0802线代(A)

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考试科目线性代数科目代码802

考试科目：线性代数科目代码：802 适用专业：运筹学与控制论、理论统计和应用统计、课程与教学论（数学）、学科教学（数学，专硕）专业硕士注意：所有答案一律写在专用答题纸上，否则无效。

（考试时间：180分钟，满分150分）一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 若A 为3阶矩阵，则2A -=（）.（A ）8A （B ）2A - （C ）8A - （D ）2A 2. 在下列矩阵中可逆的是（）．（A ）000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）100111101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组0ABx =（）.（A ）当m n >时，仅有零解（B ）当m n >时，有非零解（C ）当n m >时，仅有零解（D ）当n m >时，仅有零解4.若向量组12,,,s ααα 的秩为()r r s <，则12,,,s ααα 中（）．（A ）多于r 个向量的部分组必线性相关（B ）多于r 个向量的部分组必线性无关（C ）少于r 个向量的部分组必线性相关（D ）少于r 个向量的部分组必线性无关5. 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B （）. （A ）合同但不相似（B ）合同且相似（C ）相似但不合同（D ）不合同也不相似二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=513024001A ，其伴随矩阵*A 的逆矩阵()=-1*A __________2.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=753240,311102B A ，则=B A T __________. 3.设向量组T ），，（3211=α，T ），，（6542=α，3555T α=（，，）与向量组321,,βββ 等价，则向量组321,,βββ的秩为__________.4.设x η*=是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的全部解可以表示为_________________________________.5.二次型21()31T f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的矩阵为 .三、计算题(本题共5小题，每小题15分，共75分)1. 计算行列式12111111111++=+n n a a D a , 其中120.n a a a ≠2. 求k 为何值时，线性方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解，无解，无穷多解？在有无穷多解的情况下求出其全部解。

2013年西安工业大学线性代数考试试题及答案评分标准(A卷)

2012级线性代数考试试题（A 卷）2012－2013学年第2学期5小题，每小题4分，总计20分）1、设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（）. (A) ACB E =； (B) CBA E =；（C ）BAC E =；（D ）BCA E =.2、设A 、B 均是3阶矩阵，且2, 2A B ==-，则112A B *-=（）（A ）2-；（B ）1-；（C ）21-；（D ）41-. 3、设向量组321,,ααα线性无关，向量1β能由321,,ααα线性表出，向量2β不能由321,,ααα线性表出，则必有（）（A ）121,,βαα线性相关；（B ）121,,βαα线性无关；（C ）221,,βαα线性相关；（D ）221,,βαα线性无关. 4、设线性方程组(Ⅰ) b Ax =,其导出组(Ⅱ) 0=Ax ,则必有( ).（A ）(Ⅰ)有无穷多解,则(Ⅱ)仅有零解；（B ）(Ⅰ)仅有唯一解,则(Ⅱ)仅有零解；（C ）若(Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解；（D ）若(Ⅱ)仅有零解,则(Ⅰ)有唯一解.5、设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B （）.(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；(C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似. 5小题，每小题4分，总计20分）1. 已知414243123452221127, 312451112243150D A A A ==++=则，=+4544A A ;2. 已知A 21401134⎛⎫= ⎪-⎝⎭，131012131402B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则()TAB =___________; 3. 设01000010********A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为______; 4. 设三阶方阵A 的特征值分别为1, 2, 3-，则2A A E +-= ____; 5. 已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++为正定的，则参数t 的取值范围是 .三、（12分）设423110,123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且2,AX A X =+ 求X ．四、（10分）求向量组()T3,0,1,21-=α，()T4,2,3,12-=α，()T 1,2,0,33-=α，()T 6,4,2,24-=α的秩及一个极大无关组，并将其余的向量（如果有的话）.用此极大无关组线性表出.五、（12分）求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++++2275532155432722543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（14分）设211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，判断A 能否对角化，若能，求可逆阵P ，使1P AP -为对角阵，并求20A .12分，其中（1）题5分，（2）题7分)（1）设B A ,是n 阶方阵，且B 可逆，满足O B AB A =++22，证明：A 和AB +都是可逆矩阵； (5分)（2）设向量组,,αβγ线性无关,证明: 向量组,,αββγγα+++也线性无关. (7分)2012~2013学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选择题（5二、填空题（5×4分）1. 9, 18-;2. 6207586⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭; 3. 1 ; 4. 11 ; 5. 22<<-t三、解：由2AX A X =+，得(2)A E X A -=…………………………………1分由于2232110,210,121A E A E ⎛⎫ ⎪-=--=-≠ ⎪ ⎪-⎝⎭所以2A E -可逆；于是1(2)X A E A -=-………………………………………………………4分()132231001210012110010110010121001223100~r r A E E ↔-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因为211123132(1)226121001121001101021~011011~011011~011011065102065102001164r r r r r r r r r+⨯-++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭13233(1)100143~010*********r r r r r ++⨯---⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭，1143(2)153164A E ---⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………8分 1143423386(2)1531102961641232129X A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 ………12分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 1302011200110000⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………4分故()3=A r ……………………………………………………………………6分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………8分3214αααα++=……………………………………………………………10分五、解：将该方程组表示为：Ax b =，其中112121234523557A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12345x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，71522b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3132112127112127123451512345152355722000000r r r r A A b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112112127101211011338011338000000000000r r r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………4分得同解方程组⎩⎨⎧=+++-=--+8331254325431x x x x x x x x移项得 ⎩⎨⎧+---=-++-=8331254325431x x x x x x x x …………………………………………6分取3450x x x ===，得线性方程组的一个特解：0(18000)T η=-……………………………………………………8分在对应的齐次线性方程组134********x x x x x x x x =-++⎧⎨=---⎩中，取345100x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭得基础解系为：111100ξ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，223010ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，313001ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………………………10分于是所求的通解为：1231234512111338100001000010x x x x k k k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k ∈ℜ）. ………………………………………………………………………………………12分六、解：令()()2211121410112A E λλλλλλ--=-=---=-得的特征值为14λ=，231λλ==………………………………..…….3分1 对应14λ=，解方程组()40A E x -=由2111014121011112000r A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系 1111p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ………………….………………………………5分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由111111111000111000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得基础解系 2110p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……………………………………7分因此，三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，所以它可相似对角化…………..8分.令()123111,,110101P p p p --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1411P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是1411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 20201411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………10分计算得 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………………………12分所以2020202020120202020202044241411141424131414142A P P -⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪==-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭…………….……14分七、(1) 证明: 由O B AB A =++22,得2)(B B A A -=+, ………………1分两边取行列式,由方阵行列式性质及B 可逆,有()012≠-=+B B A A n, ………………………………………3分从而 0,0≠+≠B A A 且.故 B A A +和都是可逆矩阵 …………………………………… 5分（2）证明：方法一（定义法）设 123()()()0k k k αββγγα+++++=，……………………………1分必有 131232()()()0k k k k k k αβγ+++++= （*） …………… 2分已知,,αβγ线性无关，所以（*）式的系数全为零，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.0,0,0232131k k k k k k ……………4分其系数行列式02110011101≠=， ……………5分所以上述关于321,,k k k 的方程组只有零解，即0321===k k k ， ………6分故向量组,,αββγγα+++也线性无关 …………………………………7分方法二（利用矩阵的秩）因为()()101,,,,110011αββγγααβγ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭…………2分由于10111020011=≠，故101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，………………………………4分所以()(),,,,3R R αββγγααβγ+++==，…………………………6分故,,αββγγα+++线性无关………………………………………7分编辑：张永锋2013/6/9。

2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A试卷解答

北方交通大学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______．解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ．即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ，验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =．应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ．应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解：由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________．解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________．解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ．则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β．应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______．解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤．应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα，则此方程组的一般解为____________．解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ，（其中k 是任意常数）．应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ，求X ．解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ，所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ．在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T．四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα，此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα，此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ．解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k；若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k．七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211．八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答第 11 页共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ，求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ．再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。

