江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲二元一次不等式组和简单线性规划问题
高考数学总复习 63 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 苏教版
课
斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1相交的点一般是最优解．
时 规
范
训
练
【基础自测】 1 ． (2011·高 考 湖 北 卷 ) 直 线 2x ＋ y － 10 ＝ 0 与 不 等 式 组
x≥0，
基 础
y≥0，
知 识
x－y≥－2， 表示的平面区域的公共点有________个．
3.解决线性规划问题的一般步骤
基
础
知
(1)认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函
识 梳
理
数．
聚
焦
考
(2)作出可行域．
向 透
析
(3)作出目标函数对应的直线l.
方
法
(4)在可行域内平行移动直线，从图中能判定问题有唯一最优
感 悟 提
升
解，或是有无穷最优解或无最优解．
课
时
(5)求出最优解，从而得到目标函数的最值．
基 础 知 识 梳 理
聚
焦
考
向
第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ透 析
方 法 感 悟 提 升
课 时 规 范 训 练
基
【知识梳理】
础 知
识
1．二元一次不等式表示平面区域
梳 理
聚
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系
焦 考
向
中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线
方
法
感
又∵2m＋3＜3
悟 提
升
即m＜0，
课
时
规
∴m＝－3.
范 训
届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习第轮文数第讲集合的基本运算共35页
A C＝(－ ， －3] (－2， ＋ )；
2 因 为 B C＝(－1, 6)， 则
R ( B C )＝(－ ， －1] [6， ＋ )， 所 以 A R ( B C )＝(－ ， －3] [6， ＋ )．
本题所给的集合都是确定的数集， 重点是考查集合基本运算掌握的熟练程 度，主要方法是：首先化简集合，即将 集合化简到可以用数轴能直观感知的数 集，然后在数轴上描绘出集合元素的取 值范围(或用Venn图)，再根据集合交、 并、补的意义求出所要求的集合，最后 的结果用区间表示即可．
【例2】
集合与简单不等式 的综合应用
已知集合A＝{x | x2 9}，B＝{x | x 7 0}， x 1
C＝{x || x－2 | 4}．
1求A B及A C；
2)若U＝R，求A R (B C)．
【 解 析 】 集 合 A＝(－ ， －3] [3， ＋ )， 集 合 B＝(－1, 7]， 集 合 C＝(－2, 6)．
1． (2010· 苏南三校联考卷)已知全集U＝
0,1,3,5,7,9，A (UB)＝1，B＝3,5,7，
那么(UA) (UB)＝______. 答案：{0,9} 选题感悟：集合的运算是高考的必考内 容．本题重点考查集合的表示法及集合 间的运算．
2．(2010·扬州中学模拟卷)集合M ＝ {3,2a} ， N ＝ {a ， b} ， 若 M∩N ＝ {2}，则M∪N＝__________. 答案：{1,2,3} 选题感悟：本题主要考查集合的交 集、并集运算的理解和应用．
2.设 全 集 U＝ R， 集 合 A＝x|x24， B＝ {x|
x30}， 则 A x1
(CUB)＝ { _x_|x_≤_－__1_或__x_>__ 2_ } _.
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方 法 3 ： 令 t＝ s in 2 x， 则 0 t 1.
因 为 函 数 y＝ t＋ 4 在 0 , 2 上 是 减 函 数 ，
t
所
以
，
当
t＝ 1 时
，
y
m
＝
in
5.
