随机变量、矢量和序列要点60页PPT
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随机变量、矢量和序列
当随机变量的均值为 0时，矩和中心矩完全相 同。 矩和中心矩一般关系如 下 m k k nk ( 1 ) rx x k k 0
m x m
9
统计值
方差与矩的关系:方差主要表征随机变量围绕中心值 的分布（或散布）程度的度量
2 2 x rx2 x E{x2 ( )} E 2{x( )}
x1 0 xm 0
Fx (x) x1 xm
25
随机矢量
边缘分布
f x j ( x j ) f x (x)dx1 dx j 1dx j 1 dxM
( M 1) xM x1 x
Fx (x) f x ( ν)d 1 d M f x ( ν)dν
0
15
累积量
累积量生成函数是矩的生成函数的自然对数
x (s) ln x (s) ln E esx ( )
用jξ代替s得到第二特征函数
x (s) ln x ( ) ln E e jx( )
累积量为累积量生成函数的导数
m d x ( s) m x dsm s 0 m d x ( ) m ( j ) dsm
3
随机变量
随机变量x(ξ) 抽象空间S ξ1 ξ4 ξ2 ξ3 实数空间R x(ξ1) x(ξ4) x(ξ3) x(ξ2)
随机变量映射示意图
4
分布密度与密度函数
分布函数(Cummulative distribution function, cdf)
Fx ( x) Pr{x( ) x}
24
随机矢量
第2章 随机变量及其分布 ppt课件
2.10
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
2.11
分布列的基本性质 (1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
2.12
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
2.13
例2.1.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令
X：取出的5个数字中的最大值．
试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
2.1
§2.1 随机变量及其分布
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，…，6.
注意点
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R = (，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若X为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件. 即 {a < X b} ={；a < X() b }
2.16
例2.1.3
已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.
第三章随机变量与随机向量.ppt
12
2
12
离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
K
f (x) pi (x xi ) i 1
pi P X xi
i 1, 2, K
K
F (x) P X x piU (x xi ) k 1
(x)
0
x0 其它
(x)dx 1
V E R r0 R
RV 2.0V ,3.4V ,6.0V ,8.0V
随机变量V取各值的概率，就等于选取相应的 电阻值的概率
PV 2.0V Ps s1 0.3 PV 3.4V Ps s2 0.4 PV 6.0V Ps s3 0.15 PV 8.0V Ps s4 0.15
7
二、随机变量的概率分布函数与概率密度函数
1、概率分布函数定义
FX (x) PX (s) x
描述了X(s)小于等于 x这一事件的概率
性质1 区间概率特性（随机变量出现在某区间的概 率）
Pa X b F(b) F(a)
X
F(b) PX b F(a) PX a
概率分布函数为 F(x) 的随机变量 X ，其概率 密度函数是满足
x
的 f (x)
F(x) f (x)dx
9
f (x) dF(x) lim PX (x, x x)
dx
x0
x
x0
描述的是 x 点附近单位长度所占有的概率，或者说 是概率在 x 点处的概率的密集程度。
求（1）X的分布函数F(x);
（2） PX 1
解（1）
x
F (x) f ( )d
第二章随机变量PPTppt文档
{X 2} 表示掷出的点数大于2这一随机事件．
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
我们还可以定义其它的随机变量，例如定义：
Yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, 0,
x 2, x 2,
Z
1, 0,
x 6, x 6.
例3 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令X为该时间 间隔内通过的汽车数，则X就是一个随机变量．它的 取值为 0，1，…；{X1000}表示通过的汽车数小于 1000辆这一随机事件；{X 500}表示通过的汽车数大于 等于500辆这一随机事件．
定义函数：
X()10,,
1, 2,
定义1 设随机试验E的样本空间是Ω，如果对每一样 本点 都有唯一的一个实数 X ( ) 与之对应，
这样就得到一个定义在Ω上的实值单值函数 XX()
我们称之为定义在Ω上的一个随机变量．
随机变量作为样本点的函数，有两个基本特点：
变异性、随机性
例2 掷一颗骰子，令X表示出现的点数，则X就是一 个随{X机变3}量表．示它掷的出所的有点可数能不取超值过为3这1，一2随，机3，事4件，；5，6；
则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
0
1
Pk
0.55 0.45
例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3
张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一
张,求取得合格品的概率.
