经济学微积分最值问题及其应用精品

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第五节最大值与最小值,极值的应用问题-PPT精选文档19页

产准备费之和最小的最优批量应为 2 a b 。
c
11/25/2019
第四章中值定理与导数的应用
内容小结连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找应用题可根据问题的实际意义判别作业 P196 20---31
11/25/2019
第四章中值定理与导数的应用
备用题 1.设函数 f(x ) n x (1 x )n ,n N ，试求 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值 M ( n ) 和 limM(n)
11/25/2019
第四章中值定理与导数的应用
特别的，若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，若 f ( x ) 在( a , b ) 内有且仅有一个极大值而无极小值，则此极大值即最大值。
若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有且仅有一个极小值，而无极大值，则此极小值即最小值。
lna
令 t(a)lna(llnnaa)210 得 t ( a ) 唯一的驻点 a ee 当a ee时，t(a)0 ；当a ee时，t(a)0 ；a ee是极小值点，也是最小值点，最小值为 t(ee ) 1 1
e
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谢谢
n
解 f ( x ) n ( 1 x ) n n x n ( 1 x ) n 1
n (1 x )n 1 [1 (n 1 )x ]
令 f(x)0 得 ( 0 , 1 ) 内唯一的驻点 x 1
n1 f ( x ) n ( 1 x ) n 2 [ ( n 2 1 ) x 2 n ]
0
,
a 2
) 内，所以
只需对 x 1 进行检验。

经济数学微积分多元函数的极值及其应用

例1
(1 )
例2
(2
)
例3
(3
)
2.二元函数取得极值的条件
定理（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导
数，且在点(x0,y0)处有极值，则
推广到三元函数设函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏
导数，且在点(x0,y0,z0)处有极值，则
与一元函数类似，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
二、条件极值拉格朗日乘数法
实例：某人有20元，现用来购买两种物品：
笔和本子，设他购买x支笔，y本本子达到最
佳效果，效果函数
u(x, y)=lnx+lny
如果笔每支２元，本子每本5元，问他如何分
配这20元以达到最佳效果？
问题的实质：求函数u(x, y)=lnx+lny在2x+5y=20条件下
的极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法：要找函数z=f(x, y)在条件φ(x, y)=0下的
可能极值点，其步骤如下：（1）构造拉格朗日函数 F(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y) 其中λ为参数，称为拉格朗日乘数. （2）令F'x=0, F'y=0, F'λ=0,解出 x, y, λ , 其中(x, y) 就是可能的极值点的坐标.
求函数极值的一般步骤：
第一步解方程组 f'x(x,y)=0, f'y(x,y)=0,求出所第二步对有于驻每点一. 个驻点(x0,y0)，求出二阶
偏导数的值A、B、C.
第三步确定AC-B2的符号，根据定理作出判断是否取得极值，是极大值还是极小值，如取得极值，求出 f(x0,y0).

微积分中的极值与最值问题

微积分中的极值与最值问题微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

在微积分中，极值问题是一个非常重要的概念，它可以帮助我们寻找函数的极大值和极小值。

本文将介绍微积分中的极值与最值问题，并讨论在实际应用中的一些具体例子。

一、极值问题的定义与求解方法在微积分中，极值问题指的是在一个函数的定义域中找到函数的极大值和极小值。

极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最小值。

极值的求解可以通过求函数的导数来实现。

具体来说，首先求函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点，再通过二阶导数的符号确定这些点是否是函数的极值点。

如果二阶导数为正，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是函数的极大值点。

如果二阶导数等于零或不存在，就需要使用其他方法进行判断。

二、最值问题的定义与求解方法在微积分中，与极值问题相似的还有最值问题，它指的是在一个函数的定义域中找到函数的最大值和最小值。

最值的求解也可以通过求函数的导数来实现。

与极值问题不同的是，对于最值问题，我们还需要考虑在函数的定义域的边界点上是否存在最值。

因此，在求函数的导数后，需要将函数的定义域的边界点和导数为零或不存在的点进行比较，来确定函数的最值。

三、实际应用中的极值与最值问题极值与最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如经济学、工程学和自然科学等领域。

