苏教版高中数学必修四课时训练3.1.1两角和与差的余弦(含答案)

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新高一数学苏教版必修4试题：3.1.1 两角和与差的余弦

一、填空题1.cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________.【解析】原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 22 2.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x 3，则x 的值是________. 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2. 【答案】 π23.已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________. 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45∴2cos αcos β＝0.∴cos αcos β＝0.【答案】 04.已知cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45. 又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－513.cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－1213×45＝1565－4865＝－3365.【答案】－33655.在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形.【解析】由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos(A ＋B )＞0，∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形.【答案】钝角6.化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】 37.已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________.【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12. ∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1. 【答案】 18.若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________. 【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝⎛⎭⎫1－322＋⎝⎛⎭⎫122，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 32二、解答题9.设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 10.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值. 【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255. ∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255 ＝－22. ∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π4. [能力提升]1.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.【解析】由已知sin α＝63，cos α＝33， cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】 3＋662.如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665. 【答案】 56653.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值. 【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3 ＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， ∴2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

高一数学苏教版必修4教师用书3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含解析

两角和与差的三角函数两角和与差的余弦.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点) .能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.(重点).能用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材～完成下列问题..两角差的余弦公式：(α－β)＝αβ.αβ＋(α－β).两角和的余弦公式β＋α)＝：(.αβαβ－(α＋β)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()α，β∈时，(α－β)＝αβ－αβ.( )() °＝ °°－ ° °.()() ° °＋ ° °＝.()()＋＝α.()【解析】正确运用公式.()中加减号错误.()()()正确.【答案】()×()√()√()√[小组合作型]【精彩点拨】由α求α；由β求β，套用(α－β)＝αβ＋αβ公式求值.【自主解答】∵α∈，α＝，∴α＝－.又β是第三象限角，β＝－，∴β＝－.∴(α－β)＝αβ＋αβ＝×＋×＝－.解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.[再练一题].已知α＝，α∈，求的值.【解】∵α＝，α∈，∴α＝－.∴＝α＋α＝－×＋×＝.()(°－α)(°＋α)＋(α－°)(°＋α).【精彩点拨】从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值.【自主解答】() ° °＋° °。