1, 取得合格品
解 令 X 0, 否则, 则 X 服从 0-1 分布,
其分布律为
• 例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯, 每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽 车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是 相互独立的),求X的分布律.
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望PPT优秀课件
意的n个实数 x1,x2, ,xn，均有 P X 1 x 1 , X 2 x 2 , , X n x n P X 1 x 1 P X 2 x 2 P X n x n
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
则称n个随机变量是相互独立的。
随机变量的独立性
设 X1,X2, ,Xn 的分布函数分别为 F 1 (x )F ,2 (x ) ,,F n (x )， 它们的联合分布函数为 F(x1,x2, ,xn)，则上式等 价于
F ( x 1 , x 2 , , x n ) F 1 ( x ) F 2 ( x ) F n ( x )矩函数一个来自机变量矩函数原点距
中心距
n
mk E X K xik PX xi 离散型 i1
x
k
fX
x dx
k E X EX k
连续型
n
xi EX k PX xi i1
设离散型随机变量X，一切可能值为x1,x2, ,xn，记
PnP(Xxn)
称 P1,P2, ,Pn 为X的分布列，也称为X的概率函数。
连续型随机变量
定义：对于随机变量X，若存在非负函数 f( x )，
且 f(x)dx ，使X取值于任意区间的概率 b Pa Xbf(x)dx a
称X为连续型随机变量。
随机向量及其分布
定义：
设 是一样本空间， X 1 ()X ,2 () ,,X n ()
是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称
X () X 1 () ,X 2 () , ,X n () 为 上的一个n维
随机向量。
随机向量的联合分布函数
设 X (X 1 ,X 2 , ,X n)是样本空间 上的n维随机 向量。称n元函数
描述概率分布的离散程度。
矩函数
⑤ 相关函数 ⑥ 协方差
随机变量、矢量和序列要点
数学期望 fx1(x) 负
倾斜度
峰度
12
切比雪夫(Chebyshev)不等式
随机变量偏离其平均值k倍标准偏差的概率， 小于或等于1/k2,与概率密度函数的具体形式 无关： 1 Pr{| x( ) x | k x } 2 k
13
特征函数
定义
x ( ) E{e
jx ( )
倾斜度(skewness)：表明随机变量与中心分布的不对 称程度。向右倾斜，其值为正，向左则其值为负。
3 ~3 x( ) x 1 3 Skew k x E 3 x x x
10
统计值
峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦 程度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的 峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则 小于0。
概率密度函数(probability density function, pdf)
dFx ( x) f x ( x) dx
5
分布密度与密度函数
对于离散的随机变量，采用概率质量函数(probability mass function, pmf)
pk Pr{x( ) xk }
概率函数满足：
0 Fx ( x) 1, Fx () 0, Fx () 1
f x ( x) 0,
f
x
( x)dx 1
x2
Pr{x1 x( ) x2 } Fx ( x2 ) Fx ( x1 )
x1
f
x
( x)dx
6
统计值
数学期望
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
第十三单元随机变量及其分布-PPT精品
（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12.Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示 先后投掷的两枚骰子出现的点数，则 X=2表示（1，1）， X=3表示（1，2），（2，1）， X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）,
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
… X=12表示(6,6)； Y=1表示（1，1）， Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）， Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），
4 15
易错警示
【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中 就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布 列.
