2019届人教B版(文科数学) 1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 单元测试

1-21．(2018·成都一诊)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c【解析】命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.【答案】A2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是()A．如果x<a2＋b2，那么x<2abB．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x<2ab，那么x<a2＋b2D．如果x≥a2＋b2，那么x<2ab【解析】命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，“≥”的否定是“<”．故答案C正确．【答案】C3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0【解析】原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．【答案】C4．(2018·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sin α>sin β的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋π3，β＝π3，有α>β成立，但sin α＝sin β，即α>β不是sin α>sin β的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝π3，β＝2π＋π6，有sin α>sin β成立，但α<β，即α>β不是sin α>sin β的必要条件．综上所述，α>β是sin α>sin β的既不充分也不必要条件．【答案】 D5．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.【答案】 A6．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12<2x <8，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ≤2}C ．{m |m >2}D ．{m |－2<m <2} 【解析】 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12<2x <8＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3， 即m >2，故选C. 【答案】 C7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 【答案】 C8．(2018·新疆适应性检测二)以下结论正确的是( )A ．一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为6和4的长方形，则这个圆柱的体积一定等于36πB ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1>0”C ．当ω≠0时，“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数”的充要条件D ．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，定点P (x 0，y 0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交【解析】 对于选项A ，这个圆柱可能是底面半径为42π、高为6的一个圆柱，此时相应的圆柱的体积等于π×⎝ ⎛⎭⎪⎫42π2×6＝24π，因此选项A 不正确；对于选项B ，命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0”，因此选项B 不正确；对于选项C ，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋k π＝cos(ωx ＋k π)是偶函数，又当f (x )＝sin(ωx ＋φ)是偶函数时，f (0)＝±1，即sin φ＝±1，φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因此选项C 正确；对于选项D ，由点P 在圆O 内得x 20＋y 20<r 2，圆心O (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2x 20＋y 20>r 2r2＝r ，因此直线l 与圆O 相离，选项D 不正确，故选C.【答案】 C9．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】∵a－b>1，即a>b＋1.又∵a，b为正数，∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝3，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．【答案】充分不必要10．有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．其中真命题的序号为________．【解析】命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．【答案】①11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)在[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】若当x∈[0，1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．故x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之，若x∈[3，4]时，f(x)是减函数，此时x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，则当x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．∵y＝f(x)是偶函数，∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性也成立．故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件． 【答案】 充要12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 【答案】 [0，2]13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________． 【解析】 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 14．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．其中正确的是________．【解析】 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零， 反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．【答案】 ①④。