七年级数学知识点：因式分解的简单应用知识点

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初中数学之因式分解知识点汇总

初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

(完整版)七年级因式分解

【因式分解】讲义知识点1：分解因式的定义1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。

例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （）③ 9)3)(3(2-=-+x x x （） ④ )2(222y x xy xy xy y x -=+- （）知识点2：公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1、的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2、多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是3、342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如：1、可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=_______________ （2）11n n n aa a +--+=____________（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2、式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_____________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如：22188y x +-=1、多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是2、分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。

初中数学因式分解的12种方法

因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

初中因式分解公式大全

初中因式分解公式大全因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它是解决代数式的一个重要方法。

因式分解的目的是将一个代数式分解成若干个乘积的形式，从而更容易进行计算和求解。

在初中阶段，因式分解公式是学生们需要掌握的基础知识之一。

下面我们将介绍一些常见的初中因式分解公式，希望能对大家的学习有所帮助。

一、一次因式分解公式。

1. a^2 b^2 = (a + b)(a b)。

这是一个一次因式分解的基本公式，它可以用来分解两个平方数之差。

当我们遇到类似的代数式时，可以利用这个公式来进行因式分解，从而简化计算过程。

二、二次因式分解公式。

1. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

这是一个常见的完全平方公式，它可以用来分解一个完全平方的代数式。

在实际问题中，我们经常会遇到完全平方的情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。

2. a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。

这是完全平方公式的另一种形式，与上一个公式相对应。

当我们遇到完全平方差的情况时，可以利用这个公式进行因式分解。

三、三次因式分解公式。

1. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)。

这是一个常见的立方和公式，它可以用来分解两个立方数的和。

在代数式的计算中，有时会遇到这种情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。

2. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)。

这是立方差公式，与上一个公式相对应。

当我们遇到两个立方数的差时，可以利用这个公式进行因式分解，从而简化计算过程。

四、其他常见因式分解公式。

1. a^2 + b^2 = (a + b)(a bi)(a + bi)。

这是一个关于复数的因式分解公式，它可以用来分解两个复数的和。

在高中阶段学习复数时，这个公式会被进一步应用和拓展。

2. a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 ab ac bc)。

七年级数学：因式分解精讲,建议收藏

七年级数学：因式分解精讲，建议收藏七年级数学中，因式分解是一个非常重要的知识点，它涉及到整式的运算、方程的解法、计算规律的探究等等，因此十分值得我们重视。

本文将详细介绍因式分解的概念、方法和技巧，并给出一些练习建议，帮助同学们深入理解这一知识点。

一、因式分解的概念及意义因式分解指将一个多项式拆分成乘积的形式，其中每一项被称为因式。

例如，$6x^2+9x$可以分解为$3x(2x+3)$，其中$3x$和$2x+3$为因式。

因式分解的意义主要有以下几个方面：1.方便进行乘法和约简运算。

通过因式分解，我们可以将一个式子化简为形式更简洁、易于计算的形式，从而更便于进行乘法和约简运算。

2.解决方程和不等式。

在解方程和不等式的时候，需要将复杂的多项式转化为等式或不等式的形式，此时因式分解可以派上用场，将式子转化为乘积形式后更易于解决。

3.发现规律和应用。

在一些求和、计算公式等问题中，由于形式过于复杂，我们难以直接进行分析和求解，此时可以采用因式分解的方法，将式子变形为更易于分析和计算的形式，帮助我们发现规律和应用。

