两条直线的位置关系——垂直

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七年级数学下册第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系第2课时垂直教案

第2课时垂直【知识与技能】1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用.3.初步尝试进行简单的推理.【过程与方法】通过从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.【情感态度】激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.【教学重点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.【教学难点】根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题.一、情景导入，初步认知观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？【教学说明】数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，既复习了上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又体会到生活中存在大量特殊的相交线——垂直，在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”.二、思考探究，获取新知1.在上面的三幅图形中，我们找出了一些相交的两条直线，那么它们有什么特殊的位置关系？这种位置关系我们称为什么呢？【归纳结论】两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.如图1，记作：AB⊥CD;如图2，记作：l⊥m.2.思考：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？（1）你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？（2）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说出你的画法和理由.（3）你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看吧！请说明理由.3.动手画一画：（1）请画出直线m与点A，你有几种画法？（2）过点A画m的垂线，你能画几条？请用自己的语言概括你的发现.【归纳结论】平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.动手画一画.请画出直线l与l外一点P，O是垂足，在l上取点A、B、C，比较PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？【归纳结论】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短.线段PO的长度，叫做点P到l的距离.【教学说明】通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，能更好的关注知识的形成过程，这也是促使学生认真审题的重要策略.三、运用新知，深化理解1.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列的结论中正确的个数是（C）①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；③线段AD是点D到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（C）A.垂线最短B.过一点确定一条直线与已知直线垂直C.垂线段最短D.以上说法都不对3.已知线段AB=10cm，在同一平面内，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm.符合条件的直线l有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=40度.解析：∵a⊥b，∴∠1与∠2互余，∵∠1=50°，∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°5.如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数.解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AON=120°，∴∠BON=120°-90°=30°，∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB=30°，∴∠AOM=90°-30°=60°6.如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N是分别位于公路AB两侧的两所学校.（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来.（2）当汽车从A向B行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大？解：（1）如图所示：过M作ME⊥AB，过N作NF⊥AB，当汽车行驶到点E处时，对M学校影响最大；当汽车行驶到点F处时，对N学校影响最大；（2）由A向E行驶时，对两学校影响逐渐增大；由F向B行驶时，对两学校的影响逐渐减小；由E向F行驶时，对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大.【教学说明】可以满足不同层次学生学习的需要，能激发学生认知上的冲突，从而促使他们去探索，去对自身的认知结构进行调整和变革.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五、教学板书1.布置作业：教材“习题2.2”中第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本课时遵循“开放”的原则，在把握教材编写意图的基础上，进行了再创造.通过重组教材，恰当地创设情境,为学生构建了有效开放的学习环境.教学效果较好.。

直线与直线的位置关系(平行与垂直)

§7.3.1两条直线的位置关系（平行与垂直）
13.10.2020
1
1 斜率存在时两直线平行． y
l1 l2
1
2
O
x
13.10.2020
2
结论1: 如果直线L1,L2的斜截式方程为L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2,
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2 注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，
4
5 的条件是
。
13.10.2020
6
2 斜率存在时两直线垂直．
y
l1
l2
2
1
O
甲
y
y
l2 l1
l1
l2
1
2
O
x
x
乙
1 2
O
x
丙
13.10.2020
7
结论2：如果两直线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
的充要条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
13.10.2020
9
例5: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线的方程
注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧：
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0 ，其中待定（直线系）
13.10.2020
特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，则一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直