本题是利用基本不等式求函数的最值问题．
用 基 本 不 等 式 x y xy时 ， 要 注 意 “正 、 定 、 2
等 ”三 要 素 缺 一 不 可 ！ 下 面 的 解 法 太 有 诱 惑 力 了 ：
第40讲
利用基本不等式 的转化求最值
【例1】 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求x＋y的最小值及此时x、y的值．
【 解 析 】 因 为 2 x＋ 8 y－ xy＝ 0， 所 以 8 ＋ 2 ＝ 1 ， xy
所 以 x＋ y＝ ( x＋ y )( 8 ＋ 2 ) 1 0 + 8 y 2 x
解决应用题时，先要认真阅读 题目，理解题意，处理好题目中的 数量关系，选择适当的数学模型， 将实际问题转化为数学问题，再用 数学知识和方法加以解决．
【变式练习3】 2019年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大 地震，牵动了全国各地人民的心．为了安置 广大灾民，抗震救灾指挥部决定建造一批简 易房(每套长方体状，房高2.5米)，前后墙用 2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合 钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即 钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单 价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色 钢板为450元，复合钢板为200元．
【 解 析 】 设 使 用 x(x N *)年 的 年 平 均 费 用 为 y万 元 ，
由 已 知 条 件 可 知 年 维 修 费 构 成 一 个 以 0.2万 元 为 首
苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
下面是苏教版高三数学上册知识点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题。
1.?满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
2.?二元一次不等式(组)的每一个解(x，y)作为点的坐标对应平面上的一个点，二元一次不等式(组)的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面(平面区域)。
3.?直线l：Ax+By+C=0(A、B不全为零)把坐标平面划分成两部分，其中一部分(半个平面)对应二元一次不等式Ax+By+C>0(或≥0)，另一部分对应二元一次不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时，应把边界画成虚线。
8.?若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax+By+C=0的同侧，则Ax0+By0+C 与Ax1+Byl+C符号相同;若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax+By+C=0的两侧，则Ax0+By0+C与Ax1+Byl+C符号相反。
9.?从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的步骤是：教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
(1)根据题意，设出变量;(2)分析问题中的变量，并根据各个不等关系列出常量与变量x，y之间的不等式;(3)把各个不等式连同变量x，y有意义的实际范围合在一起，组成不等式组。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
苏教版高中数学必修五教案二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+222y x y x ，则22y x +的最小值是__________．2．设实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥--4102x y y x ，则x y 的最大值是__________． 3．已知y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+113y x y x ，则11+-x y 的最大值是__________． 例题剖析例1 投资生产A 产品时，每生产t 100需要资金200万元，需场地2200m ，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产m 100需资金300万元，需场地2100m ，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地2900m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送t 180．该公司有8辆载重为t 6的A 型卡车与4辆载重为t 10的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．巩固练习1．要将两种大小不同的钢板截成C B A 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．将实际问题抽象概括为线性规划问题并解决之．一 基础题1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是L 2000李子汁和L 1000苹果汁，又厂方的利润是生产L 1甲种饮料得3元，生产L 1乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？2．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？二 提高题3．若点P 满足)03)(12(≥+--+y x y x ，求P 到原点的最小距离．4．设实数y x ，满足不等式组⎩⎨⎧+≤-≤--≤+≤232241y x y y x ．（1）求作此不等式组表示的平面区域；（2）设1->a ，求函数ax y y x f -=)(，的最大值和最小值．。
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【变式练习1】
x y z 1
设x，y，z满足约束条件
3y z 0 x 1
2
，求u
0 y 1
＝2x＋6y＋4z的最大值与最小值．
【 解 析 】 将 z＝1－ x－ y代 入
x 2y 1 约 束 条 件 得 ：0 x 1 ，
0 y 1
目 标 函 数 为 ： u＝ －2x＋2y＋4， 作 出 可 行 域 ，
因
为
直
线
AD的
斜
率
为
k
＝
1
10 ＝ 1 4
－
1， 5
直
线
C D的
斜
率
为
k
＝
2
1 3 1 0
=2，
所 以 y 1 的 取 值 范 围 是 [－ 1 ，2 ]．
x1
5
利用线性规划
【例3】
解决实际问题
某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收
入分别为3千元、2千元．甲、乙产品需要在A、
B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一
【变式练习3】 两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三 种规格成品.
