数值计算方法高斯消元法、主元素法 - 高斯消元法、主元素法-1

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数值计算方法高斯消元法、主元素法 - 高斯消元法、主元素法-1

求 f (4) .
c b a 1
高斯
设所求二次函数为 f ( x) ax2 bx c ，其待定系数满足c 2b 4a 2 解此方程组得 f ( x) 3 x2 11 x 3 ，则 f (4)= 5 c 3b 9a 0
消
22
元
思考在一次智力测验中，老师写出某个数列的前两项为1，2，让学生按照前两
9
预备知识——Cramer法则
b1 a12
a1n
b2 a22
a2 n
高
x1
D1 D
bn
an2 A
ann ,
斯
消
元
a11 a12
b1
法
a21 a22
b2
xn
Dn D
an1
an 2 A
bn ,
D0
a11
b1
a1n
a21
b2
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,
xk
Dk D
an1
bn A
ann ,
,
优点：收敛、稳定、结论可靠缺点：计算量过大计算量： M＝(n2 1)n!n 当 n 10 时，M 0.359251210109 当n 40时，M 0.13046485371042
a
(2) 2j
ai(22)
a
(2) 22
方程右边
bi(3)
bi(2) b2(2)
ai(22)
a
(2) 22
方程左边
ai(jk 1)
ai(jk)
ak(kj)
ai(kk) ak(kk)
方程右边
bi(k 1)
bi(k)
bk(k)
ai(2k) ak(kk)
25

数值分析4 高斯主元素消去法

§2高斯主元素消去法⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++00.357.404.100.200.224.563.200.100.100.200.10120.0321321321x x x x x x x x x 解：clear alla=[0.0120 1.00 2.00;1.00 2.63 5.24;-2.00 1.04 4.57]; b=[1.00;2.00;3.00];x=a\b方程组的三位有效数字的解：Tx )266.0,476.0,645.0(*-=Gauss 消去法求解(取三位有效数字)：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-==00.300.5003.811627.80000.100.200.10120.016432916603.811627.80000.100.200.10120.000.357.404.100.200.224.563.200.100.100.200.10120.006.21673.83323121l l l b A 解出Tx )60.0,197.0,25.0(--≈。

【注】1）设Ax=b,其中A 为n 阶非奇异矩阵，可以应用高斯消元法。

2）消元过程中，即使0)(≠k kk a ，用其作除数)/()()(k kk k ik ik a a l =会导致计算中间结果数量级严重增长和舍入误差的累积、扩大，最后使得计算结果不可靠。

3)应避免采用绝对值很小的主元素)(k kk a ；对一般的系数矩阵，最好保持乘数1≤ik l ，因此，在高斯消去法中应引进选主元技巧，以便减少计算过程中舍入误差对求解的影响。

clear alla=[0.0120 1.00 2.00;1.00 2.63 5.24;-2.00 1.04 4.57]; b=[1.00;2.00;3.00];x_value=vpa(a\b,15)%10位有效数字的近似解a=[a,b];eps=1e-6;[n,m]=size(a);Gauss,x=vpa(x,15) %对比高斯消去法的结果一、列主元素消去法基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数（即消元因子）1≤ik l步骤：设已进行k-1轮消元，得矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)(k nn k nkk kn k kkn kn kk a a a a a a a a a a a A一落千丈 1 23Ｓ１：选列主元素： )()(0max k ik ni k k k i a a ≤≤= (1)Ｓ２：换行：如果)(0k k i a →０，则方程组解不唯一，停止运算；否则，如果i0=k ，则可进行下一轮消元；如果k i ≠0，则r i0 r k ，然后进行下一轮消元。