两直线的位置关系公式

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

两条直线的位置关系知识点总结

两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。

考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。

在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。

平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。

我们常常使用符号“||”来表示平行线。

如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。

平行线有一些重要的性质。

首先，平行线之间的距离始终相等。

其次，平行线之间的夹角始终相等。

因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。

这被称为平行线的交错内角定理。

垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。

当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。

我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。

垂直线也有一些重要的性质。

首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。

其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。

这称为垂线的垂直角定理。

倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。

在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。

首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。

如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。

如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。

其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。

如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。

如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。

总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。

平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。

倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。

对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。

两条直线的垂直关系

直线的垂直关系教学要求：能根据斜率判定两条直线的垂直关系；掌握两条直线（一般式）的垂直应用于求直线方程；2010考试说明要求为B 级要求。

知识点回顾：1．两条直线垂直的充要条件：若斜率存在，111:b x k y L +=，222:b x k y L +=，则12121-=⨯⇔⊥k k L L ，注意判断两条直线垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线无斜率的情况，2．两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的位置关系可由系数比来确定，当系数不为0时，有： 0212121=+⇔⊥B B A A l l基础训练：1.过点A （2，3）且垂直于直线0352=-+y x 的直线方程为______________2.过两条直线01022=+-y x 和023=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程为_______________3.已知两条直线012=++ay ax 和01)1()1(=-+--y a x a 互相垂直，则垂足的坐标为________4.已知直线052024=+-=-+n y x y mx 与互相垂直，垂足为_______)1(=+-p n m p ，则，典型例题：已知直线1l 斜率1k ＝43，直线2l 经过点A （3a ，-2），B （0，12+a ），且1l ⊥2l ，求实数a 值设直线：022=+-y x 倾斜角为，直线：04=+-y mx 倾斜角为，且︒+=9012αα ，则的值为 .课堂检测：1. 直线L 过点（-1，2）且与直线0123=-+y x 垂直，则L 的方程是 ____________2. 已知两条直线1l ：m y x m 354)3(-=++，2l ：8)5(2=++y m x ，当m =______时，1l 与2l 垂直.3. 已知两点P （1，-4），A(3，2)，则点A 关于点P 的对称点B 的坐标为_________4.直线1l 与2l 的方程分别是0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A ，其中1A ，1B 不全为0，2A ，2B 也不全为0。

两条直线的位置关系---垂直

两条直线的位置关系---垂直课型：新授课教学目标：1.通过寻找相交线的活动，进一步认识互相垂直的直线；理解与垂直有关的直线、线段的性质及点到直线的距离的概念2.会用字母表示互相垂直的直线，能运用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线；3. 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力，抽象出互相垂直的直线的概念，进而体会数学模式的结构。

并启发其学习和研究数学的兴趣。

教学重点：垂线、垂直的概念和与垂直有关的直线、线段的性质。

教学难点：如何观察图案规律活动，抽象出互相垂直的直线的概念。

教学方法：师生思维对话、生与文本对话、生生思维对话，个别交流、集体评价。

教学手段：三角尺、量角器、纸张、班班通教学过程：一、创设问题情境,研究垂直等有关概念：1.学生观察图7-5，教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……，你能找出相交的线吗？他们有什么特殊的位置关系？思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出：“垂直”两个字对大家并不陌生，但是垂直的意义，垂线有什么性质，我们不一定都了解，这就是我们本节课要学习的内容。

2.教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：固定木条a ，转动木条，当b 的位置变化时，a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时，a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?bb a教师在组织学生交流中，应学生明白：当b 的位置变化时，角a 从锐角变为钝角，其中∠a 是直角是特殊情况，其特殊之处还在于：当∠a 是直角时，它的邻补角，对顶角都是直角，即a 、b 所成的四个角都是直角，都相等。

3.师生共同给出垂直定义及垂直的表示法：垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。

如图（2）中，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOC ＝90°，此时我们就说直线AB 与CD 互相垂直，记作：AB ⊥CD 或CD ⊥AB 。

8.3两直线位置关系(2)两条直线相交(垂直)

5.直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直线l1与l2的位置关系是 .
8． 3
两条直线的关系
作业
1.教材第64页习题8.3 第4,5,6题 2. 学习与训练第46到49页.
第八章
直线和圆的方程
两条直线相交
8.3.2
1.怎样判定直线的位置关系？两直线平行，相交，重合时其斜率分别有什么关系？两个方程的 k k 1 2 系数关系两条直线的相交位置关系
k1 k2
b1 b2 b1 b2
平行
重合
2.对于相交的两条直线怎样求他们的交点坐标？
8． 3 两条直线的关系
1 k ． 2
直线l经过点M(2，-1),所以方程为 1 y 1 ( x 2)． 2 即 x – 2y – 4 = 0．
8． 3
两条直线的关系
3. 已知直线l经过点M(-2,2)且与直线x-y-2=0垂直，求l的方程.
4.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的斜率为 .
由此得到结论：
（1）直线l1，l2的斜率存在且不等于0时，
l1 l2
k1 k2 1
（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直．
8． 3 两条直线的关系
2 判断直线 y x 与直线 6 x 4 y 1 0 是否垂直. 3
设y
6 3 设6 x 4 y 1 0 的斜率为k2，则 k2 4 2
求相交直线的交点坐标如左图，直线l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0,相交于P0(x0,y0)
则交点P0的坐标（x0,y0)是方程组