二、因式分解的方法和技巧因式分解的方法和技巧有很多种，下面将介绍一些常见的方法和技巧。

1.公因式法。

公因式法是最基础的因式分解方法，即找出多项式中所有项的公因式，并将其提取出来。

例如，$4x^2-12x=4x(x-3)$，其中4x是公因式。

2.配方法。

在多项式中，有些项之间存在着一些值得注意的关系，例如$ab+ac$中的$a$可以因式分解成公因式$a(b+c)$。

此外，常用的配方法还有平方差公式和差平方公式等。

3.分组分解法。

分组分解法指将多项式中的项按一定的方法分组，然后再分别因式分解，并试图将各组得到的乘积合并。

这种方法在多项式中具有广泛的应用。

4.因式定理。

因式定理是在分组分解的基础上得到的一种方法，它可以直接得到多项式的因式拆分结果，是一种快捷有力的因式分解方法。

三、练习建议掌握任何一门学科都需要多加练习，数学也不例外。

因式分解掌握方法和技巧

因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个多项式分解为多个乘积的形式。

掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和解题是非常重要的。

在本文中，我将介绍因式分解的方法和技巧，并给出一些例子进行详细的讲解。

一、因式分解的基本方法因式分解的基本方法是将一个多项式表示为多个乘积的形式。

在进行因式分解时，我们需要找到多项式中的共同因子，并将其提取出来，最终将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式x^2+3x+2进行因式分解，首先观察多项式的各项之间是否存在其中一种数学关系，如果没有明显的数学关系，我们可以尝试将多项式进行因式分解。

我们可以发现，该多项式的第一项和最后一项都是平方项，且它们之和等于中间项的系数。

也就是说，x^2+3x+2可以写成(x+1)(x+2)的形式。

因此，我们可以将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。

二、因式分解的常见技巧除了基本的方法外，因式分解还有一些常见的技巧，这些技巧可以帮助我们更快地找到多项式的因式。

1.提取公因子法提取公因子法是因式分解中最常用的技巧之一、通过提取多项式的公共因子，可以将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式6x^3+9x^2+12x进行因式分解，首先观察多项式中各项的系数，我们可以发现它们都可以被3整除。

因此，我们可以将多项式进行公因子提取，6x^3+9x^2+12x可以写成3x(2x^2+3x+4)的形式。

2.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个平方数的差。

例如，我们将多项式x^2-4进行因式分解，首先观察多项式中的平方项和常数项，我们可以发现它们之间的差是常数4因此，我们可以应用完全平方公式，将多项式进行因式分解，x^2-4可以写成(x+2)(x-2)的形式。

3.差的平方公式差的平方公式是指一个平方项和一个常数的乘积可以表示为两个相同数的平方的差。

例如，我们将多项式x^2-4x+4进行因式分解，我们可以发现它是一个平方项和一个常数的乘积，且常数乘积等于平方项的系数的平方。

(完整版)因式分解知识点归纳

n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。

初中数学中的因式分解技巧

初中数学中的因式分解技巧因式分解是初中数学中一个重要的概念和技巧。

它涉及将一个多项式表达式分解成几个乘积的形式，其中每个乘积因子被称为因式。

因式分解不仅帮助我们简化数学表达式，还能帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些初中数学中常用的因式分解技巧。