错解 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)= 0 .×1 30.9=0.000 9, P(X=5)= 0 .×1 40.9=0.000 09,故其分布列为
P所(X以=随5)机=变C量82CX21C的130C概81C率2…2 分…18布5…列…为………………………..8′
X=k
2
P(X=k) 1
30
3
4
5
2
……3 …………8 ..10′
15
10
15
(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则
P(C)=P(X=3)+P(X=4)= 2 3 .13
解 X可能取的值为0,1,2,3,
∵P(X=0)=
C
2 3
C
2
4,
C
2 4
C
2 6
1 5
P(X=1)= C31C42 C32C21C41 7
C42C62
15
又∵P(=3)=
随机变量矢量和序列ppt文档
x()的m阶中心矩
特殊情况
xmE{x[()x]m} (xx)mfx(x)dx
x( )的0阶中心矩为
0 x
1
x( )的1阶中心矩为
1 x
0
x( )的2阶中心矩为
2 x
2,
2方差,标准偏差
当随机变量的均值为0时，矩和中心矩完全相同。
矩和中心矩一般关系如下
m x
m k 0
m k
(1)k
rk nk xx
随机变量矢量和序列
随机变量
定义3.1 随机变量x(ξ)是一个映射，这个 映射为每个来自抽象概率空间的结果ξ赋 予一个实数x。该映射满足的如下条件：
(1) 对于任一x，区间{x(ξ)≤x}为概率空间 中的一个事件
(2) Pr{x(ξ)=∞}=0,且Pr{x(ξ)=－∞}=0
随机变量
抽象空间S
ξ1 ξ4
ξ2
ξ3
随机变量x(ξ) 实数空间R x(ξ1) x(ξ4)
x(ξ3) x(ξ2)
随机变量映射示意图
分布密度与密度函数
分布函数(Cummulative distribution function, cdf)
F x(x)Px r({)x}
概率密度函数(probability density function, pdf)m 为奇
四阶中心矩为
x4 3x4
由此，得出正态峰 分度 布值 的等0于
常用分布——柯西分布
概率密度函数pdf
fx(x)(x1)22
累积分布函数cdf
Fx(x)0.51arctxa n
柯西分布的均值为µ。但 偏差、矩等不存在
统计值
峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦 程度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的 峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则 小于0。
第四部分随机变量-资料.ppt
第四章 随机变量
➢ 随机变量及分布函数 ➢ 离散型随机变量 ➢ 连续型随机变量
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随 机现象的统计规律性的一门学科,为了全面地 研究随机试验的结果,揭示客观存在着的统计 规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起 来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的 概念.
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
特点： 1. X 的全部可能取值是互斥且完备的
2. X 的部分可能取值描述随机事件 分类：
随机变量
离散型随机变量
非离散
型奇异连 型续 （型 混合型
）
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
例4: 考察掷两次硬币这一试验，样本空间为S= ｛HH，HT，TH，TT｝，令X表示正面出现的 次数，X是一随机变量，且有｛X＝1＝｛HT， TH｝，值域 Rx=｛0，1，2｝
A={没有次品} A={ω|Y(ω)=0} A={Y=0}
B={至少有2个次品} B={ω|Y(ω)≥2} B={Y≥2} C={不多于k个次品} C={ω|Y(ω)≤k} B={Y≤k}
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
例7: 某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一 随机变量，其纵坐标Y也是随机变量。
此试验的样本空间为 Ω={a1,a2,…,am,b1,b2,…,bm,}
其中， ai表示红球 （i=1，2，…，m） bj表示白球 （j=1，2，…，n）
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
在实验之前，X 将取什么值是不确定的，而一旦有 了试验结果后，X 的值就完全确定.
比如
对 1≤i≤m, X(ai)=1, 对 1≤j≤n, X(bj)=0.
➢ 随机变量及分布函数 ➢ 离散型随机变量 ➢ 连续型随机变量
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随 机现象的统计规律性的一门学科,为了全面地 研究随机试验的结果,揭示客观存在着的统计 规律性,我们将随机试验的结果与实数对应起 来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的 概念.
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
特点： 1. X 的全部可能取值是互斥且完备的
2. X 的部分可能取值描述随机事件 分类：
随机变量
离散型随机变量
非离散
型奇异连 型续 （型 混合型
）
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
例4: 考察掷两次硬币这一试验，样本空间为S= ｛HH，HT，TH，TT｝，令X表示正面出现的 次数，X是一随机变量，且有｛X＝1＝｛HT， TH｝，值域 Rx=｛0，1，2｝
A={没有次品} A={ω|Y(ω)=0} A={Y=0}
B={至少有2个次品} B={ω|Y(ω)≥2} B={Y≥2} C={不多于k个次品} C={ω|Y(ω)≤k} B={Y≤k}
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
例7: 某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一 随机变量，其纵坐标Y也是随机变量。
此试验的样本空间为 Ω={a1,a2,…,am,b1,b2,…,bm,}
其中， ai表示红球 （i=1，2，…，m） bj表示白球 （j=1，2，…，n）
4.1 随机变量及分布函数
一、随机变量
在实验之前，X 将取什么值是不确定的，而一旦有 了试验结果后，X 的值就完全确定.