两条直线的位置关系-平行和垂直

直线的方程及其性质
直线的方程：一般形式为 Ax+By+C=0，其中A、B不同时为0。
直线的性质
直线上的任意两点确定的直线方程是唯一的。
两条不重合的直线，如果斜率相等，则它们平行；如果斜率之积为-1，则它们垂直。
两条平行线之间的距离是常数，可以通过公式计算。
两条垂直线的斜率互为相反数的倒数，即k1*k2=-1。
01
两条垂直相交直线的交角为90度。
02
在同一平面内，两条直线的交角的平分线与这两条直线所形成的四个角中，有一个角是直角。
垂直直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在坐标系中的表示
在平面直角坐标系中，两条垂直相交直线的斜率互为相反数的倒数。即，如果一条直线的斜率为k，那么与它垂直的直线的斜率为-1/k。
一条直线与y轴垂直，那么它的斜率为 0，可以表示为y=b(b为常数)的形式。
利用方程联立求解交点坐标
01
02
03
04
将两条直线的方程联立，解出交点坐标；
若方程组无解，则两直线平行；
若方程组有唯一解，则两直线相交于该点；
若方程组有无穷多解，则两直线重合。
结合图形分析实际问题
在平面直角坐标系中，画出两条直线的图形；
结合实际问题的背景和意义，分析两直线位置关系对问题的影响。
在三角形 ABC 中，已知 A(0,0)， B(4,0)，C(0,3)。若直线 DE 与 AB 边平行且过点 C，求 DE 所在直线的方程。
解答
由题意知 AB 边所在直线的方程为 x/4 + y/3 = 1。因为 DE 与 AB 边平行，所以 DE 所在直线的斜率也为 -3/4。设 DE 所在直线的方程为 y = -3/4x + b，将点 C(0,3) 代入得 b = 3。所以，DE 所在直线的方程为 y = -3/4x + 3。

高中数学优秀教案第二册上.两条直线的位置关系(一)

两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直,能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题．(二）能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论,培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识,激发学生学习的兴趣．训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．公式的记忆与应用．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑,上课时要注意解决好这个问题．推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程（一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时:（1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°,互相平行；（2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二）斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2,它们的方程分别是l1: y=k1x+b1; l2: y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2(图1—29），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2,那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq \x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2,这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1（图1—30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即（三）例题例1 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，L2：x—2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行,需说明两个要点：(1）两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式:∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0,将A(1,-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线l1：2x—4y+7=0，l2：2x+y—5=0．求证：l1⊥l2．∴l1⊥l2．例4 求过点A（2，1)，且与直线2x+y—10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x—2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1)代入方程得m=0,所求直线的方程是x—2y=0．（四)两条直线的夹角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角．图1-27中，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点:始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°,下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2（图1—32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角．tgα1=k1，tgα2=k2．∵θ=α2—α1(图1-32)，或θ=π-（α1—α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg（α2-α1)．或tgθ=tg［π（α2—α1）]=tg(α2-α1）．可得即eq \x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．（五)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角（就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(六）例题解：k1=—2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0），l1到l2的角是θ，求证:证明:设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(—2，0）在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得k3=2．因为l3经过点（—2,0），斜率为2,写出点斜式为y=2［x-（-2)]，即2x—y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时，一定要说明：无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角．(四)课后小结(1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；（4）与已知直线垂直的直线的设法．（5)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；（6）l1到l2的角的正切公式;（7)l1与l2的夹角的正切公式；（8）等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．7练习第1，2,3题习题三第3，10题。

两条直线的位置关系(垂直)