2008年考研-线性代数春季班讲义

线性代数春季班讲义 1第1章行列式例1 x x x x x xx x −=−==2)1(1111101100．例2 !00030002100020001n nn ==×=L L L L L L L L L L L L L L L例3nn nnn nnn n a a a a a a a a a a a a a L L L L L L L L LL L L L L 2211222112122211100===．例4 计算nN 21．例5设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么B = . 例6 计算27811941132111111−−．例7 计算n n 00001010L L LL L LL −．例8 计算443322110000000a b a b b a b a ．知识宝库考研社区()友情提示：购买原版，饮水思源！例9 计算 1111111111111111−−+−−−+−−−x x x x ．例10 计算阶行列式n 100010000100100001121LL LL L L L L LLL nn a a a a −．例11 计算44434241433332314232222141312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ．例12 计算阶行列式n ab b ba b b b a L L L L L L L ．例13 计算：n a na a n a L LL L L L L LL 00002121210．例14 计算na a a +++11111111121L LLL L L L ．例15 证明：12100012000002100012100012+=−−−−−−=n D n L L L L L L L L L L L例16 计算阶行列式n ba ab b a ba ab b a ab b a +++++10000000010001000L L L L L L L L L L L ．例17 已知011111412−−，求第３列各元素代数余子式之和332313A A A ++．例18 求行列式2235007022220403−−第４行各元素的余子式的和．例19 求xx x x x 3211212132312−−−中的系数． 3x 例20 记行列式347534453542333322212223212−−−−−−−−−−−−−−−x x x x x x x x x x x x x x x x 为，求方程有几个复根． )(x f 0)(=x f 例21 设xx xx xx x f ++−−=63121224221421)(，证明0)(=′x f 有小于１的正根．第2章矩阵代数例1 设，，是正整数，求()T1,0,1−=αT A αα=n n A aE −．例２（１）命题“，则”是否正确，若正确，证明之，若不正确，举例说明． 02=A 0=A （２）A 是二阶矩阵，求满足的所有矩阵． 02=A （３）证明，且，则02=A A A T=0=A ．线性代数春季班讲义 4例3 设，而是整数，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A 2≥n 12−−n n A A ．例4 设，求．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=110011001A nA 例5设()，T4,3,2,1=αT⎟⎠⎞⎜⎝⎛=41,31,21,1β，，则？ T A αβ==nA 例6 设，求． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A n A 例７设矩阵A 满足，求． 042=−+E A A 1)(−−E A 例８设是阶方阵，满足C B A ,,n E ABC =，求()11−−AC．例９设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=11334221tA B 为３阶非零矩阵，且0=AB ，求t ．例1０，求 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011002112002500A ?1=−A 例1１已知都可逆，证明B A B A +,,11−−+B A 可逆，并求()111−−−+BA ．例1２已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1200312001A ，，求矩阵．)()(1E A E A B −+=−1)(−+B E 例1３设矩阵，，且 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1000210032102321B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000210002101021C 11)2(−−=−C A B C E T ，求矩阵A ．例1４设A 是阶方阵，且若n ,0≠A TA A =*，证明A 可逆．例1５设A 是实矩阵，,0,<=A E A A T证明E A +不可逆．知识宝库考研社区()友情提示：购买原版，饮水思源！例1６设，满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A X A E AX +=+2，求X ．例１７设，，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=200011001A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001B BA AX =，求100X ．例18 设A 为n 阶可逆矩阵，α为维列向量，为常数，分块矩阵n b ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A EP T *0α，， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b A Q T αα（１）计算并化简；PQ （２）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是． 01≠−−ααA b T 例19 设为正定矩阵，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B C C AD T A ，B 分别为阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵. 计算m n m ×DP P T，其中 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−n mE OC A E P 1例20 设均为n 阶矩阵，C B A ,,E 为阶单位矩阵， n 若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（A ）E . （B ）E −. （C ）A . （D ）A −.第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩例1 求矩阵的逆矩阵．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 例2 设，， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，，．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E 则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(； B E E AE B =321)(； B A E E EC =123)(； B E E AED =123)(．例３设A 是３阶可逆矩阵，将A 的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作B ．（１）证明B 可逆；（２）求．1−AB 例4 设，，是否存在可逆矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B P ，使得B PA =？若存在，求；若不存在，说明理由．P 例5 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) (B)(C) (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110例6 设阶矩阵n A 与B 等价，则必有(A) 当)0(≠=a a A 时，a B =． (B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．例7 求矩阵的秩． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 例8 求n 阶矩阵的秩，． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A L L L L L L L 2≥n 例9 设，已知⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A 3)(=A r ，求． b a ,例10 设都是阶方阵，满足 B A ,n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设A 是矩阵，求．34×,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r )(AB r 例１2 已知，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A B 是３阶非零矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，B 的秩必为１； 4)(=t B 时，B 的秩必为２； 4)(≠t C 时，B 的秩必为１； 4)(≠t D 时，B 的秩必为２．例13 设都是阶非零矩阵，且满足B A ,n 0=AB ，则A 和B 的秩)(A 必有一个等于零；都小于； )(B n )(C 一个小于，一个等于n ；都等于．n )(D n 例14 设A 是矩阵，n m ×B 是m n ×矩阵，若m n <证明：0=AB ．例15 设A 是２阶方阵，已知，证明．05=A 02=A 例16 设，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A A 的伴随矩阵． *A 例17 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−1212100,1111,232121A A B A A , 则 *B =？例18 设A 是３阶矩阵，21=A ，求*12)3(A A −−．例19 设，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A E XA AXA 311+=−−X ．第4章向量组的线性相关性例1 设，()T3,2,11=α()T4,1,02=α，()T 6,3,23=α，，试用()T5,1,1−=β321,,ααα线性表示β．线性代数春季班讲义 8例２设，()T2,0,4,11=α()T3,1,7,22=α，()T2,1,1,03−=α，．取何值时，(Ta 4,,10,3=β)a β可由321,,ααα线性表示？写出表示式．例３向量组s ααα,,,21L 线性无关的充分条件是 )(A s ααα,,,21L 都不是零向量；)(B s ααα,,,21L 除去向量组本身的任意部分向量组都线性无关；向量组)(C s ααα,,,21L 的秩等于s ； )(D s ααα,,,21L 中任意两个向量都线性无关．例４设()(),11,1121TTtt −−=−−=αα()Tt 113−−=α．问t 为何值时321,,ααα线性相关．例5 设21,αα是维向量，令n 2112ααβ+=，212ααβ+−=，21325ααβ+=，则 321,,)(βββA 必线性无关； 321,,)(βββB 必线性相关；仅当)(C 21,αα线性无关时，321,,βββ线性无关；仅当)(D 21,αα线性相关时，321,,βββ线性相关．例６已知321,,ααα线性无关，试判断13322154,,23αααααα−−+是否线性无关．例７已知向量组321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，问（１）1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论；（２）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论．例８设γβα,,线性无关，又设0≠δ，δγα,,线性相关，δγβ,,也线性相关，证明 γδk =，其中0≠k 常数．例９已知4R 中，321,,ααα线性无关，321,,βββ线性无关，（１）若不能由4R ∈γ321,,ααα线性表出，则γααα,,,321线性无关；知识宝库考研社区()友情提示：购买原版，饮水思源！（２）证明使得4R ∈∃δδααα,,,321与δβββ,,,321均线性无关．例１０设A 是矩阵，m n ×B 是n m ×矩阵，满足E AB =，试证明B 的列向量线性无关．例１１设为满足的任意两个非零矩阵，则必有 B A ,0=AB (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关(B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关例１２设A 是n 阶方阵，α是维列向量，若，而，试证明 n 01≠−αn A 0=αn A线性无关．ααα1,,,−n A A L 例1３求向量组，()T0,0,1,11−=α()T1,1,1,02−=α，，()T 1,1,2,13−−=α()T 1,2,3,14−=α，()1,4,6,25−=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．例1４ s ααα,,,21⋅⋅⋅可被t βββ,,,21⋅⋅⋅线性表出，且秩相等，证明 t βββ,,,21⋅⋅⋅也可被s ααα,,,21⋅⋅⋅线性表出．例1５已知向量组，()T3,2,11−=α()T1,0,32=α，()T5,4,13−=α与向量组，，()Ta 0,2,1=β()Tb 1,,12=β()T2,3,23−−=β具有相同的秩，且1β可以由321,,ααα线性表出，求的值．b a ,例1６已知向量组（I ）321,,ααα，（II ）321,,ααα，4α，和（III ）321,,ααα，5α，它们的秩为r （I ）＝r （II ）＝３，r （III ）＝４，证明45αα−和321,,ααα线性无关．例1７设维向量组n s ααα,,,21⋅⋅⋅)(n s <线性无关, 则s βββ,,,21⋅⋅⋅线性无关的充分必要条件是 )(A s ααα,,,21⋅⋅⋅可由s βββ,,,21⋅⋅⋅线性表出； )(B s βββ,,,21⋅⋅⋅可由s ααα,,,21⋅⋅⋅线性表出； )(C s ααα,,,21⋅⋅⋅与s βββ,,,21⋅⋅⋅等价；矩阵)(D ()s A ααα,,,21⋅⋅⋅=与矩阵()s B βββ,,,21⋅⋅⋅=等价．第5章线性方程组例1 试问t 取什么值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=++−=+−,,4,422321321321t x tx x tx x x x x x 无解，有唯一解，有无穷多解．例2 非齐次线性方程组，其中b Ax =A 是n m ×矩阵，则b Ax =有惟一解的充分必要条件是（）．n A r A =)()(； n A r B =)()(；m A r C =()(； n A r D =)()( 且b 为A 的列向量组的线性组合．例3 齐次线性方程组，仅有零解的充分必要条件是 0=Ax 的行向量组线性无关；的行向量组线性相关； A A )(A B )( 的列向量组线性无关；的列向量组线性相关．A C )(A D )(例4 设齐次线性方程组，k 为何值时，方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=−+=++=+005032132131x x x x x kx kx x 例5 齐次线性方程组当k 为何值时，只有零解？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−−=−+=+=++020300332132121321x x x x kx x x x kx x x 例6 设321,,ξξξ是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，试证明31321212,,ξξξξξξξ+++−也是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系．