数学必修4优化训练：3.1.1两角和与差的余弦含解析精品

第3章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若sin （2π+α）=-54，α∈（2π，π），则cos （3π-α）=_______________.思路解析：由诱导公式得sin （2π+α）=cos α=-54，又α∈（2π，π），所以sin α=53.所以cos （3π-α）=cos 3πcos α+sin 3πsin α=21×（-54）+23×53=10433-.答案:10433- 2.计算cos （α-35°）cos （25°+α）+sin （α-35°）sin （25°+α）=____________. 思路解析：逆用两角差的余弦公式可得到结果. 原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案:21 10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知sin α=53，cos β=1312，求cos （α-β）的值. 解：∵sin α=53＞0，cos β=1312＞0，∴α可能在一、二象限，β在一、四象限.若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135，cos （α-β）=54·1312+53·135=6563. 若α在第一象限，β在第四象限，则cos α=54，sin β=-135，cos （α-β）=54·1312+53·(-135)=6533. 若α在第二象限，β在第一象限，则cos α=-54，sin β=135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·135=-6533.若α在第二象限，β在第四象限，则cos α=-54，sin β=-135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·（-135）=-6563.2.计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.思路解析：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin33°化为cos57°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和的余弦公式，则迎刃而解. 解：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 3.已知cos α=71，cos （α+β）=-1411，且α、β∈（0，2π），求cos β的值.思路解析：本题的解法要求观察并分析出角和角之间的关系β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.这种“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.要注意，避免出现将cos （α+β）展开，通过解方程54cos β-53sin β=53求cos β这种复杂方法. 解:由于α，β∈（0，2π），cos α=71，cos （α+β）=-1411，则sin α=α2cos 1-=2)71(1-=734, sin （α+β）=22)1411(1)(cos 1--=+-βα=1435. 所以cos β=cos ［（α+β）-α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=-1411×71+1435×734=21. 4.已知sin α+sin β=53，cos α+cos β=54，求cos （α-β）的值. 思路解析：本题是一道综合题，由于cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β，欲求cos （α-β）的值，只需求出cos αcos β+sin αsin β的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件两式平方，再相加即得cos αcos β+sin αsin β的结果. 解：①sin α+sin β=53， ②cos α+cos β=54. ①式平方得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259， ②式平方得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516.以上两式相加，得2+2（cos αcos β+sin αsin β）=1, 即2+2cos （α-β）=1，得到cos （α-β）=-21. 5.求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值.解： cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos （90°-80°）cos （90°-35°）=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos （80°-35°）=cos45°=22. 6.已知cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），求cos2β的值.思路解析：此题主要考查灵活“变角”的技巧.由分析可知2β=（α+β）-（α-β）. 解：由于cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），可得sin （α-β）=53，sin （α+β）=-53，所以cos2β=cos ［（α+β）-（α-β）］=cos （α+β）·cos （α-β）+sin （α+β）·sin （α-β）=54·（-54）+（-53）·53=-1. 