【小初高学习]2017年高考数学一轮复习 第九章 数列 第61课 等差数列教案

等差数列一、教学目标1．理解等差数列的概念；2．掌握等差数列的通项公式与前项和公式，体会基本量的方法与方程的思想；3．能在具体的问题情境中，发现等差关系，并能运用有关知识来解决问题；4．理解等差数列与函数的关系.二、基础知识回顾与梳理1、设公差为2-的等差数列，若5097741=++++a a a a ，那么+++963a a a …+99a 等于 ．【教学建议】本题主要是帮助学生复习不会整体代入，有整体代入的思想．教学时，教师可让学生先口答．结合本题，强调整体的思想．解析：因为9885299963,a a a a a a a a ++++++++ ，97741a a a a ++++ 成等差，公差为6633-=d ∴设x a a a a =++++99963 ，则d x a a a a 3398852-=++++ ，,x ∴d x 33-,50成等差数列，即501322+=+x x 得.82-=x ．2、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____【教学建议】本题旨在让学生理解等差中项的应用．3、在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且|a 11|＞|a 10|，S n 是其前n 项和．下列命题：① 公差d ＞0；② {a n }为递减数列；③ S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零；④ n＝19时，S n 最小；⑤ n ＝10时，S n 最小．其中正确的是________．(填序号)【教学建议】本题旨在让学生理解项与和的正负以及最值之间的联系，可用多种方法来判断。

4、已知等差数列}{n a 中，31-=a ,85511a a =，则前n 项和n S 的最小值为 ．【教学建议】本题选自课本第44页习题．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；（即找正负项的分界点） 法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈．上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？5、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ,已知卫生纸的厚度为0.1mm ,问:满盘时卫生纸的总长度大约是 米(精确到1mm )?【教学建议】本题选自课本第42页例题．本题需要将实际问题转化为等差数列问题，在解题过程中要注意每个数据与五个量1a 、n a ,n ,a , n S 的关系．本题中空盘时的半径并不是首项，满盘时的半径并不是末项．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．课堂上重点展示学生的计算过程，关键处要求学生说明解题思路和方法，充分暴露学生的思维过程，使得点评更具有针对性．2、诊断练习点评题1：在数列}{n a 中,若,11=a 21+=+n n a a (n N *∈),则n a = , n S = . 【分析与点评】已知数列的递推关系求通项公式时要先判断该数列是否为等差数列或等比数列．若是等差或等比数列，则按等差或等比数列的通项公式求解；若不是等差或等比数列，一般先将递推关系变形，构造一个等差或等比数列，从而求出通项公式． 容易记错公式,2)1(S 1d n n na n ++=或d n n a n 2)1(S 1++=等． 题2：在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += . 答案：20.【分析与点评】本题已知3810a a +=，显然我们只能获得基本量1,a d 的关系，而不能直接解出1,a d . 因此573a a +必然包涵1,a d 的整体能够使用我们从已知中得到的关系．题3：设n S 为等差数列{}n a 前n 项和,若9535=a a ，则=59S S . 【分析与点评】利用数列的相关性质，能简化解题过程，达到事半功倍的效果．教学中要关注学生的解答，引导学生发现9199()2S a a =+与5a 之间的关系，用简捷的途径进行计算．通过本题小结两点：①解数列题一定要注意已知式和所求式之间的内在联系；②等差数列中，21k S -与()k a k N *∈之间的关系.题4： 已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，且1673-=a a ，064=+a a ，则数列}{n a 的通项公式为【分析与点评】方法1可以直接根据等差数列的通项公式代入，得到关于d a ,1的二元二次方程组，解出d a ,1，从而求出通项公式，方法2利用等差数列的性质07364=+=+a a a a 再由1673-=a a ，0>d 解得4,473=-=a a ，从而可以求出公差为2，得通项公式为102-=n a n本题主要考查对等差数列的基本量的运用以及等差数列的下标和性质的运用。

3、要点归纳（1）强化 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中运用，用“基本量法”方法求解是处理数列问题的基本方法，要求学生熟练掌握.同时强调，并不是每道题都有捷径，要充分合理地运用条件，时刻注意求解的目标，选择方法时要慎重；（2）等差数列的性质是数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用；（3）在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形；（4）等差数列的所有问题都要向通项公式、性质、前n 项和转化；（5）在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题，是必须具备的能力.四、范例导析例1已知等差数列}{n a 的前项和为S n ，且10a =30，20a =50.（1）求通项n a ；（2）若n S =242，求n ；（3）求前n 项和n T 。