课题：两条直线的位置关系(垂直)课型：新授主备教师：李怀忠：使用教师：使用时间：____年_____月_____日______节教学重点：两条直线平行、垂直的条件两条直线方程为l1：A1x+B1y+C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0时l1⊥l2则___________________两条直线方程为l1：y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2时，l1⊥l2则___________________ (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程可写为________________________ 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可写为________________________自测自评1下列与直线x-2y-1=0垂直的是（）A 2x+y-1=0B 2ax+ay-a=0C 2x-y-1=0D x+2y+1=02经过点A（3，1），B（-2，0）的直线与直线y=-5x+14的位置关系是（）A平行B垂直C重合D不确定3与直线5x+3y-1=0垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程为 ( ) A 3x-5y+30=0 B 3x-5y-30=0 C 5x-3y+30=0 D 5x-3y+30=0典例精讲例题一：求过点A（2，1）且与直线2x+ay-10=0垂直的直线方程。

例题二：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程。

（1）（-1，3），3x+4y+1=0 （2）(1,2)，y=3x+2变式训练直线l1：ax+(1-a)y=3与l2：（a-1）x+（2a+3）y=2垂直，求a的值。

反馈提高1、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD垂直于AB，且BC与AD平行，并判断此时四边形ABCD的形状。

2、直线l1：（m+2）x-(m-2)y+2=0与l2：3x+my-1=0垂直，求m的值。

3、已知三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3能够成三角形，求a的取值范围。

高中人教数学B版必修2：第二章第21课时 2.2.3 两条直线的位置关系——垂直

答案：135°－1
解析：∵kl＝1，l⊥l′，∴kl′＝－1，l′的倾斜角为135°.
9．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝________.
答案：4
解析：因为kAB＝＝2，所以直线BC的斜率存在，且kBC＝＝－ .由2· ＝－1，得a＝4.
∴AC边的垂直平分线所在直线的斜率为2.
又AC边的中点为(2,1)，
∴AC边的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
能力提升
12．(5分)(1)求点P(2,3)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点P′的坐标；
(2)求l1：x＋7y－6＝0关于直线l：x＋y－2＝0的对称直线l2的方程．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求AC边的垂直平分线所在直线的方程．
解：(1)∵A(4,0)，B(6,6)，C(0,2)，
∴kAB＝＝3，∴AB边上的高所在直线的斜率为－ .
又AB边上的高所在的直线过点C，
∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝－ (x－0)，
即x＋3y－6＝0.
(2)∵直线AC的斜率kAC＝＝－，
C．y＝ x－1D．y＝－ x－1
答案：D
解析：因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，所以与直线l：y＝3x＋1垂直的直线的斜率为－，经观察只有选项D中的直线的斜率为－，故选D.
2．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则a的值为()
A．－ B.
又两直线垂直，则k1·k2＝－1，即－ · ＝－1，无解，故不存在实数a使方程成立．
综合①②，可得a＝0.

两条直线垂直的条件

1．忽视两条直线平行的条件典例 5 当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2
平行？导学号 92434691
[错解] 由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1. [错因分析] 该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合. [思路分析] 要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合. [正解] ∵l1∥l2，∴a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.
1．若直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 垂直，那么实数 a 等于
导学号 92434678 ( D )
A．－3
B．－6
C．－32
D．23
[解析] 由题意得 3a－2＝0，∴a＝23.
2．直线 l：x－y＋1＝0 关于 y 轴对称的直线方程为导学号 92434679 ( A )
A．x＋y－1＝0
『规律方法』两条直线垂直的判定方法： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直.
〔跟踪练习 1〕判断下列各组中两条直线 l1 与 l2 是否垂直. (1)l1：2x－y＝0，l2：x－2y＝0； (2)l1：2x－4y－7＝0，l2：2x＋y－5＝0； (3)l1：2x－7＝0，l2：6y－5＝0.
可得 m＝1；当∠A 为直角时，由 kAC·kAB＝－3－1－12·－m1－－12＝29(m－1)＝－1. 得 m＝－72. 故答案为 1 或－72.
2．轴对称问题
典例 4 点 P(－1,1)关于直线 ax－y＋b＝0 的对称点是 Q(3，－1)，则 a、

