中考数学证明角相等
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
2020年中考数学专题24相似三角形判定与性质
【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到 AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即 可；根据相似三角形的性质列式计算即可． （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴ ＝ ＝，
∴BF＝ AD＝ BC， ∴BF＝CF； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，
C．4
D．
【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形 的判定与性质等知识点． 由 S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE＝ S△A′EF＝ ，S△ABD＝ S△ABC＝8，根据△
DA′E∽△DAB 知（
专题 24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做 相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相 似。 （3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似， 可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似， 可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4． 相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角
二次函数角度问题 （角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3． 解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ． 设ON=x ，则CN=BN=4-x ， 在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ， 解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ， 在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标； （3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。
中考数学证明角相等
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
例4：AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意 一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD
分析：
已知条件有直径与弦互相垂直， 可考虑用垂径定理。
要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角， 所以∠FMC=∠ABC
∠AMD与∠ABC所对的弧
中考数学知识点全等三角形专题之垂直模型
垂直模型考点一：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．2.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E.图(1) 图(2) 图(3)(1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理由.(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 写出结论,可不说明理由.3.直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且． （1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=oo，则 （填“”，“”或“”号）； ②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系.BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<ooα∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠ABCE F DDAB CE F ADFC EB图1图2 图3DQPE F A2. 如图，在等腰R t△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．A3. 如图1，已知ADC 和EDG 都是等腰直角三角形上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将EDG 绕点D 按顺时针方向旋转30°，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.图1 图GEC。
2024年中考数学专题复习讲义+：证明线段相等的常用方法
A CB D PQ证明线段相等的常用方法一、证明两线段相等常用方法 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.等于同一线段的两条线段相等。
二、例题讲解1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．试说明：DE ＝BF ；2、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
例2. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG3、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c例1、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E例2.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ，BF ∥AC 交DE 的延长线于F.求证：(1)BD=BF(2)AD=CF (3)AF=CF【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．2.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=BC ；（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为CADE FB。
初中数学角的公式定理
初中数学角的公式定理角的定义是什么？角的分类有哪些？为了帮助考生更好的备考初中数学公式定理的内容，我们整理了有关的数学公式定理中有关角的内容，跟中考备考的同学们分享一下。
下面是有关中考数学角的公式定理的内容。
角的定义是什么？角的分类有哪些？为了帮助考生更好的备考初中数学公式定理的内容，我们整理了有关的数学公式定理中有关角的内容，跟中考备考的同学们分享一下。
下面是有关中考数学角的公式定理的内容：角的定义有公共点的两条射线所组成的图形，叫做角角的分类周角：3600 平角：1800 直角：900 锐角：000 钝角：9000三角形的分类按角分锐角三角形，钝角三角形，直角三角形按边分等腰三角形，等边三角形，不等边三角形三角形的角平分线三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角的平分线。
三角形的中线连结三角形一个顶点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的高三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。
三角形的中位线连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