钢板规格 第一种钢板 第二种钢板
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块，问怎样截这两种钢板，可得所 需三种规格成品，且所用钢板张数最少？
【变式练习2】
3x 4y 12 已知变量x，y满足不等式组x 3y 9 0 ，
4x y 16 0 求x2＋y2和 y 1的取值范围．
x 1
【解析】作出可行域如右图中的阴影部分 △ ABC ， 图 中 各 点 的 坐 标 分 别 为 A(4,0) ， B(3,4)，C(0,3)，D(－1,1)．由图可知x2＋y2 的最小值是原点到直线AC：3x＋4y－12＝0 的距离的平方，最大值是线段OB的长度的 平方；
苏教版高中数学(必修5)3.3《二元一次不等式组与简单线性规划问题》word教案3篇
第 5 课时：§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域（1）【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域． 二、过程与方法1.本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。
始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。
教学中也特别提醒学生注意0>++C By Ax (或0<)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C ++≥≤或0)则包括边界2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；三、情感、态度与价值观1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
2. 培养学生数形结合、化归、集合的数学思想 【教学重点与难点】：重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式0>++C By Ax (或0<)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域【学法与教学用具】：1. 学法：启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1.情境：下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？解答：∵X 、Y 这两种食物分别为x kg 、y kg ，∴食物Z 为100x y --kg ，则有300500300(100)35000700100300(100)40000x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩，即25250y x y ≥⎧⎨-≥⎩，又∵,0x y ≥，∴252500,0100y x y x y x y ≥⎧⎪-≥⎪⎨>>⎪⎪+<⎩（介绍二元一次不等式的概念），如果进一步要求,x y 如何取值时总成本W 最小呢？如何解决该问题． 问题转化为在以上不等式组约束下，求543(100)2300W x y x y x y =++--=++（介绍目标函数概念）的最大值问题．要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义． 2.问题：坐标满足二元一次方程20x y +-=的点组成的图形是一条直线l ．怎样才能快速准确地画出直线l 呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点(2,0)A 和(0,2)B ，画出经过,A B 两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点(1,3)在不在直线l 上呢？结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上．坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？ 二、研探新知通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜 想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+，∵点P 在直线上方， ∴点P 在点A 上方，∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<．又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．学生练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）结论：①一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线. ②一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1（教材73P 例1）画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+；（2）20x y -+>． 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：xy O下半平面y k x b<+上半平面y kx b >+y kx b =+20x y +-=2 2x y O(,)P x y ∙例2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空） （1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．例3（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a <，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域． 例4（教材74P 例2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．例5 原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ． 提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例6 用平面区域表示.不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集。
(江苏专用)2020版高考数学总复习第七章第二节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课件苏教版
x 2 y 2,
不小于 3 ,则实数a的取值范围是
.
2
答案
54 ,
解析
约束条件对应的平面区域是以点 23 ,
2 3
、 122a
,
1
2a 2a
和(0,0)为
顶点的三角形及其内部,
当1<a≤2,目标函数的图象经过点 23 ,
2 3
与定点Q(-1,-1)连线的斜率,求得A(1,3),B(3,1),可知,kQA最大,kQB最小.又kQA
= 1311=2,kQB= 1311= 12 ,∴z的取值范围是 12 ,2.
探究1 若典例3中的目标函数变为u= y 1,则u的取值范围是
x3
.
答案
(-∞,-2]∪ 52 ,
(ii)检验它的坐标是否满足所给的不等式; (iii)若满足,则该点④ 所在的一侧区域 即为不等式所表示的平面区 域,否则,直线的⑤ 另一侧区域 为不等式所表示的平面区域. (3)二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组中各个不等式表示的平面区域的⑥ 公共区域 .
2.线性规划中的基本概念
.
答案 (-∞,-3]∪[6,+∞)
规律总结 当目标函数是分式,且x,y的次数都是一次时,可适当变形后与斜率公式 比较,转化为可行域中的点与某一定点的连线的斜率.若过定点且垂直 于x轴的直线与可行域没有交点,则目标函数的范围在两条边界直线之 间;若过定点且垂直于x轴的直线与可行域有交点,则目标函数的范围在 两条边界直线之外.
边界.
由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的
距离的平方,故有(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=
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2证明：对任意的实数a、b，恒有
f a b2－3b＋ 21.
4
【
解
析
】1
f
x ＝
2 x4 ＝ 4x 8
16 2x 2 x2 8
＝ 16 16 ＝ 16 ＝ 2 2，
2
x+
8 2x
2
2
x
8 2x
42
当 且 仅 当 2 x＝ 8 . 2x
即 x＝ 3 时 ， f x 的 最 大 值 为 2 2 .
