2.5函数的微分2011.10.11
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2.5 函数的微分
第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
《函数的微分》PPT课件
(mm) A 的相对误差限约为
第二十页，共24页。
练习
(liànxí)
1.
第二十一页，共24页。
4. 设 求
由方程
(fāngchéng)
解: 方程两边(liǎngbiān)求微得
分,
当
时
由上式得
确定 , (quèdìng)
第二十二页，共24页。
作业(zuòyè)：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
1.函数(hánshù)的近似计算
当 很小时 得近似等式:
, (xiǎoshí)
使用原则:
第十四页，共24页。
特别(tèbié) 当
很小时 , (xiǎoshí)
常用近似(jìn sì)公式: 很小)
证明: 令 得
第十五页，共24页。
例7. 求 解: 设 取
则
的近似值 .
例8. 计算(jì
suàn)
例4
解
第十二页，共24页。
例5. 设
求
解: 利用(lìyòng)一阶微分形式不变性 , 有
例6. 在下列括号中填入适当(shìdàng)的函数使等式成 立:
说明: 上述微分的反问题(wèntí)是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
第十三页，共24页。
四、微分(wēi fēn)在近似计算中的应用
解:
的近似值 .
第十六页，共24页。
例9. 有一批半径(bànjìng)为1cm 的球 ,为了(wèi le)提高球面的光洁
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm 度, , 估计一下, 每只球需
函数的微分
d (a x ) = a x ln adx 1 d (log a x ) = dx x ln a 1 d (arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d (arctan x ) = dx 2 1+ x
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x 1 d (arccos x ) = − dx 2 1− x 1 d (arc cot x ) = − dx 2 1+ x
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 求法: 计算函数的导数 乘以自变量的微分 1.基本初等函数的微分公式 基本初等函数的微分公式
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx d ( x µ ) = µx µ − 1 dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx
分 . 微 dy叫 函 增 ∆y的 性 部微分的实质) 做 数 量 线 主 (微分的实质)
三、可微的条件
定理 函 f (x)在 x0可 的 要 件 函 数 点 微 充 条 是
数f (x)在 x0处 导 且A= f ′(x0). 点 可 ,
说明
∆y = A ⋅ ∆x + o(∆x)
∆y A = lim = f ′( x0 ) ∆x →0 ∆x
导数与微分的区别: 导数与微分的区别
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ′( x0 ), 而微分 dy = f ′( x0 )∆x 是∆x的线性函数, 它的 定义域是R, 实际上, 它是∆x → 0时的无穷小.
25函数的微分 共46页
5
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
高数上2.5函数的微分
4x
x cos x2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x).
例 10 求由方程 e xy 2x y3 所确定的隐函数 y f ( x) 的微分dy.
解 对方程两边求微分, 得
d(e xy ) d(2x y3 ), e xyd( xy) d(2x) d( y3 ), e xy ( ydx xdy) 2dx 3 y2dy,
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
二、基本初等函数的微分公式
dy f '( x)dx
d(C ) 0 d(sin x) cos xdx d(tan x) sec2 xdx
0.05 厘米,问面积增大了多少?
解 设 A r 2 , r 10(厘米), r 0.05(厘米).
A dA
2r r
2 10 0.05
(厘米2 ).
例 12 计算 cos 6030' 的近似值.