数学消元法种类

数学消元法种类1.引言1.1 概述概述部分的内容可以根据数学消元法的定义和背景进行描述。

可以提及其在数学领域中的重要性和应用，以及本文将要探讨的数学消元法种类。

以下是一个可能的概述内容：数学消元法是一种重要的数学方法，它在解决方程组、矩阵运算、线性代数等领域中具有广泛的应用。

通过应用不同的消元法，可以将复杂的数学问题简化为更易于解决的形式，从而更好地理解和解决问题。

本文将重点介绍数学消元法的种类。

消元法是一种基于变量消除的方法，通过逐步操作，将问题转化为更简单的形式。

这些方法通常涉及对系数矩阵进行初等变换，以减少未知数的数量或简化问题的结构。

然而，不同的消元法方法有着各自的特点和适用范围。

在接下来的章节中，我们将详细介绍两种常见的数学消元法。

第一种消元法将关注于要点1和要点2，通过某种特定的操作方式来完成变量的消除。

第二种消元法则着重介绍了另外两个要点，展示了一种不同的方法来解决数学问题。

通过理解和掌握这些不同的数学消元法，我们可以更有效地解决各种数学难题，并在实际应用中具有更广泛的运用价值。

在本文的最后一部分，将会对所介绍的数学消元法进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。

总之，数学消元法是一种重要的数学工具，它通过变量的消除或问题形式的简化，帮助我们深入理解和解决各种数学问题。

不同的消元法方法有着各自的特点和应用范围，本文将重点介绍两种常见的数学消元法，并提供对未来研究的展望。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分将首先简要介绍数学消元法的概念和背景，为读者提供一个对该主题的整体认识。

随后，将介绍文章的结构和各个部分的内容。

正文部分是本文的主体部分，包括两个小节：第一种消元法和第二种消元法。

在每个小节中，将详细介绍各自的要点，以及对应的原理、方法和特点。

通过对这两种消元法的深入讲解，读者能够全面了解它们的应用场景和解题步骤，为进一步的学习和应用打下基础。

线性方程组的解法

线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。

解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。

它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。

步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。

步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。

步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。

步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。

高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。

二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。

步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。

步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。

步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。

步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。

矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。

三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。

它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。

具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。

步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。

步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。

步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。

《数值计算方法》课程教学大纲

《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。

通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。

具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。

三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。

（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。

其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。

矩阵求解本证值方法

矩阵求解本证值方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵求解是数学中一种重要的方法，通过矩阵的运算可以解决复杂的方程组或者线性代数问题。

在现实生活和工程领域中，矩阵求解方法被广泛应用，可以解决各种复杂的实际问题。

本文将重点介绍矩阵求解中的本证值方法。

本证值方法是矩阵求解中的一种重要技术，它可以帮助我们得到矩阵的特征值和特征向量。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点。

在实际应用中，矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们解决各种问题，比如矩阵的对角化、矩阵的稳定性、振动分析等。

本证值方法的求解过程可以分为以下几个步骤：我们需要构造一个方阵A，然后求解其特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是待求的特征值。