志鸿教育乐园过路费甲同学要回坐位，但被乙同学挡着路，乙同学向甲同学说：“此路是我开，此树是我栽，我想从此过，留下买路财！”这时老师站在门外说：“刷卡可以吗？” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后） 1.(2005 上海)若cos α=71,α∈(0,2π),则cos(α+3π)=_________________. 思路解析：∵α∈(0,2π), ∴sin α=4911-=734,cos(α+3π)=cos αcos 3π-sin αsin 3π=71×21-734×23=-1411.答案:-14112.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( )A.57 B.51 C.-57 D.-51思路解析：∵α∈(0,2π),若sin α=53，∴cos α=54.∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π)=51.答案:B3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-21 B.21 C.-23 D. 23思路解析：sin163°sin223°+sin253°sin313°＝sin163°sin223°+cos(90°-253°)cos(90°-313°) ＝cos163°cos223°+ sin163°sin223° ＝cos(223°-163°) ＝cos60°=21. 答案:B4.（2005 广东）化简f(x)=cos(316+k π+2x)+cos(316-k π-2x)+23sin(3π+2x)(x ∈R ,k ∈Z ),并求函数f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2k π+3π+2x)+cos(2k π-3π-2x)+23sin(3π+2x) =cos(3π+2x)+cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=2cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=4［cos(3π+2x)cos 3π+sin(3π+2x)sin 3π］=4cos2x.∴f(x)∈［-4,4］,T=22π=π. ∴f(x)的值域是［-4,4］，最小正周期是π. 5.化简315sinx+35cosx. 解：原式=65（23sinx+21cosx ）=65（sin60°sinx+cos60°cosx ） =65cos （60°-x ）.6.已知sin α+sin β+sin γ=0，且cos α+cos β+cos γ=0. 求证：cos （α-β）=-21. 证明：由已知可得sin α+sin β=-sin γ， cos α+cos β=-cos γ.两式平方相加得到2+2cos （α-β）=1. 所以cos （α-β）=-21.得证. 7.如图3-1-1，平面直角坐标系中，已知OA =（cos80°，sin80°），OB =（cos20°，sin20°），求|AB |.若AB 中点是C ，那么|OC |呢？图3-1-1 思路解析：这道题属于向量和三角函数的综合问题. 解:AB =（cos20°-cos80°，sin20°-sin80°）,|AB |=2)80sin 20(sin )80cos 20(cos ︒-︒+︒-︒=2222280sin 80sin 20sin 80cos 20cos 220cos ︒+︒︒+︒+︒-︒ =)80sin 20sin 80cos 20(cos 211︒︒+︒︒-+ =)2080cos(22︒-︒- =︒-60cos 22 =1.可知△AOB 是等边三角形，可求得|OC |=23. 8.已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 思路解析：本题用到了平方关系：sin 2α+cos 2α=1，这一关系在三角函数运算中经常用到. 解：由于sin α+sin β=22，等式两边平方可知，sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=21. ① 设cos α+cos β=m,平方可知，cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2. ② ①+②得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2+21, 整理，有m 2=23+2cos （α-β）. 又由于cos （α-β）∈［-1，1］，所以m 2∈［-21，27］，即得0≤m 2≤27. 解得-214≤m ≤214. 所以-214≤cos α+cos β≤214. 9.已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值.思路解析：注意到(43π+β)-(4π-α)=2π+(α+β)，可先求cos ［2π+(α+β)］.对给值求值问题，要认真观察分析题目中的条件和结论中各个角度之间的关系，实现由已知到未知的代换.解：∵4π<α<43π,∴-2π<4π-α<0.∴sin(4π-α)=-54.又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π.∴cos(43π+β)=-1312.∴sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=-cos ［2π+(α+β)］=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-［(-1312)×53+135(-54)］=6556.。