“＝”，而 2 1 2 2 是当且仅当 2 1
xy
xy
xy
时 取 “ ＝ ” ， x＝ y与 2 1 不 可 能 同 时 成 立 ， xy
所以错了．
本 题 比 较 好 的 方 法 是 ： 因 为 x 0， y 0， 且 x＋ y＝1 ，
所 以 2 ＋ 1 ＝ ( 2 ＋ 1 )( x＋ y )＝ 3 ＋ 2 y ＋ x
方 法 1 ： 因 为 x 0， y 0， 且 x＋ y＝ 1 ，
所 以 当 x＝ y＝ 1 时 ，2 ＋ 1 的 最 小 值 为 6 . 2 xy
方 法 2： 因 为 x 0， y 0，
由
2
x
x
1 y y
， 1
得
x
y
2 3， 1 3
所 以 2 ＋ 1 的 最 小 值 为 6. xy
x
1 sin 2
x
2
sin
2
x
1 sin 2
x
2可 以 取 等 号 ，
即 当 sin 2 x＝1时 ，sin 2 x＋ 1 的 最 小 值 是 2 . sin 2 x
又 当 sin 2 x＝1时 ， 3 ＝ 3， 即 3 的 最 小 值 是 3 .
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2x y 15
由题意知，约束条件为 xx
目 标 函 数 z＝ 3 x＋ 2 y.作 出 可 行 域 ，
如图的阴影部分．
解方程组
x 2y
2
x
y
400， 500
得 交 点 A的 坐 标 为 200,100 ．
作 直 线 l：3x＋2y＝0， 将 直 线 l向 上 平 移 到 过
A点 时 ， z取 得 最 大 值 3 200＋2 100＝800.
y 1的 最 小 值 是 直 线 AD的 斜 率 ， 最 大 值 是 直 x 1 线 CD的 斜 率 ．
因 为 原 点 到 直 线 AC的 距 离 为 d＝ 12 ， 线 段 O B 5
的 长 度 为 OB ＝ 5，
所 以 x 2＋ y 2的 取 值 范 围 是 [ 1 4 4 ，2 5 ]． 25
即 甲 、 乙 两 种 产 品 每 月 产 量 分 别 为200件 、
100件 时 ， 可 使 收 入 最 大 ， 为800元 ．
本题是利用线性规划的基础知识 和图解法解决生活中的实际问题．首 先要弄清题意，找出变量的约束条件， 列出目标函数，然后由约束条件画出 可行域，最后在一组平行线中，找出 在可行域内过A点的直线，把点代入 可得到最大值(即收入最大)．
A点时得到z的最小值为21－22＝－12. 55
再将直线l向下平移到过C点时，得到z的 最大值为25－2＝8.
把线性目标函数转化为一簇平行线，是图解法的 核心．本题求目标函数z＝2x－y的最大值、最小值， 其实是求直线y＝2x－z在y轴上的截距的最小值和最大 值，但x、y是受条件约束的．我们想知道的是过哪些 点可以达到目的？因此，下列步骤是必需的：先画出 二元一次不等式组表示的平面区域(即可行域)，求直 线的交点A、B、C的坐标(当然，如果图画得准确，B 点坐标可以不求)，再作直线l：2x－y＝0，发现将直 线上下平移到过可行域的顶点时，取得最值，所以， 将点的坐标代入就可以了．
高考数学总复习 63 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 苏教版
第二十六页，共36页。
解：设为该儿童预订 x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，
则 x，y 满足162xx＋＋68y≥y≥462，4， 6x＋10y≥54，
即3xx＋＋y≥2y≥7 16 3x＋5y≥27
答案：1
第八页，共36页。
2．(2012·高考安徽卷)若x，y满足约束条件xx≥ ＋02， y≥3， 2x＋y≤3，
则z＝
x－y的最小值是________． 解析：可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0,3)
处取得最小值，∴zmin＝－3.
答案：－3
第九页，共36页。
3．(2012·高考福建卷)若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约束条
含有坐标原点的半平面．直线 kx－y＋2＝
0 又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域
的面积为 4，确定一个封闭的区域，作出平
面区域即可求解．平面区域如图所示，根据
区域面积为 4，得 A(2,4)，代入直线方程，得 k＝1.
