定结果
9
2、随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反 两面出现的情况”. 反 正
结果有可能出现正面也可能出现反面. 实例2 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或
现在，让我们看一个 从死亡线上生还 的故事
本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是 一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能 性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王 一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把 这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件， 变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了 自己的脚，反使犯臣得以死里逃生.
38
了解事件发生的可能性即概率的大小，显然很有 实际意义. 对一个随机事件A，我们用一个数 P(A)来表示 A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。 那么，怎么来规定 P(A)的大小呢？
39
一、频率(概率与频率的关系)
定义 在相同的条件下进行n次试验,其中事件A发 生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为fn(A). 既然概率 P(A)度量了随机事件A发生的可能性大 小，可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大， 则频率也较大; 反之，若P(A)较小，则频率也较小， 而且概率P(A)应与频率有许多相似的性质。下面我
第一章随机事件与概率课件
A ={(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}，
B 包含有 nB =6个基本事件 B {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，
所以
P(A) nA 5 ， n 36
P(B) nB 6 1． n 36 6
3．排列组合简介
为A
B
A B
事件 A 与B事件就是的把和事或件并A，与记事为件 B所包．含的基本事件放在一起作成的事
件． 在 E2中，A ={2，4，6}， C={1，2，3}． A C={1，2，3，4，6}． 对于任一事件 A ，有
A A A A A A
4．事件的积：“事件A与事件 B同时发生”，这样的事件称为事件A 与事件 B 的积或交，记为 A B 或 AB ．
(5) A B A AB AB ．
例 某工人加工三个零件，设Ai 表示事件
“第 i 个零件是合格品”i( =1，2，3)，试用A1 ，A2 A，3 表示下列事 件：
(1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品．
fn (A)
nA n
．
设试验 E 的基本空间为 ，A 为 E 中的随机事件，A1, A2 ,, Am为 E 中两两
互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：
B 包含有 nB =6个基本事件 B {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，
所以
P(A) nA 5 ， n 36
P(B) nB 6 1． n 36 6
3．排列组合简介
为A
B
A B
事件 A 与B事件就是的把和事或件并A，与记事为件 B所包．含的基本事件放在一起作成的事
件． 在 E2中，A ={2，4，6}， C={1，2，3}． A C={1，2，3，4，6}． 对于任一事件 A ，有
A A A A A A
4．事件的积：“事件A与事件 B同时发生”，这样的事件称为事件A 与事件 B 的积或交，记为 A B 或 AB ．
(5) A B A AB AB ．
例 某工人加工三个零件，设Ai 表示事件
“第 i 个零件是合格品”i( =1，2，3)，试用A1 ，A2 A，3 表示下列事 件：
(1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品．
fn (A)
nA n
．
设试验 E 的基本空间为 ，A 为 E 中的随机事件，A1, A2 ,, Am为 E 中两两
互不相容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质：
第1章 随机事件与概率
限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相
等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。
则事件A的概率为:
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第27页
例1.2.1
解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能.
2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，
所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：
2 2(n 2) 2 n(n 1) n
12 March 2020
解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
1.1.6 事件的运算
第10页
并： A B
A 与 B 至少有一发生
交： A B = AB A 与 B 同时发生
差： A B
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第18页
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。
则事件A的概率为:
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第27页
例1.2.1
解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能.
2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，
所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：
2 2(n 2) 2 n(n 1) n
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解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
1.1.6 事件的运算
第10页
并： A B
A 与 B 至少有一发生
交： A B = AB A 与 B 同时发生
差： A B
12 March 2020
第一章 随机事件与概率
第18页
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
本章小结
概率论是研究随机现象及其统计规律性的数学学科。本章主要介绍概率论的两个主要概念：随机事件及其概率。主要内容包括：随机事件和随机事件的概率的定义、古典概型和几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、以及事件的独立性等。这些内容是进一步学习概率论的基础。 §1.1随机事件
（一） 基本概念：随机现象、随机现象的统计规律性、随机试验、样本点、样本空间、随
机事件、必然事件、不可能事件等。
（二） 事件的关系和运算
事件的包含、相等、并（和）、交（积）、差、互不相容事件、对立事件及完备事件组。定义见教材P4-P6.