一、提取公因式在因式分解中，提取公因式是最基本、最简单的一种技巧。

当一个多项式的各项共有一个公因子时，可以将这个公因子提取出来，从而将多项式分解为公因式和剩余部分的乘积。

例如，对于多项式3x + 6xy，我们可以观察到每一项都有3作为公因子。

因此，我们可以将公因子3提取出来，得到3(x + 2y)。

二、平方法平方法是因式分解中常用的一种技巧，适用于二次多项式的因式分解。

平方法的关键思想是将二次多项式转化为完全平方的形式。

考虑一个二次多项式x² + 6x + 9。

我们可以观察到，它的第一项和最后一项都是完全平方，即x²和9(3²)。

而这个二次多项式的中间项是6x，可以通过分解为(a + b)²的形式来表示。

根据二次多项式的求解公式，我们可以将6x分解为2×3x。

因此，我们可以将x² + 6x + 9分解为(x + 3)²。

三、差平方法差平方法类似于平方法，但适用于差的形式，即一个二次多项式的两个项之间存在差的情况。

考虑一个二次多项式x² - 4x + 4。

我们可以观察到，它的第一项和最后一项都是完全平方，即x²和4(2²)。

而这个二次多项式的中间项是-4x，可以通过分解为(a - b)²的形式来表示。

根据二次多项式的求解公式，我们可以将-4x分解为-2×2x。

因此，我们可以将x² - 4x + 4分解为(x - 2)²。

四、平方差公式平方差公式是一个非常有用的因式分解技巧，它适用于两个平方之差的形式。

根据平方差公式，a² - b²可以分解为(a + b)(a - b)。

初中数学因式分解的常用方法总结

初中数学因式分解的常用方法总结因式分解是数学中重要的基本概念，它在初中阶段占据了重要的地位。

因式分解可以将多项式等式转化为因式的乘积形式，从而简化问题的求解过程。

在初中数学中，常见的因式分解方法包括公因式提取法、分组分解法、特殊因式分解法和差平方公式等。

下面将详细介绍这些常用的因式分解方法。

一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一、它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，使多项式可以表示为公因式与剩余部分的乘积形式。

公因式提取法的步骤如下：Step 1：找出多项式中的公因式。

Step 2：将多项式中的每一项除以公因式。

Step 3：将结果相加，得到公因式和剩余部分的乘积形式。

例如，将多项式4x+8分解为公因式和剩余部分的乘积形式：Step 1：找出多项式中的公因式，即4Step 2：将多项式中的每一项除以公因式，得到x+2Step 3：将结果相加，得到公因式4和剩余部分(x+2)的乘积形式，即4(x+2)。

二、分组分解法分组分解法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在相同的二次或高次项的情况。

分组分解法的基本思想是根据多项式的结构特点，将多项式按照其中一种方式进行分组，然后使用公式进行分解。

分组分解法的步骤如下：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解。

Step 4：将结果相加，得到多项式的因式分解形式。

例如，将多项式x^2+3x+2分解为因子的乘积形式：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组，例如(x^2+2x)+(x+2)。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式，得到x(x+2)+1(x+2)。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解，得到x(x+2)+1(x+2)=(x+1)(x+2)。

三、特殊因式分解法特殊因式分解法适用于一些特殊的因式分解问题，例如平方差、和差的平方等形式的分解。

因式分解知识要点

因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:()++=++。

ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。

2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

初一数学初一因式分解

第一章分解因式分解因式知识要点※要点1 分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，它的对象为一个多项式，分解因式的结果是整式的积的形式，即结果为单项式乘以多项式或多项式乘以多项式的形式。

★说明：(1) 分解的对象是多项式，结果要以乘积的形式出现；(2) 每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数；(3) 分解因式要彻底，直到不能再分解为止。

※要点2 分解因式与整式的乘法关系如果把整式的乘法看作一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆过程，反之亦然。

这种逆过程一方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者之间的根本区别。

易错易混点(1) 将整式乘法与分解因式混淆；(2) 分解因式不彻底；(3) 分解的结果不是整式的乘积的形式。

典型例题例1 下面式子从左边到右边的变形是分解因式的是（）A. x 2－x －2＝x (x －1)－2B. (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2C. x 2－4＝(x ＋2)(x －2)D. x －1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11 例2 多项式ac －bc ＋a 2－b 2分解因式的结果是（）A. (a －b )(a ＋b ＋c )B. (a －b )(a ＋b －c )C. (a ＋b )(a ＋b －c )D. (a ＋b )(a －b ＋c )例3 72006－5×72005＋3×72004能被17整除吗？说说理由。

例4 若多项式x 2＋m x －15可分解为(x ＋3)(x ＋n )，试求m 、n 的值。

例5 先分解因式，再计算求值。

已知x ＋y ＝5，xy ＝6，求x (x ＋y )(x －y )－x (x ＋y )2的值。

学习自评1. 2ab (5a ＋3b )＝_________，(y ＋3z )(y －3z )＝__________，(mn －a )2＝__________，(2x ＋y )(x －y )＝__________。