【教学处理】在提问学生问题讨论交流后，可教师板书示范，也可让学生练习、板演后点评．【引导分析与精讲建议】1、强调应用等差数列的通项公式求1a 和d ,运用了方程的思想,一般地,可由,a a m =,b a n =得 n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,)1()1(11⎩⎨⎧=-+=-+b d n a a d m a 求出1a 和d ,从而确定通项. 化归为首项、公差(公比)和项数之间的关系，通过列方程（组）解决问题.这是研究等差(等比)数列的最基本方法.也可从等差数列中任意两项之间关系入手(d m n a a m n )(-+=).2、通项公式法：b kn a n += (k ，b 是常数)( n ∈N *)⇔{}n a 是等差数列； 例２：．{}()(){}112a ,1,0,1,1;2a n n n n n n n n n n s a a a a s a a λλλλ++=≠=--=已知数列的前项和为其中为常数。

证明：是否存在，使得为等差数列？并说明理由。

【教学处理】本题可让学生自主尝试、相互交流，教师观察巡视并点评．证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明d a a n n =-+1（常数）)(∙∈N n ；（2）利用等差中项，即证明112+-+=n n n a a a （n ≥2）.例3：已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题（1），学生评议，教师评点并板书过程。

问题（1）结束后，可让学生讨论后回答，教师板书、点评问题（2）。

【引导分析与精讲建议】（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =，∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d∴21322)1(n n d n n na S n -=-+= （2）方法一：由①中可知256)16(3222+--=-=n n n S n ，∴当16n =时，n S 有最大值，n S 的最大值是256.方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n .由0332≥+-=n a n a ，得233≤n ；由03121≤+-=+n a n ,得231≥n ； 又n 为正整数，所以当16n =时，n S 有最大值256.反思：本题考查的知识点是等差数列基本量的求解，数列的函数特性，如何求前n 项和的最值问题. (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .变式题:1、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,12130,0S S ><.(1) 求公差d 的取值范围.(2)求}{n a 的前n 项和为n S 最大时n 的值.2、已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值.③求使得0n S >的最大的n 。

拓展题:已知数列}{n a 的首项13a =，通项n a 与前n 项和为n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=≥．（1）求证：1{}nS 是等差数列，并求公差； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）数列}{n a 中是否存在自然数k ，使得不等式1k k a a +>对任意大于等于k 的自然数都成立？若存在求出最小的k 值；若不存在，说明理由．【教学处理】先给学生独立思考的时间，然后指名学生回答问题（1），学生评议，教师评点并板书过程。

问题（1）结束后，可让学生板书问题（2），并思考问题（3），学生讨论后回答，教师板书、点评问题（3）。

【引导分析与精讲建议】（1）利用n a 与n S 的关系可以实现n a 与n S 的相互转化，由已知中12(2)n n n a S S n -=≥，我们易得112()n n n n S S S S ---=，两边同除以1n n S S -后，即可得到1111(2)2n n n S S --=-≥，即数列1{}n S 是以13为首项，12-为公差的等差数列，即可得到数列1{}n S 的通项公式； （2）由（1）的结论，结合12(2)n n n a S S n -=≥，我们可以得到n ≥2时，}{n a 的通项公式，结合首项1a =3，我们可以得到}{n a 的通项公式；（3）令1k k a a +>解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k ∈N ，即可得到满足条件的k 值．本题考查的知识点是等差关系的确定，数列的函数特性，数列的递推公式．要判断一个数列是否为等差数列最常用的办法就是根据定义，判断1n n a a --是否为一个常数．【备用】设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意n N *∈都有0,n N a S >=（1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．解：（1）当1n =时，有11a S ==10, 1.n a a >∴=当2n =时，有21212,1,0, 2.n S a a a a a ==+=>∴= （2）由n S =()23333123123n n a a a a a a a a ++++=++++①， 同时有()23333312311231n n n a a a a a a a a a +++++++=++++② 由②-①，得()()2311231123n n n a a a a a a a a a ++=++++-++++ ()112312n n n a a a a a a ++⎡⎤=+++++⎣⎦ 因为0n a >，所以()2112312n n n a a a a a a ++=+++++ ③ 同理有，()212312n n n a a a a a a -=+++++ ④由③-④，得2211n n n n a a a a ++-=+，整理，得1 1.n n a a +-=由于211a a -=，故当2n ≥时，都有1 1.n n a a +-=所以数列{}n a 为首项是1，公差是1的等差数列，所求通项公式为.n a n =【评注】在处理数列中由,n n a S 组成的关系时，基本转化方法有两个，一个是把n S 转化为n a ， 建立数列通项的递推关系，一个是把n a 化为n S ，建立n S 的递推关系，解题时要根据实际情况灵活掌握。