（三） 随机事件的运算律（相应于集合运算性质都成立） 1．
交换律：;A B B A A B B A ⋃=⋃⋂=⋂
2．
结合律：()();()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂
3．
分配律：()()();
()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂⋃
4． De Morgan 对偶律：
;i i i i
i
i
i
i
A A A A ⋃=⋂⋂=⋃
§1.2 随机事件的概率
（一） 概率的定义
1．
古典概型中概率的定义:P(A)=A 所包含的事件数
所有基本事件数
2． 几何概型中概率的定义：
()()()
A P A m A m ==
Ω事件所对应区域的度量样本空间所对应区域的度量
3．
统计定义：当试验次数n 增大时，事件A 的频率()n f A 在某一数p 附近摆动，则P(A)=p .
4． 公理化定义：对样本空间中任意事件A,定义数P(A)满足：
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
出现；
❖ 事件A的表示可用集合，也可用语言来表 示。
例：观察181路公交车汕大站候 车人数。
={0,1,2,…}；
A={至少有10人候车}={10,11,12,…} A为随机事件，
A可能发生，也可能不发生。
◼ 由一个样本点组成的单点集，称为基 本事件。
◼ 如果将 亦视作事件，则每次试验 总是发生，故又称 为必然事件。
P
(A)
=
3 8
(2)P(B)
=
C1C1 35 C2 8
=
15 28
53.6%
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N,n N)
解：
P(
Ak
)
=
Ck Cn−k D N −D Cn
,
k
=
0,1,,
n
N
（注：当L>m 或 L<0时，记 CmL=0 ）
例： 向上抛出的物体会掉落到地上 （确定） 打靶，击中靶心（不确定） 买了彩票会中奖（不确定）
偶然性
必然性 在每次试验前，其结果呈现出不确 定性，但在大量重复试验中Байду номын сангаас其结 果又具有一定的量的规律性（统计 规律性）。
概率论与数理统计是研究随机现 象统计规律性的学科。
❖ 事件A的表示可用集合，也可用语言来表 示。
例：观察181路公交车汕大站候 车人数。
={0,1,2,…}；
A={至少有10人候车}={10,11,12,…} A为随机事件，
A可能发生，也可能不发生。
◼ 由一个样本点组成的单点集，称为基 本事件。
◼ 如果将 亦视作事件，则每次试验 总是发生，故又称 为必然事件。
P
(A)
=
3 8
(2)P(B)
=
C1C1 35 C2 8
=
15 28
53.6%
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N,n N)
解：
P(
Ak
)
=
Ck Cn−k D N −D Cn
,
k
=
0,1,,
n
N
（注：当L>m 或 L<0时，记 CmL=0 ）
例： 向上抛出的物体会掉落到地上 （确定） 打靶，击中靶心（不确定） 买了彩票会中奖（不确定）
偶然性
必然性 在每次试验前，其结果呈现出不确 定性，但在大量重复试验中Байду номын сангаас其结 果又具有一定的量的规律性（统计 规律性）。
概率论与数理统计是研究随机现 象统计规律性的学科。
概率统计第一章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率
第二篇概率统计
前言
概率论和数理统计的起源及研究内容
概率论和数理统计起源于赌博：分赌注问题.随着科学技术的不断发展，它的结论和方法已经广泛应用于自然科学的各个方面，甚至一些纯人文的社会学科如政治、社会、语言、历史等也可觅得其踪影．正如拉普拉斯（Laplace 1812）的《概率的分析基础》中写的那样：“…值得注意的是，概率论者们起源于机会游戏的科学，终将成为人类知识宝库中最重要的组成部分．……生活中那些最重要的问题绝大部分正是概率论问题”．因此概率论和数理统计已经成为科技工作者必备的一种数学工具.
在我们的实际生活和工作中发生的现象是多种多样的，这些现象大致可以分成两类：确定性现象：在一定条件下必定会发生或必定不会发生的现象.
随机现象：在一定条件下有多种可能结果，且事先无法预知哪种结果会出现的现象.
观察下表中的各种现象：
然性在起支配作用，其实不然.实践证明：随机现象在相同条件下重复进行多次观察，它的结果会呈现出一定的规律性，这种规律性称为统计规律性.