3.1.1两角和与差的余弦作业高中数学必修四苏教版含答案

第3章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦一、填空题1．cos 15°的值是________．2．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 3．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________． 4．已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|＝________.5．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________． 6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是________．8.2cos 50°－3sin 10cos 10°＝________. 二、解答题9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 10．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值． 11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．三、探究与拓展12．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．答案 1.2＋64 2.83 3．－π4 4．1 5.3π4 6．－12 7.558．1 9．解由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 10．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.11．解 ∵π2<α－β<π， cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 12．解由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两等式平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∵α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。

高中数学苏教版必修4 第3章3.1.1 两角和与差的余弦作业 Word版含解析

[学业水平训练]1.sin 75°＝________．解析：sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12·22＋32·22 ＝2＋64. 答案：2＋642.已知cos α＝35，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________．解析：∵α∈(3π2，2π)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45， ∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋(－45)×32＝3－4310. 答案：3－43103.sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为__________．解析：sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin [90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin(110°－x )＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos(110°－x －65°＋x )＝cos 45°＝22. 答案：224.2cos 15°＋6sin 15°的值是__________．解析：2cos 15°＋6sin 15°＝22(32sin 15°＋12cos 15°)＝22cos(60°－15°)＝22cos 45°＝2.答案：25.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos [(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34. 答案：346.若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形7.求下列各式的值：(1)sin 61°sin 16°＋cos 61°cos 16°；(2)cos 80°cos 20°＋cos 10°cos 70°.解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12. 8.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)∵sin α＝55，α为锐角． ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； ∵cos β＝31010，β为锐角． ∴sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·31010＋55·1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝255·31010＋55·(－1010)＝22. ∵α、β均为锐角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. [高考水平训练]1．1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．解析：根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos [(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 答案：5392.设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝2(12cos 5°－32sin 5°)＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3.已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，即A ·cos π4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β －π6＋π6）＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 4．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π)．若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．解：∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1. |a －k b |2＝(cos α－k cos β)2＋(sin α－k sin β)2＝cos 2α－2k cos αcos β＋k 2cos 2β＋sin 2α－2k sin αsin β＋k 2sin 2β＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．又k ≠0，∴cos(α－β)＝0，即cos(β－α)＝0.又0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，∴β－α＝π2.。

数学苏教版必修四同步课堂精练-3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案

∴φ＝φ.
∴φ＝φ＝－φ，
即.又，∴.
．°°＋°°的值为．
．向量＝(α，α)，＝(β，β)，与的夹角为°，则直线α－α＝与圆(－β)＋(＋β)＝的位置关系是．
．在△中，若·<·，则△的形状一定是三角形．
．()已知，，则的值为．
()已知，，则(α－β)＝.
．函数的最大值是．
．已知，，，，则α＝，β＝.
．已知，，，，.
∵ ，，
∴ .
∴
.
∵ ，，∴<α－β<π.
而(α－β)<，∴α－β为钝角．∴ .
.解：∵ ，，
∴ ，， .
∴ ，， .
又，，
∴，.
∴
.
.证解：()∵⊥，∴·＝θ－θ＝，
即θ＝θ.
又∵θ＋θ＝，
∴θ＋θ＝，即.
∴.
又，
∴，.
()∵(θ－φ)＝(θφ＋θφ)＝φ＋φ＝φ，
．已知，，且，，求的值．
.已知向量＝(θ，－)与＝(,θ)互相垂直，其中 .
()求θ和θ的值；
()若 φ，，求φ的值．
参考答案
.答案：
解析：先用诱导公式α＝(°－α)得°＝°，再用两角差的余弦公式：
°°＋°°＝°°＋°°＝(°－°)＝°＝ .
.答案：相交
解析： .
圆心(β，－β)到已知直线的距离为
，
所以圆心在直线上，圆与直线相交．
.答案：钝角
解析：由＞，得－＞，即(＋)＞.∵<＋<π，∴ .∴ .∴△为钝角三角形．
.答案：() ()
解析：()∵ ，，
∴ .
∴ .
()将两条件等式平方后相加得