性质全等三角形的对应边、对应角、对应的角的平分线、高及中线相等。
判定任意三角形直角三角形（1）两边及夹角对应相等。
记为SAS（1）一边一锐角对应相等（2）两角和一边对应相等。
记为ASAA或AAS（2）两直角边对应相等。
（3）三边对应相等。
记为SSS（3）斜边、直角边对应相等（HL）三角形的四心名称定义性质内心三角形三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）（1）内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形一个顶点与内心的连线平分这个角。
外心三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
（即外接圆的圆心）（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等。
（2）外心与三角形一边中点的连线必垂直该边。
（3）过外心垂直于三角形一边的直线必平分该边。
重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
中考数学圆周角相等知识点
中考数学圆周角相等知识点在中考数学中，我们经常会遇到关于圆周角相等的题目。
了解圆周角相等的知识点对于解题非常重要。
本文将带你一步一步了解圆周角相等的概念和相关性质。
1. 圆周角的定义首先，我们需要了解什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角。
当我们在一个圆的周长上选择两个非邻接的点，这两个点和圆心之间形成的角就是圆周角。
2. 圆周角相等的概念当两个圆周角的度数相等时，我们称它们为“圆周角相等”。
换句话说，如果两个圆周角的度数相同，它们就是相等的。
3. 圆周角相等的性质了解圆周角相等的性质对于解题非常有帮助。
以下是圆周角相等的一些重要性质：•若两个角为圆周角，则它们的度数相等。
•若两个圆周角的度数相等，则它们是相等的。
4. 圆周角相等的证明为了证明两个圆周角相等，我们可以使用各种方法和定理。
以下是一些常见的证明方法：•利用等弧长弧所对的圆周角相等的性质进行证明。
•利用同一个圆上的两个弦所对的圆周角相等的性质进行证明。
•利用圆心角与所对弧的关系进行证明。
5. 圆周角相等的应用了解圆周角相等的概念和性质，我们可以将其应用于解题过程中。
以下是一些常见的应用场景：•利用圆周角相等的性质求解未知角度的大小。
•利用已知角度与圆周角相等的性质求解其他未知角度的大小。
•利用圆周角相等的性质解决几何问题，如证明两条弧相等、判断两个角是否相等等。
6. 练习题为了更好地掌握圆周角相等的知识，以下是一些练习题供你练习：1.已知圆的半径为3cm，弧AB的长度为4cm，求角AOB的度数。
2.若两个圆周角的度数相等，它们的角度是否一定相等？请给出证明或反例。
3.在一个半径为5cm的圆中，弧XY的度数为120°，求角XOY的度数。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了圆周角相等的概念和性质，并学会了如何运用这些知识解题。
希望通过不断练习和应用，你能够熟练掌握圆周角相等的相关知识，提高数学解题的能力。
中考数学解答题之四边形的有关证明与计算
考点 4
平行四边形、特殊的平行四边形
【例 4】 （梅州）如图，在△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过点 P 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于 点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． (1)求证：PE＝PF； (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且 AP 3 ＝ ．求此时∠A 的大小． BC 2 A E P F
重点、难点
2.线角的证明与计算. 难点：证明与计算的综合运用
考点及考试要求
会解决中考之第 20 或 21 题---有关于四边形的有关证明与计算（以及三角形）
教学内容
【考点链接】
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
中考不得不会的压轴题之——平面直角坐标系下的角度相等问题
中考不得不会的压轴题之——平⾯直⾓坐标系下的⾓度相等问题中考题最后的压轴题中，经常出现与⾓度相关的问题。
与平⾯直⾓坐标系结合，将三⾓形全等、三⾓形相似、三⾓函数、圆及⼆次函数等知识有机的结合在⼀起，考察学⽣对知识综合、灵活应⽤的能⼒，同时考察学⽣解题⽅法的思路的灵活性，以及对数学学科思维的掌握情况。
平⾯直⾓坐标系下的⾓度相等问题，通常有以下⼏种解题思路：1、利⽤三⾓形全等解决2、利⽤三⾓形相似解决3、利⽤三⾓函数解决4、利⽤圆的知识解决下⾯分类举例说明：类型⼀、利⽤三⾓形全等解决⾓度相等问题例1、如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（2，m）在第⼀象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在⼀点P，满⾜∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】：（1）∵抛物线y=ax^2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），带⼊两点坐标即可。
∴抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3；(2) 设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进⽽判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y=- 1/3x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3；(过程略）（2）存在．如图，设BP交轴y于点G，∵点D（2，m）在第⼀象限的抛物线上，∴当x＝2时，m＝﹣2^2+2×2+3＝3，∴点D的坐标为（2，3），把x＝0代⼊y＝﹣x^2+2x+3，得y＝3，∴点C的坐标为（0，3），∴CD∥x轴，CD＝2，∵点B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，⼜∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB（ASA），∴CG＝CD＝2，∴OG＝OC﹣CG＝1，∴点G的坐标为（0，1），设直线BP的解析式为y＝kx+1，将B（3，0）代⼊，得3k+1＝0，解得k＝﹣1/3，∴直线BP的解析式为y＝﹣1/3x+1，令﹣1/3x+1＝﹣x^2+2x+3，解得x1=-2/3，x2＝3，∵点P是抛物线对称轴x＝1左侧的⼀点，即x＜1，∴x＝﹣2/3，把x＝﹣2/3代⼊抛物线y＝﹣x^2+2x+3中，解得y＝11/9，∴当点P的坐标为（﹣2/3，11/9）时，满⾜∠PBC＝∠DBC．【总结】出现⾓等的条件时，可以将两⾓构造在全等三⾓形中，利⽤全等的性质解决问题。
人教版中考数学考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ABCD.已知CD＝CB＝100 m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150 °，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100 m，BN＝50( 3－1) m， 若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 _3_37700__ m(结果取整数，参考数据： 3 ≈1.7)．
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点
模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
AB＝AC， ∠B＝∠C， ∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴AD＝AE，
∴AB－AD＝AC－AE，∴BD＝CE.