概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科．
第一章随机事件与概率
一、教学要求
1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算．2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．
3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．
4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．
5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．
第一章 随机事件及其概率
（2）事件的和 定义：事件 A ， B 至少有一个发生，称为事 件A与B的和（或称为并），记为A∪B （3）事件的交
定义：2个事件A，B都发生，称为事件A与B 的交（或积），记为A∩B（或AB）。 （4）事件的差 定义：“事件A发生而事件B不发生”也是一
个事件，称为A与B的差。记为A－B。
（5）事件的互不相容性
江山代有人才出，各领风骚数百年
• 使概率论成为数学分支的另一奠基人是瑞 士的数学家雅各布-伯努利 （1654-1705）他的主要 贡献是建立了概率论中的 第一个极限定理。我们称 之为“伯努利大数定 理”。 这一定理在他死后1713年发表在他的遗著 《猜度论》中。
• 1750年，法国数学家棣莫弗（1667-1754） 出版其著作《分析杂论》， 当中包含著名的“棣莫弗-拉普 拉斯定理”，这就是概率论中 第二个极限定理的原始初形。 • 1812年法国数学家拉普拉斯（1749-1827） 出版的《概率分析理论》 中，首先明确地 对概率做了古 典的定义。
定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时 发生，即AB＝Ф，则称事件A、B是互不相容 的事件。 结论：从基本事件说，互不相容事件就是没 有公有的基本事件。显然，在一次试验中， 两个基本事件不能同时发生，所以任何两个 基本事件都是互不相容事件。
（6）逆事件(对立事件)
定义：若 A∪B＝Ω ，AB＝Ф，则称A、 B为 相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事
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答案：{3}
6.已知A={1，4，5，6，7}，Ω={0,1,2,3,4,5,6,7}则 =__________
答案：{0,2,3}
7.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件AB的概率为0.1，则事件A+B的概率为__________
答案：0.8
8.已知则P(B│A)=0.5，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，事件A的概率为__________
C.0.75
D.0.5
答案：D
15.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A与B相互独立，则P(B│A)=（）
A.0
B.0.4
C.0.75
D.0.5
答案：B
16.设A与B是两随机事件,则 表示
A.A与B都不发生
B.A与B同时发生
C.A与B中至少有一个发生
D.A与B中至少有一个不发生
答案：D
A.7/50 B.7/100 C.7/48 D.15/100 D.以上都不对
答案：A
43.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. D.以上都不对
答案：C
44.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=( )
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
答案：C
7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B
A.{1，4，6}
B.{1，6，7}
C.{1，2，7}
D.{1，4，7}
答案：D
8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（）
A.{4，6}
B.{1，4，5，6，7}
D.D1={抽到的三个产品中有2个合格品}D2={抽到的三个产品中有2个废品}
答案：B
19.下列事件与事件A-B不等价的是
A.A-AB
B.(AUB)-B
C.
D.
答案：C
20.甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则AB表示
A.二人都没射中
B.二人都射中
C.二人没有都射中
D.至少一个射中
答案：B
17.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将出现“奇数点”称为
A.不可能事件
B.必然事件
C.随机事件
D.样本事件
答案：C
18.下面各组事件中,互为对立事件的有
A.A1={抽到的三个产品全是合格品}A2={抽到的三个产品全是废品}
B.B1=(抽到的三个产品全是合格品}B2=抽到的三个产品中至少有一个废品}
C.C1={抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2={抽到的三个产品中废品不多于2个}
答案： 或=或
3.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∪B=__________
答案：{1,2,3,4,7}
4.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∩B=__________
答案：{1，4}
5.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},B-A=__________
C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4}
D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件
答案：A
3.下列属于必然事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：C
4.下列属于不可能事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：B
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，B A，则事件A+B的概率为（）