苏教版高中数学必修4检测第3章3.1-3.1.1两角和与差的余弦 Word版含解析

解：因为＜α＜，所以－＜－α＜.
因为＜β＜，所以＜＋β＜.
由已知可得＝，＝－，
则(α＋β)＝＝·＋·＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π.
所以α＋β＝.
第章三角恒等变换
两角和与差的三角函数
两角和与差的余弦
级基础巩固
．° °＋° °的值为()
解析：原式＝(°－°)＝ °＝.
答案：
．已知α是锐角，α＝，则等于()
．－．－
解析：因为α是锐角，α＝，所以α＝，
所以＝×－×＝.
答案：
＋的值为()
.
解析：原式＝＝
＝＝＝×＝.
答案：
．已知＝，则α＝．
解析：由于＜α－＜，且＝，
所以＝.
所以α＝＝－＝×－×＝.
答案：
．已知＝，且＜α＜，求α的值．
解：因为＝，且＜α＜，
所以＜α＋＜π.
所以＝－＝－.
所以α＝＝＋＝－×＋×＝.
．若<α<，－<β<，＝，＝，求的值．
解：因为<α<，－<β<，
所以<＋α<π，<－<.
又因为＝，＝，
所以＝，＝.
所以＝＝
＋＝
×＋×＝.
．若＋＝(＋φ)，则φ的一个可能值是()
．－．－
解析：对比公式特征知，φ＝，φ＝－，
故只有－适合．
答案：
级能力提升
的值为．
解析：原式＝
＝
＝－.
答案：－
．已知函数()＝，∈.
()求的值；
()若θ＝，θ∈，求.
解：()＝＝＝.
()因为θ＝，θ∈，
所以θ＝－＝－.
所以＝＝
＝－.

数学苏教版必修4 第3章3.1.1 两角和与差的余弦作业 Word版含解析

[学业水平训练]°＝．解析：°＝(°－°)＝°＝(°－°)＝° °＋° °＝·＋·＝.答案：已知α＝，α∈(，π)，则(α－)＝．解析：∵α∈(，π)，∴α＝－＝－，∴(α－)＝α＋α＝×＋(－)×＝.答案：(°－)(－°)＋(°－)(°－)的值为．解析：(°－)(－°)＋(°－)(°－)＝(°－) [°－(－°)]＋(°－)·(°－)＝(°－)(°－)＋(°－)·(°－)＝(°－－°＋)＝°＝.答案：°＋°的值是．解析：°＋°＝( °＋°)＝(°－°)＝°＝.答案：已知：(α＋β) β＋(α＋β) β＝－，且°＜α＜°，则α等于．解析：由已知知[(α＋β)－β]＝－，即α＝－.又°＜α＜°，所以α＝－，所以α＝α α)＝.答案：若三角形两内角α，β满足α·β＞，则这个三角形是．解析：因为α·β＞，所以α，β均为锐角，α β α β)＞，所以αβ－αβ＜，即(α＋β)＜，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形求下列各式的值：() ° °＋ ° °；() ° °＋ ° °.解：()原式＝(°－°)＝°＝.()原式＝° °＋° °＝(°－°)＝°＝.已知锐角α、β满足α＝，β＝.()求(α－β)的值；()求α＋β的值．解：()∵α＝，α为锐角．∴α＝α＝＝；∵β＝，β为锐角．∴β＝＝＝，∴(α－β)＝αβ＋αβ＝·＋·＝.()(α＋β)＝[α－(－β)]＝α(－β)＋α(－β)＝·＋·(－)＝.∵α、β均为锐角，∴<α＋β<π，∴α＋β＝.[高考水平训练]．.若<α<，－<β<，(＋α)＝，(－)＝，则(α＋)＝．解析：根据条件可得α＋∈(，π)，－∈(，)，所以(α＋)＝，(－)＝，所以(α＋)＝[(＋α)－(－)]＝(＋α)(－)＋(＋α)(－)＝×＋×＝.答案：设＝ °，＝ °－°，＝( ° °－ ° °)，则，，的大小关系是．解析：＝°－°＝( °－°)＝°，＝( ° °－° °)＝( ° °－° °)＝°.因为函数＝在[°，°]内是单调递减函数，且°>°>°，所以°< °< °，所以>>.答案：>>已知函数()＝(＋)，∈，且()＝.()求的值；()设α，β∈，(α＋π)＝－，(β－π)＝，求(α＋β)的值．解：()由()＝得(＋)＝，即·＝，∴＝.()由()知()＝(＋)．由得－(π)＋(π)）＝()，))解得α＝()，β＝().))∵α，β∈，∴α＝＝，β＝＝，∴(α＋β)＝αβ－αβ＝×－×＝－.．已知＝( α，α)，＝( β，β)(＜α＜β＜π)．若＋与－长度相等(其中为非零实数)，求β－α的值．解：∵＋＝( α，α)＋( β，β)＝( α＋β，α＋β)，－＝( α－β，α－β)，∴＋＝( α＋β)＋( α＋β)＝α＋αβ＋β＋α＋αβ＋β＝＋(α－β)＋.－＝( α－β)＋( α－β)＝α－αβ＋β＋α－αβ＋β＝－(α－β)＋.又＋＝－，∴＋＝－.∴(α－β)＝－(α－β)．又≠，∴(α－β)＝，即(β－α)＝.又＜α＜β＜π，∴＜β－α＜π，∴β－α＝.。