比如
对 1≤i≤m, X(ai)=1, 对 1≤j≤n, X(bj)=0.
《概率论》第四章 随机向量(PPT课件)
密度为
所xa围22 成的by区22域上1服从均匀分布。即其联合
x,
y
1 ab
,
0,
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
求它的边缘密度。
解 (1)当︱x︱>a时，
x
x,
y
dy
0
(2)当︱x︱≤a时，
x
边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布函
数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数为
同理
立。
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成
离散型的边缘分布律
二维离散型随机向量(ξ,η)的分量ξ、η都 是一维离散型随机变量，ξ、η的分布
f u, vdudv F ,； 1
（３）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则
2Fx, y f (x, y)
xy
（４）若Ｄ是xoy平面内的任一区域，则
P , D f x, ydxdy
D
例1 （二元正态分布）函数
j1
P xi , y j j 1
pij j 1
简记为 同理， (ξ,η)关于η的分布律为
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两
件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
a2
1 dy ab
所xa围22 成的by区22域上1服从均匀分布。即其联合
x,
y
1 ab
,
0,
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
求它的边缘密度。
解 (1)当︱x︱>a时，
x
x,
y
dy
0
(2)当︱x︱≤a时，
x
边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布函
数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数为
同理
立。
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成
离散型的边缘分布律
二维离散型随机向量(ξ,η)的分量ξ、η都 是一维离散型随机变量，ξ、η的分布
f u, vdudv F ,； 1
（３）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则
2Fx, y f (x, y)
xy
（４）若Ｄ是xoy平面内的任一区域，则
P , D f x, ydxdy
D
例1 （二元正态分布）函数
j1
P xi , y j j 1
pij j 1
简记为 同理， (ξ,η)关于η的分布律为
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两
件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
a2
1 dy ab
第二章随机变量-PPT精品
密度函数的几何意义为
P(aXb)＝bf(u)du a
2. 密度函数的性质
(1) 非负性 f(x)0，(-<x<)；
(2)归一性
f
(x)dx＝1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
设随机变量X的概率密度为
f (x)aex
求常数a.
答:
a1 2
(3) 若x是f(x)的连续点，则
例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个 交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率 都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:
P {Xk}C 6 k 1 3 k 3 2 6k k0,1,.6 ..,
x
x
3、右连续性：对任意实数x，
F (x00)x l x i0 F m (x)F (x0). 反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个
随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。
一般地，对离散型随机变量
X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为 F(x)P{Xx}pk k:xkx
P { X k } C 5 k p k ( 1 p ) 5 k k 0 ,1 ,.5 ..
·几个常用的离散型分布
（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布
1. (0-1)分布
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称
X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1
【正式版】随机变量的概念pptPPT
在测量灯泡的寿命中,结果用大于零的实 随机变量的取值具备随机性。
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 随机变量的两个特征: 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：
数表示. 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
※ 请注意随机变量与普通函数的区别: 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，但可将其 数量化,
随机变量的概念ppt
§1 随机变量
Random Variable and Distribution Function
R.V.
and
D.F.
一、随机变量的概念:
基本思想: 将样本空间数量化,即用数字来 表示试验的结果.在第一章中,有些随机试验的 从中任意抽取2个,观察抽球结果。
“两只红球”=“Y取到值2”,
②研究随机变量取这些值的概率各是多少。 (Random variable)
即可规定:用 1 表示 “正面”，
定义域是 1、直观定义：一个变量，若其取值随着试验的结果的变化而变化,即其取值具有随机性，且①能事先知道它的所有可能取值，②不能事
先确定它将要取哪一个值；
※ 随机变量的两个特征: {X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
在第一章中,也有些随机试验的结果不是 用数量来表示的
例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面” 和“反面”来表示的，但可将其 数量化, 即可规定:用 1 表示 “正面”，
用 0 表示“反面”。 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
讨论：取球结果为: 两个白球;两个红球;一红 一白.
{X=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]} 随机变量不是自变量,它是一个特殊的函 数(样本点的函数)
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