答案：1
第十六页，共36页。
考向二 简单的线性规划
2x＋y≤5， (1)已知x，y满足约束条件3x＋4y≥9，
解：x3－x＋4y5＋y－3≤250≤，0， x≥1.
作出(x，y)的可行域如图所示．
由3xx＝＋15，y－25＝0， 解得 A1，252
第三十二页，共36页。
由xx－＝41y，＋3＝0， 解得C(1,1)．
由x3－ x＋4y5＋y－3＝25＝0，0， 解得B(5,2)．
(1)∵z＝
y x
高三数学二元一次不等式组与简单的线性规划问题知识点分析苏教版
二元一次不等式组与简单的线性规划问题基础知识梳理1、二元一次不等式表示平面区域(1)在平面直角坐坐系中,已知直线0Ax By C ++=,坐标平面内的点00(,)P x y ①若()0B Ax By C ++>,则点00(,)P x y 在直线的上方; ②若()0B Ax By C ++<,则点00(,)P x y 在直线的下方;若0B =等于零,则比较简单.一般情况下,我们可以将一个二元一次不等式化为()0(0)(0)Ax By C B ++><>其中的形式,则可利用“大于零在上方,小于零在下方”,画出相应的区域.“直线定界,不等式(点)定域”2、线性规划的概念(1) 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(2) 满足线性约束条件的解叫可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域. (3) 可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解. 3、线性规划的应用用解线性规划解应题的一般步骤(1)依题意设出变量,分析并将已知数据列出表格; (2)确定线性约束条件; (3)确定线性目标函数; (4)画出可行域;(5)利用线性目标函数求出最优解;(6)根据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等). 4.规律与方法(1)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是那个顶点为最优解,有两种解定方法:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是; 另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时,其最优解可能有无组解. (2)求整点的最优解方法①调整优值法,适用于较复杂的问题.②网格法,精确作图,适用于可行域较小的问题. ③逐点验证法,可行区域是有限区域且整点个数又较少.引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：二元一次不等式组与简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式称为二元一次不等式．二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(不包括边界直线，此时将直线画成虚线)．画不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，包括边界直线，需把边界直线画成实线．(2)二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域，是各不等式平面区域的公共部分．(3)选点法确定二元一次不等式所表示的平面区域任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识(1)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0.(√) (2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．(√) (3)(2013·广东卷改编)已知变量x ，y 满足约束条件{ x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则其表示的平面区域的面积为4.(√)2．对简单的线性规划问题的理解(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)(6)(2013·课标全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件{ x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是－6.(√)[感悟·提升]1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．(2)(2014·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为________．解析 (1)由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)． (2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1. 答案 (1)1 (2)1规律方法 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．【训练1】 若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y ＝a 的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43. 答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞考点二 线性目标函数的最值【例2】 (1)(2013·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为________．(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析 (1)由x ，y 满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC ，作出直线y ＝2x ，经过平移得目标函数z ＝y －2x 在点B (5,3)处取得最小值，即z min ＝3－10＝－7.(2)约束条件所表示的可行域为四边形ABCD (如图)，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z .－z 的几何意义是直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距，要使z 最大，则－z 最小，所以当直线y ＝2x －z 过点A (3,3)时，z 最大，最大值为2×3－3＝3. 答案 (1)－7 (2)3规律方法 (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．【训练2】 (2013·浙江卷)设z ＝k x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z的最大值为12，则实数k ＝________.解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4,4)，B (0,2)，C (2,0)．目标函数z ＝k x ＋y ，化为y ＝－k x ＋z .当－k ≤12，即k ≥－12时，目标函数z＝k x ＋y 在点A (4,4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝k x ＋y 在点B (0,2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 2考点三 线性规划的实际应用【例3】 (2013·湖北卷改编)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为________元．审题路线 确定问题属于线性规划问题⇒设A ，B 两种型号车辆的数量为x ，y ，租金为z ⇒读题，列出线性约束条件及目标函数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．解析 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x 、y ∈N ，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案 36 800规律方法 含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．【训练3】 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/每吨售价亩黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，画出可行域如图，得最优解为A (30,20)． 答案 30,201．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．思想方法7——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值【典例】 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)若z＝yx ，求z 的最大值和最小值； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值和最小值．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分即为可行域．易得A (1,2)，B (2,1), M (2,3)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z max ＝k OA ＝2，z min ＝k OB ＝12. 所以z 的最大值为2，最小值为12.(2)过原点(0,0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足N ，则直线l 的方程为y ＝x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝x ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．观察图象可知，可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小，又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13.∴z 的最大值为13，最小值为92.