在经济学中，极值与最值问题可以帮助我们最大化利润或者最小化成本。

假设一个公司的市场需求曲线和成本曲线已知，我们可以通过极值与最值问题来确定最优产量和价格，从而达到最大利润。

在工程学中，极值与最值问题可以帮助我们优化设计。

例如，在桥梁的设计中，我们可以通过极值与最值问题来确定最小的材料使用量，从而降低成本。

又如，在交通规划中，我们可以通过极值与最值问题来确定最短的路线，从而减少时间和能源消耗。

在自然科学中，极值与最值问题可以帮助我们理解自然界中的最优现象。

例如，在物理学中，我们可以通过极值与最值问题来解释一些基本原理和定律。

微积分在经济学中的应用

微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。

微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。

以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。

一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。

这些概念在经济学中都有广泛的应用。

1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。

例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。

2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。

这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。

3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。

在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。

此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。

二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。

通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。

例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。

通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。

在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。

三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。

通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。

例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。

通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。

在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。

微积分中的常见问题与解决方法总结

微积分中的常见问题与解决方法总结微积分是数学中的一门重要学科，广泛应用于物理、经济学、工程学等领域。

然而，许多学生在学习微积分时遇到了各种各样的困难和问题。

本文将总结微积分学习中常见的问题，并提供相应的解决方法，希望对同学们的学习有所帮助。

一、导数和微分1. 问题：如何计算多项式的导数？解决方法：根据多项式的各项次数，使用幂函数法则进行求导，化简表达式。

2. 问题：如何计算函数的极限？解决方法：尝试代入法确定函数的极限，或使用洛必达法则进行计算。

3. 问题：如何求解函数的微分方程？解决方法：可以使用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等进行求解。

二、积分和求面积1. 问题：如何求函数的不定积分？解决方法：使用积分表格，或运用换元法、分部积分法等方法求解。

2. 问题：如何求解函数的定积分？解决方法：确定积分的上下限，并运用积分的定义计算面积或曲线下的面积。

3. 问题：如何计算旋转体的体积？解决方法：根据给定的旋转曲线，使用圆盘法或柱体法进行计算。

三、级数和级数判别法1. 问题：如何求解级数的和？解决方法：使用通项公式，计算级数的部分和，并观察其是否收敛。

2. 问题：如何判断级数的敛散性？解决方法：运用比值判别法、根值判别法、积分判别法等常见判别法进行判断。

四、微分方程和常微分方程1. 问题：如何求解二阶线性微分方程？解决方法：通过特征方程求得齐次解，并使用待定系数法求得非齐次解，再求得通解。

2. 问题：如何求解常系数线性微分方程？解决方法：根据微分方程的特征方程，求得特征根，并根据不同情况进行分类求解。

五、微积分应用问题1. 问题：如何求函数的最大值和最小值？解决方法：通过求导数，找出导函数为零的点，并进行极值判断，求得函数的最值。

2. 问题：如何求解弧长和曲率？解决方法：使用弧微分公式计算弧长，使用曲率公式计算曲线在某点的曲率。

3. 问题：如何利用微积分方法解决物理问题？解决方法：将物理问题转化为数学模型，利用微积分的概念和方法进行求解。

微积分在经济学中的应用分析

微积分在经济学中的应用分析微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个学科领域，其中包括经济学。