6.4因式分解的简单应用OK

= m(a + b )
Hale Waihona Puke − b = (a + b )(a − b )
2
应用完全平方公式：应用完全平方公式：a 2
± 2ab + b = (a ± b )
2
2
将下列各式因式分解．将下列各式因式分解．
(1) (a + b) − 10(a + b) + 25 = (a + b − 5)
2
2
(2) 2ab − 8a b = 2ab(b − 4a )
2 2
(3) (2a − 1) − (3a − 1) = −a (5a − 2)
2 2
(4) 16 − x = (4 + x )(2 + x)(2 − x)
4 2
思考: 思考: 怎样计算
( 2ab
2
−8a b) ÷( 4a − b)
2
一、运用因式分解进行多项式除法. 运用因式分解进行多项式除法. 计算: 例1 计算
x = 0, 或 2 x + 1 = 0
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。
注意：注意：
当方程的根多于一个时，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示 x , x2 等如 1
解下列方程：例2：解下列方程： 2 2 ( （2）2 x − 1) = ( x + 2 )
x − 2x = 0
2
4 x = (x − 1)
2
2
1、移项，使等式一边变形为零；３）、移项，使等式一边变形为零；（ 2、等式另一边因式分解；、等式另一边因式分解； 3、转化为解一元一次方程．、转化为解一元一次方程．答案：答案：

初中数学知识点：因式分解知识点

初中数学知识点：因式分解知识点初中数学知识点：因式分解知识点导语：因式分解是数学学习的重要内容，是学习分式、解方程等知识的基础，也是中考必考的内容之一。

以下是小编为大家精心整理的初中数学知识点：因式分解知识点，欢迎大家参考！初中数学知识点：因式分解知识点1一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字"1"。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：如果括号前是"十"号，把括号和它前面的"+"号去掉，括号里各项都不变符号;如果括号前是"一"号，把括号和它前面的"一"号去掉，括号里各项都改变符号。

2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

因式分解的12种方法的详细解析

因式分解的12种方法的详细解析因式分解是将一个多项式写成几个较简单的乘积的形式。

在数学中，因式分解是一项重要的基础技能，常用于求解方程、化简表达式和研究多项式的性质等方面。

以下是因式分解的12种常见方法的详细解析。

1.提取公因式法：当多项式的各项中存在公共因子时，可以提取出这个公因式，例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。

这种方法常用于求解关系式和化简分式等问题。

2.公式法：利用一些常用的公式进行因式分解。

例如，二次平方差公式(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)，互补公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)等。

这种方法常用于解决关于二次方程、三角函数等问题。

3.配方法：对于二次型的多项式，可以利用配方法进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+3x+2，可以进行配方法得到(x+1)(x+2)。

这种方法需要将多项式转化为二次型形式，然后利用配方法进行分解。

4.求因子法：当多项式为多个因子的乘积时，可以用求因子的方法进行因式分解。

例如，对于多项式x^3-8，可以将8进行因式分解为2^3，然后利用立方差公式进行因式分解，即x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。

5.幂的分解法：当多项式中有幂函数时，可以利用幂的分解法进行因式分解。

例如，对于多项式x^3-y^3，可以利用立方差公式进行因式分解，即x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)。

6.多项式整除法：当多项式可以被另一个多项式整除时，可以利用多项式整除法进行因式分解。

例如，对于多项式x^3-1，可以利用x-1整除得到(x-1)(x^2+x+1)。

7.韦达定理：韦达定理是将多项式表示为二次型的形式，然后利用二次型进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+y^3+z^3-3xyz，可以将其表示为(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)。

8.根的关系法：利用多项式的根的关系进行因式分解。

例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以利用二次方程求根公式进行因式分解，即ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为多项式的根。

因式分解法知识点

因式分解法知识点一、知识概述《因式分解法》①基本定义：因式分解法呢，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

简单说，就像是把一个大的“数学组合体”拆成几个小“零件”相乘的样子。

比如说多项式$x^2 - 4$，把它变成$(x + 2)(x - 2)$，这就是因式分解。

②重要程度：在数学这个学科里，它可太重要了。

在解方程里经常要用，如果不会因式分解，很多方程都解不出来。

而且在分式运算、化简代数式等方面也是超级重要的。

就好比在一个建筑工程里，它是基础中的基础，要是不会，后面一系列高楼大厦（复杂的数学问题）都盖不起来。

③前置知识：那得先掌握整式乘法的知识，像单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式这些。

还得知道基本的代数式运算规则，加减乘除啥的。

比如说不知道乘法规则，怎么能知道怎么把一个多项式拆成乘法的形式呢？④应用价值：实际应用啊，就比如在物理计算里，如果要化简一个关于力或者速度的表达式，可能就用到因式分解把式子变简单去计算。