[反思感悟] (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题． 【自主体验】(2012·福建卷改编)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________．解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示． 如图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．解析OA →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2表示的平面区域，如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点D (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]．答案 [0,2]2．(2014·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为________．解析 做出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 143．(2014·杭州模拟)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y≥12x ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋12y 的最大值为________．解析 由z ＝x ＋12y ，得y ＝－2x ＋2z .作出可行域如图阴影部分，平移直线 y ＝－2x ＋2z ，当直线经过点C 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x ＋y ＝1，解得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，代入z ＝x ＋12y ，得z ＝23＋12×13＝56.答案 564．(2013·陕西卷改编)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 答案 －65．(2013·四川卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是________．解析 画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A 点时有最大值；过B 点时有最小值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，故A (4,4)；对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B (8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24.答案 246．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x ，y 非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y ＝－x ，并向上平移，当直线过点A (4,0)时，x＋y 取得最大值，最大值为4. 答案 47．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值， ∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝ 2.答案28．(2014·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 [5,7) 二、解答题9．(2014·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域． 将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·昆明模拟)已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析 画出x ，y 满足的可行域如图，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k3，y ＝－k 3，即C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3，由目标函数z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－13x ＋z 3，可知当直线经过C 点时，直线y ＝－13x ＋z3的截距最大，此时z 最大，把C 点代入z ＝x ＋3y ，得8＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，解得k ＝－6.经检验，符合题意．答案 －62．(2014·临沂一模)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是________．解析 作出不等式对应的平面区域BCD ，由z ＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 仅在点B (1,3)处的截距最大，由图象可知a ＞k BD ，因为k BD ＝1，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)3．(2013·北京卷)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB→＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________． 解析 AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．设P (x ，y )，由AP →＝λAB →＋μAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，故有⎩⎨⎧λ＝2x －y －33，μ＝－x ＋2y ＋33，又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，故有⎩⎨⎧1≤2x －y －33≤2，0≤2y －x ＋33≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.则平面区域D 如图中阴影部分所示．由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6，3)，故|MN |＝5，又 x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为 S ＝5×35＝3. 答案 3 二、解答题4．变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎨⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z的取值范围是[16,64].。
苏教版高中数学必修五教案二元一次不等式组与简单的线性规划问题
1．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥+222y x y x ，则22y x +的最小值是__________．2．设实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥--4102x y y x ，则x y 的最大值是__________． 3．已知y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+113y x y x ，则11+-x y 的最大值是__________． 例题剖析例1 投资生产A 产品时，每生产t 100需要资金200万元，需场地2200m ，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产m 100需资金300万元，需场地2100m ，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地2900m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送t 180．该公司有8辆载重为t 6的A 型卡车与4辆载重为t 10的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．巩固练习1．要将两种大小不同的钢板截成C B A 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．将实际问题抽象概括为线性规划问题并解决之．一 基础题1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是L 2000李子汁和L 1000苹果汁，又厂方的利润是生产L 1甲种饮料得3元，生产L 1乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？2．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？二 提高题3．若点P 满足)03)(12(≥+--+y x y x ，求P 到原点的最小距离．4．设实数y x ，满足不等式组⎩⎨⎧+≤-≤--≤+≤232241y x y y x ．（1）求作此不等式组表示的平面区域；（2）设1->a ，求函数ax y y x f -=)(，的最大值和最小值．。
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1．(2010 扬州一模卷)已知实数x、y满
2x y 0
足
x x
3y 0
5
0，则z＝(
1)x 4
(
1) 2
y的最
y 0
小值为 ______________．
答案：1 16
选题感悟：综观近几年的高考试题， 对于简单的线性规划问题的考查都 以填空题居多，所涉及的类型多数 是求线性目标函数的最值，常需要 进行合理的转化．
1.表示图中阴影部分的二元一次不等式
组为____x___0__________
y
1
x y 1
【解析】B、C所在的直线方程是x＝0， A、C所在的直线方程是y＝－1， A、B所在的直线方程是x＋y＝1. 图中阴影部分表示的区域都包括边界，且是在 直线AC上方( y －1)，直线AB下方(x＋y 1)， 直线BC右边(x 0)．
【解析】设投资人对甲、乙两个项目各
投资x、y万元，
x y 10 则约束条件为0x.3x0 0.1y 1.8，
y 0 目标函数z＝x＋0.5y.