解 设 f ( x) cos x
f '( x) sin x,( x为弧度),
dy yx 'dx f '(u)'( x)dx. 由于'( x)dx du,故复合函数 y f [ ( x)]的微
分公式为 dy f '(u)du 或 dy yu'du 由此可见, 无论 x是自变量还是中间变量,函数 y f ( x)的微分形式总是
2.5函数的微分
3、复合函数的微分法则
y f (u),u [(x)] y f [(x)]
dy yx' dx f ' (u) ' (x)dx f ' (u)du
dy f '(x)dx
微分形式的不变性
例3、设y=sin(2x+1)，求微分dy
例3、设y=sin(2x+1)，求微分dy
dy f '(x)dx
(1)d( x2 ) xdx
2
(2)d ( tan 3x ) sec2 3xdx
3
(3)d (ln(1 x)) 1 dx 1 x
(4)d ( 2 x ) 1 dx x
P80 1（只求dy), 4
四、微分的几何意义 y dy
y 当y是曲线y=f(x)上点的纵
y＝f(x)
坐标的增量时，dy就是曲线 的切线上点的纵坐标的增量。
示为y Ax o(x) ,其中A是与x无关的常数，则称函数
y=f(x)在点x0处可微，并且称 Ax为函数y=f(x)在点x0 处相应于自变量的改变量 x 的微分,记作dy,即 dy Ax
1、y dy 2、A如何求？
二、可微与可导的关系
y Ax o(x) y A o(x)
x
x
当x 0时
y A lim
x0 x
f ' (x0 )
lim y x0 x
f
' (x0 )
y x
f
' (x0 ) (
0)
y f ' (x0 )x x (x o(x))
定理1：函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数
y=f(x)在点x0处可导，并且函数的微分等于函数的导
函数的微分
§2.5 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0+x, 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A=x2, 所以金属片面积 的改变量为 A=(x0+x)2(x0)2 =2x0x+(x)2. 当x→0时, (x)2=o(x ); A的主要部分是x的线性函数 2x0x, 2x0x是A的近似值.
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增量与微分的关系 当f ′(x0)≠0时, 有 y y y lim = lim = 1 lim =1 . x→0 dy x→0 f ′( x0 )x f ′( x0 ) x→0 dx 根据等价无穷小的性质, y=dy+o(dy). 结论 在f ′(x0)≠0的条件下, 以微分dy=f ′(x0)x近似代替增 量y=f(x0+x)f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 当|x|很小时, 有近似等式y≈dy.
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3.复合函数的微分法则 设y=f(u)及u=(x)可微, 则复合函数y=f[(x)]的微分为 dy=y′xdx=f ′(u)′(x)dx. 因为′(x)dx=du, 所以, 复合函数y=f[(x)]的微分公式 也可以写成 dy=f ′(u)du 或 dy=y′udu. 由此可见, 无论u是自变量还是另一个变量的可微函 数, 微分形式 dy=f ′(u)du保持不变. 这一性质称为微分形 式不变性.
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0+x, 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 因为 A=x2, 所以金属片面积 的改变量为 A=(x0+x)2(x0)2 =2x0x+(x)2. 当x→0时, (x)2=o(x ); A的主要部分是x的线性函数 2x0x, 2x0x是A的近似值.
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增量与微分的关系 当f ′(x0)≠0时, 有 y y y lim = lim = 1 lim =1 . x→0 dy x→0 f ′( x0 )x f ′( x0 ) x→0 dx 根据等价无穷小的性质, y=dy+o(dy). 结论 在f ′(x0)≠0的条件下, 以微分dy=f ′(x0)x近似代替增 量y=f(x0+x)f(x0)时, 其误差为o(dy). 因此, 当|x|很小时, 有近似等式y≈dy.
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3.复合函数的微分法则 设y=f(u)及u=(x)可微, 则复合函数y=f[(x)]的微分为 dy=y′xdx=f ′(u)′(x)dx. 因为′(x)dx=du, 所以, 复合函数y=f[(x)]的微分公式 也可以写成 dy=f ′(u)du 或 dy=y′udu. 由此可见, 无论u是自变量还是另一个变量的可微函 数, 微分形式 dy=f ′(u)du保持不变. 这一性质称为微分形 式不变性.
高数2.5
y dy o ( x ) y dy
2.可导与可微的关系
f ( x )在x0处可微 f ( x )在x0处可导 且dy f ( x0 )x
y Ax o( x )
lim y lim [ A o( x ) ] A f ( x0 ) x 0 x 0 x x y y lim f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 0 x x
4 .2
x 0.2
4 1 2 4
2 . 005
f ( x ) 2
1 x
0 .2
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
例 8 .求 sin 30 3 0 的近似值 .