例7 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+++=−−+−=−+++=−+++076530230553203454321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．例8 设有齐次线性方程组线性代数春季班讲义 11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0)(,02)2(2,0)1(212121n n n x a n nx nx x x a x x x x a L L L L L L L L L L L L L )2(≥n 试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．a 例9 设方程组（１）：；方程组（２）：，求方程组（１）和方程组（２）的公共解．⎩⎨⎧=−=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+−=+−00432421x x x x x x 例10 已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα 是导出组的基础解系，是任意常数，则0=Ax 21,k k b Ax =的通解是（）．)(2)(2121121αααββ+++−k k A ； )(2)(2121121αααββ−+++k k B ；)(2)(2121121ββαββ+++−k k C ； )(2)(2121121ββαββ−+++k k D ．例11 设A 为阶方阵，若n α是非齐次线性方程组b Ax =的解，r βββ,,,21L 是导出组的基础解系，则0=Ax ；；r A r A <)()(r A r B ≥)()( r r C r =),,,,()(21βββαL ； 1),,,,()(21+=r r D r βββαL ．例12 设A 是矩阵，54×A 的行向量线性无关，则错误的是只有零解；必有无穷多解； 0)(=x A A T0)(=Ax A B T有惟一解； b x A b C T =∀,)(b Ax b D =∀,)(总有无穷多解．例13321,,ααα是４元非齐次线性方程组b Ax =的３个解向量，且A 的秩，已3)(=A r 知，()T4,3,2,11=α()T3,2,1,032=+αα，是任意常数，则线性方程组的通解为：k b Ax =（A ）＝＋k ；x ()T4,3,2,1()T1,1,1,1（B ）＝()＋；x T4,3,2,1k ()T3,2,1,0（C ）＝()＋；x T4,3,2,1k ()T5,4,3,2（D ）＝＋k ．x ()T4,3,2,1()T6,5,4,3例14 设阶矩阵n A 的伴随矩阵，若0*≠A 4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组的互b Ax =知识宝库考研社区()友情提示：购买原版，饮水思源！不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量；(C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量．例15 求线性方程组的通解．⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=+−−−=−++−0233252432143214321x x x x x x x x x x x x 例16 已知方程组有无穷多个解，求的取值, 并求方程组的通解．⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++4243212321321x x x a x ax x ax x x a 例17 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++．14)4()2(3,022,0432143214321x x x x x x x x x x x x µλµλ 已知是该方程组的一个解，试求(T1,1,1,1−−)（１）方程组的全部阶，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（２）该方程组满足的全部解． 32x x =例18 设，()T0,2,11=α()Ta a 3,2,12−+=α，()Tb a b 2,2,13+−−−=α，()T 3,3,1−=β，试讨论为何值时，b a ,（1）β不能由321,,ααα线性表示；（2）β可由321,,ααα惟一地线性表示？并求出表示式；（3）β可由321,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．例19 设A 是矩阵，n m ×B 是l n ×矩阵，且0=AB ，证明n B r A r ≤+)()(．例20 设A 是矩阵，证明． n m ×)()()(A A r A r AA r TT==例21 设()(),,32123211T T b b b a a a ==αα(),3213Tc c c =α，()T d d d 3214=α()1111c b a =β, ()2222c b a =β, ()3333c b a =β，则三个平面)3,2,1(,0==+++i d z c y b x a i i i i 两两相交成三条平行直线的充分必要条件是3),,,(,2),,()(4321321==αααααααr r A ；321,,)(αααB 任两个均线性无关且4α不能由321,,ααα线性表出；321,,)(αααC 线性相关且4α不能由321,,ααα线性表出；)(D 321,,βββ任两个均线性无关, 但321,,βββ线性相关，且4α不能由321,,ααα线性表出．第6章向量空间例1 已知4321,,,αααα是向量空间4R 的一个基，则选项也是4R 的一个基．（A ）4321αααα+−+，4321αααα+++，321ααα−+；（B ）21αα+，32αα+，43αα+，41αα+；（C ）21αα−，32αα−，43αα−，41αα+−；（D ）312αα−，42αα+，3132αα+，425αα+−．例2 已知三维线性空间的一个基为()T0,1,11=α，()T1,0,12=α，()T 1,1,03=α, 求在这个基下的坐标．(T 0,0,2=α)例3 已知3R 的两个基为，，和，，．求由基⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1111α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1012α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1013α⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1211β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4322β⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=3433β321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵．例4 已知4321,,,αααα是４维向量空间V 的一个基，1β＝4321αααα+++，2β＝432ααα++，3β＝43αα+，4β＝4α．（１）证明4321,,,ββββ是V 的一个基；（２）求由基4321,,,ββββ到基4321,,,αααα的过渡矩阵；（３）求在基4321,,,αααα和基4321,,,ββββ下坐标相同的向量．例５已知3R 的向量γ在基，()T1,0,11=α()T1,1,12=α，下的坐标是，求()T0,0,13=α(T1,0,1−)γ在基()T0,2,11=β，()T2,1,12−=β，(T 1,1,03−=β)下的坐标．例６在4R 中求一个单位向量，使它与()T1,1,1,11−=α，()T2,2,2,12−=α，都正交．()T 3,3,1,23−=α例7 设B 是秩为2的矩阵，45×()T3,2,1,11=α,()T1,4,1,12−−=α，(T 9,8,1,53−−=α)是齐次线性方程组0=BX 的解向量，求的解空间的一个标准正交基．0=BX 例8 设nR 中向量121,,,−n αααL 线性无关，21,γγ与121,,,−n αααL 都正交，试证明21,γγ线性相关．例9 设β＝(是齐次线性方程组)Tn b b b ,,,21L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L L L L L L 的一个非零解．令1α＝()，Tn a a a 11211,,,L 2α＝()Tn a a a 22221,,,L ，．．．，m α＝()，若当Tmn m m a a a ,,,21L n m <时1α，2α，．．．，m α线性无关，试证明1α，2α，．．．，m α，β线性无关．例10 α是nR 的单位向量，证明矩阵是正交矩阵．T E A αα2−=例11 设A 是反对称矩阵（A A T−=），且A E +可逆，证明：是正交矩阵． 1))((−+−=A E A E B第7章特征值与特征向量例1 已知是矩阵的特征向量，求k ．()Tk x ,1,1−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=163053064A例2 矩阵的非零特征值是⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−222222220 ．例3 A 是三阶矩阵，的特征值是1，2，3，则1−A A 的代数余子式=？332211A A A ++例4 已知，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c aA 013511−=A ，的一个特征值*A λ对应的特征向量 ()T 111−−=α，求λ,,,c b a ．例5 设阶矩阵的所有元素都是1，求n A 的特征值．例6 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式E B −−1= ．例7 设．则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A A 与B 合同且相似．合同但不相似． )(A )(B )(C 不合同但相似．不合同且不相似．)(D 例8 已知3阶矩阵A 与三维向量，使得向量组线性无关，且满足．x x A Ax x 2,,x A Ax x A 2323−= 记)1(()x A Ax x P 2,,=，求３阶矩阵B ，使1−=PBP A ；计算行列式)2(E A +．例9 设为同阶方阵，B A , （１）如果相似，试证的特征多项式相等． B A ,B A , （２）举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立． )1( （３）当均为实对称矩阵时，试证的逆命题成立．B A ,)1(例10 设A 是３阶方阵，３维列向量321,,ααα线性无关，且已知32114αααα++=A ，312ααα−=A ，3213442αααα++−=A ，证明A 可对角化．例11 设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=51341321a A a A 是否可相似对角化．例12 设n 阶方阵A 满足，试证明矩阵0E 652=+−A A A 和对角矩阵相似．例13 设n 阶矩阵， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111L L L L L L L b b b b b b A （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵，使得P AP P 1−为对角矩阵．例14 设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，若()T 0,1,11=α，，()T 1,1,22=α()T3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量，（１）求A 得另一特征值和对应的特征向量；（２）求矩阵A ．例15 设是的特征向量，求的值，并求正交矩阵()Tx 211=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b a a A 201210b a ,P 使得AP P 1−为对角阵．例16 设实对称矩阵，求可逆矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111P ，使AP P 1−为对角矩阵，并计算行列式E −A 的值．例17 设矩阵，．已知线性方程组⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211b b Ax =有解但不惟一，试求：（1）的值；a （2）正交矩阵Q ，使为对角矩阵．AQ Q T例18 求．k⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−111222111第8章二次型例1 二次型的秩为 213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++−++= ．例2 已知, , ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400040004A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000140014B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200022022C 试判断中哪些矩阵相似, 哪些矩阵合同?C B A ,,例3 设，，则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111111111111111A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000000000000004B A 与B 合同且相似合同但不相似 )(A )(B 不合同但相似不合同且不相似)(C )(D 例4 已知实二次型，经正交变换化成标准型，则323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=Py x =216y f ==a ．例5 已知二次型，其中，通过正交变换化作．试确定参数a 及所作的正交变换． 322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=0>a 23222152y y y ++例6 用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性替换．32312123222132182252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=．例7 设A 为阶实对称矩阵，n n A r =)(，∑∑===n i nj j i ij n x x AA x x x f 1121),,,(L（１）记，把写成矩阵形式，并证明二次型T n x x x X ),,,(21L =),,,(21n x x x f L)(X f 的矩阵为；1−A （２）二次型与的规范形是否相同？说明理由．AX X X g T=)()(X f 例8 设，若二次型正定，求的取值范围．312123222132122)1(2),,(x x x kx x k x x x x x f ++−++=f k 例9 ，求证A A E B M A Tn m +=∈λ,,0>λ时，B 正定．例10 设A 是n 阶正定矩阵，证明1>+E A ．例11 设A 是实对称正定矩阵，B 是n m ×的实矩阵，证明：AB B T正定的充分必要条件是． n B r =)(例12 已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f −+−++=的秩为２．（１）求及对应矩阵的特征值；c （２）指出表示何种二次曲面． 1),,(321=x x x f 例13 已知二次曲面方程4222222=+++++yz xz bxy z ay x可以经过正交变换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ςηξP z y x 化为椭圆柱面方程：，求的值和正交矩阵4422=+ςηb a ,P ．例14 设三元函数，求在条件下的最大值和最小值，并求出最大值点和最小值点．312322213212323),,(x x x x x x x x f +++=1232221=++x x x f。