数学必修4课后导练：3.1.1两角和与差的余弦含解析精

课后导练基础达标1.下列等式一定成立的是（）A.cos （α-β）=cosα-cosβB.cos(α-β)=cosα+cosβC.cos(2π-α)=cosαD.cos(2π-α)=sinα 解析：本题是对差角的余弦公式的考查.直接运用公式可知D 正确.答案：D2.cos24°cos54°+sin24°sin54°的值是( )A.0B.21C.23D.23- 解析：这是差角余弦公式的逆用，cos24°cos54°+sin24°·sin54°=cos(24°-54°)=cos(-30°)=cos30°=23.故选择C. 答案：C3.cosα+3sinα化简的结果可以是( ) A.21cos （6π-α） B.2cos(3π-α) C. 21cos(3π-α) D.2cos(6π-α) 解析：cosα+3sinα=2(21cosα+23sinα) =2(cos3πcosα+sin 3πsinα) =2cos(3π-α),故答案选B. 答案：B4.cos75°-cos15°的值等于( ) A.26 B.26- C.22- D.22 解析：cos75°-cos15°=cos （45°+30°）-cos （45°-30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°-cos45°cos30°- sin45°sin30°=-2sin45°sin30°=-22,故选择C. 答案：C 5.设α∈（0，2π），若sinα=53，则2cos （α+4π）等于（） A.57 B.51 C.57- D.-51解析：si nα=53，且α∈（0，2π），∴cosα=54. ∴2cos （α+4π） =2×（cosαcos 4π-sinαsin 4π） =2（54×22-53×22）=51. 答案：B6.cos345°=__________________.解析：cos345°=cos(-15°+360°)=cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =426+. 答案：426+ 7.若cos15°=xcos105°,则x=___________.解析：∵cos15°=xcos105°∴x=)4560cos()4560cos(105cos 15cos ︒-︒︒-︒=︒︒ =︒︒-︒︒︒︒+︒︒45sin 60sin 45cos 60cos 45sin 60sin 45cos 60cos =322223222122232221--=⨯-⨯⨯+⨯. 答案：32--8.若cosα=1715,α∈(23π,2π),则cos(α+3π)=___________. 解析：∵cosα=1715,α∈(23π,2π), ∴sinα=2)1715(1--=178-. ∴cos(α+3π)=cosαcos 3π-sinαsin 3π=34381523178211715+=⨯+⨯ =343815+ 答案：343815+9.化简cos （α+β）cosα+sin(α+β)sinα+cos(α-β)·cosα+sin(α-β)sinα.解析：原式=cos ［（α+β）-α］+cos ［(α-β)-α］=cosβ+cos(-β)=2cosβ.答案：2cosβ10.在△ABC 中，已知sinA=53，A 为钝角，cosB=135,求cos(A+B)的值.解析：∵sinA=53,A 为钝角,∴cosA=-54)53(12-=-.又∵在△ABC 中，A 为钝角，∴B 一定为锐角且cosB=135，∴sinB=1312)135(12=-.∴cos （A+B ）=cosAcosB-sinAsinB =-54×135-53×1312=6556-. 答案：6556-综合运用11.若sinαsinβ=1,则cos(α+β)的值为( )A.0B.1C.-1D.±1 解析：sinαsinβ=1可知，sinα=sinβ=1或sinα=sinβ=-1.当sinα=sinβ=1时，cosα=cosβ=0,cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-1.当sinα=sinβ=-1时，cosα=cosβ=0,cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-1.故选择C. 答案：C12.若A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sinA=53,cosB=135，那么cosC 的值是() A.6516B.6556C. 6516或6556D.不确定解析：由条件可得sinB=1312，cosA=±54. ∵sinA=53＜1312=sinB,且A+B ＜180°, ∴A ＜B 即A 为锐角，∴cosA=54. ∴cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB) =251613125313554=⨯+⨯-. 故选择A.答案：A13.函数y=4sin(3x+4π)+3cos(3x+4π)的最小正周期是( ) A.6π B.2π C.π32 D.3π 解析：y=4sin(3x+4π)+3cos(3x+4π) =5［54sin （3x+4π）+53cos(3x+4π)］. 令sinφ=54,cosφ=53, ∴y=5［sinφsin(3x+4π)+cosφcos(3x+4π)］=5cos(3x+4π-φ). ∴其最小正周期为π32,故选择C. 答案：C14.已知sin （4π-α）=32-,4π＜α＜2π,则cosα=__________________. 解析： ∵sin(4π-α)=32-,∴sin(α-4π)=32. 又∵4π＜α＜2π,∴0＜α-4π＜4π, ∴cos(α-4π)＞0.∴cos(α-4π)=35. cosα=cos ［（α-4π）+4π］ =cos(α-4π)·cos 4π-sin(α-4π)·sin 4π =35×2232-×22=62210-.答案：62210- 15.已知cos(α-β)=-54,α-β∈(2π,π),cos(α+β)=54,α+β∈(23π,2π),求cos2β. 解析：∵cos(α-β)=-54,α-β∈(2π,π),∴sin(α-β)=53, 又∵cos （α+β）=54,α+β∈(23π,2π), ∴sin(α+β)=-53. ∵2β=(α+β)-(α-β),∴cos2β=cos ［（α+β）-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =54×(-54)+(-53)×53=-1. 答案：-1拓展探究16.已知cos （3π+α）=53-，sin （32π-β）=135，且0＜α＜2π＜β＜π,求cos （β-α）的值. 思路分析：观察到sin （32π-β）=sin （3π+β）=135，β-α=（3π+β）-（3π+α）解：∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴3π＜3π+α＜65π＜3π+β＜34π. ∵cos （3π+α）=35-＜0， ∴2π＜3π+α＜65π， ∴sin （3π+α）=54)53(1)3(cos 122=--=+-απ. ∵sin （32π-β）=sin[π-（3π+β）]=sin （3π+β）=135＞0，∴65π＜3π+β＜π. ∴cos （3π+β）=1312)135(1)3(sin 122-=--=+--βπ ∴cos （β-α）=cos[（3π+β）-（3π+α）] =cos （3π+β）cos （3π+α）+sin （3π+β）·sin （3π+α） =-1312×（35-）+135×（54）=6556.。