接着，我们可以通过解特征方程得到矩阵A的特征值。

我们可以通过将特征值代入到特征方程中求解特征向量，从而得到矩阵A的特征向量。

在实际应用中，本证值方法可以帮助我们解决各种实际问题。

在机械工程中，我们可以利用本证值方法来分析刚体的振动特性，设计合适的减振系统。

在化学工程中，我们可以利用本证值方法来解决各种反应动力学问题，优化反应工艺。

在物理学中，我们可以利用本证值方法来研究量子力学问题，分析系统的能级结构。

除了求解矩阵的特征值和特征向量，本证值方法还可以帮助我们进行矩阵的对角化。

矩阵的对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。

对角化可以简化矩阵的运算，方便我们求解复杂的问题。

利用本证值方法求解矩阵的特征值和特征向量之后，我们可以通过将特征向量构成的矩阵P和对角矩阵Λ进行相似变换，得到对角化矩阵A=PΛP^(-1)。

第二篇示例：矩阵求解是线性代数中非常重要的一个领域，它广泛应用于科学、工程以及计算机科学领域。

在实际应用中，我们经常会遇到需要求解矩阵方程的问题。

矩阵求解本质上是一种线性方程组的求解问题，可以通过各种方法来实现。

本文将介绍一种常用的矩阵求解方法——高斯消元法，以及它的改进版本——LU分解法。

高斯消元法、主元素法

理比较对应系数可得方程组
c1
c2 2c2
c3 0 3c3 0
（ Cramer ）法则是最经典的方程
(n 1) n!次乘法，总的计算量达到了 M＝(n2 1)n!n 。比如 n 10 时，需要作 M 0.359251210109 次乘法，当 n 40 时，需要作 M 0.1304648537 1042 次
组求解方法，但也是最少用的方法，因为其计算
乘法，不难发现，此种方法随着矩阵阶数的增加相关的计算量过大，虽然其具有收敛、量过大，更多的
稳定、结论可靠等特点，但也不适用于实际问题的求解，为此必须研究其它的数值解法。适用于理论分析。
直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精
确解的方法。事实上，由于实际计算中舍入误差的存在，用直接法一般也只能求得方程
a22
a2
n
，
x
x2
，
b
b2
an1
an2
ann
xn
bn
如果线性方程组（5-1）的系数行列式不为零，既 det( A )≠0，则该方程组有惟一解。Leabharlann 克莱姆（Cramer）法则，其解为
xi
det( Ai ) det( A)
(i 1,2,n)
克莱姆
其中 Ai 为用方程组（5-1）的右端向量 b 代替 A 中第 i 列向量所得的矩阵。这种方法需要计算 n 1 个 n 阶行列式并作 n 次除法，而每个 n 阶行列式计算需要作
设 n 阶线性方程组
本章都假设所求的方程组有唯一解。
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

高斯消元法的优化

高斯消元法的优化在数学领域中，高斯消元法是解线性方程组常用的方法之一。

它通过行初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵，再通过回带法求解方程组。

相比其他方法，高斯消元法具有计算简单、易于理解等优点。

但是，在实际应用中，它仍然存在着一些问题，比如精度丢失和计算复杂度高等。

那么，如何优化高斯消元法，提高求解线性方程组的效率呢？一、全选主元消元法在普通高斯消元法中，每次选用主元时只考虑当前列的元素，而不考虑该列所有元素中的最大值。

因此，当某一列元素较小或接近0时，计算所得的结果可能会出现精度丢失。

全选主元消元法就是在选取主元时，考虑该列所有元素中的最大值，以避免精度丢失。

它的计算公式为：$A(i,j)-=\frac{A(i,j)}{A(k,k)}\times A(k,j), i>j;j=k+1, k+2,...,n$其中，k表示当前主元所在的行数。