两条直线的位置关系——垂直

例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖
掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
当堂练习
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
判定两条直线垂直的是(C )
A. 有两个角相等
B.有两对角相等
C. 有三个角相等
D.有四对邻补角
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是
C 1 A 2 E D O B
8.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O
的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是
（ D ）A.相等C互补B.互余D.互为对顶角 A F
C
1 2
E B
O D
课堂小结
1.垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角
时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条
C l
O
B m
D
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）.
典例精析
如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE 垂直于AB.已知∠BOD=45，求∠COE的度数。例1
E
D
A
B
C
做一做
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
第二章相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
2 垂线
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际
问题.（重点、难点）
导入新课
情境引入观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？

两条直线的位置关系(基础)知识讲解

两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

垂直于同一直线的两条直线位置关系

垂直于同一直线的两条直线位置关系一、直线的垂直关系1. 两条直线垂直的定义直线上的一点作为顶点，以该点为中心的两条射线，如果它们互相垂直，则称这两条射线互相垂直。

在平面几何中，两条直线是垂直的，指的是它们的倾斜角是 90 度的关系。

2. 垂直直线的性质垂直直线之间的交角为 90 度。

根据垂直的定义，两条垂直直线至少有一个公共垂直。

3. 如何判断两条直线是否垂直判断两条直线是否垂直可以通过它们的斜率来进行。

如果两条直线的斜率相乘等于 -1，那么这两条直线是垂直的。

当两条直线的斜率分别为 m1 和 m2 时，如果满足 m1 * m2 = -1，则这两条直线是垂直的。

二、垂直直线的位置关系1. 直线和其垂线任意一条直线上的点到另一条直线的垂线距离是最短的，垂线上的点到任意直线上的点的连线都和该直线垂直。

2. 直线和直线组成的角两条垂直直线组成的角被称为直角。

直角是一个等于 90 度的角。

3. 垂直平分线一个线段的中垂线是一个与该线段垂直，并将该线段等分的线段。

4. 垂直平行线两条不在同一直线上的直线，如果它们的斜率均相乘等于 -1，则这两条直线是垂直平行线。

5. 垂直直线的几何性质垂直直线所包含的角是直角，垂直直线可以互相垂直平分。

三、实际应用1. 垂直直线的应用在建筑工程中，垂直直线是非常重要的，例如在建筑设计中，墙壁应该垂直于地面，以确保建筑的结构稳固。

2. 直角坐标系在数学中常用的直角坐标系中，垂直直线经常被用来表示坐标轴。

3. 衡量角度在工程测量中，垂直直线可用于测量角度大小，例如在道路修建中，交叉路口的直角转弯设计。

结语垂直于同一直线的两条直线的位置关系在几何学中具有重要意义，它们不仅在理论上具有严谨的定义和性质，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

我们应该充分理解这一概念，才能更好地应用于实际生活和工作中。

垂直于同一直线的两条直线位置关系是平面几何中一个重要而基础的概念。

在前面的文章中，我们已经讨论了垂直直线的定义、性质以及其在实际生活中的应用。

互相垂直的两条直线的解析式关系

互相垂直的两条直线的解析式关系
直线就是指一条无穷大的、有向的、连续的线段，它由无穷多点所构成。

两条直线互
相垂直就是说，这两条直线之间的夹角为90°，也就是说，两条直线之间没有共线的点。

若两条直线的斜率为 m1、m2 ，则满足 m1 *m2 = -1 的关系
也就是说，两条直线相互垂直的充分必要条件就是它们的斜率乘积为-1。

具体来看，如果要判断两条直线是否相互垂直，首先需要求出它们的斜率，即在 xy
平面上两条直线的坐标关系式分别为：
y = k1 ·x +b1 ; y = k2 ·x +b2
其中 k1 和 k2 就是两条直线的斜率，b1，b2为两直线在 y 轴上的截距。

以实际例子来说，我们来看一个平面上已知两直线的方程式：
y=2x+3； y=-1/2x+4
计算可以得到，两条直线的斜率分别是 2 和 -1/2 。

可以看出，两条直线的斜率 m1 * m2 = -1 。

所以，这两条直线相互垂直。

综上，可以概括总结出，两条直线相互垂直的充分必要条件就是它们的斜率乘积为-1，即： m1 *m2 = -1，这就是两条直线互相垂直的解析式关系。