2007-2008第二学期线代试卷A及答案)

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。

………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分）于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分）则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分）且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分）或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分）所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。

01-02级线代A评分标准

2001—2002学年度第1学期经济类本科线性代数试卷 A 卷评分标准一、1、A 。

2、B 。

3、B 。

4、D 。

5、D 。

6、C 。

7、A 。

8、B 。

9、C 。

10、A 二、1、0．2 、0。

3、108。

4、线性相关。

5、2-三、解由B X AX +=得B X I A =-)(………………………………………………………3分(A-I)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--112111101 (A-I)1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----111213112………………………………………………7分 X==--B I A 1)(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-022513……………………………………………10分四解D=)2(-n 1111111111111111---…………………………………3分 =)2(-n 2000020000201111---…………………………………3分 =)2()2(1---n n ………………………………………………………3分五解一般解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=165165167169169163432431x x x x x x ………………………………8分导出组的一般解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=432431165167169163x x x x x x 导出组的基础解系 1η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01167163 2η=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10165169………………………………12分原方程组的特解0r =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10165169 原方程组的全部解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10165169+C 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01167163+C 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10165169 C 1，C 2为任意数。

………………15分六、解 A I -λ=(λ+2)(λ-1)2=0特征值1λ=-2 , λ2=λ3=1………………………………………………………4分属于λ=2-的特征向量极大线性无关组是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111 属于2λ=3λ=1的特征向量极大线性无关组是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100……………………8分可见3阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，故A 能相似于对角矩阵。