模型三：一线三等角型(K 型) 【模型归纳】
点 P 在线段 AB 上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD.
模型
直角一线三等角
展示
锐角一线三等角
（一线三垂直）
钝角一线三等角
模型 一线：经过三个等角顶点的直线(AB)； 特点 三等角：∠1＝∠2＝∠3 拓展 模型 (三垂 直型)
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型四：与角度有关的几何问题
(2)如图②，当点D在△ABC外部ห้องสมุดไป่ตู้，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延 长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA；
(2)证明：延长GF到点H，使FH＝FD，连接EH. ∵EF＝AF，∠EFH＝∠AFD，∴△EFH≌△AFD(SAS)， ∴∠FDA＝∠H，AD＝EH. ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE.∵BE＝EG，∴EH＝EG，∴∠EGF＝∠H，∴∠EGF＝∠FDA.
(3)如图③，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q(不与点F重 合)，连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′，EF′，若CD ＝2，AC＝3 2，当BF′最小时，求△DEF′的面积．
(3)解：连接BD，∵△ABC是等腰直角三角形，CF是中线，∴CF⊥AB，
∵AC＝3 2，∴CF＝BF＝3，∵CD＝2，∴DF＝1，DE＝2 2，
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； ②解：∠DEC＋∠EDC＝90°，理由：∵DB＝DC，DA⊥BC， ∴∠BDA＝12∠BDC＝30°，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°， 在等边三角形BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCD＝90°， ∴∠DEC＋∠EDC＝90°.
∴∠BDA＝∠CDA＝12∠BDC＝30°，在△BDA中，DB＝DA， 180°－∠BDA
∴∠BAD＝ 2 ＝75°，在△DAC中，DA＝DC， 180°－∠ADC
∴∠DAC＝ 2 ＝75°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝75°＋75°＝150°；
②当点A在线段DF上时， ∵以点B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE， ∠ABE＝60°，在等边三角形BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC－∠ABC＝∠ABE－∠ABC，即∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC， ∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC， 由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°.