在经济学中，微积分的应用不仅帮助我们理解经济现象，还帮助我们分析经济问题和制定经济政策。

本文将从微积分在边际分析、最优化、模型建立和解决实际经济问题等方面进行分析，探讨微积分在经济学中的重要作用。

一、微积分在边际分析中的应用边际分析是微观经济学中一个重要的概念，它主要用来分析经济单元（如企业、消费者）在某一活动中产生的额外收益和额外成本。

微积分帮助我们理解和应用边际分析，通过导数来计算边际成本和边际收益。

我们来看企业的生产决策。

假设某企业的生产函数为Y=f(X)，其中Y表示产出，X表示投入。

企业在决定增加一单位投入时，产出将如何变化呢？这就涉及到边际产出的计算，即f’(X)，其中f’(X)表示对生产函数进行微分得到的边际产出。

通过计算边际产出，企业可以评估增加一单位投入所带来的额外产出，从而最大化产出与成本之间的关系。

微积分也可以用于消费者的边际效用分析。

假设某消费者的效用函数为U=g(X)，其中U表示效用，X表示消费量。

消费者在做出消费决策时，需要考虑增加一单位消费对效用的变化，即边际效用。

通过效用函数的微分g’(X)，消费者可以评估增加一单位消费所获得的额外效用，从而最大化效用与消费之间的关系。

最优化是微积分在经济学中的另一个重要应用领域，它主要用来分析在给定约束条件下，如何使某一目标函数达到最优状态。

在经济学中，最优化经常出现在生产决策、消费决策和资源配置等方面。

以生产决策为例，假设某企业的产出为Y，生产成本为C，企业的利润π为π=Y-C。

企业在决定生产量时，需要最大化利润函数π关于生产量Y的函数。

这涉及到利润函数π的微分，即π’(Y)，通过对利润函数进行微分，企业可以找到最大化利润的生产量，从而实现最优化生产决策。

三、微积分在模型建立和解决实际经济问题中的应用微积分还广泛用于经济学模型的建立和解决实际经济问题。

经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用

1．目标函数在闭区间连续
由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法步骤如下：
第一步，求出有可能取得最值的点，包括使 f ( x ) 0和 f ( x ) 不存在的点，及区间端点．
第二步，计算所求出的各点的函数值，比较其大小，选出最大值和最小值．
b 故当0 P ( a bc )时 c 有R 0,
相应的销售额将随单P 价的增加而增加 .
b 当P ( a bc )时, c
相应的销售额将随单价 P的增加而减少 .
(2)由(1)可知P0是销售额的极大值点，又是唯一驻点，所以 R在P0处取得最大值，最大销售额为
2．目标函数在开区间连续
开区间的连续函数不一定有最大、最小值．即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求出．若函数满足下列两个条件：
（1） f ( x ) 在开区间有且仅有最大（小）值；
（2） f ( x ) 在开区间只有一个可能取得极值的点；
则可以断定这个极值点一定是函数的最大（小）值点．
二、经济应用问题举例
2

Hale Waihona Puke 例 3 假设某种商品的需求量 Q 是单价 P (单位:元)的函数： Q 12000 80P ；商品的总成本 C 是需求量的函数： C 25000 50Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.
解 L (12000 80 P )( P 2) ( 25000 50Q )
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C ( X ) 5 X 200 (万元)，得到的收入为 R( X ) 10 X 0.01 X 2 (万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？