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：A
14.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，则P(B│A)=（）
A.0.6
B.0.4
（1）3个球都是白球的概率；
（2）3球中至少有一个白球的概率。
答案：0.167；0.967
2.已知P(A)=0.4，P(A+B)=0.7按照下列三种情况，试分别计算P(B)的值。
（1）当A与B互不相容时
（2）当
（3）P(AB)=0.2时
答案：0.3；0.7；0.5
3.一个盒子中有16个球，其中玻璃球6个，木球10个。玻璃球中有2个红球，4个蓝色球；木球中有3个红球，7个蓝色球。试求：（保留三位有效数字）
答案：B
36.对于任意事件A和B，与A∪B=B不等价的是（）
A.A B B. C. ∅D. ∅D.以上都不对
答案：D
37.已知P(AB)=0,则以下正确的是（）
A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.P(A)=0或P（B）=0 D.P(A-B)=P(A) D.以上都不对
答案：D
38.设P(A+B)=a， ( )
答案：√
7.对于任意两个事件A,B,若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件A与B相互独立。（）
答案：√
8.若事件A与B相互独立，则则A与 相互独立。（）
答案：×
9.古典概型的不同样本点之间的概率是相同的。（）
答案：√
四、计算题
1.一袋中有10个大小和材质均相同的球，其中有6个白球，4个红球。现从中任取3球，求：
B.5/6
C.2/3
D.3/4
答案：C
34.若A,B之积为不可能事件,则称A与B
A.独立
B.互不相容
C.对立
D.构成完备事件组
答案：B
35.设A,B为任意两个事件且A B,P(B)>0,则下列选项必然成立的是
A.P(A)<P(A|B)
B.P(A)≤P(A|B)
C.P(A)>P(A|B)
D.P(A)≥P(A|B)
C.{x|1≤x<2}
D.{x|-∞<x<0}U{x|1≤x<+∞}
答案：B
23.假设随机事件A,B满足P(AB)=0,则
A.A,B互为对立事件
B.A,B互不相容
C.AB一定为不可能事件
D.AB不一定为不可能事件
答案：D
24.在事件A,B,C中,A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为
A.
B.
C.
A.P(A)=1-P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P( )=l D.P(A+B)=1 E.以上都不是
答案：B
二、填空题
1.已知A={1，2，3，4},B={2，4}，则A__________B
答案：
2.已知A={1，2，3，4},B={1，2，3，4}，则A__________B
A.4
B.0.25
C.3
D.0.75
答案：B
12.关于古典概型，下列说法正确的是（）
A.试验的结果可以是有限个，也可以是无限个。
B.每种结果的概率可以是相同的，也可以是不相同的。
C.每个结果之间是互不相容的。
D.古典概型的无法用计算公式进行计算。
答案：C
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件A、B为互斥事件，则事件A+B的概率为（）
A.a+b+c-1 B.a+b+c C.(a+c)c D.a+b+c+1 D.以上都不对
答案：A
39.已知甲乙丙三人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/4、1/3则该密码只被甲破译的概率是（）
A.1/10 B.3/5 C.2/5 D.1/5 D.以上都不对
答案：A
40.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则有（）
D.
答案：A
25.掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为3的概率是
A.1/36
B.1/18
C.1/12
D.1/11
答案：B
26.袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是
A.9/25
B.3/10
C.6/25
D.3/20
答案：B
27.已知事件A、B满足A B,则P(B-A)≠
A.2/15
B.1/5
C.1/2
D.3/5
答案：A
32.设A、B为两个随机事件,且O<P(A)<1.P(B)>0,P(B|A)=P( ),则必有
A.P(A|B)=
B.P(A|B)≠
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(AB)≠P(A)P(B)
答案：C
33.设A,B是两个相互独立的事件,已知 ,则
A.1/2
第一章随机事件与概率
一、选择题
1.下列不属于随机事件的特征的是（）
A.试验在相同条件下进行
B.每次实验的结果都相同或者相近
C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
D.每次试验必有预知结果的其中一个
答案：B
2.下列说法正确的是（）
A.基本粒子构成碳原子
B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：D
5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（）
A.1,2,3
B.4,5,6
C.2,4,6
D.A∪B
答案：D
6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（）
A.{0,1,2,3,4,5}
A.P(A)=1-P(B) B. C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(A+B)=1 D.以上都不对
答案：B
41.在下列四个条件中，能使P(A-B)=P(A)-P(B)一定成立的是（）
A. B.A、B独立C.A、B互不相容D. D.以上都不对
答案：D
42.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为（）
答案：0.6
三、判断题
1.对于任意一个事件的概率都大于等于0，小于等于1。（）
答案：√
2.互不相容与对立字面意思不同，而实际意义相同。（）
答案：×
3.对于样本空间的概率都等于1。（）
答案：√
4.不可能事件的概率大于零。（）
答案：×
5.古典概型的不同结果之间的概率是相同的。（）
答案：×
6.对立事件指的是在样本空间中除了事件A以外的事件组成的集合。（）
A.P(A|B)=1
B.P(B|A)=1
C.