沈阳建筑大学08秋-线性代数试卷A答案

沈阳建筑大学考试评分标准专用纸2008年秋季学期科目：线性代数1（A 卷）适用年级、专业：07级土木、环境、交通机械、管理、信息（除计算机）学院 ————————————————————————————————一、填空（每小题4分，共20分） 1．0； 2．AA； 3．-4； 4．!n ； 5．22t -<< 二、选择题（每小题4分，共20分） 1． D ； 2．D ； 3．B ； 4．C ；5．C 三、（6分）原式＝222222()(()())16x y x yx y x y x y x y x y x y-+-=--+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6' 四、（6分）证明：设存在121,,,s l l l - 满足 1122110s s l l l βββ--+++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 则有111222111()()()s s s s s s l k l k l k αααααα---++++++112211112211()0s s s s s l l l l k l k l k αααα----=+++++++=因为 12,,,s ααα无关，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 所以 1211122110s s s l l l l k l k l k ---====+++=故 121,,,s βββ-无关. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2'五、（6分）解：32213211111111122200()3203200r r r r A a b aba b a a b aa ba ab a b+----=+--=-=-=--+-+-．．2'当()0a a b -=时，即0a =或a b =时，()3R A < （1）若0a b ==，则111100010000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()1()2R A R =<=，无解. .．．．．．．．．．．．．2' （2）若0,0a b =≠，则2132221 1 1 1111 1222300100 23002311 1100100 01r r r r A b b b b b -+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()2()3R A R A =<=，无解. ．．．．．．．．．．．．．2' 六、（6分）解：()12341525100236330101,,,2215001110110000a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.．．．．．．．．．．．．．3' 秩为3，123,,a a a 为一个最大无关组，41232a a a a =-+. ..．．．．．．．．．．．．．3' 七、（6分）解：1122r n n n D D D --=-按展..．．．．．．．．．．．．．3'232232(2)32n n n n n D D D D D -----=--=-34334213(2)243(1)(2)n n n n n D D D D D n D n D -----=--=-==---21(1)(2)2(1)32(2) 1.12n n n n n =---=---=+ ..．．．．．．．．．．．．．3' 八、（6分）解：由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2' 由于001010,0100A E A E ⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦201030102X A E ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ..．．．．．．．．．．．．．4' (或者)由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2'11001001001010,()010010100100100A E A E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦..．．．．．．．．．．．．．2'12()()X A E A E -=--001102201010030030100201102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ..．．．．．．．．．．．．．2' 九、（6分）解：222222A B αααηζηζβββ+=+=+4444A B ααηζββ=+=+ .．．．．．．．．．．．．．4' 454(2)12.=⨯+⨯-= ..．．．．．．．．．．．．．2'十、（8分）解：100023032A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (5)(1)(1)E A λλλλ-=--+ ..．．．．．．．．．．．．．1' 5λ=的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=特征向量2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=-特征向量3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭单位化11011q β⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ ，222q βξ==，333011q βξ⎛⎫⎪===⎪⎪-⎭..．．．．．．．．．．．．．4'正交变换01000X Y ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪..．．．．．．．．．．．．．1'2221235f y y y =+-. ..．．．．．．．．．．．．．1' 由顺序主子式不全大于等于0或标准形中有负项，得不是正定的...．．．．．．．．．．1' 十一、（6分）解：由 ,P PA Λ=故11,k k A P P A P P --=Λ=Λ所以 175()(62)A P E P ϕ-=Λ-Λ+又10,11P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以110,11P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 75175101010()62010(1)0(1)103010110711A P P ϕ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦30.107-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 十二、（4分）解：由1234b αααα=+++得线性方程组Ax b = 的特解*T (1,1,1,1)η= . 由234,,ααα 线性无关，1232ααα=-知()3R A =，线性方程组0Ax = 的基础解系含有431-=个解向量。

中南财大08-09线性代数试卷及答案

院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：课堂号：________-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：课堂号：________-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 3 页)-------------------------------------------------密 ---------------------------------- 封 -----------------------------线 ---------------------------------------------------------08-09-1线性代数（ A ）参考答案整合版一、选择题1, A; 2 ,B; 3,C; 4,B; 5,C二、填空题1， -2；2，0； 3，-12； 4，21k k ≠-≠且；5，111OD TA O ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 6，无关；7，2221232y y y --；8，2；三，判断并说明理由 1, 正确；因为：:AX=R A =R A =n AX=0AX=0R A =R A =n AX=ββ⇒⇐由有唯一解知，（）（），故只有零解：由只有零解知，R(A)=n,从而（）（），故有唯一解所以，AX β=有唯一解的充分必要条件是0AX =只有零解.2，错误；由12,,,n ααα 两两正交，只能得到T A A 是对角阵，并不一定有E A A T =，只有当12,,,n ααα 是标准正交向量组时，才有E A A T=3，错误；因为由220A A +=得A 的特征值02λλ==-或，又123R A =202λλλ===-（），故，，从而23A E +的特征值为：3，7，7，23377147A E +=⨯⨯=4,错误；因为222123123233(,,)))2f x x x x x x x x x =+-++-（（，所以二次型的秩为3且正惯性指数为2.四、计算下列各题1，1212n 12 D n n n x mx x x x m x x x x m --=-23232312311()11n n ni n i n x x x x m x x x m x x m x x x x m =-=---∑23232312311()11n n ni n i n x x x x m x x x m x x m x x x x m=-=---∑2311000()0000n ni i x x x m x m m m=-=---∑=11()()nn i i m x m -=--∑2，设120010001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足X A X A 21+=-*, 求X ．解并项：1)2(-*=-A X E A 左乘A ：[2]A E A X E -= 计算：1A =1(2)X E A -=-1140010001---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦140010001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3，[]1234112311231011123501120112011201120000αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可见()2R A =,即R (4321,,,αααα)=2 ，一个极大无关组为12,,αα 且312412, 2αααααα=+=+4.因为()3r A =，所以导出组AX=0的基础解系只含一个解向量，故AX=0的任何一个非零解都是其基础解系23102233ηη⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦又也是Ax b =的一个解从而：231022531ηηηη⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是AX=0的一个非零解故：Ax b =的全部解是：11022c c c 3541ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+（是任意实数）5. 解：（1）由1422a b A B ++=++⎧⎨=⎩得56a b =⎧⎨=⎩（2）231211-111-12E-A=-2-2200033-300010,,011121001x x λλλξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，分别取得对应的线性无关的特征向量：，151-1-1116E-A=-22203233100016-23λλλξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭时，得对应的特征向量：故可逆阵[]1123111P=102013P AP B ξξξ--⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，使得五、（9分）证明题证明：（1）因为22A A A 0A 1A A ====，所以，从而或（2）由2()0,()()A A A A E r A r A E n =-=+-≤得：所以又()()(())()r A r A E r A A E r E n +-≥--== 综上有：()()r A r A E n +-=。

2007-2008(1)线性代数试题A卷解答

广州大学2007-2008学年第一学期考试卷线性代数A 卷参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =322．设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭AB , 则T T1324⎛⎫= ⎪⎝⎭B A3．已知200*220421⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1100110210.5-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于()n R -A5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A 6二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( B ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( D ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( A ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( C ). (A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ;(C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( D ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.解 000a b c a b c a b c b cD a b c a c a b c a b ++++=++++……………………………………………….3分000000000a b c a b c a b c++-=--…………………………………………..6分 ()abc a b c =-++……………………………………………………..8分四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 解令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 22412⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,……………………………………..4分 22224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,422222322222()(4)44====A A A A A ,8423262722222()(4)44====A A A A A ,………………………………8分 881151682141511600010000220022⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A O A O A (10)分五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.解化矩阵1234(,,,)αααα为行最简形:1234(,,,)αααα1314~09660966⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭103222~01330000⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭……………..4分向量组1234,,,αααα的秩为2, …………………………………………………….6分一个最大无关组为12,αα, …………………………………………………………8分且有 312233=-ααα, 412223=+ααα………………………………………10分六．（本题满分10分）已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 解由 2=+AX X A ,得 (2)-=A E X A ,…………………………………………………….2分因 10001100211101111⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E , |2|1,-=A E 所以2-A E 可逆, 于是 1(2)-=-X A E A …………………………………...5分利用 1(2,)(,(2))r--−−→-A E A E A E A 求1(2)-=-X A E A :1000300011001300(2,)1110113011111113⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E A 10003000010023000010023000010023r ⎛⎫ ⎪-⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 3000230002300023⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭X ………………………………………………...10分七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.解化增广矩阵为行最简形:13243(,)4537761171513--⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A b …………………………………..2分13243~0759507595--⎛⎫⎪-- ⎪--⎝⎭…………………………………………4分 61177759577710~0100000--⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭………………………………………….6分同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--757975767171432431x x x x x x ……………………………………….8分令13k x =，24k x =，得通解为121234116777595777100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中21,k k 为任意实数……………...12分八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵.解 (1) 92||26λλλ--=-A E (5)(10)λλ=-- A 的特征值为15λ=，210λ=……………………...…………………………...5分当15λ=时，解 (5)0-=A E x ，得基础解系112⎛⎫= ⎪-⎝⎭p ，对应于特征值15λ=的全部特征向量为11k p （01≠k ）……………………….7分当210λ=时，解 (10)0-=A Εx ，得基础解系221⎛⎫= ⎪⎝⎭p ，对应于特征值210λ=的全部特征向量为22k p （02≠k ）……………………9分 (2) 取1221⎛⎫=⎪-⎝⎭P , 则150010-⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP …………………………………..12分九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.证明设存在一组数1,,,n r x x x - , 使11()()0n r n r x x x --+++++=ηηξηξ (1)即 111()0n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ (2)..................2分由题设=A ηb , (1,,)0i i n r ==-A ξ , 用矩阵A 左乘(2)的两边, 得1()0n r x x x -+++=b因0≠b , 得10n r x x x -+++= (3)…………..5分代入(2)得110n r n r x x --++=ξξ因基础解系 1,,n r -ξξ 线性无关, 所以10n r x x -===代入(3)得 0x =.因此(1)只有零解, 从而1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关………………………..8分。