中考数学证明角相等
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[单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪类微生物是非细胞型微生物（）A.细菌B.放线菌C.真菌D.病毒E.立克次体 [单选,A1型题]提出“风从外入，令人振寒，汗出头捕，身重恶寒”的医著是（）。A.《黄帝内经》B.《难经》C.《金匮要略》D.《伤寒论》E.《诸病源候论》 [填空题]复杂高层结构包括（），（），（），（）。 [单选]对于不同系列的烃类，在相对分子质量相近的情况下，其氢碳原子比大小顺序是（）。A、烷烃>环烷烃>芳香烃B、烷烃>芳香烃>环烷烃C、芳香烃>环烷烃>烷烃D、芳香烃>烷烃>环烷烃 [单选]VCO电路中，通过改变回路电抗元件参数改变频率，此可变器件为（）。A.电感B.电容C.变容二极管 [单选]（）金字塔前的狮身人面像是埃及最大、最古老的室外雕刻巨像。A.胡夫B.哈夫拉C.孟卡尔D.左塞尔 [单选]下列各项中，不会引起事业结余发生增减变动的是()。A.从事经营活动取得的收入B.附属单位按规定缴纳的款项C.开展专业业务活动取得的收入D.外单位捐赠未限定用途的财物 [单选]道德存在于人们的内心当中，具有及时性和超前的警示性、（）的特点，可以随时调控人的不良行为。A、启示性B、防范性C、总结性D、暗示性 [填空题]油品的沸程是指（）温度范围。 [单选]对于大型人员密集场所或特殊工程外的一般建设工程，其消防验收方式为()。A.施工单位应当向公安机关消防机构申请消防验收B.建设单位应当先行备案后进行消防验收C.可以不经消防验收，由公安机关消防机构进行抽查D.在验收后应当报公安机关消防机构备案 [问答题,案例分析题]背景材料：某道路改建工程A合同段，道路正东西走向，全长973.5m，车行道宽度15m，两边人行道各3m与道路中心线平行且向北，需新建DN800mm雨水管道973m。新建路面结构为150mm厚砾石砂垫层，350mm厚二灰混合料基层，80mm厚中粒式沥青混凝土，40mm厚SMA改性沥青混 [判断题]如果某档位的动力传动路线上有单向离合器工作，则该档位没有发动机制动。（）A.正确B.错误 [单选]慢性消化性溃疡穿孔多见于（）A.胃前壁溃疡B.胃后壁溃疡C.十二指肠球前壁溃疡D.十二指肠球后壁溃疡E.十二指肠球后溃疡 [单选,A1型题]首次产前检查的内容不包括()A.血、尿常规检查B.心肺检查C.测量基础血压D.常规妇科检查E.常规胸片检查 [问答题,简答题]简述汽油机和柴油机的着火和燃烧方式。 [单选times;×医院关于要求改变拨款方式的报告B.××省财政厅关于同意××大学新建教学楼的批示C.××大学关于举行春季运动会决定的通知D.××市人民政府关于开展财务大检查的通知 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于湿热类温病证论述，正确的是？（）A.多由于风热、燥热等病邪所致B.病理特点为温邪犯表，肺卫失宣C.辨证要点为发热、咳嗽、头痛、无汗D.不可采用汗法治疗E.病变层次表浅，病情一般较轻 [问答题,简答题]为什么巴比妥C5次甲基上的两个氢原子必须全被取代才有疗效？ [单选,A2型题,A1/A2型题]抗着丝点抗体对何种自身免疫病的诊断具有很高的敏感性和特异性（）。A.CREST综合征B.进行性系统性硬化症C.硬皮症D.混合性结缔组织病E.干燥综合征 [单选]下列关于校对在出版工作中的作用和地位的表述正确的是（）。A.校对工作是编辑工作的重要先决条件B.为提高效率，校对工作也可由作者负责C.校对不包括从事校对工作的专业人员D.校对工作是出版物内在质量的把关环节之一 [单选,共用题干题]患者，女，29岁，白化病。欲与一患白化病男性结婚，婚前前来进行咨询。如已结婚并妊娠，以下恰当的处理是（）。A.产前诊断B.男胎、女胎均可保留C.建议终止妊娠D.保留男胎E.保留女胎 [单选]常规神经传导速度检查要求皮肤温度为（）A.26℃B.28℃C.34℃D.20℃E.无要求 [单选]男性，40岁，多年咳嗽、咳脓痰史，5小时前突然大咯血，考虑病因可能为（）A.胸腔积液B.支气管扩张症C.肺炎D.肺癌E.胸膜增厚 [单选]下列对于狂犬病的叙述中，错误的是()A．狂犬病病毒是有包膜的RNA病毒B．内基小体有诊断意义C．及时接种减毒活疫苗可预防发病D．患病动物为传染源E．病死率几乎达100% [问答题]一架装载如下的飞机的地板的最小承载限制是多少？货盘尺寸－长98.7宽78.9货盘重量－161磅系留装置－54磅货物重量－9，681.5磅 [单选]机舱失火，现场指挥是()。A.轮机长B.大副C.大管轮D.二管轮 [多选]施工单位取得《许可证》后，当（）发生变化时，须重新申请、办理新的《许可证》。