微积分在经济学中的应用分析

微积分在经济学中的应用分析
微积分是一门数学分析学科，旨在研究一条曲线上任何一点的斜率、切线和弧长等问题。

在经济学中，微积分也被广泛应用于对市场需求和供给的分析、最优化问题、生产函数和成本函数的研究、以及经济增长和经济周期等方面的分析。

在市场需求和供给分析中，微积分用于研究市场上的价格和数量关系。

市场需求曲线和市场供给曲线可以被看作是一组函数，它们的交点就是市场均衡价格和数量。

微积分可以被用于求解两个曲线的交点，从而计算出市场均衡的价格和数量。

同时，微积分也可以用于研究需求曲线和供给曲线在价格上的弹性，这可以帮助经济学家预测价格变化对市场规模和收益的影响。

最优化问题也是一个经济学中常见的问题，它是指在满足某些限制条件下寻找最优的决策方案。

微积分被广泛应用于求解最优化问题。

例如，在企业决策中，一个公司需要找到一个产量和成本之间的最佳平衡点。

微积分可以在考虑一系列因素的情况下，帮助公司找到最有利的产量和成本结构。

生产函数和成本函数是经济学中重要的概念，它们用于描述生产过程中的输入和输出之间的关系。

微积分可以用于对生产函数和成本函数的分析，例如研究如何最大化生产或利润等问题。

通过分析函数的导数、极值和最值，经济学家可以得出有关产量和成本的重要结论，例如变成规模报酬递增和变成规模报酬递减的情况等。

最后，微积分还可以应用于研究经济增长和经济周期等问题。

例如，微积分可以应用于衡量GDP增长率、通货膨胀率和某一国家的失业率等方面。

通过对这些数据的微积分分析，可以揭示经济增长和经济周期的规律，从而探索经济政策的制定方向。

经济学微积分

经济学微积分经济学微积分是经济学中的数学工具之一，它运用微积分知识描述经济学中的许多问题。

微积分是一门研究无限小量的学科，其中微分是研究函数在某一点的斜率，而积分是研究函数在某一区间内的面积。

下面我们将介绍经济学中微积分的一些应用。

市场需求函数和边际需求函数我们知道，市场需求函数描述的是市场上所有消费者在某一价格下的需求量。

假设市场上有两个消费者，分别有需求函数$q_1(p)$和$q_2(p)$，则市场需求函数可表示为$q(p)=q_1(p)+q_2(p)$，其中$p$代表产品的价格。

市场需求函数的边际需求函数是其对价格的导数，即$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}q(p)$。

边际需求函数衡量了在当价格变化一个小量 $\mathrm{d}p$ 时，市场需求量发生的变化量。

生产函数和边际生产力函数生产函数描述了生产某一种产品所需要的全部投入、生产量和生产效率之间的关系。

假设生产函数为$Q= f(K,L)$，其中$K$代表资本投入，$L$代表劳动投入，则边际生产力函数可表示为$MPL= \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}L}$，其中$MPL$表示单位劳动投入对产量的贡献。

边际生产力函数衡量了在劳动投入增加一个小量 $\mathrm{d}L$ 时，产量增加的变化量。

最优化问题在经济学中，许多问题都涉及到求解最优化问题，例如企业在市场上最大化利润，消费者在预算限制下最大化满足感等。

最优化问题可以通过微积分中的极值问题来求解。

在一般的一维问题中，求解最值需要找到函数的极值点，即函数的最小值或最大值。

在二维或多维问题中，需要找到函数在某点处的梯度为零的点，即函数的最小值或最大值。

总之，微积分作为经济学中的数学工具，在许多经济学问题中都有广泛的应用。

通过微积分，我们可以更好地理解经济学中复杂的数学模型，更好地解决经济学中的实际问题。

微积分课程论文-函数的极值与最值及其应用

“微积分”课程论文首页函数的极值与最值及其应用摘要：本文将通过函数极值与函数最值的定义、联系、区别及其求解方法，系统阐述函数极值与最值的概念和性质，然后通过运用相关知识解决问题的例子展示出极值与最值的应用在解决问题中的重要作用。

关键词：极值；最值；条件极值；拉格朗日乘数法；应用。

1.多元函数的极值及其求法1.1多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=ƒ(x,y)的定义域为D，P0(x,y)为D的内点1。

若存在P0的某个邻域2U(P0)属于D，是得对于该邻域内异于P的任何点(x,y)，都有ƒ(x,y)＜ƒ(x,y)，则称函数ƒ(x,y)在点(x0,y)有极大值ƒ(x,y)，点(x,y)称为函数ƒ(x,y)的极大值点；若对于该邻域内异于P的任何点(x,y)，都有ƒ(x,y)＞ƒ(x0,y)，则称函数ƒ(x,y)在点(x0,y)有极小值ƒ(x,y)，点(x,y)称为函数ƒ(x,y)的极小值点。