华南农业大学2013年线性代数期末试卷A 参考答案和评分标准

第 1 页共 3 页2012-2013 学年第2学期线性代数A 参考答案和评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6.2-．7.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1. 8.TT k k )1,0,1()0,1,1(21+-． 9. 34， 10.21n）（－．三、计算题11.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪……….2分 =861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.……….4分（2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-…….6分所以|4A |=64·（-2）=-128…….8分12.（满分8分）解把各行都加到第一行上去，得D = 3111131111316666………….2分提出就第一行的公因子6，然后各行减去第一行，得D = 63111131111311111……….4分 =62000020000201111……….6分 =48 ……….8分 13.(满分7分)解: 由题意,存在可逆矩阵P ,使得1P AP -=Λ ,即 1A P P -=Λ……….2分1A E P P E --=Λ-1()P E P -=Λ- E =Λ- …….5分2001-==2-…………….7分四、解答题 14.(满分10分)解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ．（1）3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时，方程组有解； ………………….5分1.5CM第 2 页共 3 页（2）3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，…………….8分⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k …………….10分 15.(满分10分)解: 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪1210203283000620002171212032830003100000=B . ……………………….4分（1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3. ……………………….6分（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。

张蓓07-08线代A试卷

河北科技大学2007——2008 学年第一学期《线性代数》试卷（A ）学院班级姓名学号一．单项选择题（每小题3分，共18分）1．设A 是4阶矩阵，则|-A |=【】A ． -4|A |B ． -|A |C ． |A |D ． 4|A |2．设,a b 为实数，000101a b b a -=--，则【】A ．0,1a b ==-B ．0,0a b ==C ．1,0a b ==D ．1,1a b ==-3．设,,A B C 为可逆方阵，则1()ACB T -= 【】A ．1111()B AC ---- B ． 111B C A --- C ．111()T A C B --- D ． 111()T B C A ---4．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，2)(=B R ，那么=)(AB R 【】A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量组m ααα,,,21 的秩为r ，则下面结论正确的是【】A ．必有r m <；B ．向量组中任意少于r 个向量的部分向量组都线性无关；C ．向量组中任意含有r 个向量的部分向量组也都线性无关；D ．向量组中任意1r +个向量都线性相关.6．若0=λ是方阵10102010A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则a = 【】 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2二．填空题（每小题3分，共18分）1．如果3101121a b c =，则333524111a b c ---=__________．2．设2阶方阵A 可逆，且1A -=3712-⎛⎫⎪-⎝⎭，则A = ．3．设向量组)2,3,1(),0,0,1(),,3,1(321-==-=αααa 线性相关, 则a =_______． 4．若3元齐次线性方程组0Ax =的基础解系含2个解向量，则()R A =______． 5．设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组Ax b =的解，又已知s s k k k ηηη+++ 2211也是Ax b =的解，则=+++s k k k 21_____．6．设A 为n 阶方阵，已知矩阵A E -不可逆，那么矩阵A 必有一个特征值为______．三．计算题（每小题10分，共30分）1．计算行列式1002012003403004D =的值．2．设矩阵500012037A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11202010B ，求矩阵方程AX=B 的解X.3．设向量组T :1102β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3211β-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 4235β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求向量组T 的秩及其一个最大无关组．四．证明题（10分）若向量组321,,ααα可用向量组21,ββ线性表出，证明向量组321,,ααα线性相关．五．计算题（本题12分）求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=--+=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解（用它的一个特解和对应的齐次线性方程组的基础解系表示）．六．计算题（本题12分）设矩阵1414A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,（1）求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）问A 能否对角化？若能，求可逆矩阵P 及对角矩阵Λ，使Λ=-AP P 1．河北科技大学2007——2008 学年第一学期《线性代数》试卷（A ）答案及评分标准学院电气班级电气061—3,测控061一．单项选择题：（每题3分，共18分）1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C二．填空题（每题3分，共18分）1．1 2．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3172 3．2 4．1 5．1 6．1三．计算题（每题10分，共30分） 1．解一按第一行展开，原式1200123402034004300=- ······································································ 5分4= ······································································································· 5分解二原式100001200340302=- ················································································· 3分 120340002=- ······················································································ 4分4= ····································································································· 3分2．解一因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-13027000511A ··········································································· 4分所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-1120201013027000511B A X ······································································· 2分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5112242································································································· 4分解二因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5110012201042001~11730202102010005 ·········································· 6分所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-51122421B A X ······················································································ 4分3．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=510231202231 ··········································· 2分求得2)(=A R ，即2)(=A R ··················································································· 3分矩阵A 中位于1,2行1,2列的二阶子式022031≠= ············································· 3分故21,ββ是T 的一个最大无关组． ··········································································· 2分注：（用行初等变换求出最大无关组可相应给分）。

2007—2008学年第一学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)

装订线2007—2008学年第一学期闽江学院考试试卷（A ）适用年级专业：06电子商务本、07通信考试形式：闭卷笔试考试课程：《线性代数》班级姓名学号一、（18 %）选择题：1、若31323432022,30221121x x y z yz+---==--则（）；(A) 6 (B) -6 (C) 0 (D) 无法确定 2、设n 阶方阵A B ，等价，则下列正确的是（）；（A ） A B = (B) A B =- (C) A B ≠ (D) 00A B ≠≠若，则必有；3、设256A A E O -+=，则A 的特征值只能是（）；(A) 2或3 (B) 1或－1 (C) 0或1 (D) －2或－3 4、n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（）；（A ）若12,x x 为0Ax =的解，则12x x +也为Ax b =的解；（B ）若12,x x 为Ax b =的解，则121()2x x +也为Ax b =的解；（C ）若0Ax =有非零解，则Ax b =有唯一解；（D ）若0Ax =只有零解，则Ax b =无解.5、设,A B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列选项中错误的是（）；(A)||E A E B λλ-=-； (C) ()()R A R B =；(B)A B =； (D) A 与B 有相同的特征值和特征向量. 6、设有向量组（I ）m ααα,,,21 和向量组（II ）s m βββααα,,,,,,,2121 ，则下列正确的是（）；(A ) 若（I ）线性无关，则（II ）线性无关; (B ) 若（II ）线性相关，则（I ）线性相关; (C ) 若（I ）线性相关，则（II ）线性相关； (D ) 即使（II ）线性无关，（I ）也未必线性无关.二、（12 %）填空题：1、若10122311A k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且()2R A =，则=k ；2、设A 为5阶方阵，且()2R A =，*A 为A 的伴随矩阵，则方程组*0A x =的基础解系所含解向量个数为______________；3、已知向量(2,1,4)T α=-与向量(1,2,)T x β=-正交，则x ＝；4、设12,,,s ααα 是n (n ≥s)元齐次线性方程组0=X A 的基础解系，则()R A = ；5、设A 为3阶方阵，且4A =-，则12A -=______________； 6、设21=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵()122()T A -必有一个特征值等于______.三、（50%）计算题：1、（8%）计算4阶行列式1211011211022031D---=-；2、（10%）设122012131A⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭，试求（1）1A-；（2）TAA.3、（12%）设有向量组()()121,2,1,0,2,1,1,3,T Tαα==--()31,0,3,1Tα=--，()40,2,0,3Tα=. 则（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个极大无关组;（3）且用该极大无关组表示其余向量.装订线4、(8%) 已知三阶矩阵A 的特征值为1-，2，2-，试求行列式*223A A A E +-+.5、(12%) 设实对称矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则求一个正交的相似变换矩阵T 使A 化为对角矩阵.四、（10 %）讨论题：设线性方程组1231231232124551x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩，则问（1）k 取何值时，该方程组无解、有唯一解、无穷多解？（2）并在有无穷多解时，求出其所有解.装订线五、（10%）证明题：1、（6%）设向量组123,,ααα线性无关，且令向量组：1122232,23,βααβαα=+=+3313βαα=+. 则试证明向量组123,,βββ线性无关.2、（4%）如果矩阵A 满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则试证明A E -可逆，并求()1A E --.装订线2007——2008学年第一学期闽江学院期末考试试卷参考答案纸（A ）（教师专用）系别：任课教师：_______________ 考试科目：《线性代数》（06电子商务、07通信）考试班级：一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．(B) 2．(D) 3．(A) 4．(B) 5．(D) 6．(C)二、填空题（每空2分，共12分）1. 12k =2．5 3．1- 4. n s - 5. 126. 2 三、计算题（共50分）1．解：121111021102011201120112110212*********120310233D -------==-=------ （4分） 1121120111301557233057--=--=-=-=--- （8分）2．解：(1)122100122100100746( )012010012010010212131001001111001111A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1746212111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭；（5分）（2）1221019290122132511312219111T AA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）3．解：（1）1234121012101210210203220322(,,,)113003400011031303130000αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭12011005/30104/30104/3001100110000000-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（6分）所以，12341234{,,,}(,,,)3R R αααααααα==；（8分）（2）易得：123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大线性无关组；（10分）（3）且得：41235433αααα=-+。

