5.2直接三角分解法

r 1,2, , n 1 i r 1, , n
L的第r列 ------(4)
思考
华长生制作
A的Doolittle分解A LU中L为单位下三角阵U 为上三角阵，如果将A LU中的L表示为下三 角阵,U 表示为单位上三角阵, 请找出Crout分解 类似于(1) ~ (4)式的表达式.
9
对于线性方程组
0 u22 u23 0 1 l32 0 0 u33
u24 0 l42 T 0 u34 0
11 12 8.5
r 1
urj arj lrkukj k 1
1 3 /11 6 /11T
r 1
air likukr
0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T 0 0 0 u44 0 0 0 4
1
u11 u1r u1n
A
ar 1
an1
arr anr
arn
lr 1
ann ln1
1 lnr
1
urr
urn
unn
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n
A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r , , n)为
Lk Lk1L L2L1(A b) (U g)
其中 Li (i 1, 2,L , k) 均为单位下三角阵（对 角元为1的下三角阵)。 记L (Lk Lk1L L2L1)1，则有
A=LU 其中L是单位下三角阵，U是上三角阵。 定义 设A为n阶矩阵（n>1).称A=LU为矩阵A的 三角分解，其中L是下三角阵，U是上三角阵。
un1,n unn
10
不难得到Ly b的解 :y1 b1y2 Fra bibliotekb2 l21 y1
r1
yr br lrj y j j1
1
l21
1
r
2,3,
,n
L
l31
ln1
l32
ln2
1 ln3
1
因此再由Ux y的解便得到 Ax b的解
xn
yn unn
n
yr urj x j
因此可以推导出
u1 j a1 j
li1
华长生制作
ai 1 u11
j 1,2, , n
i 2,3, , n
U的第一行 ------(1) L的第一列 ------(2)
8
r 1
urj arj lrkukj k 1
r 1
air likukr
lir
k 1
urr
r 1,2, , n U的第r行 ------(3) j r, ,n
且对增广矩阵进行若干次初等行变换（把某行的倍数 下边某行），可使系数矩阵化为上三角矩阵，即
(A b) L (U g)
其中U是上三角矩阵。而由线性代数理论可知，对一 个矩阵进行一次初等行变换，相当于给这个矩阵左乘 一个相应的初等矩阵，所以上述初等行变换相当于在
华长生制作
2
增广矩阵左边乘了一系列的初等矩阵
直接三角分解法(Doolittle法)
若n阶方阵A (aij )nn的顺序主子式 Dk 0, k 1,2, , n
Doolittle分解A LU存在且唯一,即
a11
A
ak 1
an1
a1k akk ank
a1n
akn LU
ann
华长生制作
5
上式可记为
a11 a1r a1n
Ax b
系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后
A LU
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly b
Ux y
y为中间未知量向量
1
l21
1
L
l31
l32
1
ln1 ln2 ln3 1
华长生制作
u11 u12 u13
u22 u23
u1,n u2,n
U
un1,n1
0 12
3 9
3 13
4
13
x1 x2
x3 x4
10 5
2
7
解: 由Doolittle分解
u11 u12 u13 u14 2 10 0 3 1 l 华长生制作 21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2 T
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
12
第五A章Ax aaan12线111b 性aaan12222代数 方aaa21nnnn程 组的数值解i1 法
bi lij x j
§ 5.2 矩阵三角分解法xi
j1
lii
i 2,3, , n
一、基本的三角分解法(Doolittle法)
若系数矩阵A (aij )nn的顺序主子式Dk 0, k 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
r
air lik ukr k 1
i r 1, , n r 1,2, , n 1
显然, r 1时 , ai1 li1u11 i 2,3, , n
华长生制作
7
综合以上分析,有
a1 j u1 j j 1,2, , n
x 华长生制作 r
jr1
urr
u11 u12 u13
u1,n
u22 u23
u2,n
u u n1,n1
n1,n
unn
r n 1, n 2, ,2,1
11
上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法
例1. 用Doolittle法解方程组
2 3
1
4
10 4 2 14
r
j r, ,n
arj lrkukj
k 1
r 1,2, , n
ai1 li1u11
i 2,3, , n
r
air lik ukr k 1
i r 1, , n r 1,2, , n 1
r 1
arj lrkukj 1 urj k 1
r 1
air lik ukr lirurr k 1
华长生制作
3
定义 如果L是单位下三角阵，U是上三角 阵，则称三角分解A=LU为Doolittle分解； 如果L是下三角阵，U是单位上三角阵，则 称A=LU为Crout分解。 定理 如果n阶（n>1)矩阵A的n个顺序主 子式不为零，则A有唯一Doolittle分解和唯 一Crout分解。
华长生制作
4
r
j r, ,n
arj lrkukj
k 1
r 1,2, , n
华长生制作
6
同样,由
a11
a1r
a1n
1
u11 u1r u1n
A
ar 1
an1
arr anr
arn ann
lr
1,1
ln1
1 lnr
1
urr
urn
unn