D.
答案：A
30.设A、B为两事件,EP(A)P(B)均大于0,则下列公式错误的是
A. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B|A)
D.
答案：B
31.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取的2件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为
21.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件 为
A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销
C.“甲种产品滞销
D.甲种产品滞销或乙种产品畅销
答案：D
22.设Ω={x|-∞<x<+∞},A={x|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则 表示
A.{x|0Байду номын сангаасx<1}
B.{x|0<x<1}
（2）抽到次品正好是第一条生产线的概率。
答案：0.048；0.375
5.一批零件共有100个，其中正品90个，次品10个。现在每次不放回地任取一个零件，试求第三次才取得正品的概率。（保留四位有效数字）
答案：0.0083
C.{1，3，4，5，6，7}
D.{3}
答案：A
9.已知A的概率为0.3，B的概率为0.4，A和B互斥，则AB的概率为（）
A.0
B.0.3
C.0.4
D.0.1
答案：A
10.关于事件的运算，下列说法错误的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：D
11.在随机试验中，一共做了20次试验，其中出现红色的次数为5次，则出现红色的概率为（）
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 D.以上都不对
答案：B
45.设在每次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),q=1-p,则在n次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率是( )
A.pnB.qnC.1-pnD.1-qnE.以上都不是
答案：D
46.设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( )
（1）从盒中任取一球是蓝色球的概率；
（2）已知取得的球是蓝色球，求该球是玻璃球的概率。
答案：0.688；0.364
4.设某药厂的某种药品是由三条不同的流水线生产的，这三条流水线的产量分别占总产量的30%、45%、25%。已知三条流水线的次品率分别是6%、5%、3%。（保留三位有效数字）
（1）现从出厂的该药品中任取一件，试求刚好抽到次品的概率。
A. P(B)-P(A)
B.P(B)-(A)+P(AB)
C.
D.P(B)-P(AB)
答案：B
28.A、B为两事件,若P(AUB)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则
A.P( )=0.32
B.P( )=0.2
C.P(B-A)=0.4
D.P( )=0.48
答案：B
29.设A、B为两个事件,P(A)≠P(B)>0,且A B,则下列必成立是
6.已知A={1，4，5，6，7}，Ω={0,1,2,3,4,5,6,7}则 =__________
答案：{0,2,3}
7.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件AB的概率为0.1，则事件A+B的概率为__________
答案：0.8
8.已知则P(B│A)=0.5，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，事件A的概率为__________
C.0.75
D.0.5
答案：D
15.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A与B相互独立，则P(B│A)=（）
A.0
B.0.4
C.0.75
D.0.5
答案：B
16.设A与B是两随机事件,则 表示
A.A与B都不发生
B.A与B同时发生
C.A与B中至少有一个发生
D.A与B中至少有一个不发生
答案：D
A.7/50 B.7/100 C.7/48 D.15/100 D.以上都不对
答案：A
43.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. D.以上都不对
答案：C
44.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=( )
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
答案：C
7.已知A={1，4，7}，则当B=( ),A B
A.{1，4，6}
B.{1，6，7}
C.{1，2，7}
D.{1，4，7}
答案：D
8.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},A-B=（）
A.{4，6}
B.{1，4，5，6，7}
D.D1={抽到的三个产品中有2个合格品}D2={抽到的三个产品中有2个废品}
答案：B
19.下列事件与事件A-B不等价的是
A.A-AB
B.(AUB)-B
C.
D.