再比如安排人员分组计算的时候，若关系用式子表示出来，因式分解能帮助快速算出分组个数和每组人数的关系。

二、知识体系①知识图谱：在数学这个大乐园里，因式分解算是代数部分的一个重要“景点”。

它跟很多地方都有联系，像是解方程的桥上、分式化简的城堡旁。

②关联知识：跟整式、方程、分式、代数式求值都有关系啊。

就像在一个大家庭里，它和其他成员相互帮助，整式为它提供原材料，方程依靠它来破解答案，分式需要它梳理关系，代数式求值借助它来变身简化。

③重难点分析：- 掌握难度：说实话，这个对于初学者有点难。

因为有时候要观察多项式的特点，不是一眼就能看出来怎么分解的。

- 关键点：关键就在于对多项式的形式要特别敏感。

看到多项式得能想到它可能用哪种分解方法，比如看到平方差形式，就知道可以用平方差公式。

④考点分析：- 在考试中的重要性：考试里经常出现啊，特别是在代数部分的考试中。

不管是选择题、填空题还是解答题，都有可能露面。

初中数学之因式分解知识点汇总

初中数学之因式分解知识点汇总初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。

因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。

因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

因式分解知识点总结

第一讲因式分解一，知识梳理1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积例：111()333ax bx x a b +=+ 因式分解，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：〔1〕提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

⎧⎪⎨⎪⎩系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是．解析：从多项式的系数和字母两局部来考虑，系数局部分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母局部33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把2233121824a b ab a b --分解因式.解析：此题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab ，故公因式为6ab 。

解：2233121824a b ab a b -- 226(234)ab a b a b =--例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式解析：由于4(4)x x -=--，多项式3(4)(4)x x x -+-可以变形为3(4)(4)x x x ---,我们可以发现多项式各项都含有公因式〔4x -〕,所以我们可以提取公因式〔4x -〕后,再将多项式写成积的形式.解：3(4)(4)x x x -+-=3(4)(4)x x x ---=(3)(4)x x --例3：把多项式22x x -+分解因式解：22x x -+=2(2)(2)x x x x --=-- 〔2〕运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