相比普通高斯消元法，全选主元消元法的运算次数更多，但是可以有效避免精度丢失，提高计算精度。

二、矩阵分块消元法在矩阵分块消元法中，将系数矩阵A分解成多个小块，然后对每个小块进行高斯消元计算。

分块消元法可以有效降低计算复杂度，并且可以通过GPU加速计算，提高运算速度。

矩阵分块消元法的关键在于矩阵的分解。

可以采用紧凑型分解或者分块型分解两种方法。

其中，紧凑型分解将系数矩阵A分解成三个矩阵L、U和P，其中L是下三角矩阵、U是上三角矩阵、P是置换矩阵，满足A=PLU。

分块型分解将系数矩阵A按行和列分成多个小块，然后对每个小块进行高斯消元计算。

矩阵分块消元法的计算复杂度与块的大小有关，通常块的大小设置为32*32或64*64，以获得最优的计算效率。

三、稀疏矩阵优化在实际应用中，系数矩阵A通常是稀疏的，即矩阵中大多数元素都是0。

对于稀疏矩阵，普通的高斯消元法可能会浪费大量计算资源。

因此，针对稀疏矩阵的高斯消元方法也得到了广泛的研究和应用。

稀疏矩阵的优化方法主要包括LU分解、Cholesky分解和IC分解等。

第3章3-01高斯消元法,列主元法

2 x1 x 2 x 3 y1 3 x 2 5 x 3 y2 12x 3 y3
x1 1 / 2 x2 1 / 2 x3 3 / 2
下三角形方程组
7 2 3 4 5
6
7 2 10
顺代可求得
1 y1 7 2 y1 y 2 3 y 2 y y 3 2 3 1
(k )
再进行第 k 次消元。
例
用列主元高斯消去法求解方程组(用三位有效数字计算)
解
5 3 [ A, b] 7 5 4 4
4
-1 3 2 2 2
选主元
7 5 3 5 4 4
2 4 -1 2 2 3
3 5 7 0 0.8 2.2 0 -1.6 -0.4
，
b( k )
( k 1, 2, , n)
矩阵形式
b1(1) (2) b2 (k ) bk ( k ) b n
，
A( k ) x b ( k ) ， (k 1, 2, , n)
消元过程
(1) (2) ( n) 设主元 a11 0, a22 0, , ann 0 消元过程
( n 1) 2
乘法次数
除法次数
n 1 n2

( n 2) 2
n 1
合计

1
n ( n 1) ( 2 n 1) 6
1
n ( n 1) 2
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定 (k ) 当高斯消去法的主元 akk 0 时 , 尽管“当 A 非奇异时， det A≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求解。 0 1 例 A ， A 非奇异，det A≠0，方程组有

数值计算方法上机实验报告

数值计算方法上机实验报告实验目的：复习和巩固数值计算方法的基本数学模型，全面掌握运用计算机进行数值计算的具体过程及相关问题。

利用计算机语言独立编写、调试数值计算方法程序，培养学生利用计算机和所学理论知识分析解决实际问题的能力。

上机练习任务：利用计算机基本C 语言编写并调试一系列数值方法计算通用程序，并能正确计算给定题目，掌握调试技能。

掌握文件使用编程技能，如文件的各类操作，数据格式设计、通用程序运行过程中文件输入输出运行方式设计等。

一、各算法的算法原理及计算机程序框图1. 列主元高斯消去法算法原理：高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角方程组求解。

列选住院是当高斯消元到第k 步时，从k 列的kk a 以下（包括kk a ）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到kk a 的位置上。

交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。

●源程序：#define N 200#include "stdio.h"#include "math.h"FILE *fp1,*fp2;void LZ(){int n,i,j,k=0,l;double d,t,t1;static double x[N],a[N][N];fp1=fopen("a1.txt","r");fp2=fopen("b1.txt","w");fscanf(fp1,"%d",&n);for(i=0;i<n;++i)for(j=0;j<=n;++j){fscanf(fp1,"%lf",&a[i][j]);}{d=a[k][k];l=k;i=k+1;do{if(fabs(a[i][k])>fabs(d)) /*选主元*/{d=a[i][k];l=i;}i++;}while(i<n);if(d==0){printf("\n输入矩阵有误！\n");}else{ /*换行*/if(l!=k){for(j=k;j<=n;j++){t=a[l][j];a[l][j]=a[k][j];a[k][j]=t;}}}for(j=k+1;j<=n;j++) /*正消*/ a[k][j]/=a[k][k];for(i=k+1;i<n;i++)for(j=k+1;j<=n;j++)a[i][j]-=a[i][k]*a[k][j];k++;}while(k<n);if(k!=0){for(i=n-1;i>=0;i--) /*回代*/ {t1=0;for(j=i+1;j<n;j++)t1+=a[i][j]*x[j];x[i]=a[i][n]-t1;}for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp2,"\n 方程组的根为x[%d]=%lf",i+1,x[i]); fclose(fp1); fclose(fp2); }main() { LZ(); }● 具体算例及求解结果：用列选主元法求解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+28x x 23x 2232832321321321x x x x x x 输入3 输出结果：方程组的根为x[1]=6.0000001 2 -3 8 方程组的根为x[2]=4.000000 2 1 3 22 方程组的根为x[3]=2.000000 3 2 1 28● 输入变量、输出变量说明：输入变量：ij a 系数矩阵元素，i b 常向量元素输出变量：12,,n b b b 解向量元素2. 杜里特尔分解法解线性方程● 算法原理：求解线性方程组Ax b =时，当对A 进行杜里特尔分解，则等价于求解LUx b =，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由Ly b =求出y ，再利用回带，由Ux y =求出x 。