极大值、极小值统称为极值。

使得函数取得极值的点为极值点。

定理1（必要条件3）设函数z=ƒ(x,y)在点(x0,y)具有偏导数4，且在点(x,y)处有极限，则有ƒx (x,y)=0，ƒy(x,y)=0.定理2（充分条件5）设函数z=ƒ(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又ƒx (x,y)=0，ƒy(x,y)=0，令ƒxx(x,y)=A，ƒxy(x,y)=B，ƒyy(x,y)=B，则ƒ(x,y)在(x0,y)处是否取得极值的条件如下：（1） AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；（2） AC-B2＜0时没有极值；（3） AC-B2＝0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

1.2条件极值拉格朗日6乘数法条件极值设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积V=xyz。

又因假定表面积为a2，所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xy+yz+xz)=a2，像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

微积分(函数的极值最值及其应用) 精品课件

所以，函数 f ( x) 在x0 处取得极大值．
同理可证(2).
8
信息学院罗捍东
例3: 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解: f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0，得驻点 x1 4, x2 2.
令f (x) 0,得驻点x1 0, x2 3, x3 5
把定义域分成区间列表讨论
x (, 0) 0 (0,3) 3 (3,5) 5 (5, )
Hale Waihona Puke f ( x) 0 0 0
f (x)

不是
极值
极大
值
极小值

由表可知，f (x)在x＝3处取极大值 f (3)=108， f (x)在x＝5处取极小值 f (5)=0。
(2)求 f ( x) 0 的点和不可导点。 (3)检查 f ( x) 在驻点和不可导点左右的正负
号，由此判断极值点。 (4)求极值。
5
信息学院罗捍东
例1：求函数 f (x) x3(x 5)2 的极值.
解：f (x) 3x2 (x 5)2 2x3(x 5) x2 (x 5)(5x 15)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
2
信息学院罗捍东
定理：(必要条件)若点x0是函数 f (x) 的极值
点,且 f (x) 在 x0可导,则 f (x0 ) 0 。
定义：使导数为零的点(即方程f (x) 0 的实根)叫
做函数 f (x) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点. 例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.

微积分中的极值问题及最值问题的应用

微积分中的极值问题及最值问题的应用微积分是数学的重要分支，经常被应用于自然科学和工程技术领域。

极值问题及其相关的最值问题也是微积分中的基础概念和重要问题。

在本文中，我们将会介绍极值问题及最值问题的定义、应用和解决方法。

一、极值问题的定义极值问题是指某函数在一定范围内取得的最大值和最小值的问题。

极大值和极小值统称为极值，也称为驻点。

对于一元函数f(x)，在x=a处如果f(x)在x=a左侧单调递减，在右侧单调递增，那么称x=a为f(x)的极大值点；反之则称x=a为f(x)的极小值点。

如果f(x)在x=a的左右两侧都不存在单调性，那么x=a为驻点，但不是极值点。

对于二元函数z=f(x,y)，极值点要满足偏导数为0，即f’x(x,y)=0，f’y(x,y)=0，极值点也被称为驻点。

二、最值问题的定义最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值和最小值统称为最值。

若指标量与限制条件是形如≤的约束，称这类问题为约束最值问题；若指标量与限制条件是形如=的约束，称这类问题为无约束最值问题。

三、应用举例1.楼体开发问题在楼体开发问题中，我们需要确定楼体的高度、长和宽，使得物业建筑总面积最大，而楼体的高度与长、宽有一定关系，构成了约束条件。

这就是约束最值问题的一个实际应用。

2.生产成本问题在生产成本问题中，我们需要确定生产的数量和生产的价格，使得总利润最大。

这是一个无约束最值问题的例子。

3.投资组合问题在投资组合问题中，我们需要确定资产组合的比例和相应的收益率，使得投资组合的期望收益最大。

这是一个无约束最值问题的例子。

四、解决方法1. 二阶导数法在一元函数的极值问题中，我们可以通过二阶导数的正负性来确定极值点的位置：当f''(x)>0时，x点取极小值；当f''(x)<0时，x点取极大值。