画出可行域(如图阴影部分)．
解方程组
x y 10 0.3x 0.1y
，得交点M 1.8
4, 6 ．
x 0 所以图中阴影部分表示的不等式组为 y 1
x y 1
2. 已 知 平 面 区 域 如 图 所 示 ，
若z＝mx＋y(m>0)，在平面区
域内取得最大值的最优解有 无数多个，则m＝ ___7_____
20
【解析】由题意得
－m＝k
＝
AC
3 22 5
5 1
＝
7 5 4
B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，
如何安排生产可使收入最大？
【解析】设甲、乙两种产品每月产量分别
为x、y件，收入为z元．
x 0
则x、y满足
y x
0 2y
， 400
2x y 500
目标函数z＝3x＋2y.作出可行域，
如图的阴影部分．
解方程组
x 2 2x
动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域
的面积为多少？
【解析】作出可行域(如图)． A是一个边长为2的直角三角形PON， 其面积为2，P(0,2)．
解
y x
x y
2，得交点M(1
1 2
,
3 2
).
所以三角形MPQ的面积为 1 1 1＝1， 22 4
则动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域
x<0 表示y轴左边的半平面(不包括边界)
(对于y＝a的情形参照上表)
(3)方程Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线 将平面分成上下两部分，则
不等式
表示区域
B>0
B<0
Ax＋By＋ 表示直线上方的半平 表示直线下方的半平
C>0
面区域(不包括边界) 面区域(不包括边界)
Ax＋By＋ 表示直线下方的半平 表示直线上方的半平
当目标函数经过点B 1,1时，umin＝4. 当目标函数经过点C 0,1时，umax＝6.
【例2】
求目标函数的最 值(距离、斜率)
2x y 2 0 已知实数x、y满足 x 2 y 4 0，
3x y 3 0
求z＝x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】根据条件作出可行域(如图)．
值和最小值．显然，原点到A点的距离
的平方最大，而到直线2x＋y－2＝0的距
离的平方最小．
所以z的最大值为 OA 2＝22＋32＝13，最小
2
值为d
2＝
|
2
0
1 0 22 12
2
|
4. 5
在线性规划中，形如z＝(x－a)2＋(y
－a)2型的(或可以化为此类型的)目标函数
解 3xx2 yy
4 3
0， 0
得A点的坐标为 2, 3．
解 32xx
y y
2 3
0， 0
得C点的坐标为1, 0 ．
解 2x x2
y y
4 2
0， 0
得B点的坐标为 0, 2 ．
求z＝x2＋y2的最大值和最小值就是求可
行域内的点与原点的距离的平方的最大
1 4
y
， 3
得B点的坐标为1,1.
解方程组3xx45yy325，得C点的坐标为5, 2．
作直线l：2x－y＝0，将直线l向上平移到过
A点时得到z的最小值为2 1－22＝－12 . 55
再将直线l向下平移到过C点时，得到z的 最大值为2 5－2＝8.
把线性目标函数转化为一簇平行线，是图解法的 核心．本题求目标函数z＝2x－y的最大值、最小值， 其实是求直线y＝2x－z在y轴上的截距的最小值和最大 值，但x、y是受条件约束的．我们想知道的是过哪些 点可以达到目的？因此，下列步骤是必需的：先画出 二元一次不等式组表示的平面区域(即可行域)，求直 线的交点A、B、C的坐标(当然，如果图画得准确，B 点坐标可以不求)，再作直线l：2x－y＝0，发现将直 线上下平移到过可行域的顶点时，取得最值，所以， 将点的坐标代入就可以了．
【变式练习3】 两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三 种规格成品.