答案：C
20.甲、乙两人进行射击,A、B分别表示甲、乙射中目标,则AB表示
A.二人都没射中
B.二人都射中
C.二人没有都射中
D.至少一个射中
答案：B
17.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将出现“奇数点”称为
A.不可能事件
B.必然事件
C.随机事件
D.样本事件
答案：C
18.下面各组事件中,互为对立事件的有
A.A1={抽到的三个产品全是合格品}A2={抽到的三个产品全是废品}
B.B1=(抽到的三个产品全是合格品}B2=抽到的三个产品中至少有一个废品}
C.C1={抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2={抽到的三个产品中废品不多于2个}
答案： 或=或
3.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∪B=__________
答案：{1,2,3,4,7}
4.已知A={1，3，4},B={1，2，7，4}，则A∩B=__________
答案：{1，4}
5.已知A={1，4，5，6，7}，B={1,3,5,7},B-A=__________
C.抛掷骰子所有可能结果为{1,2,3,4}
D.在相同条件下抛掷硬币不属于随机事件
答案：A
3.下列属于必然事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：C
4.下列属于不可能事件的是（）
A.抛掷硬币出现正面的情况
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：B
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，B A，则事件A+B的概率为（）
A.0.6
B.0.9
C.0.8
D.0.3
答案：A
14.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件AB的概率为0.3，则P(B│A)=（）
A.0.6
B.0.4
（1）3个球都是白球的概率；
（2）3球中至少有一个白球的概率。
答案：0.167；0.967
2.已知P(A)=0.4，P(A+B)=0.7按照下列三种情况，试分别计算P(B)的值。
（1）当A与B互不相容时
（2）当
（3）P(AB)=0.2时
答案：0.3；0.7；0.5
3.一个盒子中有16个球，其中玻璃球6个，木球10个。玻璃球中有2个红球，4个蓝色球；木球中有3个红球，7个蓝色球。试求：（保留三位有效数字）
答案：B
36.对于任意事件A和B，与A∪B=B不等价的是（）
A.A B B. C. ∅D. ∅D.以上都不对
答案：D
37.已知P(AB)=0,则以下正确的是（）
A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.P(A)=0或P（B）=0 D.P(A-B)=P(A) D.以上都不对
答案：D
38.设P(A+B)=a， ( )
答案：√
7.对于任意两个事件A,B,若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件A与B相互独立。（）
答案：√
8.若事件A与B相互独立，则则A与 相互独立。（）
答案：×
9.古典概型的不同样本点之间的概率是相同的。（）
答案：√
四、计算题
1.一袋中有10个大小和材质均相同的球，其中有6个白球，4个红球。现从中任取3球，求：
B.5/6
C.2/3
D.3/4
答案：C
34.若A,B之积为不可能事件,则称A与B
A.独立
B.互不相容
C.对立
D.构成完备事件组
答案：B
35.设A,B为任意两个事件且A B,P(B)>0,则下列选项必然成立的是
A.P(A)<P(A|B)
B.P(A)≤P(A|B)
C.P(A)>P(A|B)
D.P(A)≥P(A|B)
C.{x|1≤x<2}
D.{x|-∞<x<0}U{x|1≤x<+∞}
答案：B
23.假设随机事件A,B满足P(AB)=0,则
A.A,B互为对立事件
B.A,B互不相容
C.AB一定为不可能事件
D.AB不一定为不可能事件
答案：D
24.在事件A,B,C中,A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为
A.
B.
C.
A.P(A)=1-P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P( )=l D.P(A+B)=1 E.以上都不是
答案：B
二、填空题
1.已知A={1，2，3，4},B={2，4}，则A__________B
答案：
2.已知A={1，2，3，4},B={1，2，3，4}，则A__________B
A.4
B.0.25
C.3
D.0.75
答案：B
12.关于古典概型，下列说法正确的是（）
A.试验的结果可以是有限个，也可以是无限个。
B.每种结果的概率可以是相同的，也可以是不相同的。
C.每个结果之间是互不相容的。
D.古典概型的无法用计算公式进行计算。
答案：C
13.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，事件A、B为互斥事件，则事件A+B的概率为（）
A.a+b+c-1 B.a+b+c C.(a+c)c D.a+b+c+1 D.以上都不对
答案：A
39.已知甲乙丙三人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/4、1/3则该密码只被甲破译的概率是（）
A.1/10 B.3/5 C.2/5 D.1/5 D.以上都不对
答案：A
40.设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0，则有（）
D.