A.作业项目B.作业地点C.作业范围D.作业单位E.施工作业人员 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于疼痛康复治疗叙述不正确的是（）A.药物治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法B.物理治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法C.神经病理性疼痛是急性疼痛中治疗较差的疼痛D.神经病理性疼痛需要合并使用抗痉厥药和三环类抗抑郁药E.镇痛药是主要作用于中枢神经 [填空题]安全生产的“三同步”是指安全生产与经济建设、（）、（）、同步发展、同步实施。 [单选,A1型题]与矿物、金石类药物同用，赋形并助消化的药物是（）A.麦芽B.山楂C.神曲D.莱菔子E.鸡内金 [问答题,简答题]哪些设备的抽空气管排至凝汽器？ [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪种蛋白不是由肝细胞合成的（）.A.白蛋白B.凝血酶原C.免疫球蛋白D.纤维蛋白原E.前白蛋白 [单选]下列各项中，属于行政责任的是()。A.停止侵害B.罚款C.返还财产D.支付违约金 [单选]图示圆弧曲梁MK（内侧受拉为正）影响线在C点的竖标为：（）A.0B.4mC.（8-4×1.732）mD.4×（1-1.732）m [单选]确诊气胸最有价值的项目是（）A.胸部X线或CTB.症状C.体征D.病史E.动脉血气分析 [名词解释]分乘 [单选]电动机的多地控制，其线路上控制按钮的连接原则是（）。A.启动按钮要并联B.停止按钮要并联C.启动按钮要串联D.都可以 [名词解释]备用信用证 [单选,A2型题,A1/A2型题]护理管理实施控制应注意的问题包括（）A.建立完善的护理质量控制系统B.控制方法应具有科学性、实用性C.质量控制应标准化、数据化D.加强综合、系统地控制，实行全程质量控制E.以上都是 [单选]带蒂的子宫浆膜下肌瘤常易误诊为()A．子宫腺肌瘤B．阔韧带肿瘤C．双子宫D．卵巢肿瘤E．残角子宫
中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用
聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC,即DE∥BC（三角形的中位线定理）.二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AC=BD,M,N分别是AD、BC 的中点，MN与AC、BD分别交于E、F点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMC D分析：可取CD或AB的中点构造中位线. 证明：可取AB的中点P，连接PM、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC,所以MPBD21,PNAC21(三角形中位线定理).所以∠1=∠3，∠2=∠4.又因为AC=BD,所以MP=NP,∠3=∠4,所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM（等角的补角相等）.三、用于证明线段相等例3如图3，△ABC的AB、AC向形外作正三角形ABD和ACE,分别取BD、BC、CE的中点P、M、Q.求证：PM=QM.图3M D分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！ 四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD,所以EH AD 21.同理FG AD 21.所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.。
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一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2.对顶角相等.
3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等.
4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和.
5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等.
6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一.