2. 拉格朗日乘数法在约束最值问题中，我们可以使用拉格朗日乘数法，它将带约束的最值问题转化为不带约束的最值问题。

微积分在经济学领域的应用案例探讨

微积分在经济学领域的应用案例探讨经济学旨在研究人类对有限资源的分配和利用方式，以及这些分配和利用方式对社会福利的影响。

微积分作为数学的一个重要分支，在经济学中有着广泛的应用。

本文将探讨微积分在经济学领域的一些典型应用案例，并分析微积分在这些问题中的作用和意义。

第一个应用案例是边际分析。

边际分析是经济学中重要的概念之一，其核心思想是研究单位数量变化对总体效果的影响。

在微积分的帮助下，我们可以对边际效应进行精确的计算和分析。

例如，在市场需求和供给曲线的分析中，我们可以通过微积分来计算边际产品和边际成本，从而确定最优产量和价格。

微积分的工具可以帮助经济学家进行定量的边际分析，并进一步优化经济决策。

另一个应用案例是收益函数的优化。

在经济学中，收益函数是描述生产过程中收益与投入之间关系的数学模型。

微积分可以帮助我们优化收益函数，找到能够最大化收益的最优决策。

例如，假设我们有一个生产函数，描述了生产一定数量产品所需要的投入和所产生的收益。

通过微积分，我们可以求解最大化收益的投入配置方案，从而实现生产过程的优化。

还有一个经济学中常见的应用是边际效用和边际效用成本的计算。

边际效用是指增加或减少一单位产品或服务所带来的额外效用。

边际效用成本是指为了得到额外一单位产品所必须付出的成本。

通过微积分的方法，我们可以精确计算边际效用和边际效用成本，并帮助经济学家进行消费者决策的理性分析。

这种分析有助于我们理解消费者在有限资源下做出的选择，并进一步预测市场的行为和趋势。

另一个典型的应用案例是经济增长模型的分析。

经济增长是研究一个国家或地区长期内国民生产总值（GDP）的增长趋势的问题。

通过微积分的方法，我们可以建立经济增长模型，并对模型进行分析和求解。

例如，对于凯恩斯经济增长模型，我们可以通过微积分的方法来求解资本积累和生产效率变化对经济增长的影响。

通过这种分析，我们可以更好地理解经济增长的驱动因素，为政府制定经济政策提供依据。

微积分4.5函数最值及其在经济中的应用

19
例某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购, 然后
均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半). 若每次定
货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元.试求最经济
的定货批量和进货批数.
解设每年的库存费和定货的手续费为C, 进货的批数为
x,
则批量为
8000 x
个,
且
C C( x) 8000 1 4 40x 16000 40x
2 即 Q 5 (4 t)是使商家获得最大利润的销售量.
2
(2) 由(1)的结果知,政府税收总额为
T tQ 5 (4 t)t 10 5 (t 2)2
2
2
18
显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是: 为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使
Q = 5/2(4 – t) > 0
在本小节的讨论之前, 先对下面所涉及的经济函数作如下的假定: 设函数 y = ƒ(x) 是定义在区间 I 上的函数, 且满足
(1) 函数 y = ƒ(x) 在区间 I 上可导; (2) 如果函数 y = ƒ(x) 在区间 I 上有最大(小)值; 则最大 (小)值点位于区间I 的内部.
10
1.平均成本最小
16
因此, MR = MC 是取得最大利润的必要条件. 例某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7– 0.2Q (万元/吨), 且 Q 为销售量(单位:吨), 产品的成本函数为
C(Q) = 3Q + 1 (万元)
(1) 若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大. 解 (1)当该商品的销售量为Q时, 商品销售总收入为