数值分析公式大全

数值分析，第一章1，相对误差和绝对误差e*= x*-x;e r *=(x ∗−x)x ⁄估计值(x ∗−x)x ∗⁄ 2，误差限和相对误差限 ε*≥|x ∗−x |εr *=ε∗|x ∗|⁄3，有效数字官方定义：若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零有效数字共有n 位，就说x *有n 位有效数字。

表示为：x *=±10m ×（a 1+a 2×10-1+a 3×10-2+…+a n ×10-（n-1））=±a 1. a 2a 3…a n 。

其中a i 为0至9中之一，a 1不为0，m ，n 都是整数。

公式：ε*=|x −x ∗|≤12×10m−n+1相对误差限公式x *具有n 为有效数字，εr *≤12a1×10-（n-1）。

若εr *≤12（a1+1）×10-（n-1），则x *至少具有n 为有效数字。

4，病态问题的条件数，相对误差比值x 的扰动Δx=x-x*，误差为Δx x，函数值f （x*）的相对误差= f （x ）−f （x∗）f （x ）相对误差比值为：|f （x ）−f （x∗）f （x ）|/|Δx x|≈|xf ‘（x ）f （x ）|=Cp （也称为条件数）第二章：插值法 1，多项式插值P （x ）为n 阶多项式，P （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，a i 为实数。

解法：a 解方程组：Aa=y ，其中A=[1x 0⋯x 0n1x 1⋯x 1n ⋮1⋮x n ⋱⋯⋮x nn ]，a=[a 0a 1⋮a n ]，y=[y 0y 1⋮y n] 2，拉格朗日插值【1】线性插值L1=y k l k +y k+1l k+1插值基函数l k =x−x k+1xk −x k+1，l k+1=x−x kxk+1−x k【2】抛物线插值L2=y k l k +y k+1l k+1+y k+2l k+2插值基函数l k =(x−x k+1)(x−x k+2)(xk −x k+1)(x k −x k+2)，l k+1=(x−x k )(x−x k+2)(x k+1−x k )(x k+1−x k+2)，l k+2=(x−x k )(x−x k+1)(x k+2−x k )(x k+2−x k+1)【3】 N 次插值多项式（通解）Ln=y 0l 0+y 1l 1+y 2l 2+…+y n l nl k =(x−x 0)…(x−x k−1)(x−x k+1)…(x−x n )(xk −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n )设ωn+1（x ）=(x −x 0)…(x −x k−1)(x −x k+1)…(x −x n )有ω`n+1（x k ）=(x k −x 0)…(x k −x k−1)(x k −x k+1)…(x k −x n ) 有Ln （x ）=∑y kωn+1（x ）(x−x k )ω′n+1（x k ）n k=0余项公式N 次插值多项式的余项形式 R n =f （x ）-Ln （x ）=f (n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1（x ）=K(x) ωn+1（x ）, ξ∈(a,b)ξ的位置未知，但有截断误差限： |R n (x)|≤M n+1(n+1)!|ωn+1(x)|,M n+1=max a≤x≤b|f (n+1)(x)| 3，均差（差商）一阶均差；f[x 0，x k ]=f (x k )−f(x 0)x k −x 0二阶均差：f[x 0,，x1，x k ]=f[x 0，x 1]−f[x 0，x k ]x k −x 1高阶均差：f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 0，x 1，…，x k−1]−f[x 0，…，x k−2，x k ]x k −x k−1性质：1，k 阶均差可表示为函数值f （x 0），f （x 1），…，f （x n ）的线性组合2，对称性，与节点次序无关 3，【前后项】f[x 0,，x1，…，x k ]=f[x 1，…，x k ]−f[x 0，…，x k−1]x k −x 04，※n 阶均差与导数的关系：f[x 0,，x1，…，x k ]=f (n )(ξ)n!，ξ∈[a ，b]。