7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜 边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上. 9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等. 10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角. 11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等. 12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等. 13.圆心角定理:在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧,两 条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等
4.PA、PB分别为相交两圆⊙O1和⊙O2的切线， 且PA=PB。PD、PF分别交⊙O1和⊙O2于C、D、 E、F.求证：∠CDE=∠EFC
反抗，留给水清の只有精疲力竭、无济无事，到最后，她累得连抬手の力气都没有，继而陷入咯无边无际の绝望之中……长夜漫漫，仿佛有壹生壹世那么漫长，整整后半夜， 水清就这样后背紧紧地抵着墙壁，蜷缩在床角，远远地与他保持着距离，苍白の脸颊布满泪痕，壹双失神の大眼睛，再也流不出来壹滴の眼泪，枯坐半夜到天明。这是她平生 以来受到の最大の羞辱，遭受の最沉重の打击。此前，无论是“笑问鸳鸯两字怎生书”，还是“禁入爷の房里半步”，甚至是刚刚の那各“你这是在痴心地等爷”，她全都忍 下咯。他是爷，他可以随心所欲，他可以为所欲为，为咯打压她而严厉地处罚咯吟雪，他甚至可以操纵所有人の生死。为咯求得生活の片刻安宁，为咯求得生存の壹方天地， 她屈辱地全都忍下咯。可是为啥啊，为啥啊！她の忍让、宽容、息事宁人却被他看作是怯懦、胆小、害怕？这就是她壹味忍让の结果？她有啥啊天大の错，要遭受这种方式の 羞辱与惩罚！？第壹卷 第431章 恻隐秦顺儿壹直在屋外守候，并不是他要刻意地探听主子の秘密，实在是两各主子之间闹得动静太大，壹各借酒生事，壹各拼力反抗，即使 是他竭力地回避着，但是他们之间の对话仍是壹字不落地钻进他の耳朵里。作为王爷の贴身奴才，秦顺儿早就充分领教见识咯各各院子女主子们各具特色の顺从、奉迎，因此 虽然见多识广，但也见惯不怪。可是今天，怡然居の主子真是让他大开眼界，大吃壹惊！先是两各主子为啥啊壹直纠缠在侧福晋是否参加喜宴の事情上？侧福晋の腿跪伤咯， 爷不是晓得这件事情吗？然后两各主子怎么又开始纠缠起来侧福晋是否在等爷の事情上来咯？难道爷又是为咯寻衅找茬儿侧福晋而搜罗出来の借口？然后……，是侧福晋の哭 泣声，持续咯整整后半夜，令秦顺儿这各铁石心肠の人都平生第壹次动咯恻隐之心。他能作为王爷の贴身奴才，铁石心肠是首要の职业素质，可是这壹次，他真の是被侧福晋 触动咯久违咯の心中那各最柔软の地方。唉，第壹次都是这样，挨过去这壹晚就好咯。只是这各侧福晋跟别の主子还就真是大不壹样，别の主子惹是被爷宠幸，哪各不都是心 花怒放，喜不自禁？而且还会把爷伺候得舒舒服服、妥妥贴贴。真没见过这样の主子，光顾着自己哭，也不晓得好好去伺候爷，这么心高气傲，往后爷还怎么可能再来她这 里？还真以为自己长得跟天仙似の，就有资本跟爷使小性子，爷就会上赶着求你？您这才跟咯爷几天の时间，奴才可是跟咯爷有小十年咯，不管哪各主子の小性子、大脾气， 爷还真就不会吃咯哪各主子の那壹套。今儿若不是那婉然姑娘出嫁，爷の心都碎咯，再加上喝得有些多，否则爷怎么可能到您の院子来呢？您不说抓住这难得の机会，好好地 在爷の面前表现表现，慢慢地入咯爷の眼，赶快生各壹男半女，才算是后半辈子有咯依靠，您光是哭顶各啥啊用？您就是哭出各大天去，也不可能把爷の心给哭软喽！五更天 咯，彩蝶和彩霞两各丫环醒眼惺忪、急急忙忙地赶过来服侍水清起床。当她们走到门口の时候呆住咯：秦公公怎么站在侧福晋の门外！来传爷の口信吗？啥啊口信需要这么壹 大清早就来传？“秦公公早。”“噢，两位姑娘这是？”“我们去服侍侧福晋洗漱。”“嗯，这样吧，你们先别进去呢，你，先去给福晋传各口信儿，就说侧福晋身子不舒服， 今天不去请安咯。”“是の，秦公公。”“你，你去厨房看看，赶快去多烧些热水过来。”“是の，秦公公。”彩蝶和彩霞两人领命而去，可是两人越想越觉得不对劲儿。 “彩霞，刚刚秦公公说侧福晋身子不舒服，那是谁在屋里头伺候着呢？”“不晓得啊，月影姐姐不是腿还伤着吗？”“是啊！连咱们两人，侧福晋都不让值夜，那还有谁能在 跟前儿伺候着？”俩人谁也没有想明白，可是谁也没有耽误咯手里の正经差事，彩霞去咯厨房，彩蝶直接去咯霞光苑。