微积分中的最值问题

微积分中的最值问题
在微积分中，最值问题是研究函数在一定区间内取得最大值或
最小值的问题。

通过求解最值问题，我们可以找到函数的极值点，
帮助我们理解函数的特性和优化问题。

极值点的定义
一个函数在某个点上的极值可以分为两种类型：最大值和最小值。

函数在局部极值点上的函数值将比函数的邻近点要大（最大值）或小（最小值）。

极值点的求解方法
为了找到函数的极值点，我们可以利用微积分的一些基本概念
和技巧。

导数法求解
1. 求取函数的导数，并将其置零，得到可能的极值点。

2. 利用求导函数的符号变化，判断这些可能的极值点是最大值还是最小值。

3. 检查极值点和函数的端点，找到函数的最大值和最小值。

区间法求解
1. 确定函数在特定区间上的极值。

2. 检查函数在区间的端点和可能的极值点。

3. 找到函数的最大值和最小值。

最值问题的应用
最值问题在数学和实际生活中有广泛的应用，例如：
- 优化问题：通过求解函数的最大值或最小值，我们可以找到问题的最优解。

例如，在生产中，我们可以通过最小化成本或最大化利润来达到最优化的目标。

- 最短路径：在地图导航中，我们需要找到两个地点之间的最短路径。

这可以通过求解函数的最小值来实现。

- 最大收益问题：在金融领域，我们可以通过寻找投资组合的最大收益来进行风险管理和资产分配。

结论
最值问题是微积分中的重要概念，通过求解函数的极值点，我们可以理解函数的特性和解决实际生活中的优化问题。

希望本文对您对微积分中的最值问题有所帮助。

微积分中极值与最值的基本应用

微积分中极值与最值的基本应用微积分是现代数学中的重要分支之一，是许多科学领域的基础。

微积分中极值与最值的基本应用是非常重要的，本文将详细介绍微积分中极值与最值的基本应用，并给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解。

一、什么是极值和最值在微积分中，极值和最值是两个非常重要的概念。

极值是指函数在某个点上的最大值或最小值，是函数在这个点上的导数为零的点。

最值是指函数在整个定义域中的最大值或最小值，包括极大值和极小值。

二、如何求极值和最值1. 求极值求函数的极值，需要先求出函数的导数，然后找到导数为零的点。

这些点就是函数的极值点。

在某些情况下，导数虽然不为零，但在这些点附近会出现极值。

此时，需要进一步计算导数的二阶导数来判断。

2. 求最值求函数的最值，需要先求出函数的导数和导数的零点。

然后需要对这些导数为零的点进行分类讨论，讨论导数的符号是正还是负。

通过这些分类讨论，可以确定函数的最值。

三、极值和最值的应用1. 优化问题极值和最值非常重要的应用就是解决优化问题。

在优化问题中，需要找到最优的解决方案。

例如，在生产过程中，需要优化生产成本，使得生产成本最小化。

这个问题可以通过极值和最值来解决。

2. 偏微分方程极值和最值在偏微分方程中也有广泛的应用。

偏微分方程是描述物理现象、工程等问题的重要数学工具。

掌握极值和最值的应用，可以更好地理解偏微分方程中的问题，并求解偏微分方程中的相关问题。

3. 统计学统计学中也有极值和最值的概念和应用。

例如，在统计学中，需要找出样本中的最大值和最小值。

这些极值和最值的应用有助于我们更好地理解统计学中的相关概念和方法。

4. 计算机科学在计算机科学中，优化问题也是很常见的。

例如，在人工智能中，通过极值和最值来优化机器学习模型的参数。

这些极值和最值的应用有助于我们更好地应用微积分的知识解决实际问题。

四、案例分析1. 生产问题假设一家工厂生产两种产品，产品A和产品B，生产成本分别为10元/件和20元/件。

微积分34最大最小值问题

例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
P
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0 )(16x0
x02 )
(0 x0 8)
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
点击图片任意处播放\暂停
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
s(t)
5t 7.5
. 令s(t) 0,
比较得最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
二、实际问题的最值