高斯消元法

高斯消元法Gaussian elimination（高斯消元法）是线性代数中求解线性方阵组的一种算法，它也可用来求矩阵的秩，以及求可逆矩阵的逆矩阵等等，用途十分广泛。

这篇文章我们来回顾高斯消元法，并了解在python中如何应用Gaussian elimination。

Gaussian eliminationGaussian elimination是通过逐步消除未知数来将原始线性系统转化为另一个更简单的等价的系统。

它本质上是通过elementary row operation（初等行变化），将线性方程组的Augmented matrix （增广矩阵）转化为row echelon form（行阶梯型矩阵）。

它的基本步骤如下：1.首先构造线性方程组的Augmented matrix，所谓augmented matrix即系数矩阵和常数向量拼接在一起构成的矩阵；2.通过elementary row operation，将augmented matrix变为row echelon form，所谓的elementary row operation包括三种类型的变换：倍数变换：某行所有元素乘以一个非零数。

对调变换：两行互换。

倍加变换：将一行乘倍数加到另一行。

注：这里的elementary row operation可以通过系数矩阵乘以elementary matrix来实现。

3.回带求出方程组的解。

Gaussian Jordan elimination相对于Gaussian elimination，Gaussian Jordan elimination （高斯-若尔当消元法）更容易求解，其将augmented matrix变换为reduced row echelon form（简化行阶梯型矩阵，rref），从而可以直接求出方程组的解，而无需回带。

所谓reduced row echelon form有两个特点：•非零行的首非零元素为1；•非零行的首非零元素所在列的其余元素均为零。

数值分析6(选主元高斯消元法)

x2 1 例2 x1 x2 2
则该方程的精确解为
1 x1 110 4 1.0001, x2 2 x1 0.9999
假设3位十进制浮点数系统,则该方程的浮点形式为
0.100 E 3 x1 + 0.100E 1x2 0.100 E1 0.100 E 1 x1 0.100E 1 x2 0.200 E 1 (0.100E 5 0.100 E 1) x2 0.100 E 5 0.200 E 1 0.100 E 3 x1 + 0.100E 1x2 0.100 E1 0 0.100E 5 x2 0.100 E 5
如果令P =Pn1 Pn2 PA L1 L2 P1 , Ls Pn1 Pn2 Ps1 Fs1 Ps1 Pn2 Pn1 Ln1U LU。
L U Ls是Frobenius矩阵,差别只是Ls 第s列对角线以下元素
是Fs1第s列对角线以下元素经过重新排列得到的。
Matlab 命令: [L,U,P] = lu(A) edit lutx bslashtx
20:22

2 1 2 2 3 3 2 1 2 0 5 0 4 6 19 9
14/27
三对角矩阵分解
f u over , with f
f u( x ) 0 x 1 f (0) a, f (1) b
20:22
k 1
计算次序
1 2
3 4
u11 m 21 A m n1 u12 u22 m n , n 1 u1n u2 n unn
5 6
20:22
10/27
例4 求矩阵的Doolittle分解

部分选主元的高斯消元法

部分选主元的高斯消元法
高斯消元法是一种常用的线性代数求解方法，它主要用于解决线性方程组的问题。

在高斯消元法中，我们需要将线性方程组转化为矩阵的形式，然后通过一系列的基本行变换将其化为阶梯形矩阵。

最后，通过回代的方式求出方程组的解。

然而，在实际应用中，我们往往会遇到矩阵的大小过大，导致计算量很大的问题。

为了解决这个问题，我们可以采用部分选主元的高斯消元法。

部分选主元的高斯消元法是在传统的高斯消元法的基础上进行
的改进。

在每次进行行变换时，我们不再将第一个非零元素作为主元，而是选择当前列中绝对值最大的元素作为主元。

这样做的好处是可以减小误差，并且在计算时节省了时间和空间。

部分选主元的高斯消元法虽然相对于传统的高斯消元法有一定
的优势，但是它也存在着一些问题。

例如，在某些情况下，选出的主元可能非常小，导致误差的增加。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的消元方法，以求得更加准确和稳定的解。