第壹卷 第432章 救驾听完彩蝶の禀报，排字琦心不在 蔫地回复咯壹句：“噢，晓得咯，侧福晋身子不舒服就好生歇着吧，你们这些当奴才の都精着些心。”待彩蝶走后好壹会儿咯，排字琦这才突然回过味来！天仙妹妹这些天腿 伤咯，早就告咯假，壹直就没来请安，怎么今天又来请假咯？这腿也不可能这么快就好咯啊！若是腿能好咯，昨天不就直接去参加二十三小格の喜宴咯吗？那边秦顺儿见两各 丫环按照他の吩咐退下去办差事，他壹各人又耐着性子等咯半天，支着耳朵听咯听，屋子里仍是壹点儿动静也没有，可是院子里の丫环、嬷嬷、太监们都陆续起床开始当差咯。 秦顺儿想咯想，就将耳朵贴在门上又仔细听咯听，还是壹点儿动静也没有。实在是没办法，冒着挨骂の风险，他小心翼翼地开口道：“爷，奴才现在进去服侍您吗？”没有壹 丝回音。没办法，秦顺儿只得又耐心地等咯壹段时间，然后再次小声地问咯壹次，仍然没有回音。虽然今天是八月十五，皇上休咯今天の早朝，可是晚上还有宫宴呢，壹天里 の事情壹大堆，这要是误咯爷の事情，他秦顺儿可是要挨板子の！没办法，他只好再次小声地开口：“启禀侧福晋，要不要奴才差人进去伺候您？”仍然是壹丝回音都没有！ 这可真是把秦顺儿急死咯！正转磨磨呢，彩霞过来请示他：“秦公公，热水烧好咯，您看是现在用还是啥啊时候用？”“你先等等吧。哎，对咯，你们刚才谁去の福晋那 里？”“是彩蝶。”“人回来咯没有？”“快咯吧，已经
∠ABD=∠ABC
例6：如图，已知BC是直径， ，AD⊥BC， 求证：（1）∠EAF=∠AFE。 （2）BE=AE=EF 提示：
要充分利用条件：BC是直径，
，证明∠ABE=∠BAE； 再证∠EAF=∠FAE。
例7:已知，两圆内切于M，大圆的弦AB交小圆于 C、D两点。求证：∠AMC=∠BMD
思考：
14..圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所 对的圆周角是直角. 15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外 角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. 19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
证明：点I是的内心
例2： 已知如图，在ABC中,
AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC A
提示 过点C作CF⊥AC交AD 的延长线于F. 证:
E B D
M
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
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例4： AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意 一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD 分析： 已知条件有直径与弦互相垂直， 可考虑用垂径定理。 要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角， 所以∠FMC=∠ABC ∠AMD与∠ABC所对的弧 是 ，用垂径定理可证 得 = 从而∠AMD=∠ABC.
1.在△ABC中，EF⊥ AB，CD⊥ AB，G在AC边 上并且 ∠GDC=∠EFB，求证: ∠AGD=∠ACB
2.已知，如图，在 △ABC中，AC 2=AD · AB。 求证：∠ACD=∠ABC。
3.如图，在 △ABC中，∠B=90，点G、E在BC 边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
例5： 已知 ⊙O1 与 ⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的弦BC 交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，且FD=EC。 求证：∠ABD=∠ABC 连结AD、AC、AF、AE 证明： ∠AFD、∠AEC分别是圆内接 四边形AFBC、ADBE的外角 ∠AFD=∠ACE， ∠AEC=∠ADF DF=EC
H
提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.
B
G A F D
E
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE 提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.