答案：A
25.掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为3的概率是
A.1/36
B.1/18
C.1/12
D.1/11
答案：B
26.袋中放有3个红球,2个白球,第一次取出一球,不放回,第二次再取一球,则两次都是红球的概率是
A.9/25
B.3/10
C.6/25
D.3/20
答案：B
27.已知事件A、B满足A B,则P(B-A)≠
A.2/15
B.1/5
C.1/2
D.3/5
答案：A
32.设A、B为两个随机事件,且O<P(A)<1.P(B)>0,P(B|A)=P( ),则必有
A.P(A|B)=
B.P(A|B)≠
C.P(AB)=P(A)P(B)
D.P(AB)≠P(A)P(B)
答案：C
33.设A,B是两个相互独立的事件,已知 ,则
A.1/2
第一章随机事件与概率
一、选择题
1.下列不属于随机事件的特征的是（）
A.试验在相同条件下进行
B.每次实验的结果都相同或者相近
C.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
D.每次试验必有预知结果的其中一个
答案：B
2.下列说法正确的是（）
A.基本粒子构成碳原子
B.在不同高度抛出两枚硬币是正面朝上，这一实验属于随机试验
B.抛掷硬币出现反面的情况
C.抛掷骰子有{1,2,3,4,5,6}出现的情况
D.从装有红球和蓝球的框中取出绿球
答案：D
5.抛掷骰子的随机试验中，基本事件包括（）
A.1,2,3
B.4,5,6
C.2,4,6
D.A∪B
答案：D
6.现有一批药品共5件，其中有2件是次品。则抽3次抽到的次品数的样本空间是（）
A.{0,1,2,3,4,5}
A.P(A)=1-P(B) B. C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(A+B)=1 D.以上都不对
答案：B
41.在下列四个条件中，能使P(A-B)=P(A)-P(B)一定成立的是（）
A. B.A、B独立C.A、B互不相容D. D.以上都不对
答案：D
42.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为（）
答案：0.6
三、判断题
1.对于任意一个事件的概率都大于等于0，小于等于1。（）
答案：√
2.互不相容与对立字面意思不同，而实际意义相同。（）
答案：×
3.对于样本空间的概率都等于1。（）
答案：√
4.不可能事件的概率大于零。（）
答案：×
5.古典概型的不同结果之间的概率是相同的。（）
答案：×
6.对立事件指的是在样本空间中除了事件A以外的事件组成的集合。（）
A.P(A|B)=1
B.P(B|A)=1
C.
D.
答案：A
30.设A、B为两事件,EP(A)P(B)均大于0,则下列公式错误的是
A. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
B.P(AB)=P(A)P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B|A)
D.
答案：B
31.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取的2件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为
21.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件 为
A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.“甲、乙两种产品均畅销
C.“甲种产品滞销
D.甲种产品滞销或乙种产品畅销
答案：D
22.设Ω={x|-∞<x<+∞},A={x|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则 表示
A.{x|0Байду номын сангаасx<1}
B.{x|0<x<1}
（2）抽到次品正好是第一条生产线的概率。
答案：0.048；0.375
5.一批零件共有100个，其中正品90个，次品10个。现在每次不放回地任取一个零件，试求第三次才取得正品的概率。（保留四位有效数字）
答案：0.0083
C.{1，3，4，5，6，7}
D.{3}
答案：A
9.已知A的概率为0.3，B的概率为0.4，A和B互斥，则AB的概率为（）
A.0
B.0.3
C.0.4
D.0.1
答案：A
10.关于事件的运算，下列说法错误的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：D
11.在随机试验中，一共做了20次试验，其中出现红色的次数为5次，则出现红色的概率为（）
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 D.以上都不对
答案：B
45.设在每次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),q=1-p,则在n次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率是( )
A.pnB.qnC.1-pnD.1-qnE.以上都不是
答案：D
46.设A与B互为对立事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是( )
（1）从盒中任取一球是蓝色球的概率；
（2）已知取得的球是蓝色球，求该球是玻璃球的概率。
答案：0.688；0.364
4.设某药厂的某种药品是由三条不同的流水线生产的，这三条流水线的产量分别占总产量的30%、45%、25%。已知三条流水线的次品率分别是6%、5%、3%。（保留三位有效数字）
（1）现从出厂的该药品中任取一件，试求刚好抽到次品的概率。
A. P(B)-P(A)
B.P(B)-(A)+P(AB)
C.
D.P(B)-P(AB)
答案：B
28.A、B为两事件,若P(AUB)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.4,则
A.P( )=0.32
B.P( )=0.2
C.P(B-A)=0.4
D.P( )=0.48
答案：B
29.设A、B为两个事件,P(A)≠P(B)>0,且A B,则下列必成立是