数学苏教版必修4学案：第3章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦

两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦预习课本P103～106，思考并完成以下问题1．如何通过向量法来推导两角差的余弦公式？2．如何由两角差的余弦公式来推导两角和的余弦公式？3．两角和(差)的余弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.[点睛](1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．cos 110°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________. ★答案★：02．求值：cos 15°＋sin 15°＝________. ★答案★：623．满足sin π 5sin α＋cos 4π 5cos α＝12的锐角α＝________.★答案★： 7π154．已知cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.★答案★：－15给角求值问题[典例1] 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. (3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．[活学活用] 求值：2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2cos 5°.解：原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos (60°－10°)2cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫22sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos (50°－45°)cos 5°＝2.已知三角函数值求值[典例2] 已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．解：因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，所以cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝ cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.已知三角函数值求角[典例已知锐角α，β满足sin α＝5，cos β＝310，求α＋β的值． [解] 因为α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin 2α＝255， sin β＝1－cos 2 β＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.[一题多变]1．[变条件]本例中条件cos β＝31010，变为sin β＝1010，α，β均为锐角变为α和β均为钝角，其他条件不变，求α＋β的值．解：因为α和β均为钝角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.2．[变条件，变设问]若本例中cos β＝31010改为cos β＝1010，其他条件不变，求α－β的值．解：因为α，β为锐角，所以由sin α＝55，cos β＝1010，得到cos α＝255，sin β＝31010，且α＜β，即－π2＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝255×1010＋55×31010＝22，故α－β＝－π4.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一学业水平达标1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.★答案★：122．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.★答案★：2 23．若a为锐角且cos α＝255，则cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝________.解析：由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝cosπ4cos α＋sinπ4sinα＝22×255＋22×55＝31010.★答案★：310104．cos 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.★答案★：2－645．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，则cos(α－β)＝________.解析：因为(sin α＋sin β)2＝925，(cos α＋cos β)2＝1625，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.★答案★：－126．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．解析：∵α<β，cos(α－β)＝55，且α，β均为锐角，∴sin(α－β)＝－255.又∵cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4. ★答案★：3π47．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.★答案★：π38．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 解析：cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. ★答案★：129．求值： (1)sin 285°；(2)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)．解：(1)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°＝－cos(60°－45°) ＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°·sin 160°＋cos 200°·cos 280° ＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80° ＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)＝－cos 60°＝－12.10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值．解：因为5π4<α<7π4，所以3π2<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 层级二应试能力达标1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)＝________.解析：因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513. 又因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365. ★答案★：－63652．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________. 解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.★答案★：123．已知锐角α，β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝______.解析：因为α为锐角，且cos α＝45，得sin α＝35.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050. ★答案★：910504.2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.解析：原式＝2cos (30°－ 20°)－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.★答案★： 35．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝________. 解析：由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝ cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. ★答案★：72106．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.★答案★：－127．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x 的值域．解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －22sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤cos π4cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin π4sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π4＋⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以函数y 的值域是⎣⎡⎦⎤22，2.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

苏教版必修四第三章第一讲两角和与差的三角函数1——两角和与差的余弦(学案含答案)

重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。

难点：两角差的余弦公式的推导；公式的准确运用。

一、两角和与差的余弦公式及其推导单位圆中（如图），∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，则A （cos α，sin α），B （cos β，sin β）。

由于余弦函数是偶函数，不妨考虑0αβπ≤-≤的情况，则OA 与OB 的夹角就是α－β。

从数量积定义得 OA ·OB ＝|OA OB |cos （α－β）＝cos （α－β），另一角度可得OA ·OB ＝cos αcos β＋sin αsin β，所以cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，把公式cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，得cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β。

即两角和与差的余弦公式为 cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β； cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β。

这两个公式分别记作C （α＋β），C （α－β）。

【要点诠释】 1. 对公式的理解：（1）公式中的α，β为任意角比如cos()2πα-中的两个角分别为,2πα。

再如求cos 75o 的值，可以把75o 写成30,45o o 的和，也可以写为120,45o o 的差。

由此可以推导出三角函数的诱导公式，也可以求三角函数的值。

（2）公式C （α－β）的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦； ②把所得的积相加。

2.对于C （α＋β），C （α－β）的简单记忆可简记为：余余、正正符号异。

即两角和与差的余弦公式右边是α与β的余弦与余弦的积，正弦与正弦的积，且中间的符号与左边的符号相异。

二、两角和与差的余弦公式的逆向变形cos αcos β－sin αsin β＝cos （α＋β）； cos αcos β＋sin αsin β＝cos （α－β）。

苏教版必修4全套教学案--3.1.1两角和与差的余弦.doc

，求 cos(a + 0)的值.(l)C OS ［课题］:3. 1.1两角和与差的余弦［知识摘记］1. 两角差的余弦公式2. 两角和的余弦公式［例题解析］例1 .利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:例2.利用两角和(差)的余弦公式.求cos75°,cos 15°,sin 15°,tan 15°.例 3.已知 sin a =—,a e 思考：你能求出sin(a + 0)吗?例4.已知锐角a, ［3满 3 cosa= —5 cos (a+卩)=-看求 C0S P °71a 2 =sin a［练习与反思］课本练习1, 2, 3 反思：9、已知锐角a. 0满足cos0 =3V1010sin a =(1) cos(a —0)(2) G +［课外作业］1、cos255°的值是 __________________2、cos ------ A/3 sin —的值是 ___________________12 123、已知0,0均为锐角，COS(G+0)= —U, COSQ=丄,，则角0为 ____________'丿14 73 54、在AASC 中，sin A =-,cos5 =—,那么cos C 的值为_____________________5 135、cos 24° - cos 36° - sin 24° - cos54°的值等于_____________6、在AABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则AABC —定为___________ 三角形7、cos(&-35。