钢板规格 第一种钢板 第二种钢板
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27块，问怎样截这两种钢板，可得所 需三种规格成品，且所用钢板张数最少？
【解析】设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
作直线l：x＋0.5y＝0，将直线l向上平移到过
点M时，可使z取得最大值．
即当x＝4，y＝6时，赢利最大．
答：投资人对甲、乙两个项目各投资4万元
和6万元时，才能在确保资金亏损不超过1.8
万元的前提下，使可能的赢利最大.
本节内容考查数形结合的数学思想，主要 以三种方式进行：
一是直接给出线性约束条件和线性目标函 数，求区域的面积和线性目标函数在区域内的 最值；
(3)作出直线l0：ax＋by＝0； (4)找出最优解，确定直线l0的平移方向， 依可行域判断取得最优解的点；
(5)求出目标函数的最大值、最小值．
3．运用线性规划解题时需注意的几点： (1)正确画出可行域，交点一定要求准； (2)明确目标函数的几何意义，即要明白 做什么事； (3)一般情况下，最优解在可行域的顶点 (有些实际问题可能在附近的整点)或边界取 得，要注意边界的虚实．
【变式练习1】
x y z 1
设x，y，z满足约束条件
3 0
yz2 x 1
，求u
0 y 1
＝2x＋6y＋4z的最大值与最小值．
【解析】将z＝1－x－y代入
x 2y 1 约束条件得：0 x 1 ，
0 y 1 目标函数为：u＝－2x＋2y＋4，作出可行域，
C≤0
面区域(包括边界) 面区域(包括边界)
(4)特殊点判别法：将原点(0,0)代入二元 一次不等式(组)，若成立，则表示包含原点
的区域；若不成立，则表示另外的区域．
2．解线性规划应用问题的一般步骤： (1)设变量，分析题意，写出约束条件和 目标函数；
(2)作出相应的图象，找出可行域(注意 边界)，求出交点坐标；
都可以转化为求可行域内的点(x，y)与点
(a，b)的距离的平方(特别提醒：是“距离
的平方”，而非“距离”)的最值问题，通
过点与点的距离或点到直线的距离公式求 解．而形如 y b型的则转化为可行域内的 点(x，y)与点(xa，a b)连线的斜率来求．
【变式练习2】
3x 4 y 12 已知变量x，y满足不等式组x 3y 9 0 ，
2x y 15
由题意知，约束条件为
x x
2y 3y
18， 27
x，y N *
目标函数(钢板总数)为z＝x＋y.
作出可行域，如右图所示．
解
x 3y 2x y
27，得交点A( 15
18，39 55
).
作直线l：x＋y＝0.将直线l向上平移，
经过A点时，可使z最小，但18 , 39 不 55
＝－
7 20
，
所以m＝ 7 . 20
x 0
3.不等式组
y
0
表示的平面区
4x 3y 12
域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)
共有 __3__个．
【解析】画图易知整点为(1,1)，(1,2)， (2,1)，共3个．
y 0 4.若A为不等式组x 0 表示的平
y x 2 面区域，则当a从－2连续变化到1时，
y≥kx＋b 表示直线y＝kx＋b上方的半平面(包括边界)
y≤kx＋b 表示直线y＝kx＋b下方的半平面(包括边界)
(2)方程x＝a表示的直线将平面分成 左右两部分，则
不等式
表示区域
x≥a 表示直线x＝a右边的半平面(包括边界)
x<a 表示直线x＝a左边的半平面(不包括边界)
x≥0 表示y轴右边的半平面(包括边界)
的面积为2－1＝7 . 44
5.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得 的赢利，还要考虑可能出现的亏损．某投 资人打算投资甲、乙两个项目，据预测， 甲、乙两个项目可能的最大赢利率分别是 100% 和 50% ， 可 能 的 最 大 亏 损 率 分 别 为 30%和10%.投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的赢利最大？