因式分解归纳总结

因式分解知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积地形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要地地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点.1. 因式分解地对象是多项式；2. 因式分解地结果一定是整式乘积地形式；3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中地字母可以表示单项式,也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式,应写成幂地形式；6. 题目中没有指定数地范围,一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解地一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”地步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组地目地是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；一、提公因式法①概念：公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地公因式②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法. 如 am ＋bm ＋cm ＝m （a+b+c ） ③具体方法：（1）若各项系数是整系数,取系数地最大公约数；（2）取相同地字母,字母地指数取较低地；（3）取相同地多项式,多项式地指数取较低地.（4）所有这些因式地乘积即为公因式.二、运用公式法.①平方差公式： a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)②完全平方公式： a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b)2注意：能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)地平方和地形式,另一项是这两个数(或式)地积地2倍. （运用完全平方公式也叫配方法）③立方和公式：a 3+b 3＝ (a+b)(a 2-ab+b 2).立方差公式：a 3-b 3＝ (a-b)(a 2+ab+b 2).④完全立方公式： a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3＝(a ±b)3三、十字相乘法：利用十字交叉来分解系数,把二次三项式分解因式地方法叫做十字相乘法.例4、在多项式232++x x 分解时,也可以借助画十字交叉线来分解.2x 分解为x x ⋅,常数项2分解12⨯,把它们用交叉线来表示：所以)2)(1(232++=++x x x x同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示：其中ab q =,b a p += 四、通过基本思路达到分解多项式地目地1.用分组分解法分解因式.（1）定义：分组分解法,适用于四项以上地多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组.再提公因式,即可达到分解因式地目地.例如： +a +b +2 +122a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++,这种利用分组来分解因式地方法叫分组分解法.（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解.（3）有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可.例：分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把xxx xx 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把x x 54-,x x32-,x -1分别看成一组,此时地六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解.解一：原式= 解二：原式== == == =2. 通过变形达到分解地目地例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x+,则有解二：将常数-4拆成--13,则有一、因式分解（简单）1、2m (p q)p q －－＋2、a(ab bc ac)abc ＋＋－3、222a (b c)b (c a)c (a b)－＋－＋－ 4、22(x 2x)2x(x 2)1－＋－＋ 5、22(x 1)9(x 1)＋－－ 6、22ab ac 4ac 4a －＋－ 7、2x 4x 3＋＋ 8、2x 18x 144＋－ 9、42x 2x 8＋－ 10、225m 5n m 2mn n －－＋－ 11、222m a 4ab 4b －＋－ 12、32a ab a b －＋－13、222a b 2ac c －＋＋ 14、22x y x y －－－ 15、328x x - 16、4222269x y x y y -+ 17、121416n n a b a -+- 18、2222224()b c b c a -+- 19、(4)(2)7x x -+- 20、24925m n - 21、2844a a --22、44()()x y x y +-- 23、2222()()ab c d cd a b +++ 24, 5x x - 2,5、222231542a x a x a -- 26、322288a a b b a -+- 27、2633x x -二、因式分解（难）1、22x 4ax 8ab 4b －＋－2、2222224a b (a b c )－＋－3、42m 18m 17－＋－4、53x 2x 8x －－5、42m m 1＋＋6、22x 4xy 4y 2x 4y 35＋＋－－－ 7、(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)48－－－－－ 8、222241x y x y xy +---9、42109x x -+ 10、222432a ab b bc c -++- 11、444x y + 12、2()4(1)x y x y ---- 13、22(x 1)9(x 1)＋－－ 14、三、证明(求值)：1、已知312=-y x ,2=xy ,求 43342y x y x -地值. 2、已知2=+b a ,求)(8)(22222b a b a +--地值3、已知2(1)()1a a a b ---=-,求222a b ab +-地值. 4、已知a ＋b=0,求a 3－2b 3＋a 2b －2ab 2地值．5、已知a=k ＋3,b=2k ＋2,c=3k －1,求a 2＋b 2＋c 2＋2ab －2bc －2ac 地值6、若x 、y 互为相反数,且4)1()2(22=+-+y x ,求x 、y 地值7、若x 2＋mx ＋n=(x －3)(x ＋4),求(m ＋n)2地值．8、当a 为何值时,多项式x 2＋7xy ＋ay 2－5x ＋43y －24可以分解为两个一次因式地乘积． 9、若x,y 为任意有理数,比较6xy 与x 2＋9y 2地大小．四、说明：1、（1）对于任意自然数n,22)5()7(--+n n 都能被动24整除.（2）设n 为整数,用因式分解说明2(21)25n +-能被4整除.2、两个连续奇数地积加上其中较大地数,所得地数就是夹在这两个连续奇数之间地偶数与较大奇数地积.3、求证：四个连续自然数地积再加上1,一定是一个完全平方数.4、两个连续偶数地平方差是4地倍数．五、在证明题中地应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++地值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数.证明：六、因式分解中地转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333 分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c 与a+2b+c 地关系,努力寻找一种代换地方法. 说明：在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要地.例1.在∆A B C中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b+=2 说明：此题是代数、几何地综合题,难度不大,学生应掌握这类题不能丢分.1、已知a, b, c 为三角形地三边,且满足2220a b c ab bc ac ++---=,试说明该三角形是等边三角形.2、已知：a 、b 、c 为三角形地三边,比较a b c a b222224+-和地大小. 例2. 已知：x x x x+=+=12133，则__________ 1. 若x 为任意整数,求证：()()()7342---x x x 地值不大于100.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。