)cos(25。

+o) + sin(a-35o) sin(25。

+a) = __________________________Q古sin 10° - V3 cosl0°8>求值：-------------------cos40°10、已知cos。

高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案

3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材P 133内容，完成下列问题.两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sinαsin βC α－β两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sinαsin βC α＋β判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.( ) (3)存在实数α，β，使cos(α＋β)＝cos α－cos β成立.( ) (4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]利用两角和与差的余弦公式化简求值A.2－64B.6－24C.2＋64D.－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.【精彩点拨】(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.(2)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.【自主解答】(1)cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋2 4.【答案】 C(2)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22，所以原式＝22； ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°) ＝32.1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α).【导学号：72010075】【解】 (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.给值(式)求值(1)已知cos α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪2π，2π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值.【精彩点拨】 (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. 【自主解答】 (1)因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32 ＝3－4310. 【答案】3－4310(2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π.又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.(3)求解.结合公式C α±β求解便可.[再练一题]2.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值.【解】 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π).又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.已知三角函数值求角已知α，β均为锐角，且cos α＝25，cos β＝10，求α－β的值.【精彩点拨】本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值.【自主解答】 ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010 ＝22. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.[再练一题]3.已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值.【解】由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π， ∴2β＝π，则β＝π2.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1 【提示】 cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.探究2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？【提示】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β). 探究3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？【提示】 cos(α－β)＝2－a 2－b22.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A.33 B.－33 C.539D.－69【精彩点拨】把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大.求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题.【自主解答】 ∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C. 【答案】 C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.[再练一题]4.设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值.【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1.cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( ) A.cos 100° B.sin 100° C.32D.12【解析】原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝( ) A.22 B.12 C.32D.－12【解析】 a ·b ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】 A3.已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( )A.3365 B.－3365C.5475D.－5475【解析】因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. 【答案】 A4.sin 75°＝________. 【解析】 sin 75°＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24. 【答案】6＋245.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值. 【导学号：72010076】【解】 ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13 C.32D.33【解析】原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.【答案】 A2.已知sin α＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )A.－3－222B.3－226 C.3＋226D.－3＋226【解析】因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＋13×32＝－22＋36. 【答案】 B3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】 ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0， ∴角C 为钝角，∴△ABC 一定为钝角三角形. 【答案】 D4.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tanα等于( )【导学号：72010077】A.34B.－34C.45D.－45【解析】由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos α·cos β＝( )A.1B.－1C.12D.0【解析】由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，两式相加得：cos α·cos β＝0，故选D. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·北京高一检测)12sin 75°＋32sin 15°的值等于________.【解析】原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 【答案】227.(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________.【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋ sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14.【答案】 148.在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.【解析】因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝513，且0<A <π2，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ，＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665. 【答案】－1665三、解答题9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.【证明】由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.10.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).【解】因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＋22×22＝0.[能力提升]1.已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A.925B.1625C.12D.－12【解析】由已知得(sin α＋sin β)2＝1625，①(cos α＋cos β)2＝925，②①＋②得：2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.【答案】 D2.若α，β为两个锐角，则( ) A.cos(α＋β)>cos α＋cos β B.cos(α＋β)<cos α＋cos β C.cos(α－β)<cos αcos β D.cos(α－β)<sin αsin β 【解析】 cos []α－－β－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β，因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0，－sin αsin β<0，－cos β<0，故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0，即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C ，D 错误.【答案】 B3.函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是________.【解析】由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π. 【答案】 π4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值；(3)求f (x )的单调递增区间. 【解】 (1)因为T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65，所以sin α＝35.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β＝1617，所以cos β＝817，因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋π6，由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k π－35π6，10k π－5π6(k ∈Z ).。