- 1 -。

矩阵化为阶梯矩阵的技巧

矩阵化为阶梯矩阵的技巧矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数个数排成的矩形阵列。

矩阵在科学计算、物理、工程等领域中有广泛的应用。

在矩阵的运算中，阶梯矩阵是一种非常重要的形式，因为它可以简化矩阵的求解过程。

本文将介绍矩阵化为阶梯矩阵的技巧，包括高斯消元法和列主元消元法。

一、高斯消元法高斯消元法是一种常用的将矩阵化为阶梯矩阵的方法。

它的基本思想是通过矩阵的行变换，将矩阵化为上三角矩阵或者阶梯矩阵。

下面我们来介绍高斯消元法的具体步骤。

1. 将矩阵写成增广矩阵的形式，即将矩阵的系数矩阵和常数矩阵合并成一个大矩阵。

2. 选取矩阵的第一行作为主元行，并将该行的第一个非零元素称为主元素。

3. 通过行变换，将主元素变为1，同时将主元素下面的元素消为0。

这个过程称为主元行的消元过程。

4. 选取矩阵的第二行作为主元行，并将该行的第一个非零元素称为主元素。

5. 通过行变换，将主元素变为1，同时将主元素下面的元素消为0。

这个过程称为主元行的消元过程。

6. 重复以上步骤，直到所有的主元行都被消元为止。

7. 将矩阵化为阶梯矩阵，即将矩阵中的所有非零行的第一个非零元素称为主元素，并且该主元素的下面的所有元素都为0。

通过以上步骤，我们可以将矩阵化为阶梯矩阵。

这个过程中，我们需要注意一些细节，比如主元素为0时需要选取下一行的元素作为主元素。

二、列主元消元法高斯消元法虽然可以将矩阵化为阶梯矩阵，但是它的计算复杂度比较高，而且容易出现数值不稳定的情况。

为了克服这些问题，我们可以使用列主元消元法。

列主元消元法是一种将矩阵化为阶梯矩阵的方法，它的基本思想是通过矩阵的列变换，将矩阵化为上三角矩阵或者阶梯矩阵。

下面我们来介绍列主元消元法的具体步骤。

1. 选取矩阵的第一列中绝对值最大的元素所在的行作为主元行，并将该行的第一个非零元素称为主元素。

2. 通过列变换，将主元素所在的列移动到矩阵的左侧。

3. 通过行变换，将主元素变为1，同时将主元素所在列的其他元素消为0。

数值线性代数课程设计高斯消去法

数值线性代数课程设计⾼斯消去法数值线性代数课程设计线性⽅程组的直接解法数理学院 09405011班 0940501120 沈骁摘要：如何利⽤电⼦计算机来快速、有效的求解线性⽅程组的问题是数值线性代数的核⼼问题。

本⽂将主要介绍解线性⽅程组的基本的直接法——⾼斯消去法，平⽅根法，并⽤实例来验证此⽅法的有效性。

关键字：⾼斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平⽅根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数引⾔：因为各种各样的科学与⼯程问题往往最终都要归结为⼀个线性⽅程组的求解问题。

本⽂在⽐较着⼏个⽅法的基础上，通过⼀道实例来得到最⽅便最有效的⽅法。

基本原理：⼯程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数⽅程组的求解。

求解的⽅法也有很多，如⾼斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平⽅根法。

⾼斯消去法是⽬前求解中⼩规模线性⽅程组最常⽤的⽅法；平⽅根法是求解对称正定线性⽅程组最常⽤的⽅法之⼀。

为了更快速、更⽅便的求解线性⽅程组，下⾯我们⽐较⼀下这⼏种⽅法哪种更好。

⼀、⾼斯（Causs ）消去法就是逐步消去变元的系数，将原⽅程组Ax b =化为系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组Ux d =，然后求解系数矩阵为三⾓形的⽅程组⽽得出原⽅程组解的⽅法。