0
解 : 令 f ( x ) sin x
x0
f ( x )
1 n
(1 x )
n
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x
1 x 1
sin x x e
x
1 n
x
tan x x ln( 1 x ) x
1 x
例10
有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁
度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm.估计一下每只 球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/ cm3 )? 解: 先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.因为镀层的体积等于两个球体体积之 差,所以它就是球体体积 V 4 πR 3
6
0
x
360
f ( x ) cos x
sin 30 3 0 sin( sin
)
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
2.5 微分
例4 与以上例子类似，自学
例5
也可以先求导，再得到微分，书上的作法有 一点罗嗦。
November, 2004
y 2 2 例 隐函数的微分 arctan ln x y x
求 dy 及 dy/dx。 2 2 解 arctan ln( x y ) 两边同时微分 x 2 y 1 2 2 d arctan d ln( x y ) x 2 1 y 1 1 2 2 d 2 d (x y ) 2 y 2 x 2 x y 1 ( ) x
November, 2004
题 8(1）近似计算 arcsin0.5002 解 令 f(x) = arcsinx, x = 0.5002 1 f ( x) 2 1 x
arcsin 0.5002 f (0) f (0) 0.5002 0.5002
30 47 ''
弧度
x 很小
dy Ax
November, 2004
y Ax o(x)
dy Ax
y dy o(x) y dy o(x)
y dy o(x) lim lim 0 x 0 x 0 x x
y dy
误差： (x) o
November, 2004
November, 2004
2. 函数值的近似计算公式
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x o(x) f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x
November, 2004
f ( x) f (0) f (0) x
例 方法 1
y sin(2 x 1)
高数二章课件05函数的微分
导数与极值的关系：导数为0 的点可能是极值点
极值的判定：利用导数判断函 数的单调性，从而确定极值
极值的求解：利用导数求解函 数的极值
极值的应用：在工程、经济等 领域中，利用极值求解最优解
利用导数研究曲线的凹凸性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数小于0，曲线在该点为凹
导数的正负决定了曲线在该点的凹凸性 导数大于0，曲线在该点为凸
隐函数求导：通过 隐函数方程，求解 出隐函数的导数
隐函数微分应用：在 物理、工程等领域广 泛应用，如求解运动 方程、优化问题等
微分的应用
利用微分近似计算函数值
微分近似计算函 数值的原理
微分近似计算函 数值的步骤
微分近似计算函 数值的应用实例
微分近似计算函 数值的优缺点
利用微分解决实际问题
微分在工程学中的应用：如 流体力学、热力学等
微分在经济学中的应用：如 边际分析、弹性分析等
微分在物理学中的应用：如牛 顿第二定律、能量守恒定律等
微分在生物学中的应用：如种 群增长模型、生态平衡模型等
感谢观看
汇报人：
添加标题
微分是函数在某一点的切线斜率
添加标题
添加标题
微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的切线斜率
微分的物理意义
微分是函数在某一点的瞬时速度
添加标题
添加标题
微分是函数在某一点的变化率
添加标题
添加标题
微分是函数在某一点的加速度
微分的计算
微分的基本公式
微分基本公式：dy/dx = f'(x) 导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h 导数的性质：f'(x) = f'(x+h) - f'(x) 导数的计算方法：直接代入法、求导公式法、导数表法等
《高等数学》第2章导数与微分2-5函数的微分
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d (loga
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x)
1
1
x2
dx
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x)
1
1
x2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ).
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02时的微分.
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时 , dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时 , 即另一变量 t 的可
微函数 x (t ), 则 dy f ( x)(t)dt
(t )dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
再例如,
设函数
y
x 3在点
2.5 函数的微分
解：
y
x 1 x 0.01
f (1 x ) f (1)
(1 0.01)2 12 0.0199
dy
x 1 x 0.01
f (1)x 2 ( 0.01) 0.02
二者近似相等.
设函数 y f ( x) 在点 x 处可导 ,则函数 y f ( x) 在 点 x 处的微分 dy df ( x ) f ( x ) x .
导数也叫作微商
x0 x
2、微分基本公式
利用求导公式很容易得到如下公式
( C为常数 )
d cos x sin xdx
1 2 2 d tan x dx se c xdx 1 tan x dx 2 cos x 1 2 2 d cot x 2 dx csc xdx (1 cot x )dx sin x
x2
1 e
x2
e x 2 xdx 2 xe 2 dx x 1 e
x2
求 例8. 设 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
2.5、函数的微分
1、微分的定义
引例：( 金属薄片面积的增量)有一块正方形金属薄片， 其边长为 x ，面积为 A ，从而其面积 A A( x) x 2 . 受温度影响其边长由原来的 x 0 变到 x0 x ，则其面 积的相应的增量
A ( x0 x) x0 2 x0x (x)2
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一、1.曲线的切线上点的纵坐标的相应增量； 2.高阶； 3. cos x C ；
1
4. e 2 x C ；
1 2
1 5. tan 3 x C ； 3
6. x2 ,e2 x ； 2、
2ln(1 x) dx； x 1
二、1、 ( x 1) d x ；
故 y f x0 x x f x0 x o x 线性主部 d y f x0 x 即
所以
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可导 可微
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若
在区间 I 上任意点都可微，则称
为 I 上的
可微函数，记为
例1：求 解：
在
和
处的微分.