线性代数考研讲义完整版

线性代数考研讲义完整版Newly compiled on November 23, 2020考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成a1(a1,a2, ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0 c=0 或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B 范德蒙行列式：形如 1 1 1 … 1 a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a 2…………a1n-i a2n-i a3n-i… ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当ab 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开. 4.关于克莱姆法则的题例14 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB )2=A 22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s, AB 的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).② =(b1,b2,…,bn)T,则A= b11+b22+…+b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i1+b2i2+…+b nin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(,,), C=(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s 列,设 B=(1,2,…,s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A T =1.(2)T =1 A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆 E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s线性表示表示方式是否唯一”就是问：向量方程x11+x22+…+xss=。

考研学科代码及名称对照表

考研学科代码及名称对照表对于准备考研的同学来说，了解学科代码及名称是非常重要的。

这不仅有助于准确选择报考的专业方向，还能在查找相关资料和信息时更加便捷和准确。

下面为大家详细介绍一下考研学科的代码及名称。

首先，我们来了解一下学科门类的代码和名称。

学科门类一共有 13 个，分别是：01 哲学、02 经济学、03 法学、04 教育学、05 文学、06历史学、07 理学、08 工学、09 农学、10 医学、11 军事学、12 管理学、13 艺术学。

在哲学门类（01）下，常见的一级学科有：0101 哲学。

经济学门类（02）包含的一级学科较多，比如：0201 理论经济学、0202 应用经济学。

法学门类（03）中，有 0301 法学、0302 政治学、0303 社会学、0304 民族学、0305 马克思主义理论等一级学科。

教育学门类（04）的一级学科包括 0401 教育学、0402 心理学、0403 体育学。

文学门类（05）里常见的有 0501 中国语言文学、0502 外国语言文学、0503 新闻传播学。

历史学门类（06）包含 0601 考古学、0602 中国史、0603 世界史。

理学门类（07）的一级学科众多，比如 0701 数学、0702 物理学、0703 化学、0704 天文学、0705 地理学、0706 大气科学、0707 海洋科学、0708 地球物理学、0709 地质学、0710 生物学、0711 系统科学、0712 科学技术史、0713 生态学、0714 统计学。

工学门类（08）是考研中的热门门类，其中一级学科有0801 力学、0802 机械工程、0803 光学工程、0804 仪器科学与技术、0805 材料科学与工程、0806 冶金工程、0807 动力工程及工程热物理、0808 电气工程、0809 电子科学与技术、0810 信息与通信工程、0811 控制科学与工程、0812 计算机科学与技术、0813 建筑学、0814 土木工程、0815 水利工程、0816 测绘科学与技术、0817 化学工程与技术、0818 地质资源与地质工程、0819 矿业工程、0820 石油与天然气工程、0821 纺织科学与工程、0822 轻工技术与工程、0823 交通运输工程、0824 船舶与海洋工程、0825 航空宇航科学与技术、0826 兵器科学与技术、0827 核科学与技术、0828 农业工程、0829 林业工程、0830 环境科学与工程、0831 生物医学工程、0832 食品科学与工程、0833 城乡规划学、0834 风景园林学、0835 软件工程、0837 安全科学与工程。

线性代数及其应用第八版课程设计

线性代数及其应用第八版课程设计一、引言线性代数是数学的一个分支，也是自然科学和工程学中的重要工具。

线性代数及其应用第八版课程设计的主要目的是帮助学生更好地掌握线性代数的基本理论与方法，并且能够通过实际应用来深入理解和应用线性代数知识。

本文将从课程设计的目的、内容、教学方法、评价体系等方面进行详细阐述。

二、课程设计目的1.熟练掌握线性代数的基本理论知识；2.了解线性代数的实际应用，并能够独立分析和解决实际问题；3.能够设计和实现使用线性代数方法解决实际问题的算法；4.能够进行团队协作，掌握项目管理和文档编写技能。

三、课程设计内容线性代数及其应用第八版课程设计包括以下内容：1.线性代数基本概念：矩阵运算、向量、线性变换等；2.矩阵消元与矩阵逆；3.行列式的定义与性质；4.线性相关性与线性无关性；5.向量空间与线性变换；6.特征值、特征向量与对角化。

四、教学方法本课程设计采用“导论 + 实践 + 团队合作”的教学方法。

1.导论阶段：通过教材提供的线性代数及其应用第八版的知识，掌握基本的线性代数理论知识，学会运用线性代数的基本方法和算法；2.实践阶段：通过实际案例和应用题目，培养学生解决实际问题和运用线性代数方法进行分析和解决问题的实践能力；3.团队合作阶段：通过小组合作解决实际问题，加强学生间的合作沟通能力，提高团队合作能力。

五、评价体系线性代数及其应用第八版课程设计的评价体系采用综合评价方法，包括以下几个方面：1.课堂测试（占比20%）：主要考察线性代数的基础理论概念和基本方法；2.作业与实验报告（占比30%）：主要考察学生掌握线性代数的实际应用能力和编程能力；3.项目实践（占比40%）：主要考察学生团队协作和解决实际问题的能力；4.平时表现（占比10%）：主要考察学生的出勤情况、积极参与课堂讨论、作业完成情况等。

六、总结线性代数及其应用第八版课程设计，是一个重要的学科课程，通过本课程的学习，学生将掌握基本的线性代数理论与方法，能够通过实际应用把这些知识转换成实际的解决方案。

厦门大学20140612线代期末试题(BA)(答案)

/注：E 表示单位矩阵，A 表示矩阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，TA 表示矩阵A 的转置，*A 表示矩阵A 的秩，()Tr A 表示矩阵A 的迹.一．（填空题（每小题4分，共20分） 1. 设[]()44,0,0,0,,5TT T t t t A E B E ααααα=>=-=-，已知B 是A 的逆矩阵，则________t =.答案t =2. 设122212,1,3041b A α-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦已知A α与α线性相关，则b =__________. 答案：1b =-.3. 401403001123100010456001100789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦___________.答案：798465132⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n-1,则线性方程组0Ax = 的通解为__________；答案：()1,1,,1,Tx c c = 为任意常数。