把逐步消元去变元的系数，将⽅程组化为以系数矩阵为三⾓形的等价⽅程组的过程称为⼩院过程；把求系数矩阵为三⾓形的⽅程组解的过程称为回代过程。

最初求解⽅程组的⾼斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。

顺序消去法 1．消元过程考虑⼀般⽅程组，为了推导过程⽅便，记系数矩阵A 的元素ij a 为(0)ij a ，右端向量b 的元素i b 记为(0),1i n a +，于是⽅程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=+++=（1.1）成为()()()()()()()()()()()()00011112211100021122222100011221n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++?+++=?+++=+++=假设(0)110a ≠，将第1个⽅程乘以(0)1(0)11()i a a -加到第i 个⽅程(2)i n ≤≤,得到第1个导出⽅程组(0)(0)(0)(0)111122111(1)(1)(1)222221(1)(1)(1)221n n n n n n n nn n nn a x a x a x a a x a x a a x a x a +++?++=?+=??+=其中：(0)(1)(0)(0)11(0)11i ij ij j a a a a a =-，2i n ≤≤，21j n ≤≤+。

第四章高斯消元法与选主元

(k )
其中 a ij 和 bi 的上标 k 表示第 k 次消元后的系数，计算公式为 : 对 k = 1，,3, L , n − 1 2 ⎧ m ik = − a ik ( k −1) / a kk ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) + m ik a kj ⎨ a ij = a ij ⎪b ( k ) = b ( k −1) + m b ( k −1) i ik k ⎩ i i , j = k + 1, k + 2 ,..., n
(1) ( 2)
aij
( 2)
= aij + mi 2a2 j , bi
(1)
= bi + mi 2b2
(1)
(1)
i, j = 3,4,...,n
( k −1 ) ≠ 0 ,取 m ik 第k步: 设 a kk 个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)
( a ikk − 1 ) = − ( k −1 ) a kk
i, j = k +1, k + 2,...,n
继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方程组: ⎫
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ (1) (1) (1) a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 ⎪ ⎬ L ⎪ ( n −1) ( n −1) ⎪ a nn x n = bn ⎭
高斯消元法与选主元
高斯消元法是一种古老的直接法,由它改进得到的选主元消元法,是目前计算机上常用于求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题

数值分析(05)高斯消元法

n=length(b); X=zeros(n,1); A的第i行、第i+1到n列元素 X(n)=b(n)/A(n,n); 构成的行向量 for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end xn bn / ann
xi (bi

4 7 13 13
解: x4 1 x1 x2 x2 x3 0
3 x3
3 0
x3 2
x1 x2 x2

3
2
求解上三角方程组 Ax=b
for i= n : – 1 : 2
b ( i ) = b ( i ) / A ( i , i );
r ( A) r ( A)方程组Ax b无解（即不相容）。常见是m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组）此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。即求 x使 || b Ax ||2 2 min
MATLAB实现:
x=A\b
a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
将原方程组 Ax b 化为同解的上三角方组程 Ux g 初等变换 Ax b 同解用增广矩阵表示为
一、三角形方程组的解法
x2 x2 x3 3 x3
x4 5 x4 13 x4 13 x4

4 7 13 13
为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先 a11 x1 a12 x2 .............................. a1n xn b1 解出 xn=bn/ann , 然后按方程由后向前的顺序，从方程 a x2 ............................. a2 n xn b2 22 中依次解出 xn-1,xn-2,…,x ....................................... .. 1。这样就完成了上三角方程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如 an1n1 xn1 an1n xn bn 1 下： ann xn bn

数值计算方法 高斯消元法、主元素法 - 高斯消元法、主元素法-1