例2：求 解：
当
时的微分.
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若 自变量 的增量
则 称为自变量的微分，记为 ，即
导数是函数微分
与自变量微分
的商，也称微商.
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二、微分的几何意义
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
T N
当
是曲线的纵坐标增量时，
就是切线纵坐标对应的增量.
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可微
思考与练习：
d arctan e x
1 1 e 2 x
e x 1 e 2 x
d e x
dx
1 cos 2 x C sin 2 x d x d 2
高等数学第二章 高等数学
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一、 填空题： 1.微分的几何意义是__________. 2.若 y f x 是可微函数，则当 x 0 时， y d y 是关于 x 的________无穷小. 3. d ____________ sin xd x . 4. d ____________ e 2 x d x . 5. d ____________ sec 2 3 xd x . 6. y x 2e2 x , dy e2 x d ______ x 2d ______ .
二、 求下列函数的微分： x 2 1. y ； 2. y ln(1 x) ； 3. y arcsin 1 x 2 ； x2 1 1 x2 4. y arctan ； 5. y e 3 x cos3x ，求 dy x ； 1 x2 3
高等数学第二章 高等数学
故
在点
可导，且
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2.函数 f x 在 x0 可导与可微的关系
定理: 函数 在点 在点 x0 可微的充要条件是 可导， 且 在点 即
“充分性”
已知
y f x0 x
lim 0
x0
y lim f x0 可导，则 x0 x
1 x
1 x
x x
x
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例7：求
解： 是 令 则 例8：求 解：
的近似值.
在 时的值
的近似值.
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小结：
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义 • 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : d f ( x) f ( x)d x ( x 是自变量或中间变量 ) 3. 微分在近似计算中的应用
M
P
当
很小时,
）
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三、微分公式及运算法则 d y f x dx
求法: 计算函数的导数，乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
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2.函数和、差、积、商的微分法则
3.复合函数的微分法则
若 若 是自变量， 是中间变量， 即 设函数 则 有导数
可微. 而
称为
在点
的微分，
记作
微分
或
即
的线性主部.
叫做函数增量
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说明：
是 的线性函数.
是比
所以当 时， 很小时，
高阶的无穷小.
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2.函数 f x 在 x0 可导与可微的关系
定理: 函数 在点 证： “必要性” 已知 在点 可微，则 在点 x0 可微的充要条件是 可导， 且 即
第二章
第五节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
山东交通学院高等数学教研室
一 微分的定义
1.定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，边长由 x0 变到
x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
正方形的面积 设边长由 变化到
无论 x 是自变量还是中间变量，函数
的微分形式总是
微分形式的不变性 高等数学
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例3：已知 解：
求
例4：
求
解：
dy
1 1 e 1
x2
d 1 e
x2
x2
1 e
1
2 xe 1 e
x
2
e d x2
x2
1 e
x2
e 2x d x
x2 x2
2
3 2
dx 1 x 2 , 1 x 0 3 、 dy ； d x ,0 x 1 1 x2 5、3dx ；
4、
2x dx ； 4 1 x
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x0
x
( x ) 2
x
x 0 x
2 A x0
关于△x 的 x 0 时为 高阶无穷小 线性主部
x 0 x
x0
故
称为函数在 x0 的微分 高等数学
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一般地，如果 则称
的增量 在 可微.
可表为
定义：设
如果函数的增量 可表示为 则称 在
在某区间内有定义， 及
在这区间内，
dx
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例5：已知 解：
求
例6：
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四、微分在近似计算中的应用
当 x 很小时，得
令
可用于近似计算
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特别，当 x0 0, x 很小时， f ( x) f (0) f (0) x
常用近似公式： x 很小