5. 设12-13011123A a a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，若0Ax =的基础解系是由2个线性无关的解向量组成，那么0Ax =的通解是________________________.答案：()()123,1,1,03,0,0,1,TTk k -+-其中12,k k 为任意常数.厦门大学《线性代数B 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A 卷） 2014.06.12二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设,A B 均为n 阶矩阵，则A 与B 等价的充分必要条件是（ D ）.(A) 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -= (B) 存在可逆矩阵Q ，使得T Q AQ B =(C) 存在可逆矩阵C ，使得CA B = (D) 存在可逆矩阵P 与Q ，使得PAQ B =2. 已知222212341234,1111a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1234,a a a a <<<则（ B ）. （A ）存在30,n B ⨯≠使得0BA = （B ）存在40,s B ⨯≠使得0TA AB =（C ）不存在40,s B ⨯≠使得0AB =（D ）存在30,n B ⨯≠使得0TBAA =3. 设112123015A t --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,若存在非零的矩阵ab Bcdef ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使得AB=0,则（ A ）. （A ） 1=-t （B ）1=t （C ） 2=-t （D ） 2=t4. 设,,αβγ是线性方程组0AX =的一个基础解系，但（ C ）不是它的基础解系.（A ）,2,3αβγ （B ） ,,αββγγα+++ （C ）,,3αβγγαβγ-+-+ （D ） ,,ααβαβγ+++5. 设m n ⨯阶矩阵A 的秩为r ，则非齐次线性方程组AX β= （ B ）. （A ）当r n =时必有解（B ）当r m =时必有解（C ）当n m =时必有解（D ）当r n <时必有解三.（14分）解矩阵方程XA B X +=，其中010136111,203101A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎣⎦. 解110, (),101.102XA B X X E A B E A -⎡⎤⎢⎥+=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]110100,101010102001E A E -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦211000332101013311001033⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 因此矩阵E-A 可逆且()1210332113311033E A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，故()121021033313621331203153301133033X B E A -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.四．（14分）求向量组123412312,3,4,22233αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的一个最大无关组，并求出其余向量用该最大无关组的线性表示. 解213121234233213122123112312(1),,,23420120223302312123112311202230120012001020231001100112r r r r r r r r r r r r r αααα-⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎡⎤=−−−−→--−−−−→⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦-−−−→10020102.0011⎡⎤⎢⎥−-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故123,,ααα是最大无关组，412322.αααα=-+五．(12分) 讨论λ取何值时，线性方程组123412341234+2202132x x x x x x x x x x x x λ--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩无解，有解. 在有解时，求出通解。

2022湘潭大学考《049002线性代数》_同等学力加试_考试大纲_自动化与电子信息学院(2021)

《线性代数（笔试）》考试大纲一、考试对象参加“电气工程（学术学位）”、“控制科学与工程（学术学位）”、“电子信息（专业学位）”、“能源动力（专业学位）”专业入学复试（同等学力加试）的考生。

二、考试目的考核考生对《线性代数》知识的掌握和运用能力，作为择优录取的依据，属水平考试。

三、考试内容和考核要求第1章行列式学习目的和要求本章主要要求考生了解行列式的定义，熟悉行列式的性质，能熟练利用这些性质计算行列式。

考核知识点和考核要求1.了解n阶行列式的定义2.掌握行列式的性质3.掌握行列式按行（列）展开原理4.了解行列式乘法定理5.了解上（下）三角行列式及Vandermonde行列式结果6.熟练掌握2阶、3阶和4阶行列式计算方法7.利用行列式性质，将给定行列式化成三角行列式；利用按行（列）展开原理，将高阶行列式化成低阶行列式；会计算一些简单的n阶行列式第2章矩阵及其运算学习目的和要求本章主要要求考生理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算，理解逆矩阵的概念，熟练掌握矩阵可逆性的判断及逆矩阵的计算方法。

考核知识点和考核要求1.理解矩阵的概念2.了解零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵的概念及相关运算性质3.熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置运算及相关运算规律4.了解矩阵的方幂及矩阵的多项式的概念5.理解可逆矩阵的概念，熟练掌握用行列式判断矩阵可逆性的方法6.掌握伴随矩阵的计算及其性质7.熟练掌握用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵的方法8.会利用逆矩阵解一些简单的矩阵方程9.了解分块矩阵的概念及其运算，了解按行（列）分块的矩阵、分成四块的矩阵以及分块对角阵的运算特点10.了解分成四块的矩阵以及分块对角阵的逆矩阵的特点第3章矩阵的初等变换与线性方程组学习目的和要求本章主要要求考生理解矩阵的初等变换的概念，掌握初等变换与矩阵的乘法之间的关系，熟练掌握利用初等变换计算矩阵的秩、可逆矩阵的逆矩阵以及求解线性方程组的办法；理解线性方程组的解与解之间的关系，熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求解方法。

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）.
3 3 3
2、设 A, B 均为 n 阶方阵, I 为 n 阶单位矩阵, 则有（ A. ( A + B) = A + 2 AB + B ；
2 2 2
B. ( AB ) = A B ； D. | −5 A |=| −5 || A | . ）. C.
C. ( A + 3I )( A − 3I ) = A − 9 I ；
小题，一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，总计 20 分） 1、设 4 阶行列式 D 的第 i 行第 j 列的元素为 aij , 则 D 的展开式中, 下列各项符号为负的是（ A. ）.
a 21a13a34 a 42 ；
B.
a12 a 23 a31a 44 ；
C.
a13 a 21a 32 a 44 ；D. a11a 22 a33a 44 .
2、设可逆方阵 A 的特征值为 λ ，则 kA 的特征值为
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内请用炭素墨水书写、字迹要求工整、工整
或µ =
.
.
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−1 3、设 A 为 3 阶方阵且 | A |= −2 , 则 | 3( A ) A′ |=
. .
.
4、已知向量 α = (1,2,−5,3)， β = (0,2,4,8) ，则 [α , β ] =
求矩阵 X.
α 1 = (1,−1,2,4,1), α 2 = (0,3,1,2,3), α 3 = (3,0,7,14,6), α 4 = (1,−1,2,0,−5)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 3x + 2 x + x + x − 3x = 0 1 2 3 4 5 六、求右边方程组的全部解：右边方程组的全部解：（方程组的全部解 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 0 .（本大题 12 分） 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3 x4 − x5 = 0
2
3、设向量组 α 1 , α 2 , L , α m 的秩为 r, 则（ A.
r < m；
B.
r ≤ m；
r>m；
D.
r ≥m.
1 0 1 4、设 λ 是矩阵 A = 0 2 0 的一个特征值,则 λ = （）. 1 0 1 A. -1 ； B. 0 ； C. 1 ；
2 2 5、设 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + kx 2 + k 2 x3 + 2 x1 x 2 是正定二次型,则 k 的取值范围为
1 2
计算行列式（三、计算行列式（本大题 12 分）
2 2 2
2 2 3
L L L
2 2
2 . L L L L L 2 2 2 L n
2
四、求解矩阵方程（本大题 12 分）
湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（湖南科技大学潇湘学院考试试题纸（A 卷）
(2008 -2009 学年第一学期学年第一学期)
线性代数 A 课程专业命题教师系主任班级考试时量 100 分钟学生人数交题时间：交题时间：2008 年 11 月 28 日
考试时间：考试时间： 2008 年 12 月 14 日
5、下列矩阵不一定为方阵的是（ A. 对称矩阵 C. 线性方程组的系数矩阵）
D.
3
.
B. 可逆矩阵 D. n 阶矩阵的转置矩阵
填空题二、填空题（本大题共 6 空，每空 3 分，总计 18 分）
λ x1 + x 2 + x 3 = 0 1、若齐次线性方程组 x 1 + µ x 2 + x 3 = 0 有非零解, 则 λ = x + 2µx + x = 0 2 3 1
1 2 2 七、已知实对称矩阵 A = 2 1 2 ， 2 2 1
（本大题共 14 分）（8 分）（6 分）
1. 求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量；

2. 求正交矩阵 T，使得 T ′AT = Λ (其中 Λ 为对角阵)；
注：请用炭素墨水书写、字迹要求工整、并抄写在方框线内请用炭素墨水书写、字迹要求工整、
1 −1 1 − 2 − 1 1 3 − 1 , B = 2 0 − 1 , 已知矩阵方程 BX = A , 且 A = 2 − 1 0 4 −1 0 1
求下面向量组的秩及其极大线性无关组：五、求下面向量组的秩及其极大线性无关组：本大题 12 分）（